2020-2021学年湖北省十堰市高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知z3−4i=5i，则z¯=（ ）
A.−45+35iB.45+35iC.−45−35iD.45−35i

2. 已知x+25=a0+a1x+1+a2x+12+⋯+a5x+15，则a0=（ ）
A.−1B.0C.1D.32

3. 已知函数fx=x2+1x，则y=fx在2,4上的平均变化率为（ ）
A.478B.498C.474D.494

4. 从4种不同的颜色中选出一些颜色给如图所示的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，记事件A为“相邻的2个格子颜色不同”，事件B为“3个格子的颜色均不相同”，则PB|A=（ ）

A.13B.23C.14D.12

5. 从分别写有1，2，3的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，连续抽取4次，则恰好有3次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为（ ）
A.481B.827C.881D.3281

6. 某服装专卖店的某款上衣的月销量X服从正态分布X∼N120,36，若PX≤k=0.9772，则k=（ ）
（参考数据：Pμ−σA.126B.132C.156D.192

7. 6个人从左到右排成一排，若甲不站最左端，且甲、乙、丙3人相邻，则不同的站法共有（ ）
A.180种B.144种C.136种D.132种

8. 已知a=1e，b=ln22，c=ln1+a−a，则（ ）
A.a
9. 如图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程y=b1x+a1，相关系数为r1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：y=b2x+a2，相关系数为r2．则( )

A.r1=r2B.r1r2 D.r1,r2∈−1,0
二、多选题

下列求导运算正确的有（ ）
A.csπ7′=−sinπ7B.xlnx′=lnx+1
C.x+1ex′=−xexD.13x3−x+1′=x2−1

用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（ ）
A.这样的六位数共有720个
B.在这样的六位数中，偶数共有240个
C.在这样的六位数中，4，6不相邻的共有144个
D.在这样的六位数中，4个奇数按数位从高到低、按大小从小到大排序的共有30个

已知定义在0,π上的函数fx的导函数是f′x，且∀x∈0,π，fxcsx−f′xsinx>0，则（ ）
A.3fπ2<2fπ3B.fπ4C.fπ12>f11π12D.22fπ4>fπ2
三、填空题

请写出一个复数z=________，使之同时具有如下性质：①|z|=2，②z在复平面中所对应的点位于第四象限．

已知x2−2xn展开式的二项式系数之和为32，则n= ________，x2−2xn展开式中x7的系数是________．

已知x=1是函数fx=x3−mx2+m2−6x−1的一个极值点，则m=________．

已知三次函数fx=a3x3+b2x2+cx+da四、解答题

已知函数fx=f′0ex+x2−f0−1x．
(1)求函数fx的解析式；

(2)若函数gx=fx−mx在1,2上单调递增，求m的取值范围．

某超市在开业期间举行开业有奖促销，抽奖规则如下：已知活动袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，共6个球，从袋中一次性任取3个球，恰好三种颜色的球各取到1个则获奖，否则不获奖．
(1)已知甲参加抽奖活动，求甲获奖的概率；

(2)若有3个人参与这个游戏，求至少有1人获奖的概率．

已知函数fx=xlnx−3x2−kx−2．
(1)若k=0，求fx的图象在点1,f1处的切线方程；

(2)若fx≤0，求k的取值范围．

某公司引进了三台生产性能完全相同的新设备生产某种产品，销售部根据每台设备的每月生产能力及当月每件产品的纯收入（一台设备当月生产的每件产品的纯收入相等）做了调查，得如下表格：

(1)设一台设备一个月生产产品的纯收入为X元，求X的分布列及数学期望；

(2)若三台设备相互独立，求该公司一个月生产该产品所获得的总纯收入超过48000元的概率．

“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务，传播普及健康常识、卫生知识，助力健康生活．
(1)为了解“强国医生”的使用次数多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者得到如下数据：
根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；

(2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据：
通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=a⋅bx的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数．
附：随机变量χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.
其中zi=lgyi.
参考公式：
对于一组数据x1,y1，x2,y2，…，xn,yn，其回归直线y=c+dx的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为d=i=1nxiyi−nxy¯i=1nxi2−nx¯2，c=y¯−dx¯.

已知函数fx=x3−ax2．
(1)讨论fx的单调性；

(2)若函数gx=ffx在−1,2上恰有3个零点，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
无
【解答】
解：z=5i3−4i=i3+4i5=−45+35i，
故z¯=−45−35i．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
无
【解答】
解：令x=−1，则(−1+2)5=a0+a1(−1+1)+a2(−1+1)2+⋯+a5(−1+1)5=a0=1．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：ΔyΔx=f(4)−f(2)2=16+14−4−122=478．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：PAB=PB=4×3×24×4×4=38，
PA=4×3×34×4×4=916，
所以PB|A=PABPA=23．
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：每次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为23，
则恰好有3次抽到的卡片上的数字为奇数的概率为C43×233×13=3281．
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为μ=120，σ=6，PX≤μ+2σ=0.95442+0.5=0.9772，所以k=μ+2σ=132．
故选B．
7.
【答案】
D
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若甲站在乙、丙的左侧，则不同的站法有A22C31A33=36种；
若乙、丙2人中有人站在甲的左侧，则不同的站法有C21A22A44=96种．
故总的站法有132种．
故选D．
8.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：令fx=ln1+x−x，x>0，
则f′x=11+x−1=−x1+x<0，
所以fx则ln1+a−a<0．
令gx=lnxx，x>0，
则g′x=1−lnxx2，
则g2则a>b>0，
所以c故选D．
9.
【答案】
D
【考点】
相关系数的求法
线性相关关系的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据相关变量x,y的散点图知，
变量x,y具有负线性相关关系，
且点(10,21)是离群值；
方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成负相关；
方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是负相关；
所以相关系数−1故选D.
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
导数的运算
简单复合函数的导数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：csπ7′=0，xlnx′=lnx+1，
x+1ex′=−xex，13x3−x+1′=x2−1．
故选BCD．
【答案】
A,B,D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
排列、组合的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：这样的六位数共有A66=720个，A正确；
偶数共有C21A55=240个，B正确；
4，6不相邻的共有A44A52=480个；
4个奇数按数位从高到低、从小到大排序的共有A66A44=30个，D正确．
故选ABD．
【答案】
A,C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：构造函数gx=fxsinx，则g′x=f′xsinx−fxcsxsin2x．
因为fxcsx−f′xsinx>0，所以gx是减函数，
故gπ2gπ4>g3π4，即fπ4>f3π4，B不正确；
gπ12>g11π12，因为sinπ12=sin11π12，所以fπ12>f11π12，C正确；
gπ4>gπ2，即2fπ4>fπ2，但是fπ4，fπ2的符号不确定，
故22fπ4与fπ2的大小不确定，D不正确．
故选AC．
三、填空题
【答案】
3−i（答案不唯一）
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设z=a+bi，则a2+b2=4，且a>0，b<0．答案不唯一，写出一个即可，例如z=3−i．
故答案为：3−i．
【答案】
5,−80
【考点】
二项式系数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知2n=32，解得n=5．
x2−2xn展开式的通项公式为Tr+1=C5rx10−2r−2xr=−2rC5rx10−r，
故x7的系数为−23C53=−80．
故答案为：5；−80．
【答案】
−1
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为fx=x3−mx2+m2−6x−1，所以f′x=3x2−2mx+m2−6．
又x=1是fx的一个极值点，所以f′1=m2−2m−3=0，解得m=3或m=−1．
当m=3时，f′x=3x2−6x+3≥0，则fx无极值．
当m=−1时，f′x=3x2+2x−5=3x+5x−1，x=1是fx的极小值点．
故答案为：−1．
【答案】
3+23
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得f′x=ax2+bx+c≥0在R上恒成立，则a>0，Δ=b2−4ac≤0，
所以a+b+4cb−a=a2+ab+4acab−a2≥a2+ab+b2ab−a2=1+ba+ba2ba−1，
设t=ba>1，则a+b+4cb−a≥1+t+t2t−1．
设gx=x2+x+1x−1x>1，g′x=x2−2x−2x−12x>1．
由g′x=x2−2x−2x−12=0，解得x=1+3x>1，
易得当x=1+3时，gxmin=3+23．
故a+b+4cb−a的最小值为3+23．
故答案为：3+23．
四、解答题
【答案】
解：(1)f′x=f′0ex+2x−f0+1，
令x=0，解得f0=1，
则fx=f′0ex+x2，
令x=0，得f0=f′0=1，
所以fx=ex+x2．
(2)因为gx=ex+x2−mx在1,2上单调递增，
所以g′x≥0在1,2上恒成立，
即g′x=ex+2x−m≥0在1,2上恒成立，
所以m≤ex+2x在1,2上恒成立．
又因为函数y=ex+2x在1,2上单调递增，
所以m≤e+2，
所以m的取值范围为−∞,e+2．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
导数的运算
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)f′x=f′0ex+2x−f0+1，
令x=0，解得f0=1，
则fx=f′0ex+x2，
令x=0，得f0=f′0=1，
所以fx=ex+x2．
(2)因为gx=ex+x2−mx在1,2上单调递增，
所以g′x≥0在1,2上恒成立，
即g′x=ex+2x−m≥0在1,2上恒成立，
所以m≤ex+2x在1,2上恒成立．
又因为函数y=ex+2x在1,2上单调递增，
所以m≤e+2，
所以m的取值范围为−∞,e+2．
【答案】
解：(1)设甲中奖为事件A，则事件A包含的基本事件个数为C213=8，
所有的基本事件共有C63=20个，
所以中奖概率PA=820=25．
(2)有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X，则X∼B3,25，
PX=0=C32×1−253×250=27125，
所以至少有1人获奖的概率为1−27125=98125．
【考点】
古典概型及其概率计算公式
等可能事件的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设甲中奖为事件A，则事件A包含的基本事件个数为C213=8，
所有的基本事件共有C63=20个，
所以中奖概率PA=820=25．
(2)有3个人参与这个游戏，设中奖人数为X，则X∼B3,25，
PX=0=C32×1−253×250=27125，
所以至少有1人获奖的概率为1−27125=98125．
【答案】
解：(1)因为k=0，所以fx=xlnx−3x2−2，
则f′x=lnx+1−6x，
所以f1=−5，f′1=−5，
故fx的图象在点1,f1处的切线方程为y−−5=−5x−1，
即y=−5x（或5x+y=0） ．
(2)因为x>0，所以fx≤0等价于k≥lnx−3x−2x．
令函数gx=lnx−3x−2x，
则g′x=1x−3+2x2=−3x2+x+2x2=−3x+2x−1x2．
当x∈0,1时，g′x>0，gx单调递增；
当x∈1,+∞时，g′x<0，gx单调递减．
gxmax=g1=−5，所以k≥−5．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为k=0，所以fx=xlnx−3x2−2，
则f′x=lnx+1−6x，
所以f1=−5，f′1=−5，
故fx的图象在点1,f1处的切线方程为y−−5=−5x−1，
即y=−5x（或5x+y=0） ．
(2)因为x>0，所以fx≤0等价于k≥lnx−3x−2x．
令函数gx=lnx−3x−2x，
则g′x=1x−3+2x2=−3x2+x+2x2=−3x+2x−1x2．
当x∈0,1时，g′x>0，gx单调递增；
当x∈1,+∞时，g′x<0，gx单调递减．
gxmax=g1=−5，所以k≥−5．
【答案】
解：(1)由题意可知，X可能的取值为13500，18000，24000，
则PX=13500=0.4×0.25=0.1，
PX=18000=0.4×0.75+0.6×0.25=0.45，
PX=24000=0.6×0.75=0.45，
所以X的分布列为
故E(X)=13500×0.1+180000×0.45+24000×0.45=20250．
(2)因为13500×3<48000，13500×2+18000<48000，13500+18000×2>48000，
所以总纯收入不超过48000元只有两种情况，一种是每台月纯收入均为13500元，另一种是有两台月纯收入为13500元，另一台月纯收入为18000元，
故所求概率P=1−0.13+C32×0.12×0.45=0.9855．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
概率的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可知，X可能的取值为13500，18000，24000，
则PX=13500=0.4×0.25=0.1，
PX=18000=0.4×0.75+0.6×0.25=0.45，
PX=24000=0.6×0.75=0.45，
所以X的分布列为
故E(X)=13500×0.1+180000×0.45+24000×0.45=20250．
(2)因为13500×3<48000，13500×2+18000<48000，13500+18000×2>48000，
所以总纯收入不超过48000元只有两种情况，一种是每台月纯收入均为13500元，另一种是有两台月纯收入为13500元，另一台月纯收入为18000元，
故所求概率P=1−0.13+C32×0.12×0.45=0.9855．
【答案】
解：(1)补充表格如下：
χ2=20040×30−80×50290×110×120×80=4900297≈16.498>10.828，
所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关.
(2)将y=a⋅bx两边同时取对数得lgy=lga⋅bx=lga+lgbx=lga+xlgb，
设z=lgy，则z=lga+xlgb.
因为i=17xi2=12+22+⋯+72=140，x¯=1+2+⋯+77=4,
所以lgb=i=17xizi−nx¯z¯i=17xi2−7x¯2=51.8−7×4×1.6140−7×42=0.25，
lga=1.6−0.25×4=0.6.
所以b=100.25，a=100.6，
所以y关于x的回归方程为y=100.6×100.25x=3.98×100.25x,
把x=12代入回归方程，得y=3.98×103=3980，
所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人．
【考点】
独立性检验
求解线性回归方程
【解析】


【解答】
解：(1)补充表格如下：
χ2=20040×30−80×50290×110×120×80=4900297≈16.498>10.828，
所以有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关.
(2)将y=a⋅bx两边同时取对数得lgy=lga⋅bx=lga+lgbx=lga+xlgb，
设z=lgy，则z=lga+xlgb.
因为i=17xi2=12+22+⋯+72=140，x¯=1+2+⋯+77=4,
所以lgb=i=17xizi−nx¯z¯i=17xi2−7x¯2=51.8−7×4×1.6140−7×42=0.25，
lga=1.6−0.25×4=0.6.
所以b=100.25，a=100.6，
所以y关于x的回归方程为y=100.6×100.25x=3.98×100.25x,
把x=12代入回归方程，得y=3.98×103=3980，
所以“强国医生”上线第12天，使用该服务的女性约有3980人．
【答案】
解：(1)f′(x)=3x2−2ax=x(3x−2a)，
令f′(x)=0，得x1=0，x2=2a3，
当a=0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,0)，(2a3,+∞)上单调递增，在(0,2a3)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(−∞,2a3)，(0,+∞)上单调递增，在(2a3,0)上单调递减．
(2) 当时a=0，f(x)=x3，g(x)=x3在[−1,2]上只有1个零点．
当a≠0时，f(x)=x3−ax2的零点为0和a，
由g(x)=f(f(x))=0，得f(x)=0或a，
故方程f(x)=0有两根，分别为0和a，
方程f(x)=a在[−1,2]上恰有1根，且这个根异于0和a，
由f(x)=a，得a=x2x2+1，
设函数ℎ(x)=x3x2+1，x∈[−1,2]，则ℎ′(x)=x4+3x2(x2+1)2≥0，
则ℎ(x)在[−1,2]上单调递增，从而ℎ(x)∈[−12,85]，
又a≠a3a2+1，得a≠0，所以a的取值范围是[−12,0)∪(0,85]．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】


【解答】
解：(1)f′(x)=3x2−2ax=x(3x−2a)，
令f′(x)=0，得x1=0，x2=2a3，
当a=0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,0)，(2a3,+∞)上单调递增，在(0,2a3)上单调递减；
当a<0时，f(x)在(−∞,2a3)，(0,+∞)上单调递增，在(2a3,0)上单调递减．
(2) 当时a=0，f(x)=x3，g(x)=x3在[−1,2]上只有1个零点．
当a≠0时，f(x)=x3−ax2的零点为0和a，
由g(x)=f(f(x))=0，得f(x)=0或a，
故方程f(x)=0有两根，分别为0和a，
方程f(x)=a在[−1,2]上恰有1根，且这个根异于0和a，
由f(x)=a，得a=x2x2+1，
设函数ℎ(x)=x3x2+1，x∈[−1,2]，则ℎ′(x)=x4+3x2(x2+1)2≥0，
则ℎ(x)在[−1,2]上单调递增，从而ℎ(x)∈[−12,85]，
又a≠a3a2+1，得a≠0，所以a的取值范围是[−12,0)∪(0,85]．产量（件）
300
400
概率
0.25
0.75
纯收入(元/件)
45
60
概率
0.4
0.6
男
女
总计
使用次数多
40
使用次数少
30
总计
90
200
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
100
195
Pχ2≥k0
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
y¯
z¯
i=17xizi
i=17xiyi
100.6
61.9
1.6
51.8
2522
3.98
X
13500
18000
24000
P
0.1
0.45
0.45
X
13500
18000
24000
P
0.1
0.45
0.45
男
女
总计
使用次数多
40
80
120
使用次数少
50
30
80
总计
90
110
200
男
女
总计
使用次数多
40
80
120
使用次数少
50
30
80
总计
90
110
200