2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）12月周测数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）12月周测数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知α和β表示两个不重合的平面，a和b表示两条不重合的直线，则平面α//平面β的一个充分条件是（ ）
A.a//b，a//α且b//βB.a⊂α，b⊂α且a//β，b//β
C.a→⊥b→，a//α且b⊥βD.a//b，a⊥α且b⊥β

2. 设直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和θ1，θ2，则“k1>k2”是“θ1>θ2”的（ ）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3. 如图圆锥的高 SO=3 ，底面直径 AB=2， C是圆O上一点，且 AC=1，则 SA 与BC所成角的余弦值为（ ）

A.34B.33C.14D.13

4. O为坐标原点，F为抛物线C:y2=4x的焦点，P为C 上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（ ）
A.2B.3C.2D.3

5. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40∘，则晷针与点A处的水平面所成角为( )

A.20∘B.40∘C.50∘D.90∘

6. 已知圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=2 ，点P在直线y=x+3上，线段AB为圆C的直径，则PA→⋅PB→的最小值为( )
A.2B.52C.3D.72

7. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )
A.63B.33C.23D.13

8. 设A，B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120∘，则m的取值范围是( )
A.0, 1∪9, +∞B.0, 3∪9, +∞C.0, 1∪4, +∞D.0, 3∪4, +∞
二、多选题

已知曲线C:mx2+ny2=1( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±−mnx
D.若m=0，n>0，则C是两条直线

下列命题中正确的是( )
A.∃x∈0,+∞，2x>3xB.∃x∈0,1，lg2xC.∀x∈0,+∞， 12x>lg12xD.∀x∈0,13， 12x
已知椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，且短轴长为2，离心率为63，过焦点F1作y轴的垂线，交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A.椭圆方程为y23+x2=1B.椭圆方程为x23+y2=1
C.|PQ|=233D.△PF2Q的周长为43

已知点P在双曲线C:x216−y29=1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有( )
A.点P到x轴的距离为203B.|PF1|+|PF2|=503
C.△PF1F2为钝角三角形D.∠F1PF2=π3
三、填空题

学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD−A1B1C1D1，挖去四棱锥O−EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm2，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.


已知命题p:x2m−1+y2m−4=1表示双曲线，命题q:x2m−2+y24−m=1表示椭圆．若命题p与命题q都为真命题，则p是q的________条件？（请填写：“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的一个）

如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是________．


设F1，F2为椭圆C：x236+y220=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________.
四、解答题

求解下列两问题．
(1)设p:函数y=lnx，x∈1e2,e3的值域，q∶函数y=−x2−a−2x+2aa+2（其中a>0）的定义域，若p是q的必要不充分条件，则求实数a的取值范围；

(2)若命题“∃x∈R，x2−2mx+m+6≤0”的否定是真命题，则求整数m的值．

如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD， △ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO.

(1)证明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B−PC−E的余弦值．

已知一动圆与圆C1:(x+3)2+y2=9外切，且与圆C2:(x−3)2+y2=1内切．
(1)求动圆圆心P的轨迹方程C；

(2)过点Q(4, 1)能否作一条直线l与C交于A，B两点，且点Q是线段AB的中点，若存在，求出直线l方程；若不存在，说明理由．

近年来，武汉经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目．无论是市内的快速交通网，还是辐射全国的高铁网，武汉的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查武汉市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1000 名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a=4b．

(1)求a，b 的值；

(2)求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；

(3)若按照分层抽样从[50, 60)，[60, 70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50, 60)的概率．

在△ABC中，DE分别为AB，AC的中点，AB=2BC=2CD，如图1，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，如图2.

(1)证明：平面BCP⊥平面CEP；

(2)若平面DEP⊥平面BCED，求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(2，0)， 且其中一个焦点的坐标为(1，0).
(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线l:x=my+1(m∈R)与椭圆交于两点A，B，在x轴上是否存在点M，使得MA→⋅MB→为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）12月周测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
平面与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，B，C选项中平面α和平面β均有可能相交；
D中由a//b，a⊥α可得b⊥α，又b⊥β，所以α//β．
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据直线倾斜角和斜率之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【解答】
解：直线l1，l2的斜率和倾斜角分别为k1，k2和θ1，θ2，
当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“k1>k2”则“θ1与θ2”的大小不能确定，若“θ1>θ2”则“k1与k2”的大小也不能确定，
故则“k1>k2”是“θ1>θ2”的既不充分也不必要条件.
故选D.
3.
【答案】
A
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
由空间向量的数量积运算及两空间向量所成的夹角得：建立空间直角坐标系，即可求SA与BC所成角的余弦值
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系得：
A(0,−1,0)，B(0,1,0)，S(0,0,3)，C32,−12,0，
设SA→，BC→的夹角为θ，
又SA→=(0,−1,−3)，BC→=32,−32,0，
则csθ=SA→⋅BC→|SA→||BC→|=34，
即SA与BC所成角的余弦值为34.
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
抛物线的求解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=−1，焦点F(1, 0).
又P为C上一点，|PF|=4，
∴ xP=3，
代入抛物线方程得：|yP|=23，
∴ S△POF=12×|OF|×|yP|=3．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
解三角形的实际应用
【解析】
先根据题目给定条件抽象出函数模型，然后利用空间线面位置关系求出线面角.
【解答】
解：画出截面图如图所示，
其中CD是赤道所在平面的截线，
l是点A处的水平面的截线，依题意可知OA⊥l，
AB是晷针所在直线，m是晷面的截线.
依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知m//CD，根据线面垂直的定义可得AB⊥m.
由于∠AOC=40∘,m//CD，
所以∠OAG=∠AOC=40∘.
由于∠OAG+∠GAE=∠BAE+∠GAE=90∘，
所以∠BAE=∠OAG=40∘，也即晷针与点A处的水平面所成角为∠BAE=40∘.
故选B．
6.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：PA→⋅PB→=(PC→+CA→)⋅(PC→+CB→)
=(PC→+CA→)⋅(PC→−CA→)
=|PC→|2−|CA→|2=|PC→|2−2≥(32)2−2=52.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离2aba2+b2=a，化简即可得出．
【解答】
解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，
∴ 原点到直线的距离2aba2+b2=a，化为：a2=3b2．
∴ 椭圆C的离心率e=ca=1−b2a2=63．
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
椭圆的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：假设长轴在x轴上，如图(1)所示．
设Mx0,y0y0≠0，
则kMA⋅kMB=y0x0+3⋅y0x0−3=y02x02−3①，
又因为x023+y02m=1，
所以y02=m1−x023②
将②代入①，得kMA⋅kMB=−m3．
令∠MAB=α，∠MBA=β，
则tanα>0，tanβ<0，tanα⋅tanβ=kMA⋅−kMB=m3．
因为tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ≥2tanα⋅tanβ1−tanα⋅tanβ=23m3−m，
当且仅当α=β时，即M在y轴上时，上述等式成立．
所以M为短轴端点时，tan(α+β)最小，
此时α+β最小，即∠AMB=π−(α+β)最大．
因此，C上存在点M满足∠AMB=120∘，
只需∠AMB最大值大于等于120∘，如图(2)，
只需tan∠AMO≥tan60∘=3，
即OAOM=3m≥3，得m≤1，即0同理，当长轴在y轴上时可得m≥9．
故选A．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
双曲线的渐近线
椭圆的标准方程
圆的标准方程
【解析】
根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可.
【解答】
解：A，若m>n>0 ，则1m<1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
B，若m=n>0，则方程为x2+y2=1n，表示半径为1n的圆，故B错误；
C，根据求双曲线渐近线的方法，可以得双曲线的渐近线方程mx2+ny2=0，
又因为mn<0，
所以渐近线方程为y=±−mnx，故C正确；
D，当m=0，n>0时，则方程为y=±1n表示两条直线，故D正确.
故选ACD．
【答案】
B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
对数函数的单调性与特殊点
指数式、对数式的综合比较
指数函数的单调性与特殊点
【解析】
无
【解答】
解：对于A，当x>0时， 2x3x=23x<1，
即∀x∈0,+∞，2x<3x恒成立，故选项A错误；
对于B，∵ lg2xlg3x=lgxlg2×lg3lgx=lg3lg2>1，
∴ lg2x对于C，当x=12时，1212<(12)0=1=lg1212，
则当x=12时，lg12x>12x，故选项C错误；
对于D，当x=13时，lg1313=1，
当x=0时，(12)0=1，
则根据对数函数与指数函数的单调性可知，
当x∈0,13时，12x<1故选BD．
【答案】
A,C,D
【考点】
椭圆的应用
椭圆的定义
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得， 2b=2，b=1 ,ca=63.
又a2=b2+c2 ，
解得 a2=3 ，
∴ 椭圆方程为 x2+y23=1，故A正确，B错误；
如图：
∴ |PQ|=2b2a=23=233，故C正确；
△PF2O的周长为4a=43，故D正确.
故选ACD.
【答案】
B,C
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的定义
余弦定理
斜率的计算公式
【解析】
根据双曲线的图象和性质，结合三角形的面积求出P的坐标，分别进行计算判断即可．
【解答】
解：由双曲线方程，得a=4，b=3，
则c=5.
由S△PF1F2=20，
即12×2c×|yP|=12×10|yP|=20，
解得|yP|=4，
即点P到x轴的距离为4，故A选项错误；
将|yP|=4代入双曲线方程，得|xP|=203，
根据对称性不妨设P(203, 4)，
则|PF2|=(203−5)2+42=133，
由双曲线的定义知|PF1|−|PF2|=2a=8，
则|PF1|=8+133=373，
则|PF1|+|PF2|=133+373=503，故B选项正确；
在△PF1F2中，|PF1|=373>2c=10>|PF2|=133，
则kPF2=4−0203−5=125>0，
则△PF1F2为钝角三角形，故C选项正确；
cs∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|
=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1||PF2|−1002|PF1||PF2|
=64−100+2×133×3732×133×373
=1−362×13×379=1−18×913×37≠12，故D选项错误.
故选BC.
三、填空题
【答案】
118.8
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：模型的体积为长方体的体积减去四棱锥的体积，
正方体的体积为：6×6×4=144cm3，
四棱锥的体积为：13×6×4×12×3=12cm3.
模型的体积为：144−12=132cm3.
模型的质量为：132×0.9=118.8g.
故答案为：118.8.
【答案】
必要不充分
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
复合命题及其真假判断
【解析】

【解答】
解：∵ 命题p:x2m−1+y2m−4=1表示双曲线是真命题，
∴ (m−1)(m−4)<0，
解得1又∵ 命题q:x2m−2+y24−m=1表示椭圆是真命题，
∴ m−2>0,4−m>0,m−2≠4−m,
解得2∵ {m|1∴ p是q的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
【答案】
32
【考点】
球的表面积和体积
柱体、锥体、台体的体积计算
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
【解答】
解：设球的半径为R，则球的体积为：43πR3，
圆柱的体积为：πR2⋅2R=2πR3．
则V1V2=2πR343πR3=32．
故答案为：32．
【答案】
(3，15)
【考点】
椭圆的应用
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为M在椭圆上，设M横坐标为t，则M(t,180−5t29)；
又因为△MF1F2为等腰三角形且M在第一象限，
则MF1=F1F2，
由题意得F1F2=8.
(t+4)2+(180−5t29)2=64，
解得t=3或t=−21(舍去).
当t=3时，M的坐标为(3，15).
故答案为：(3，15).
四、解答题
【答案】
解：(1)x∈1e2,e3时， lnx∈−2,3，命题p对应集合是A=−2,3，
由−x2−a−2x+2aa+2≥0解得−2a≤x≤a+2，即命题q对应集合是−2a,a+2，
∵ p是q的必要不充分条件，
∴ −2a≥−2,a+2≤3,解得a≤1，
a=1时，B=−2,3=A，不合题意，
又a>0，
∴ 0(2)命题“∃x∈R，x2−2mx+m+6≤0”的否定是“∀x∈R，x2−2mx+m+6>0”，
它是真命题，则Δ=4m2−4m+6<0，解得−2【考点】
函数的定义域及其求法
对数函数的值域与最值
根据充分必要条件求参数取值问题
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)x∈1e2,e3时， lnx∈−2,3，命题p对应集合是A=−2,3，
由−x2−a−2x+2aa+2≥0解得−2a≤x≤a+2，即命题q对应集合是−2a,a+2，
∵ p是q的必要不充分条件，
∴ −2a≥−2,a+2≤3,解得a≤1，
a=1时，B=−2,3=A，不合题意，
又a>0，
∴ 0(2)命题“∃x∈R，x2−2mx+m+6≤0”的否定是“∀x∈R，x2−2mx+m+6>0”，
它是真命题，则Δ=4m2−4m+6<0，解得−2【答案】
(1)证明：不妨设⊙O半径为1，
则OA=OB=OC=1，AE=AD=2，
AB=BC=AC=3，
DO=DA2−OA2=3， PO=66DO=22，
PA=PB=PC=PO2+AO2=62，
在△PAC中，PA2+PC2=AC2，
故PA⊥PC.
同理可得PA⊥PB.
又PB∩PC=P，
∴ PA⊥平面PBC.
(2)解：建立如图所示坐标系O−xyz，
则有B(32,12,0)，C(−32,12,0) ，P0,0,22，E0,1,0.
故BC→=−3,0,0 ，CE→=32,12,0 ，
CP→=32,−12,22.
设平面PBC的法向量为n1→=(x,y,z)，
由CP→⋅n1→=0，BC→⋅n1→=0，
得：32x−12y+22z=0，−3x=0，
令z=1，
得n1→=(0,2,1)，
同理可求得平面PCE的法向量为n2→=2,−6,−23.
故csθ=|n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→||=255，
故二面角B−PC−E的余弦值为255.
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
直线与平面垂直的判定
【解析】
(1)先由已知条件和勾股定理逆定理易得PA⊥PC，PA⊥PB，然后根据线面垂直的判定定理进而得证；
(2)建立合适的空间直角坐标系，求出平面PBC及平面PCE的法向量，利用向量的夹角公式即可得解.
【解答】
(1)证明：不妨设⊙O半径为1，
则OA=OB=OC=1，AE=AD=2，
AB=BC=AC=3，
DO=DA2−OA2=3， PO=66DO=22，
PA=PB=PC=PO2+AO2=62，
在△PAC中，PA2+PC2=AC2，
故PA⊥PC.
同理可得PA⊥PB.
又PB∩PC=P，
∴ PA⊥平面PBC.
(2)解：建立如图所示坐标系O−xyz，
则有B(32,12,0)，C(−32,12,0) ，P0,0,22，E0,1,0.
故BC→=−3,0,0 ，CE→=32,12,0 ，
CP→=32,−12,22.
设平面PBC的法向量为n1→=(x,y,z)，
由CP→⋅n1→=0，BC→⋅n1→=0，
得：32x−12y+22z=0，−3x=0，
令z=1，
得n1→=(0,2,1)，
同理可求得平面PCE的法向量为n2→=2,−6,−23.
故csθ=|n1→⋅n2→|n1→|⋅|n2→||=255，
故二面角B−PC−E的余弦值为255.
【答案】
解：(1)设动圆圆心P(x, y)，半径为r，
根据题意得：|PC1|=r+3,|PC2|=r−1,
所以|PC1|−|PC2|=4，
则动圆圆心P轨迹为双曲线（右支），
a=2，c=3，b=5，
其方程为x24−y25=1(x≥2).
(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由题意x1≠x2，
x124−y125=1①，
x224−y225=1②，
得x12−x224−y12−y225=0，
(x1+x2)(x1−x2)4−(y1+y2)(y1−y2)5=0，
(x1+x2)4−(y1+y2)5⋅y1−y2x1−x2=0，
12⋅x1+x22−25⋅y1+y22⋅y1−y2x1−x2=0，
12⋅4−25⋅1⋅kAB=0，
所以kAB=5，
所以存在这样的直线，且l:5x−y−19=0．
【考点】
轨迹方程
直线与双曲线结合的最值问题
【解析】
（1）直接利用条件列出关系式，结合双曲线的定义，求出圆心P的轨迹方程；
（2）利用点差法，就可求出斜率，然后写出直线方程．
【解答】
解：(1)设动圆圆心P(x, y)，半径为r，
根据题意得：|PC1|=r+3,|PC2|=r−1,
所以|PC1|−|PC2|=4，
则动圆圆心P轨迹为双曲线（右支），
a=2，c=3，b=5，
其方程为x24−y25=1(x≥2).
(2)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由题意x1≠x2，
x124−y125=1①，
x224−y225=1②，
得x12−x224−y12−y225=0，
(x1+x2)(x1−x2)4−(y1+y2)(y1−y2)5=0，
(x1+x2)4−(y1+y2)5⋅y1−y2x1−x2=0，
12⋅x1+x22−25⋅y1+y22⋅y1−y2x1−x2=0，
12⋅4−25⋅1⋅kAB=0，
所以kAB=5，
所以存在这样的直线，且l:5x−y−19=0．
【答案】
解：(1)(b+0.008+a+0.027+0.035)×10=1，
其中a=4b，解得：a=0.024，b=0.006.
(2)随机抽取了1000名市民进行调查，则估计被调查的市民的满意程度的
平均数：55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27
+95×0.06=74.9，
众数：75，
中位数：70+0.5−0.08−≈75.14.
(3)依题意，知分数在[50,60）的市民抽取了2人，记为a，b，分数在[60,70）的市民抽取了6人，记为
1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：
a,b,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,
b,1,b,2,b,3,b,4,(b,5),b,6，
1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,
2,3,2,4,2,5,2,6,
3,4,3,5,3,6,4,5,(4,6),5,6共28种，其中满足条件的为
a,b,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,
b,1,b,2,b,3,b,4,(b,5),b,6共13种，
设“至少有1人的分数在[50,60）”的事件为A，则PA=1328.
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
(Ⅰ)根据题目频率分布直方图频率之和为1，已知其中a＝4b，可得答案．
(Ⅱ)利用矩形的面积等于频率为0.5可估算中位数所在的区间．利用估算中位数定义，矩形最高组估算纵数可得答案；
(Ⅲ)利用古典概型的定义找出概率的分子分母求概率即可．
【解答】
解：(1)(b+0.008+a+0.027+0.035)×10=1，
其中a=4b，解得：a=0.024，b=0.006.
(2)随机抽取了1000名市民进行调查，则估计被调查的市民的满意程度的
平均数：55×0.08+65×0.24+75×0.35+85×0.27
+95×0.06=74.9，
众数：75，
中位数：70+0.5−0.08−≈75.14.
(3)依题意，知分数在[50,60）的市民抽取了2人，记为a，b，分数在[60,70）的市民抽取了6人，记为
1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：
a,b,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,
b,1,b,2,b,3,b,4,(b,5),b,6，
1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,
2,3,2,4,2,5,2,6,
3,4,3,5,3,6,4,5,(4,6),5,6共28种，其中满足条件的为
a,b,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,
b,1,b,2,b,3,b,4,(b,5),b,6共13种，
设“至少有1人的分数在[50,60）”的事件为A，则PA=1328.
【答案】
(1)证明：在题图1中，因为AB=2BC=2CD，且D为AB的中点，
由平面几何知识，得∠ACB=90∘.
又因为E为AC的中点，
所以DE//BC.
在题图2中，CE⊥DE，PE⊥DE，CE∩PE=E，
所以DE⊥平面CEP，
所以BC⊥平面CEP.
又因为BC⊂平面BCP，
所以平面BCP⊥平面CEP．
(2)解：因为平面DEP⊥平面BCED，平面DEP∩平面BCED=DE，
EP⊂ 平面DEP，EP⊥DE，
所以EP⊥平面BCED.
又因为CE⊂平面BCED，
所以EP⊥CE.
以E为坐标原点，分别以 ED→,EC→,EP→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
在题图1中，设BC=2a，
则AB=4a，AC=23a，AE=CE=3a，DE=a，
则P(0,0,3a)，D(a,0,0)，C(0,3a,0)，B(2a,3a,0).
所以DP→=(−a,0,3a)，BC→=(−2a,0,0)，CP→=(0,−3a,3a).
设n→=(x,y,z) 为平面BCP的法向量，
则n→⋅BC→=0，n→⋅CP→=0，即 −2ax=0，−3ay+3a=0，
令y=1，则z=1，
所以n→=(0,1,1).
设DP与平面BCP所成的角为θ,
则sinθ=|cs|=|n→⋅DP→||n→||DP→|=3a2×2a=64，
所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：在题图1中，因为AB=2BC=2CD，且D为AB的中点，
由平面几何知识，得∠ACB=90∘.
又因为E为AC的中点，
所以DE//BC.
在题图2中，CE⊥DE，PE⊥DE，CE∩PE=E，
所以DE⊥平面CEP，
所以BC⊥平面CEP.
又因为BC⊂平面BCP，
所以平面BCP⊥平面CEP．
(2)解：因为平面DEP⊥平面BCED，平面DEP∩平面BCED=DE，
EP⊂ 平面DEP，EP⊥DE，
所以EP⊥平面BCED.
又因为CE⊂平面BCED，
所以EP⊥CE.
以E为坐标原点，分别以 ED→,EC→,EP→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
在题图1中，设BC=2a，
则AB=4a，AC=23a，AE=CE=3a，DE=a，
则P(0,0,3a)，D(a,0,0)，C(0,3a,0)，B(2a,3a,0).
所以DP→=(−a,0,3a)，BC→=(−2a,0,0)，CP→=(0,−3a,3a).
设n→=(x,y,z) 为平面BCP的法向量，
则n→⋅BC→=0，n→⋅CP→=0，即 −2ax=0，−3ay+3a=0，
令y=1，则z=1，
所以n→=(0,1,1).
设DP与平面BCP所成的角为θ,
则sinθ=|cs|=|n→⋅DP→||n→||DP→|=3a2×2a=64，
所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.
【答案】
解：(1)由已知得a=2，c=1，
∴b=3，
则E的方程式为x24+y23=1.
(2)假设存在点M(x0，0)，使得MA→⋅MB→为定值，
联立x24+y23=1，x=my+1，得(3m2+4)y2+6my−9=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2=−6m3m2+4，y1⋅y2=−93m2+4，
MA→=(x1−x0，y1)，MB→=(x2−x0，y2)，
∴ MA→⋅MB→=(x1−x0)⋅(x2−x0)+y1⋅y2
=(m2+1)y1⋅y2+(1−x0)m(y1+y2)+(1−x0)2
=(m2+1)(−93m2+4)+(1−x0)m(−6m3m2+4)+(1−x0)2
=(6x0−15)m2−93m2+4+(1−x0)2.
要使上式为定值，即与m无关，应有6x0−153=−94，
解得x0=118，此时MA→⋅MB→=−13564.
∴ 存在点M(118，0)使得MA→⋅MB→=−13564为定值.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得a=2，c=1，
∴b=3，
则E的方程式为x24+y23=1.
(2)假设存在点M(x0，0)，使得MA→⋅MB→为定值
联立x24+y23=1，x=my+1，得(3m2+4)y2+6my−9=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2=−6m3m2+4，y1⋅y2=−93m2+4，
MA→=(x1−x0，y1)，MB→=(x2−x0，y2)，
∴ MA→⋅MB→=(x1−x0)⋅(x2−x0)+y1⋅y2
=(m2+1)y1⋅y2+(1−x0)m(y1+y2)+(1−x0)2
=(m2+1)(−93m2+4)+(1−x0)m(−6m3m2+4)+(1−x0)2
=(6x0−15)m2−93m2+4+(1−x0)2.
要使上式为定值，即与m无关，应有6x0−153=−94，
解得x0=118，此时MA→⋅MB→=−13564.
∴ 存在点M(118，0)使得MA→⋅MB→=−13564为定值.