2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）期末调研考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）期末调研考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知命题p:∀n∈N，n3+1>3n，则p的否定是( )
A.∃n∈N,n3+1>3nB.∃n∈N,n3+1≤3n
C.∀n∈N,n3+1≤3nD.∀n∈N,n3+1<3n

2. 若直线l1:3x−b+2y+2=0与l2:4b+4x+9y−18b=0垂直，则l2的方程的截距式为（ ）
A.x2+y4=1B.x4+y3=1C.x3+y4=1D.x3+y2=1

3. 若圆x−12+y−12=5关于直线y=kx+2对称，则k=( )
A.2B.−2C.1D.−1

4. 已知a，b都是实数，则“lg3a>lg3b”是“a23>b23”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 下表为随机数表的一部分：
08015 17727 45318 22374 21115 78253
77214 77402 43236 00210 45521 64237
已知甲班有60位同学，编号为00∼59号，规定：利用上面的随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第8位同学的编号是（ ）
A.11B.15C.25D.37

6. 直线3x+4y+1=0被圆x2+y2−x+y=0所截得的弦长为( )
A.710B.57C.75D.145

7. 如图，在四面体OABC中，G是△ABC的重心，D是OG的中点，则( )

A.OD→=13OA→+16OB→+16OC→
B.OD→=16OA→+16OB→+16OC→
C.OD→=12OA→+13OB→+13OC→
D.OD→=13OA→+13OB→+13OC→

8. 已知曲线C上任意一点P到定点F1,0的距离比点P到直线x=−2的距离小1，M，N是曲线C上不同的两点，若|MF|+|NF|=6，则线段MN的中点Q到y轴的距离为（ ）
A.5B.4C.3D.2
二、多选题

下列说法中正确的有（ ）
A.直线l：mx+4y+4=0恒过点0,−1
B.若平面α，β的法向量分别为n1→=0,1,3,n2→=1,3,−1，则α//β
C.已知F1,F2分别是椭圆3x2+2y2=1的两个焦点，过点F1的直线与该椭圆交于A，B两点，则△ABF2的周长为22
D.已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为2−1

某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法错误的是（ ）

A.总体中对平台一满意的消费人数约为36
B.样本中对平台二满意的消费人数为300
C.若样本中对平台三满意的消费人数为120，则m=50%
D.样本中对平台一和平台二满意的消费总人数为54

已知圆C:x+52+y+122=36和点A−2,0,B2,0．若点P在圆C上，|PA|2+|PB|2=λ，则λ的取值不可能为( )
A.105B.110C.725D.735

已知F1,F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，|F1F2|=2b2a，点P为双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF 1=S△IPF 2+λ−1S△IF 1 F 2 成立，则下列说法正确的有（ ）
A.△PF1F2可能为等腰三角形B.双曲线的离心率e=1+52
C.当PF2⊥x轴时，∠PF1F2=45∘D.λ=5+12
三、填空题

已知直线x+my+m−3=0与直线mx+y−1=0平行，则m=________.

若某单位拟从五位应届大学毕业生A，B，C，D，E中录用两人，这五人被录用的机会均等，则A或E被录用的概率m=________.

若命题“∃x>0，x2+ax+9≤0”是真命题，则a的取值范围是________.

已知三棱锥P−ABC的每个顶点都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且2PB=PA=PC，若球O的表面积为36π，则球心O到平面ABC的距离为________.
四、解答题

在①被x轴，y轴所截得的弦长均为46，且圆C的圆心位于第四象限，②与直线4x−3y+18=0相切于点B−3,2，③过点B−2,−5，且圆心在直线x+y=0上这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．问题：已知圆C过点A−2,3，________，求圆C的方程．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知集合A=x|x2−3ax+2a2≤0，集合B=x|x2−x−2≤0，p:x∈A，q:x∈B.
(1)当a=1时，则p是q的什么条件？

(2)若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

某蛋糕店推出新品蛋糕，为了解价格对新品蛋糕销售的影响，该蛋糕店对这种新品蛋糕进行了5天的试销，每种售价试销1天，得到如下数据：

(1)求销量y关于售价x的回归直线方程；

(2)预计在今后的销售中，销量与售价服从(1)中的回归直线方程，已知该新品蛋糕的成本是每个11元，求该新品蛋糕一天的利润的最大值及对应的售价．
参考公式： b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯.

某购物网站为优化营销策略，从某天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的网购者中随机抽取100人进行调查，根据调查数据，按消费金额分成[0,200)，[200,400)，[400,600)，[600,800)，[800,1000]五组，得到的频率分布直方图如图所示．已知样本中网购者的平均消费金额是568元（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）．

(1)求频率分布直方图中的x,y的值；

(2)若从消费金额少于400元的网购者中采用分层抽样法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人的消费金额都在[200,400)内的概率．

如图，在底面为平行四边形的四棱锥A−BCDE中，AE⊥AD，AE:EB:BC=1:2:2，∠AED=∠CDE，AC=DC，点O为DE的中点．

(1)证明：CO⊥平面ADE；

(2)求平面ABE与平面AOC所成锐二面角的余弦值．

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1，F2，点A22,1在椭圆C上，且AF1⊥AF2.
(1)求椭圆C的标准方程.

(2)点H在圆x2+y2=b2上，且H在第一象限，过点H作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，PQ不经过F2，证明：△F2PQ的周长为定值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（上）期末调研考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
全称命题的否定
【解析】
根据全称命题的否定是特称命题，即可求出.
【解答】
解：命题p：∀n∈N,n3+1>3n的否定是：∃n∈N，n3+1≤3n.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
无
【解答】
解：因为l1与l2垂直，所以34b+4−9b+2=0，
解得b=2，
则l2的方程为12x+9y−36=0，即x3+y4=1．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
关于点、直线对称的圆的方程
直线与圆的位置关系
【解析】

【解答】
解：圆x−12+y−12=5关于直线y=kx+2对称，
所以圆心1,1在直线y=kx+2上，
解得，k=1−2=−1．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据对数函数的图象和性质，可由lg3a>lg3b得到a>b>0，结合指数函数的单调性可得“2a>2b”成立；反之当“2a>2b”时，可得a>b，此时lg3a与lg3b可能无意义，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】
解：∵ 函数y=lg3x在(0, +∞)上单调递增，
∴ 当“lg3a>lg3b”时，a>b>0，此时“a23>b23”成立；
当“a23>b23”时，a>b，a，b可能小于0，
此时lg3a与lg3b不一定有意义，故“lg3a>lg3b”不一定成立；
综上，“lg3a>lg3b”是“a23>b23”的充分而不必要条件.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
简单随机抽样
【解析】
【解答】
解：从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，读取的有效编号为15，17，53，18，22，37，42，11.
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：圆x2+y2−x+y=0的圆心坐标为12,−12，半径r=22，
则圆心到直线的距离为：
d=|3×12+4×−12+1|32+42=110，
即弦长为2r2−d2=75.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：记点E为BC的中点，连接AE，
所以OE→=12OB→+OC→.
又因为G是△ABC的重心，
所以AG=23AE，
所以AG→=23AE→=23OE→−OA→，
因为OD=12OG，
所以OD→=12OG→=12OA→+AG→
=12OA→+13OE→−OA→
=16OA→+13OE→
=16OA→+16OB→+OC→
=16OA→+16OB→+16OC→.
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
抛物线的定义
抛物线的标准方程
中点坐标公式
【解析】
由抛物线的定义可得曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=−1为准线的抛物线
【解答】
解：曲线C上任意一点P到定点F1,0的距离比点P到直线x=−2的距离小1，即曲线C上任意一点P到定点F1,0的距离与点P到直线x=−1的距离相等，则曲线C为抛物线，
设曲线C的方程为y2=2px，
p2=1，解得p=2，
所以y2=4x.
MF+NF=xM+p2+xN+p2
=xM+xN+2=6，
解得xM+xN=4,
所以xQ=xM+xN2=2.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
直线恒过定点
椭圆的离心率
平面向量共线（平行）的坐标表示
椭圆中的平面几何问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直线l：mx+4y+4=0，当x=0时y=−1，
故直线l恒过点0,−1，A正确：
法向量n1→与n2→不平行，所以α//β不成立，B错误；
椭圆的标准方程为x213+y212=1，该椭圆的焦点在y轴，其长半轴长为a=22，
所以，△ABF2的周长为4a=22，C正确；
设正方形ABCD的边长为2c，
则|BD|=2|AB|=22c，
设椭圆的长轴长为2a，
则2a=|AD|+|BD|=2c+22c=21+2c，
所以该椭圆的离心率e=ca=12+1=2−1，D正确．
故选ACD.
【答案】
A,B,C
【考点】
分层抽样方法
扇形统计图
用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】
无
【解答】
解：A，样本中对平台一满意的人数为2000×6%×30%=36，故A错误；
B，总体中对平台二满意的人数约为1500×20%=300，故B错误；
C，对平台三的满意率为1202500×6%=80%，所以m=80%，故C错误；
D，样本中对平台一和平台二满意的总人数为
2000×6%×30%+1500×6%×20%=36+18=54，故D正确．
故选ABC．
【答案】
A,D
【考点】
圆的标准方程
两点间的距离公式
点与圆的位置关系
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
无
【解答】
解：设Px,y，由|PA|2+|PB|2=λ，
可得x2+y2=λ−82，即此时点P在圆M：x2+y2=λ−82上．
又因为点P在圆C上，故圆C与圆M有公共点，
故得到λ−82−6≤52+122≤λ−82+6，
解得7≤λ−82≤19，即106≤λ≤730．
故选AD．
【答案】
A,B,D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的定义
双曲线的应用
双曲线的离心率
【解析】
无
【解答】
解：根据题意画出图形：
A，因为P在双曲线右支上，那么若△PF1F2是等腰三角形，可能F1F2=PF2或F1F2=PF1，所以A正确；
B，因为|F1F2|=2b2a，所以2c=2b2a=2c2−2a2a，整理得e2−e−1=0，因为e>1，所以e=1+52，所以B正确；
C，当PF2⊥x轴时，|PF2|=b2a=c=12|F1F2|，此时tan∠PF1F2=12，所以C错误；
D，设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|−|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
S△IPF1=12|PF1|⋅r，S△IPF2=12|PF2|⋅r，S△IF1F2=12⋅2cr=cr，
因为S△IPF1=S△IPF2+λ−1S△IF1F2，
所以12|PF1|⋅r=12|PF2|⋅r+λ−1cr，
解得λ=|PF1|−|PF2|2c+1=ac+1=11+52+1=5+12，所以D正确．
故选ABD．
三、填空题
【答案】
−1或1
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
无
【解答】
解：∵ 两直线平行，m1=1m≠−1m−3，
可得m=−1或m=1．
故答案为：−1或1．
【答案】
710
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
无
【解答】
解：从A，B，C，D，E中任取两人有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种情形，
A或E被录用的有AB，AC，AD，AE，BE，CE，DE，共7种，所以m=710．
故答案为：710．
【答案】
(−∞,−6]
【考点】
全称命题与特称命题
一元二次不等式的解法
【解析】

【解答】
解：由x2+ax+9≤0，得a≤−x2+9x.
因为x>0，所以−x2+9x=−x+9x≤−6（当且仅当x=3时等号成立），
故a≤−6.
故答案为：(−∞,−6].
【答案】
63
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
点、线、面间的距离计算
【解析】
无
【解答】
解：因为在三棱锥中PA，PB，PC两两互相垂直，所以可把该三棱锥看作一个长方体的一部分，此长方体内接于球O，长方体的体对角线为球的直径，球心O为长方体对角线的中点．
设球O的半径为R，S球=4πR2=36π，
解得R=3．
设PB=x，
则x2+2x2×22=3，解得x=2．
建立如图所示的空间直角坐标系M−xyz，
则O2,2,1，A4,0,0，C(0,4,0)，P(4,4,0)，B(4,4,2)，
设平面ABC的法向量为n→=x,y,z，
则n→⋅AB→=4y+2z=0,n→⋅AC→=−4x+4y=0,
令x=1，得n→=1,1,−2．
设球心O到平面ABC的距离为d，则d=|OA→⋅n→||n→|=63．
故答案为：63．
四、解答题
【答案】
解：选①：
设圆C：x−a2+y−b2=r2a>0,b<0，
由题意可知 −2−a2+3−b2=r2，|a|=|b|，a2+24=r2,
解得 a=1,b=−1,r=5，
因此，圆C的方程为x−12+y+12=25.
选②：
由题意知圆心必在过切点B−3,2且垂直切线4x−3y+18=0的直线上，
可求得此直线方程为3x+4y+1=0．
直线AB的斜率kAB=3−2−2+3=1，
线段AB中点的坐标为−52,52，
则线段AB的垂直平分线方程为y−52=−x+52，即y=−x.
可知圆心必在线段AB的垂直平分线y=−x上，
联立y=−x,3x+4y+1=0，
可求得圆心C1,−1，
则r=|BC|=−3−12+2+12=5，
因此，圆C的方程为x−12+y+12=25.
选③：
由题意知圆心必在AB的垂直平分线上，
所以AB的垂直平分线方程为y=−1．
将直线y+1=0与直线x+y=0联立，
可得圆心坐标C1,−1 ，
r=|BC|=−2−12+−5+12=5，
因此，圆C的方程为x−12+y+12=25.
【考点】
圆的标准方程
圆的切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：选①：
设圆C：x−a2+y−b2=r2a>0,b<0，
由题意可知 −2−a2+3−b2=r2，|a|=|b|，a2+24=r2,
解得 a=1,b=−1,r=5，
因此，圆C的方程为x−12+y+12=25.
选②：
由题意知圆心必在过切点B−3,2且垂直切线4x−3y+18=0的直线上，
可求得此直线方程为3x+4y+1=0．
直线AB的斜率kAB=3−2−2+3=1，
线段AB中点的坐标为−52,52，
则线段AB的垂直平分线方程为y−52=−x+52，即y=−x.
可知圆心必在线段AB的垂直平分线y=−x上，
联立y=−x,3x+4y+1=0，
可求得圆心C1,−1，
则r=|BC|=−3−12+2+12=5，
因此，圆C的方程为x−12+y+12=25.
选③：
由题意知圆心必在AB的垂直平分线上，
所以AB的垂直平分线方程为y=−1．
将直线y+1=0与直线x+y=0联立，
可得圆心坐标C1,−1 ，
r=|BC|=−2−12+−5+12=5，
因此，圆C的方程为x−12+y+12=25.
【答案】
解：(1)当a=1时，A={x|x2−3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，
B=x|x2−x−2≤0=x|−1≤x≤2，
所以A⫋B，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为q是p的必要条件，所以A⊆B．
而A=x|x2−3ax+2a2≤0=x|x−ax−2a≤0．
当a>0时，A={x|a≤x≤2a}，
所以a≥−1，2a≤2，
所以−1≤a≤1，故0当a=0时，A=0，成立；
当a<0时，A={x|2a≤x≤a}，
所以2a≥−1,a≤2,
所以−12≤a≤2，故−12≤a<0.
综上所述，−12≤a≤1，即实数a的取值范围为−12,1．
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
集合的包含关系判断及应用
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=1时，A={x|x2−3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，
B=x|x2−x−2≤0=x|−1≤x≤2，
所以A⫋B，
所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为q是p的必要条件，所以A⊆B．
而A=x|x2−3ax+2a2≤0=x|x−ax−2a≤0．
当a>0时，A={x|a≤x≤2a}，
所以a≥−1，2a≤2，
所以−1≤a≤1，故0当a=0时，A=0，成立；
当a<0时，A={x|2a≤x≤a}，
所以2a≥−1,a≤2,
所以−12≤a≤2，故−12≤a<0.
综上所述，−12≤a≤1，即实数a的取值范围为−12,1．
【答案】
解：(1)由题意可得x¯=18+19+20+21+225=20，
y¯=61+56+50+48+455=52，
则b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x¯2=5160−52002010−2000=−4，
a=y¯−bx¯=52−(−4)×20=132，
故销量y关于售价x的回归直线方程为y=−4x+132.
(2)设该新品蛋糕一天的利润为z元．
则z=(x−11)(−4x+132)=−4x2+176x−1452．
故当x=−1762×−4=22时，z取得最大值，
且zmax=−4×222+176×22−1452=484.
即当该新品蛋糕的售价为22元时，一天的利润取得最大值484元．
【考点】
求解线性回归方程
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可得x¯=18+19+20+21+225=20，
y¯=61+56+50+48+455=52，
则b=i=15xiyi−5xyi=15xi2−5x¯2=5160−52002010−2000=−4，
a=y¯−bx¯=52−(−4)×20=132，
故销量y关于售价x的回归直线方程为y=−4x+132.
(2)设该新品蛋糕一天的利润为z元．
则z=(x−11)(−4x+132)=−4x2+176x−1452．
故当x=−1762×−4=22时，z取得最大值，
且zmax=−4×222+176×22−1452=484.
即当该新品蛋糕的售价为22元时，一天的利润取得最大值484元．
【答案】
解：(1)由题意可得(0.0003+x+y+0.0021+0.0004)×200=1，
(100×0.0003+300x+500y+700×0.0021+900×0.0004)×200=568，
解得x=0.0006，y=0.0016．
(2)由(1)可知消费金额在[0,200)内的网购者有100×0.0003×200=6人，
消费金额在[200,400)内的网购者有100×0.0006×200=12人，
则从消费金额少于400元的网购者抽取的6人中，
可估计消费金额在[0,200)内的有2人，记为A，B．
消费金额在[200,400)内的有4人，记为a,b,c,d，
从这6人中随机抽取2人的情况有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，
其中符合条件的情况有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种．
故所求概率P=615=25．
【考点】
频率分布直方图
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】


【解答】
解：(1)由题意可得(0.0003+x+y+0.0021+0.0004)×200=1，
(100×0.0003+300x+500y+700×0.0021+900×0.0004)×200=568，
解得x=0.0006，y=0.0016．
(2)由(1)可知消费金额在[0,200)内的网购者有100×0.0003×200=6人，
消费金额在[200,400)内的网购者有100×0.0006×200=12人，
则从消费金额少于400元的网购者抽取的6人中，
可估计消费金额在[0,200)内的有2人，记为A，B．
消费金额在[200,400)内的有4人，记为a,b,c,d，
从这6人中随机抽取2人的情况有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共15种，
其中符合条件的情况有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种．
故所求概率P=615=25．
【答案】
1证明：由题意可得四边形BCDE为菱形，连接CE，如图所示，
在Rt△ADE中，∵AE=12DE，
∴∠AED=60∘，则∠CDE=60∘，△CDE为正三角形．
由点O为DE的中点，得CO⊥ED．
∵点O为DE的中点，∴AO=12ED=EO．
又AC=DC，∴AC=EC，
∴△AOC≅△EOC，
则CO⊥AO．
∵AO∩DE=O，∴CO⊥平面ADE．
2解：如图，不妨设DE=2，以O为原点，OC为x轴正半轴建立空间直角坐标系O−xyz，
则D0,1,0，E0,−1,0，C3,0,0，B3,−2,0，A0,−12,32，
BE→=−3,1,0，EA→=0,12,32．
设平面ABE的法向量为m→=x1,y1,z1，
则 m→⋅BE→=−3x1+y1=0,m→⋅EA→=12y1+32z1=0,
令z1=1，得m→=−1,−3,1．
设平面AOC的法向量为n→=x2,y2,z2，
则 n→⋅OC→=3x2=0,n→⋅OA→=−12y2+32z2=0,
令y2=3，得n→=0,3,1．
∵|cs⟨m→,n→⟩|=|m→⋅n→||m→||n→|=|0−3+1|5×2=55，
∴平面ABE与平面AOC所成锐二面角的余弦值为55．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】


【解答】
1证明：由题意可得四边形BCDE为菱形，连接CE，如图所示，
在Rt△ADE中，∵AE=12DE，
∴∠AED=60∘，则∠CDE=60∘，△CDE为正三角形．
由点O为DE的中点，得CO⊥ED．
∵点O为DE的中点，∴AO=12ED=EO．
又AC=DC，∴AC=EC，
∴△AOC≅△EOC，
则CO⊥AO．
∵AO∩DE=O，∴CO⊥平面ADE．
2解：如图，不妨设DE=2，以O为原点，OC为x轴正半轴建立空间直角坐标系O−xyz，
则D0,1,0，E0,−1,0，C3,0,0，B3,−2,0，A0,−12,32，
BE→=−3,1,0，EA→=0,12,32．
设平面ABE的法向量为m→=x1,y1,z1，
则 m→⋅BE→=−3x1+y1=0,m→⋅EA→=12y1+32z1=0,
令z1=1，得m→=−1,−3,1．
设平面AOC的法向量为n→=x2,y2,z2，
则 n→⋅OC→=3x2=0,n→⋅OA→=−12y2+32z2=0,
令y2=3，得n→=0,3,1．
∵|cs⟨m→,n→⟩|=|m→⋅n→||m→||n→|=|0−3+1|5×2=55，
∴平面ABE与平面AOC所成锐二面角的余弦值为55．
【答案】
(1)解：因为点A(22,1)在椭圆C上，
所以8a2+1b2=1 .①
设F1−c,0，F2c,0c>0，
因为AF1⊥AF2，所以122+c⋅122−c=−1，
解得c=3，
所以a2−b2=9.②
由①②解得a2=12，b2=3，
所以椭圆C的标准方程为x212+y23=1.
(2)证明：设点Px1,y1，Q(x2,y2)，则x12+4y12=12.
因为|PF2|=x1−32+y12
=x12−6x1+9+3−x124=324−x1，
|PH|=|OP|2−|OH|2=x12+y12−3
=x12−3+3−x124=32x1，
所以|PF2|+|PH|=23.
同理可得|QF2|+|QH|=23，
所以|PF2|+|QF2|+|PQ|
=|PF2|+|PH|+|QF2|+|HQ|=43，
所以△F2PQ的周长为43，为定值.
【考点】
椭圆的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：因为点A(22,1)在椭圆C上，
所以8a2+1b2=1 .①
设F1−c,0，F2c,0c>0，
因为AF1⊥AF2，所以122+c⋅122−c=−1，
解得c=3，
所以a2−b2=9.②
由①②解得a2=12，b2=3，
所以椭圆C的标准方程为x212+y23=1.
(2)证明：设点Px1,y1，Q(x2,y2)，则x12+4y12=12.
因为|PF2|=x1−32+y12
=x12−6x1+9+3−x124=324−x1，
|PH|=|OP|2−|OH|2=x12+y12−3
=x12−3+3−x124=32x1，
所以|PF2|+|PH|=23.
同理可得|QF2|+|QH|=23，
所以|PF2|+|QF2|+|PQ|
=|PF2|+|PH|+|QF2|+|HQ|=43，
所以△F2PQ的周长为43，为定值.售价x/元
18
19
20
21
22
销量y/个
61
56
50
48
45