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2020-2021学年湖北省十堰市高三（下）4月期中考试数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高三（下）4月期中考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若实数x，y满足x+i2+i=1+yi，则( )
A.x=1,y=2B.x=1,y=3C.x=3,y=1D.x=3,y=2
2. 已知集合M={x|x−1>0}，N={x|x2<10}，则M∩N=( )
A.{x|x>−10}B.{x|110}D.{x|1
3. 已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是( )
A.2πB.4πC.8πD.12π
4. 已知抛物线C:y=mx2m>0上的点Aa,2到其准线的距离为4，则m=( )
A.14B.8C.18D.4
5. 已知平面α和两条不同的直线m，n，则“直线m，n与平面α所成角相等”是“m//n”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6. 2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0⋅lnMm计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为(lge≈0.434,lg2≈0.301)( )
A.4890m/sB.5790m/sC.6219m/sD.6825m/s
7. 已知函数fx=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值，且极小值为6，则m=( )
A.5B.3C.−2D.−2或5
8. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为( )
A.5B.3C.2D.2
二、多选题
在3x−1xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A.二项式系数和为64B.各项系数和为64
C.常数项为−135D.常数项为135
空气质量的指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好．AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”．下图是某市2020年空气质量指数（AQI）的月折线图．下列关于该市2020年空气质量的叙述中一定正确的是( )
A.全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良
B.每月都至少有一天空气质量为优
C.2月，8月，9月和12月均出现污染天气
D.空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份
已知圆M:x−3k2+y−4k−22=1+k2，则下列四个命题中正确的命题有( )
A.若圆M与y轴相切，则k=±24
B.圆M的圆心到原点的距离的最小值为65
C.若直线y=x平分圆M的周长，则k=2
D.圆M与圆x−3k2+y2=4k2可能外切
已知函数fx=2asinωxcsωx−2cs2ωx+1ω>0,a>0，若fx的最小正周期为π，且对任意的x∈R，fx≥fx0恒成立，下列说法正确的有( )
A.ω=2
B.若x0=−π6，则a=3
C.若fx0−π2=2，则a=3
D.若gx=fx−2|fx|在(x0−3π4,x0−θ) 上单调递减，则π2≤θ<3π4
三、填空题
已知向量a→=2,m，b→=1,−3，若2a→−b→⊥b→，则m=________．
已知函数fx是定义在R上的偶函数，且f0=2，f1=3．写出fx的一个解析式为________ .
桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为________元．
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，且AB⊥BC．若该三棱柱的外接球半径是2，则三棱锥C1−ABC体积的最大值为________ .
四、解答题
某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打分数均在25,100之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
(1)求这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关 .
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，
已知Sn是数列an的前n项和，an+1−3an+2an−1=1，a1=1，a2=4.
(1)证明：数列an+1−an+1是等比数列；
(2)求Sn.
为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D(A，B，C，D四点共面），测得AC=1.6m，CD=2m，BD=1.8m，已知cs∠BDC=−74，tan∠ACD=37．
(1)求△ACD的面积；
(2)求A，B两点间的距离．
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘．点E，F分别在棱BC，PD上（不包含端点），且PF:DF=BE:CE．
(1)证明：EF//平面PAB；
(2)若PA=2AB，求二面角B−PC−D的余弦值．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，离心率e=12.
(1)若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x=a2c的距离之比为定值，并求出该定值；
(2)设c=1，过定点0,c且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
已知函数fx=9+alnx−ax2+ax有两个极值点．
(1)求a的取值范围；
(2)求fx极小值的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高三(下)4月期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数相等的充要条件
复数代数形式的乘除运算
【解析】
【解答】
解：因为x+i2+i=2x−1+2+xi=1+yi，
所以2x−1=1,2+x=y，
解得x=1,y=3 .
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
求出N中方程的解确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】
解：因为M={x|x>1}，N={x|−10所以M∩N=x|1故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
设该圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r，则ℎ=2r,2πr=4π，从而r=1,ℎ=2，故该圆柱的体积是πr2ℎ=2π .
【解答】
解：设该圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r，则ℎ=2r，2πrℎ=4π，
解得r=1，ℎ=2，
故该圆柱的体积是πr2ℎ=2π .
故选A .
4.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
因为点Aa,2到C的准线的距离为4，所以14m+2=4，得m=18 .
【解答】
解：因为点Aa,2到C的准线的距离为4，所以14m+2=4，
解得m=18 .
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若直线m，n与平面α所成角相等，
则m//n或m，n相交或m，n异面；
若m//n，则直线m，n与平面α所成角相等，
故“直线m，n与平面α所成角相等”是"m//n的必要不充分条件．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
对数及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：v=v0lnMm=1000×ln500
=1000×lg500lge
=1000×3−lg2lge≈6219m/s.
故选C .
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′x=6x2+6mx+2n，
因为fx在x=1处有极小值，且极小值为6，
所以f′(1)=0，f1=6,
即6+6m+2n=0,2+3m+2n+m2=6，
解得m=5,n=−18，或m=−2，n=3,
当m=5,n=−18时，
f′x=6x2+30x−36=x+66x−6，
则fx在−∞,−6和1,+∞上单调递增，
在−6,1上单调递减，
所以fx在x=1处有极小值6；
当m=−2，n=3时，
f′x=6x2−12x+6=6x−12≥0，
则fx在R上单调递增，fx无极值，
综上所述，m=5．
故选A .
8.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
无
【解答】
解：如图，设|AF2|=m，|AF1|=n，
由题意可得m−n=2a,mn=ba,m2+n2=4c2,
解得b=2a，
则e=c2a2=1+b2a2=5．
故选A．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
二项式定理的应用
【解析】
【解答】
解：在3x−1xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，
令x=1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，
则2×2n=128，
得n=6，
所以二项式系数和为26=64，A正确；
各项系数和为26=64，B正确；
3x−1x6展开式的通项为：
Tk+1=C6k⋅(3x)6−k⋅−1xk=C6k⋅(−1)k36−k⋅x6−32k ，
令6−32k=0，
得k=4，
所以展开式中的常数项为T5=C64⋅(−1)4⋅32=135 ，C错误；D正确.
故选ABD.
【答案】
A,B,C
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，每月的平均AQI指数都不超过100，故全年的平均AQI指数也不超过100，对应的空气质量为优或良，故选项A正确；
B，每月的AQI指数最小值均不超过50．故每月都至少有一天空气质量为优，选项B正确；
C，2月，8月，9月和12月的AQI指数最大值均大于100，故至少有一天出现了污染天气，故选项C正确；
D，2月，8月，9月，12月中空气质量为“污染”的天数不确定，故选项D不一定正确．
故选ABC．
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
直线与圆的位置关系
直线和圆的方程的应用
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若圆M与y轴相切，则|3k|=1+k2，
解得k=±24，所以A为真命题；
因为3k2+4k+22=25k2+16k+4≥3625，
所以|OM|≥65，所以B为真命题；
若直线y=x平分圆M的周长，则3k=4k+2，
即k=−2，所以C为假命题；
若圆M与圆x−3k2+y2=4k2外切，
则|4k+2|=1+k2+4k2，
设函数fk=|4k+2|−1+k2−4k2，
因为f0=1>0，f−1=−2<0，
所以fk在−1,0内必有零点，
则方程|4k+2|=1+k2+4k2有解，所以D为真命题．
故选ABD.
【答案】
B,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
函数恒成立问题
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的最值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
【解答】
解：因为fx=2asinωxcsωx−2cs2ωx+1
=asin2ωx−cs2ωx=a2+1sin2ωx−φ，其中tanφ=1a，
因为fx的最小正周期为π，所以ω=1，故A错误；
因为对任意的x∈R，fx≥fx0恒成立，
所以fx0是fx的最小值．
若x0=−π6，则2×−π6−φ=−π2+2kπk∈Z，
解得φ=π6−2kπk∈Z .
所以csφ=aa2+1=32，a=3，故B正确；
因为fx0是fx的最小值，所以f(x0−π2)为最大值，
所以a2+1=2，所以a=3，故C正确；
因为当x∈x0−3π4,x0−π2时，fx>0，
所以gx=−fx，
因为fx在x0−3π4,x0−π2上单调递增，
所以gx在x0−3π4,x0−π2上单调递减．
当x∈x0−π2,x0−π4时，fx>0，所以gx=−fx，
因为fx在x0−π2,x0−π4上单调递减，
所以gx在x0−π2,x0−π4上单调递增，
所以x0−3π4故选BCD .
三、填空题
【答案】
−1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得2a→−b→=3,2m+3．
因为2a→−b→⊥b→，
所以2a→−b→⋅b→=3−32m+3=0，
解得m=−1 .
故答案为：−1.
【答案】
fx=x2+2
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
【解答】
解：若fx=x2+2，
定义域是R，f−x=fx，所以函数是偶函数，
且f0=2，
f1=1+2=3．
故答案为：fx=x2+2．
【答案】
210
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
【解答】
解：由题可知，甲同学所需支付的门票费的期望值为
1C42×(230+290+290+190+130+130)=210元．
故答案为：210．
【答案】
32327
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
【解析】
【解答】
解：如图，由题意可知三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的直径为AC1，
则AC1=4，
即AB2+BC2+C1C2=AC12=16，
从而2AB2+C1C2=16，
三棱锥P−C1−ABC的体积为：
V=13S△ABC⋅CC1
=13×12AB2⋅CC1
=−112CC13+43CC1，
设fx=−112x3+43x0则f′x=−14x2+430由f′x>0，得0由f′x<0，得x>433，
故fx≤f433=32327.
故答案为：32327.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题可知，这200位顾客所打分数的平均值为10×652+16×952+34×1252+70×1552+70×1852200=75.55，
故这200位顾客所打分数的平均值为75.55．
(2)根据所给数据，可得2×2列联表：
根据列联表得K2=200×(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524．
因为9.524>6.635，
所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题可知，这200位顾客所打分数的平均值为10×652+16×952+34×1252+70×1552+70×1852200=75.55，
故这200位顾客所打分数的平均值为75.55．
(2)根据所给数据，可得2×2列联表：
根据列联表得K2=200×(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524．
因为9.524>6.635，
所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
【答案】
(1)证明：因为an+1−3an+2an−1=1，
所以an+1−an=2an−an−1+1，
所以an+1−an+1=2[an−an−1+1]，
即an+1−an+1an−an−1+1=2.
因为a1=1，a2=4，
所以a2−a1+1=4，
所以数列{an+1−an+1}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知an+1−an+1=2n+1，
因为an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=(22+23+⋯+2n)−(n−1)+1
所以an=an+1−n−2，
所以Sn=(22+22+⋯+2n+1)−(1+2+⋯+n)−2n
=4(1−2n)1−2−n(n+1)2−2n，
故Sn=2n+2−n2+5n2−4．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为an+1−3an+2an−1=1，
所以an+1−an=2an−an−1+1，
所以an+1−an+1=2[an−an−1+1]，
即an+1−an+1an−an−1+1=2.
因为a1=1，a2=4，
所以a2−a1+1=4，
所以数列{an+1−an+1}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知an+1−an+1=2n+1，
因为an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=(22+23+⋯+2n)−(n−1)+1
所以an=an+1−n−2，
所以Sn=(22+22+⋯+2n+1)−(1+2+⋯+n)−2n
=4(1−2n)1−2−n(n+1)2−2n，
故Sn=2n+2−n2+5n2−4．
【答案】
解：(1)因为tan∠ACD=37，所以sin∠ACD=378，
所以△ACD的面积S=12⋅AC⋅CD⋅sin∠ACD=375(m2)．
(2)因为tan∠ACD=37，所以cs∠ACD=18，
所以AD2=1.62+22−2×1.6×2×18=5.76，则AD=2.4.
因为cs∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=34，
所以sin∠ADC=74.
又cs∠BDC=−74=−sin∠ADC，所以∠ADB=π2，
故AB=AD2+BD2=2.42+1.82=3m.
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
余弦定理
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为tan∠ACD=37，所以sin∠ACD=378，
所以△ACD的面积S=12⋅AC⋅CD⋅sin∠ACD=375(m2)．
(2)因为tan∠ACD=37，所以cs∠ACD=18，
所以AD2=1.62+22−2×1.6×2×18=5.76，则AD=2.4.
因为cs∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=34，
所以sin∠ADC=74.
又cs∠BDC=−74=−sin∠ADC，所以∠ADB=π2，
故AB=AD2+BD2=2.42+1.82=3m.
【答案】
(1)证明：过点F作HF//AD，HF∩PA=H，连接BH，如图，
因为HF//AD，
所以HFAD=PFPD．
因为PF:DF=BE:CE．
所以PFPD=BEBC，
所以HFAD=BEBC．
因为四边形ABCD是菱形，
所以BC//AD，且BC=AD，
所以HF//BE，且HF=BE，
所以四边形BEFH是平行四边形，
则EF//BH．
因为BH⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
所以EF//平面PAB．
(2)解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，以AD→，AP→的方向分别为y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
设AB=2，则B3,−1,0，C3,1,0，D0,2,0，P0,0,22，
从而BC→=0,2,0，PC→=3,1,−22，CD→=−3,1,0．
设平面PBC的法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅PC→=3x1+y1−22z1=0,n→⋅BC→=2y1=0,
令x1=22，得n→=22,0,3．
设平面PCD的法向量为m→=x2,y2,z2，
则m→⋅PC→=3x2+y2−22z2=0,m→⋅CD→=−3x2+y2=0,
令x2=2，得m→=2,23,6．
设二面角B−PC−D的夹角为θ，由图可知θ为钝角，
故csθ=−|cs|=−n→⋅m→|n→||m→|=−42+0+3211×22=−711．
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：过点F作HF//AD，HF∩PA=H，连接BH，如图，
因为HF//AD，
所以HFAD=PFPD．
因为PF:DF=BE:CE．
所以PFPD=BEBC，
所以HFAD=BEBC．
因为四边形ABCD是菱形，
所以BC//AD，且BC=AD，
所以HF//BE，且HF=BE，
所以四边形BEFH是平行四边形，
则EF//BH．
因为BH⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
所以EF//平面PAB．
(2)解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，以AD→，AP→的方向分别为y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
设AB=2，则B3,−1,0，C3,1,0，D0,2,0，P0,0,22，
从而BC→=0,2,0，PC→=3,1,−22，CD→=−3,1,0．
设平面PBC的法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅PC→=3x1+y1−22z1=0,n→⋅BC→=2y1=0,
令x1=22，得n→=22,0,3．
设平面PCD的法向量为m→=x2,y2,z2，
则m→⋅PC→=3x2+y2−22z2=0,m→⋅CD→=−3x2+y2=0,
令x2=2，得m→=2,23,6．
设二面角B−PC−D的夹角为θ，由图可知θ为钝角，
故csθ=−|cs|=−n→⋅m→|n→||m→|=−42+0+3211×22=−711．
【答案】
(1)证明：设点Px0,y0，
则x02a2+y02b2=1．
因为|PF|=x0−c2+y02=x0−c2+b2−b2a2x02
=a−cax0，
点P到直线x=a2c的距离d=a2c−x0，
所以 |PF|d=a−cax0a2c−x0=ca=e=12，
即P到F的距离与P到直线x=a2c的距离之比为定值12．
(2)解：因为c=1,e=12，
所以a=2,b=3，
即椭圆C的方程为x24+y23=1．
假设存在这样的一点Q，设Q0,t，直线l:y=kx+1，
联立方程组x24+y23=1，y=kx+1，
消去y得(3+4k2)x2+8kx−8=0，Δ=96(2k2+1)>0 .
设Mx1,y1,Nx2,y2，
则x1+x2=−8k3+4k2,x1x2=−83+4k2．
因为y轴平分∠MQN，
所以直线QM与QN的斜率互为相反数，
即kQM+kQN=kx1+1−tx1+kx2+1−tx2
=2kx1x2+1−tx1+x2x1x2=0，
所以2k⋅−83+4k2+1−t⋅−8k3+4k2
=−16k−8k1−t3+4k2=8kt−33+4k2=0．
因为−8k3−t=0与k无关，
所以t=3.
故在y轴上存在一点Q0,3，使得y轴始终平分∠MQN.
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
椭圆的应用
【解析】
1
1
【解答】
(1)证明：设点Px0,y0，
则x02a2+y02b2=1．
因为|PF|=x0−c2+y02=x0−c2+b2−b2a2x02
=a−cax0，
点P到直线x=a2c的距离d=a2c−x0，
所以 |PF|d=a−cax0a2c−x0=ca=e=12，
即P到F的距离与P到直线x=a2c的距离之比为定值12．
(2)解：因为c=1,e=12，
所以a=2,b=3，
即椭圆C的方程为x24+y23=1．
假设存在这样的一点Q，设Q0,t，直线l:y=kx+1，
联立方程组x24+y23=1，y=kx+1，
消去y得(3+4k2)x2+8kx−8=0，Δ=96(2k2+1)>0 .
设Mx1,y1,Nx2,y2，
则x1+x2=−8k3+4k2,x1x2=−83+4k2．
因为y轴平分∠MQN，
所以直线QM与QN的斜率互为相反数，
即kQM+kQN=kx1+1−tx1+kx2+1−tx2
=2kx1x2+1−tx1+x2x1x2=0，
所以2k⋅−83+4k2+1−t⋅−8k3+4k2
=−16k−8k1−t3+4k2=8kt−33+4k2=0．
因为−8k3−t=0与k无关，
所以t=3.
故在y轴上存在一点Q0,3，使得y轴始终平分∠MQN.
【答案】
解：(1)f(x)=(9+a)lnx−ax2+ax，x>0，
则f′(x)=9+ax−2ax+a=−2ax2+ax+9+ax，
若要函数f(x)有两个极值点，
则方程−2ax2+ax+9+a=0有两个不相等的正根，
则Δ=a2+8a(9+a)>0，a2a>0，−9+a2a>0，
解得−9即a的取值范围为(−9,−8)．
(2)设−2ax2+ax+9+a=0的两个正根分别为x1，x2，且x1可知当x=x2时有极小值f(x2)，
因为y=−2ax2+ax+9+a图象的对称轴为直线x=14，
所以0得a=92x22−x2−1，
f(x2)=(9+a)lnx2−ax22+ax2
=a(−x22+x2+lnx2)+9lnx2
=9⋅−x22+x2+lnx22x22−x2−1+9lnx2，
令ℎ(x2)=9⋅−x22+x2+lnx22x22−x2−1+9lnx2，
则ℎ′(x)=9⋅(−2x2+1+1x2)(2x22−x2−1)−(−x22+x2+lnx2)(4x2−1)(2x22−x2−1)2+9x2
=9⋅(x22−x2−lnx2)(4x2−1)(2x22−x2−1)2．
记z(x)=x2−x−lnx14有z′(x)=(2x+1)(x−1)x≤0对x∈14,1恒成立，
又z(1)=0，
故对x∈14,12，恒有z(x)>z(1)，即z(x)>0，
所以ℎ′(x2)>0对于14即ℎ(x2)在14,12上单调递增，
则ℎ14<ℎ(x2)<ℎ12，
又ℎ14=−32−ln4，ℎ12=−94，
所以f(x)极小值的取值范围是−32−ln4,−94．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)f(x)=(9+a)lnx−ax2+ax，x>0，
则f′(x)=9+ax−2ax+a=−2ax2+ax+9+ax，
若要函数f(x)有两个极值点，
则方程−2ax2+ax+9+a=0有两个不相等的正根，
则Δ=a2+8a(9+a)>0，a2a>0，−9+a2a>0，
解得−9即a的取值范围为(−9,−8)．
(2)设−2ax2+ax+9+a=0的两个正根分别为x1，x2，且x1可知当x=x2时有极小值f(x2)，
因为y=−2ax2+ax+9+a图象的对称轴为直线x=14，
所以0得a=92x22−x2−1，
f(x2)=(9+a)lnx2−ax22+ax2
=a(−x22+x2+lnx2)+9lnx2
=9⋅−x22+x2+lnx22x22−x2−1+9lnx2，
令ℎ(x2)=9⋅−x22+x2+lnx22x22−x2−1+9lnx2，
则ℎ′(x)=9⋅(−2x2+1+1x2)(2x22−x2−1)−(−x22+x2+lnx2)(4x2−1)(2x22−x2−1)2+9x2
=9⋅(x22−x2−lnx2)(4x2−1)(2x22−x2−1)2．
记z(x)=x2−x−lnx14有z′(x)=(2x+1)(x−1)x≤0对x∈14,1恒成立，
又z(1)=0，
故对x∈14,12，恒有z(x)>z(1)，即z(x)>0，
所以ℎ′(x2)>0对于14即ℎ(x2)在14,12上单调递增，
则ℎ14<ℎ(x2)<ℎ12，
又ℎ14=−32−ln4，ℎ12=−94，
所以f(x)极小值的取值范围是−32−ln4,−94．顾客所打分数
[25,40)
[40,55)
[55,70)
[70,85)
85,100
男性顾客人数
4
6
10
30
50
女性顾客人数
6
10
24
40
20
满意
不满意
男性顾客
女性顾客
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
男性顾客
80
20
女性顾客
60
40
满意
不满意
男性顾客
80
20
女性顾客
60
40
1. 若实数x，y满足x+i2+i=1+yi，则( )
A.x=1,y=2B.x=1,y=3C.x=3,y=1D.x=3,y=2
2. 已知集合M={x|x−1>0}，N={x|x2<10}，则M∩N=( )
A.{x|x>−10}B.{x|1
3. 已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是( )
A.2πB.4πC.8πD.12π
4. 已知抛物线C:y=mx2m>0上的点Aa,2到其准线的距离为4，则m=( )
A.14B.8C.18D.4
5. 已知平面α和两条不同的直线m，n，则“直线m，n与平面α所成角相等”是“m//n”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6. 2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0⋅lnMm计算火箭的最大速度vm/s，其中v0m/s是喷流相对速度，mkg是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为(lge≈0.434,lg2≈0.301)( )
A.4890m/sB.5790m/sC.6219m/sD.6825m/s
7. 已知函数fx=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值，且极小值为6，则m=( )
A.5B.3C.−2D.−2或5
8. 已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作与其中一条渐近线平行的直线与C交于点A，若△AF1F2为直角三角形，则双曲线C的离心率为( )
A.5B.3C.2D.2
二、多选题
在3x−1xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A.二项式系数和为64B.各项系数和为64
C.常数项为−135D.常数项为135
空气质量的指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数的值越小，表明空气质量越好．AQI指数不超过50，空气质量为“优”；AQI指数大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI指数大于100，空气质量为“污染”．下图是某市2020年空气质量指数（AQI）的月折线图．下列关于该市2020年空气质量的叙述中一定正确的是( )
A.全年的平均AQI指数对应的空气质量等级为优或良
B.每月都至少有一天空气质量为优
C.2月，8月，9月和12月均出现污染天气
D.空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份
已知圆M:x−3k2+y−4k−22=1+k2，则下列四个命题中正确的命题有( )
A.若圆M与y轴相切，则k=±24
B.圆M的圆心到原点的距离的最小值为65
C.若直线y=x平分圆M的周长，则k=2
D.圆M与圆x−3k2+y2=4k2可能外切
已知函数fx=2asinωxcsωx−2cs2ωx+1ω>0,a>0，若fx的最小正周期为π，且对任意的x∈R，fx≥fx0恒成立，下列说法正确的有( )
A.ω=2
B.若x0=−π6，则a=3
C.若fx0−π2=2，则a=3
D.若gx=fx−2|fx|在(x0−3π4,x0−θ) 上单调递减，则π2≤θ<3π4
三、填空题
已知向量a→=2,m，b→=1,−3，若2a→−b→⊥b→，则m=________．
已知函数fx是定义在R上的偶函数，且f0=2，f1=3．写出fx的一个解析式为________ .
桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为________元．
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，且AB⊥BC．若该三棱柱的外接球半径是2，则三棱锥C1−ABC体积的最大值为________ .
四、解答题
某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打分数均在25,100之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：
(1)求这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关 .
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，
已知Sn是数列an的前n项和，an+1−3an+2an−1=1，a1=1，a2=4.
(1)证明：数列an+1−an+1是等比数列；
(2)求Sn.
为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D(A，B，C，D四点共面），测得AC=1.6m，CD=2m，BD=1.8m，已知cs∠BDC=−74，tan∠ACD=37．
(1)求△ACD的面积；
(2)求A，B两点间的距离．
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘．点E，F分别在棱BC，PD上（不包含端点），且PF:DF=BE:CE．
(1)证明：EF//平面PAB；
(2)若PA=2AB，求二面角B−PC−D的余弦值．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，离心率e=12.
(1)若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x=a2c的距离之比为定值，并求出该定值；
(2)设c=1，过定点0,c且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
已知函数fx=9+alnx−ax2+ax有两个极值点．
(1)求a的取值范围；
(2)求fx极小值的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高三(下)4月期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数相等的充要条件
复数代数形式的乘除运算
【解析】
【解答】
解：因为x+i2+i=2x−1+2+xi=1+yi，
所以2x−1=1,2+x=y，
解得x=1,y=3 .
故选B.
2.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
求出N中方程的解确定出N，找出M与N的交集即可．
【解答】
解：因为M={x|x>1}，N={x|−10
3.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
设该圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r，则ℎ=2r,2πr=4π，从而r=1,ℎ=2，故该圆柱的体积是πr2ℎ=2π .
【解答】
解：设该圆柱的高为ℎ，底面圆的半径为r，则ℎ=2r，2πrℎ=4π，
解得r=1，ℎ=2，
故该圆柱的体积是πr2ℎ=2π .
故选A .
4.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
因为点Aa,2到C的准线的距离为4，所以14m+2=4，得m=18 .
【解答】
解：因为点Aa,2到C的准线的距离为4，所以14m+2=4，
解得m=18 .
故选C.
5.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若直线m，n与平面α所成角相等，
则m//n或m，n相交或m，n异面；
若m//n，则直线m，n与平面α所成角相等，
故“直线m，n与平面α所成角相等”是"m//n的必要不充分条件．
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
对数及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：v=v0lnMm=1000×ln500
=1000×lg500lge
=1000×3−lg2lge≈6219m/s.
故选C .
7.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′x=6x2+6mx+2n，
因为fx在x=1处有极小值，且极小值为6，
所以f′(1)=0，f1=6,
即6+6m+2n=0,2+3m+2n+m2=6，
解得m=5,n=−18，或m=−2，n=3,
当m=5,n=−18时，
f′x=6x2+30x−36=x+66x−6，
则fx在−∞,−6和1,+∞上单调递增，
在−6,1上单调递减，
所以fx在x=1处有极小值6；
当m=−2，n=3时，
f′x=6x2−12x+6=6x−12≥0，
则fx在R上单调递增，fx无极值，
综上所述，m=5．
故选A .
8.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
无
【解答】
解：如图，设|AF2|=m，|AF1|=n，
由题意可得m−n=2a,mn=ba,m2+n2=4c2,
解得b=2a，
则e=c2a2=1+b2a2=5．
故选A．
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
二项式定理的应用
【解析】
【解答】
解：在3x−1xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，
令x=1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，
则2×2n=128，
得n=6，
所以二项式系数和为26=64，A正确；
各项系数和为26=64，B正确；
3x−1x6展开式的通项为：
Tk+1=C6k⋅(3x)6−k⋅−1xk=C6k⋅(−1)k36−k⋅x6−32k ，
令6−32k=0，
得k=4，
所以展开式中的常数项为T5=C64⋅(−1)4⋅32=135 ，C错误；D正确.
故选ABD.
【答案】
A,B,C
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，每月的平均AQI指数都不超过100，故全年的平均AQI指数也不超过100，对应的空气质量为优或良，故选项A正确；
B，每月的AQI指数最小值均不超过50．故每月都至少有一天空气质量为优，选项B正确；
C，2月，8月，9月和12月的AQI指数最大值均大于100，故至少有一天出现了污染天气，故选项C正确；
D，2月，8月，9月，12月中空气质量为“污染”的天数不确定，故选项D不一定正确．
故选ABC．
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
直线与圆的位置关系
直线和圆的方程的应用
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若圆M与y轴相切，则|3k|=1+k2，
解得k=±24，所以A为真命题；
因为3k2+4k+22=25k2+16k+4≥3625，
所以|OM|≥65，所以B为真命题；
若直线y=x平分圆M的周长，则3k=4k+2，
即k=−2，所以C为假命题；
若圆M与圆x−3k2+y2=4k2外切，
则|4k+2|=1+k2+4k2，
设函数fk=|4k+2|−1+k2−4k2，
因为f0=1>0，f−1=−2<0，
所以fk在−1,0内必有零点，
则方程|4k+2|=1+k2+4k2有解，所以D为真命题．
故选ABD.
【答案】
B,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
函数恒成立问题
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的最值
正弦函数的定义域和值域
【解析】
【解答】
解：因为fx=2asinωxcsωx−2cs2ωx+1
=asin2ωx−cs2ωx=a2+1sin2ωx−φ，其中tanφ=1a，
因为fx的最小正周期为π，所以ω=1，故A错误；
因为对任意的x∈R，fx≥fx0恒成立，
所以fx0是fx的最小值．
若x0=−π6，则2×−π6−φ=−π2+2kπk∈Z，
解得φ=π6−2kπk∈Z .
所以csφ=aa2+1=32，a=3，故B正确；
因为fx0是fx的最小值，所以f(x0−π2)为最大值，
所以a2+1=2，所以a=3，故C正确；
因为当x∈x0−3π4,x0−π2时，fx>0，
所以gx=−fx，
因为fx在x0−3π4,x0−π2上单调递增，
所以gx在x0−3π4,x0−π2上单调递减．
当x∈x0−π2,x0−π4时，fx>0，所以gx=−fx，
因为fx在x0−π2,x0−π4上单调递减，
所以gx在x0−π2,x0−π4上单调递增，
所以x0−3π4
三、填空题
【答案】
−1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得2a→−b→=3,2m+3．
因为2a→−b→⊥b→，
所以2a→−b→⋅b→=3−32m+3=0，
解得m=−1 .
故答案为：−1.
【答案】
fx=x2+2
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
【解答】
解：若fx=x2+2，
定义域是R，f−x=fx，所以函数是偶函数，
且f0=2，
f1=1+2=3．
故答案为：fx=x2+2．
【答案】
210
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
无
【解答】
解：由题可知，甲同学所需支付的门票费的期望值为
1C42×(230+290+290+190+130+130)=210元．
故答案为：210．
【答案】
32327
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
【解析】
【解答】
解：如图，由题意可知三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的直径为AC1，
则AC1=4，
即AB2+BC2+C1C2=AC12=16，
从而2AB2+C1C2=16，
三棱锥P−C1−ABC的体积为：
V=13S△ABC⋅CC1
=13×12AB2⋅CC1
=−112CC13+43CC1，
设fx=−112x3+43x0
故fx≤f433=32327.
故答案为：32327.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题可知，这200位顾客所打分数的平均值为10×652+16×952+34×1252+70×1552+70×1852200=75.55，
故这200位顾客所打分数的平均值为75.55．
(2)根据所给数据，可得2×2列联表：
根据列联表得K2=200×(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524．
因为9.524>6.635，
所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题可知，这200位顾客所打分数的平均值为10×652+16×952+34×1252+70×1552+70×1852200=75.55，
故这200位顾客所打分数的平均值为75.55．
(2)根据所给数据，可得2×2列联表：
根据列联表得K2=200×(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524．
因为9.524>6.635，
所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关．
【答案】
(1)证明：因为an+1−3an+2an−1=1，
所以an+1−an=2an−an−1+1，
所以an+1−an+1=2[an−an−1+1]，
即an+1−an+1an−an−1+1=2.
因为a1=1，a2=4，
所以a2−a1+1=4，
所以数列{an+1−an+1}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知an+1−an+1=2n+1，
因为an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=(22+23+⋯+2n)−(n−1)+1
所以an=an+1−n−2，
所以Sn=(22+22+⋯+2n+1)−(1+2+⋯+n)−2n
=4(1−2n)1−2−n(n+1)2−2n，
故Sn=2n+2−n2+5n2−4．
【考点】
数列递推式
等比数列的通项公式
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为an+1−3an+2an−1=1，
所以an+1−an=2an−an−1+1，
所以an+1−an+1=2[an−an−1+1]，
即an+1−an+1an−an−1+1=2.
因为a1=1，a2=4，
所以a2−a1+1=4，
所以数列{an+1−an+1}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知an+1−an+1=2n+1，
因为an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=(22+23+⋯+2n)−(n−1)+1
所以an=an+1−n−2，
所以Sn=(22+22+⋯+2n+1)−(1+2+⋯+n)−2n
=4(1−2n)1−2−n(n+1)2−2n，
故Sn=2n+2−n2+5n2−4．
【答案】
解：(1)因为tan∠ACD=37，所以sin∠ACD=378，
所以△ACD的面积S=12⋅AC⋅CD⋅sin∠ACD=375(m2)．
(2)因为tan∠ACD=37，所以cs∠ACD=18，
所以AD2=1.62+22−2×1.6×2×18=5.76，则AD=2.4.
因为cs∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=34，
所以sin∠ADC=74.
又cs∠BDC=−74=−sin∠ADC，所以∠ADB=π2，
故AB=AD2+BD2=2.42+1.82=3m.
【考点】
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
余弦定理
诱导公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为tan∠ACD=37，所以sin∠ACD=378，
所以△ACD的面积S=12⋅AC⋅CD⋅sin∠ACD=375(m2)．
(2)因为tan∠ACD=37，所以cs∠ACD=18，
所以AD2=1.62+22−2×1.6×2×18=5.76，则AD=2.4.
因为cs∠ADC=AD2+CD2−AC22AD⋅CD=34，
所以sin∠ADC=74.
又cs∠BDC=−74=−sin∠ADC，所以∠ADB=π2，
故AB=AD2+BD2=2.42+1.82=3m.
【答案】
(1)证明：过点F作HF//AD，HF∩PA=H，连接BH，如图，
因为HF//AD，
所以HFAD=PFPD．
因为PF:DF=BE:CE．
所以PFPD=BEBC，
所以HFAD=BEBC．
因为四边形ABCD是菱形，
所以BC//AD，且BC=AD，
所以HF//BE，且HF=BE，
所以四边形BEFH是平行四边形，
则EF//BH．
因为BH⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
所以EF//平面PAB．
(2)解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，以AD→，AP→的方向分别为y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
设AB=2，则B3,−1,0，C3,1,0，D0,2,0，P0,0,22，
从而BC→=0,2,0，PC→=3,1,−22，CD→=−3,1,0．
设平面PBC的法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅PC→=3x1+y1−22z1=0,n→⋅BC→=2y1=0,
令x1=22，得n→=22,0,3．
设平面PCD的法向量为m→=x2,y2,z2，
则m→⋅PC→=3x2+y2−22z2=0,m→⋅CD→=−3x2+y2=0,
令x2=2，得m→=2,23,6．
设二面角B−PC−D的夹角为θ，由图可知θ为钝角，
故csθ=−|cs
【考点】
直线与平面平行的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：过点F作HF//AD，HF∩PA=H，连接BH，如图，
因为HF//AD，
所以HFAD=PFPD．
因为PF:DF=BE:CE．
所以PFPD=BEBC，
所以HFAD=BEBC．
因为四边形ABCD是菱形，
所以BC//AD，且BC=AD，
所以HF//BE，且HF=BE，
所以四边形BEFH是平行四边形，
则EF//BH．
因为BH⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，
所以EF//平面PAB．
(2)解：以A为原点，过A作垂直AD的直线为x轴，以AD→，AP→的方向分别为y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
设AB=2，则B3,−1,0，C3,1,0，D0,2,0，P0,0,22，
从而BC→=0,2,0，PC→=3,1,−22，CD→=−3,1,0．
设平面PBC的法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅PC→=3x1+y1−22z1=0,n→⋅BC→=2y1=0,
令x1=22，得n→=22,0,3．
设平面PCD的法向量为m→=x2,y2,z2，
则m→⋅PC→=3x2+y2−22z2=0,m→⋅CD→=−3x2+y2=0,
令x2=2，得m→=2,23,6．
设二面角B−PC−D的夹角为θ，由图可知θ为钝角，
故csθ=−|cs
【答案】
(1)证明：设点Px0,y0，
则x02a2+y02b2=1．
因为|PF|=x0−c2+y02=x0−c2+b2−b2a2x02
=a−cax0，
点P到直线x=a2c的距离d=a2c−x0，
所以 |PF|d=a−cax0a2c−x0=ca=e=12，
即P到F的距离与P到直线x=a2c的距离之比为定值12．
(2)解：因为c=1,e=12，
所以a=2,b=3，
即椭圆C的方程为x24+y23=1．
假设存在这样的一点Q，设Q0,t，直线l:y=kx+1，
联立方程组x24+y23=1，y=kx+1，
消去y得(3+4k2)x2+8kx−8=0，Δ=96(2k2+1)>0 .
设Mx1,y1,Nx2,y2，
则x1+x2=−8k3+4k2,x1x2=−83+4k2．
因为y轴平分∠MQN，
所以直线QM与QN的斜率互为相反数，
即kQM+kQN=kx1+1−tx1+kx2+1−tx2
=2kx1x2+1−tx1+x2x1x2=0，
所以2k⋅−83+4k2+1−t⋅−8k3+4k2
=−16k−8k1−t3+4k2=8kt−33+4k2=0．
因为−8k3−t=0与k无关，
所以t=3.
故在y轴上存在一点Q0,3，使得y轴始终平分∠MQN.
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
椭圆的应用
【解析】
1
1
【解答】
(1)证明：设点Px0,y0，
则x02a2+y02b2=1．
因为|PF|=x0−c2+y02=x0−c2+b2−b2a2x02
=a−cax0，
点P到直线x=a2c的距离d=a2c−x0，
所以 |PF|d=a−cax0a2c−x0=ca=e=12，
即P到F的距离与P到直线x=a2c的距离之比为定值12．
(2)解：因为c=1,e=12，
所以a=2,b=3，
即椭圆C的方程为x24+y23=1．
假设存在这样的一点Q，设Q0,t，直线l:y=kx+1，
联立方程组x24+y23=1，y=kx+1，
消去y得(3+4k2)x2+8kx−8=0，Δ=96(2k2+1)>0 .
设Mx1,y1,Nx2,y2，
则x1+x2=−8k3+4k2,x1x2=−83+4k2．
因为y轴平分∠MQN，
所以直线QM与QN的斜率互为相反数，
即kQM+kQN=kx1+1−tx1+kx2+1−tx2
=2kx1x2+1−tx1+x2x1x2=0，
所以2k⋅−83+4k2+1−t⋅−8k3+4k2
=−16k−8k1−t3+4k2=8kt−33+4k2=0．
因为−8k3−t=0与k无关，
所以t=3.
故在y轴上存在一点Q0,3，使得y轴始终平分∠MQN.
【答案】
解：(1)f(x)=(9+a)lnx−ax2+ax，x>0，
则f′(x)=9+ax−2ax+a=−2ax2+ax+9+ax，
若要函数f(x)有两个极值点，
则方程−2ax2+ax+9+a=0有两个不相等的正根，
则Δ=a2+8a(9+a)>0，a2a>0，−9+a2a>0，
解得−9
(2)设−2ax2+ax+9+a=0的两个正根分别为x1，x2，且x1
因为y=−2ax2+ax+9+a图象的对称轴为直线x=14，
所以0
f(x2)=(9+a)lnx2−ax22+ax2
=a(−x22+x2+lnx2)+9lnx2
=9⋅−x22+x2+lnx22x22−x2−1+9lnx2，
令ℎ(x2)=9⋅−x22+x2+lnx22x22−x2−1+9lnx2，
则ℎ′(x)=9⋅(−2x2+1+1x2)(2x22−x2−1)−(−x22+x2+lnx2)(4x2−1)(2x22−x2−1)2+9x2
=9⋅(x22−x2−lnx2)(4x2−1)(2x22−x2−1)2．
记z(x)=x2−x−lnx14
又z(1)=0，
故对x∈14,12，恒有z(x)>z(1)，即z(x)>0，
所以ℎ′(x2)>0对于14
则ℎ14<ℎ(x2)<ℎ12，
又ℎ14=−32−ln4，ℎ12=−94，
所以f(x)极小值的取值范围是−32−ln4,−94．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)f(x)=(9+a)lnx−ax2+ax，x>0，
则f′(x)=9+ax−2ax+a=−2ax2+ax+9+ax，
若要函数f(x)有两个极值点，
则方程−2ax2+ax+9+a=0有两个不相等的正根，
则Δ=a2+8a(9+a)>0，a2a>0，−9+a2a>0，
解得−9
(2)设−2ax2+ax+9+a=0的两个正根分别为x1，x2，且x1
因为y=−2ax2+ax+9+a图象的对称轴为直线x=14，
所以0
f(x2)=(9+a)lnx2−ax22+ax2
=a(−x22+x2+lnx2)+9lnx2
=9⋅−x22+x2+lnx22x22−x2−1+9lnx2，
令ℎ(x2)=9⋅−x22+x2+lnx22x22−x2−1+9lnx2，
则ℎ′(x)=9⋅(−2x2+1+1x2)(2x22−x2−1)−(−x22+x2+lnx2)(4x2−1)(2x22−x2−1)2+9x2
=9⋅(x22−x2−lnx2)(4x2−1)(2x22−x2−1)2．
记z(x)=x2−x−lnx14
又z(1)=0，
故对x∈14,12，恒有z(x)>z(1)，即z(x)>0，
所以ℎ′(x2)>0对于14
则ℎ14<ℎ(x2)<ℎ12，
又ℎ14=−32−ln4，ℎ12=−94，
所以f(x)极小值的取值范围是−32−ln4,−94．顾客所打分数
[25,40)
[40,55)
[55,70)
[70,85)
85,100
男性顾客人数
4
6
10
30
50
女性顾客人数
6
10
24
40
20
满意
不满意
男性顾客
女性顾客
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
满意
不满意
男性顾客
80
20
女性顾客
60
40
满意
不满意
男性顾客
80
20
女性顾客
60
40
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