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北师大版数学九年级上册期末模拟试卷03（含答案）
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这是一份北师大版数学九年级上册期末模拟试卷03（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版数学九年级上册期末模拟试卷
一、选择题
1．太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ）
A．与窗户全等的矩形
B．平行四边形
C．比窗户略小的矩形
D．比窗户略大的矩形
2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7
3．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（ ）
A．26cm2 B．39cm2 C．20cm2 D．45cm2
5．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3
6．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．115° D．135°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（ ）个
（1） （2） （3） （4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③m＞2，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是 米．
10．若=2，则= ．
11．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程： ．
12．如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影长CD的长为1m，从C处继续往前走3m达到E处时，测得影子EF的长为2m，已知小明的身高时1.5m，那么路灯A的高度AB等于 m．
13．下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x和因变量y的对应值表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
若点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在这个二次函数的图象上，且3＜x1＜x2，则y1、y2的大小关系是y1 y2，．（填写“＜”，“＞”或“=”）
14．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 ．
三、解答题
15．如图，有一块三角形的铁皮
求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
16．解方程
（1）x2﹣2x﹣2=0 （2）（x+1）2=4（x﹣1）2．
17．小明和小刚做游戏一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字1，2，3，4，随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，若这两个乒乓球上的数字之和能被4整除则小明赢；若两个乒乓球上的数字之和能被5整除则小刚赢；这个一个对游戏双方公平的游戏吗？请列表格或画树状图说明理由．
18．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
19．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度γ（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度γ与时间x成反比例关系
（1）求整改过程中硫化物的浓度γ与时间x的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内（含15天）排污达标？为什么？
[来源:学科网ZXXK]
20．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行附近的B地，已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏西30°方向，若要打通穿山隧道建高铁，求线段AC的长（结果保留整数）（参考数据：≈1.73，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈ ）
21．如图，△ABC中，AB=AC，点D、O分别为BC、AB的中点，连接并延长DO到点E，使AE∥BC．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？证明你的结论．
22．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）
n=50﹣x
销售单价m（元/件）
m=20+x
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．探究活动一：
如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是 ．（不必证明，直接给出结论即可）
探究活动二：
如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；
探究活动三：
根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系．
24．如图1，正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是1cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）
（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由
（2）设△PQC的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S△QCM：S△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ）
A．与窗户全等的矩形 B．平行四边形
C．比窗户略小的矩形 D．比窗户略大的矩形
【解答】解：太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是与窗户全等的矩形．
故选：A．
2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7
【解答】解：x2+8x=﹣9，
x2+8x+16=7，
（x+4）2=7．
故选：A．
3．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C．
4．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（ ）
A．26cm2 B．39cm2 C．20cm2 D．45cm2
【解答】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n．则=（）2=．
因而n=m．
根据面积之和是65cm2．得到m+m=65，
解得：m=45，
即较大五边形的面积为45cm2．
故选：D．
5．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3
【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．
故选：D．
6．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．115° D．135°
【解答】解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A=∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（ ）个
（1） （2） （3） （4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴cosA===，
故（1），（2），（4）正确．
故选：C．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③m＞2，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故①正确，
由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知a＜0，c＞0，则ac＜0，故②正确，
由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知该函数有最大值，最大值是y=2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2，故③正确，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是 1.92 米．
【解答】解：根据题意知，小红的身高为175﹣7=168（厘米），
设小红的影长为x厘米
则=，
解得：x=192，
∴小红的影长为1.92米，
故答案为：1.92．
10．若=2，则= 2 ．
【解答】解：两边都乘（x﹣y），得
x=2x﹣2y，
两边都减x，都加2y，
得
2y=x，
两边都除以y，得
=2，
故答案为：2．
11．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程： 2（1+x）+2（1+x）2=8 ．
【解答】解：∵去年对实验器材的投资为2万元，该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，
∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2（1+x）2；
∵预计今明两年的投资总额为8万元，
∴2（1+x）+2（1+x）2=8．
12．如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影长CD的长为1m，从C处继续往前走3m达到E处时，测得影子EF的长为2m，已知小明的身高时1.5m，那么路灯A的高度AB等于 6 m．[来源:Zxxk.Com]
【解答】解：如图，
∵=，
当小明在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即=，
当小明在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即==，
∴=，
∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，
设AB=x，BC=y，
∴=，
解得y=3，
∵=，
∴=，
解得x=6米，
即路灯A的高度AB=6米．
故答案为：6．
13．下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x和因变量y的对应值表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
若点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在这个二次函数的图象上，且3＜x1＜x2，则y1、y2的大小关系是y1 ＜ y2，．（填写“＜”，“＞”或“=”）
【解答】解：∵当﹣3＜x＜1时，﹣4＜y＜12，y随x增大而减小；当1＜x＜3时，﹣4＜y＜0，y随x增大而增大，
∴当3＜x1＜x2时，y1＜y2，
故答案为：＜
14．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 y=x﹣ ．
【解答】解：将由图中1补到2的位置，
∵10个正方形的面积之和是10，
∴梯形ABCD的面积只要等于5即可，
∴设BC=4﹣x，则[（4﹣x）+3]×3÷2=5，
解得，x=，
∴点B的坐标为（，3），
设过点A和点B的直线的解析式为y=kx+b，
，
解得，，
即过点A和点B的直线的解析式为y=，
故答案为：y=．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（4分）如图，有一块三角形的铁皮
求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
【解答】解：如图所示，菱形CEFD即为所求．
16．（8分）解方程
（1）x2﹣2x﹣2=0
（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2=0，
x2﹣2x+1=2+1，
（x﹣1）2=3，
x﹣1=，
x=1，
x1=1，x2=1﹣，
（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．
（x+1）2﹣4（x﹣1）2=0．
（x+1）2﹣[2（x﹣1）]2=0．
（x+1）2﹣（2x﹣2）2=0．
（x+1﹣2x+2）（x+1+2x﹣2）=0．
（﹣x+3）（3x﹣1）=0．
x1=3，x2=．
17．（6分）小明和小刚做游戏一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字1，2，3，4，随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，若这两个乒乓球上的数字之和能被4整除则小明赢；若两个乒乓球上的数字之和能被5整除则小刚赢；这个一个对游戏双方公平的游戏吗？请列表格或画树状图说明理由．
【解答】解：列表如下：
共有16种可能，其中和能被4整除的有4种，能被5整除的有4种，
∴P（小明胜）=，P（小刚胜）=，
∵P（小明胜）=P（小刚胜）
∴游戏是公平的．
18．（6分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
【解答】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵α+∠DAF=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°，
∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=α=36°．
根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．
在Rt△ABE中，sin，
∴AB==40（mm）．
在Rt△ADF中，cos∠ADF=，
∴AD==60（mm）．[来源:Zxxk.Com]
∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200（mm）．
19．（6分）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度γ（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度γ与时间x成反比例关系
（1）求整改过程中硫化物的浓度γ与时间x的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内（含15天）排污达标？为什么？
【解答】解：（1）分情况讨论：
①当0≤x≤3时，
设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；
把A（0，10），B（3，4）代入得：
，
解得：，
∴y=﹣2x+10；
②当x＞3时，设y=，
把（3，4）代入得：m=3×4=12，
∴y=；
综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=；
（2）能；理由如下：
令y==1，则x=12，
3＜12＜15，
故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
20．（8分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行附近的B地，已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏西30°方向，若要打通穿山隧道建高铁，求线段AC的长（结果保留整数）（参考数据：≈1.73，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈ ）
【解答】解：如图，
过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB•sin67°=520×==480km，
BD=AB•cos67°=520×==200km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD•tan30°=200×=，
∴AC=AD﹣CD=480﹣≈480﹣115=365（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为365km．
21．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、O分别为BC、AB的中点，连接并延长DO到点E，使AE∥BC．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？证明你的结论．
【解答】解：（1）∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠DBO、∠AEO=∠BDO，
∵O是AB的中点，
∴AO=BO，
在△AOE和△BOD中，
∵，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AE=BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC、D是BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
22．（10分）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）
n=50﹣x
销售单价m（元/件）
m=20+x
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）当m=25时，20+x=25，
解得：x=10，
所以第10天时该商品的销售单价为25元/件；
（2）y=n（m﹣10）
=（50﹣x）（20+x﹣10）
=﹣x2+15x+500；
（3）y=﹣x2+15x+500
=﹣（x﹣15）2+，
∴当x=15时，y最大=，
答：这30天中第15天获得的利润最大，最大利润是元．
23．（10分）探究活动一：
如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是 ME=MF ．（不必证明，直接给出结论即可）
探究活动二：
如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；
探究活动三：
根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系．
【解答】解：（1）ME=MF．
理由：如图1，过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
则∠MHF=∠MGE=90°，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
在正方形ABCD中，∠DAB=90°，而∠MHA=∠MGA=90°，
∴∠EMF=∠HMG=90°，
∴∠FMH=∠EMG，
在△MHF和△MGE中，
∴△MHF≌△MGE（ASA），
∴MF=ME，
故答案为：MF=ME；
（2）ME=mMF．
理由：如图2，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
则∠MHE=∠MGF=90°，
在矩形ABCD中，∠A=90°，
∴在四边形GMHA中，∠GMH=90°，
又∵∠EMF=90°，
∴∠HME=∠GMF，
又∵∠MGF=∠MHE=90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴=，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴MG=BC，MH=AB，
∵AB=mBC，
∴==m，
∴ME=mMF；
（3）ME=mMF．
理由：如图3，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
则∠MHE=∠MGF=90°，
在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，而∠EMF=∠B，
∴∠A+∠EMF=180°，
又∵在四边形AGMH中，∠A+∠HMG=180°，
∴∠EMF=∠GMF，
又∵∠MGF=∠MHE=90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴=，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴MG=BC，MH=AB，
∵AB=mBC，
∴===m，
∴ME=mMF．
24．（12分）如图1，正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是1cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）
（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由
（2）设△PQC的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S△QCM：S△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
由运动知，DP=t，AQ=2t，
∴AP=4﹣t，BQ=4﹣2t，
（1）连接BD，如图1，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵PQ∥BD，
∴∠ABD=∠AQP，∠APQ=∠ADB，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AQ=AP，
∴2t=4﹣t，
∴t=；[来源:Z*xx*k.Com]
（2）S=S正方形ABCD﹣S△APQ﹣S△BCQ﹣S△CDP
=AB2﹣AQ×AP﹣BQ×BC﹣DP×CD
=16﹣×2t×（4﹣t）﹣×（4﹣2t）×4﹣t×4
=16+t2﹣4t﹣8+4t﹣2t
=t2﹣2t+8（0＜t＜2）；
（3）如图2，
过点C作CN⊥PQ于N，
∴S△MCQ=MQ×CN，S△MCP=MP×CN，
∵S△QCM：S△PCM=3：5，
∴=，
∴，
过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
∵点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点，
∴MG=MH，
∴S△AMQ=AQ×MG，S△APM=AP×MH，
∴，
∴，
∴t=．
北师大版数学九年级上册期末模拟试卷
一、选择题
1．太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ）
A．与窗户全等的矩形
B．平行四边形
C．比窗户略小的矩形
D．比窗户略大的矩形
2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7
3．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（ ）
A．26cm2 B．39cm2 C．20cm2 D．45cm2
5．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3
6．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．115° D．135°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（ ）个
（1） （2） （3） （4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③m＞2，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是 米．
10．若=2，则= ．
11．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程： ．
12．如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影长CD的长为1m，从C处继续往前走3m达到E处时，测得影子EF的长为2m，已知小明的身高时1.5m，那么路灯A的高度AB等于 m．
13．下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x和因变量y的对应值表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
若点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在这个二次函数的图象上，且3＜x1＜x2，则y1、y2的大小关系是y1 y2，．（填写“＜”，“＞”或“=”）
14．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 ．
三、解答题
15．如图，有一块三角形的铁皮
求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
16．解方程
（1）x2﹣2x﹣2=0 （2）（x+1）2=4（x﹣1）2．
17．小明和小刚做游戏一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字1，2，3，4，随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，若这两个乒乓球上的数字之和能被4整除则小明赢；若两个乒乓球上的数字之和能被5整除则小刚赢；这个一个对游戏双方公平的游戏吗？请列表格或画树状图说明理由．
18．小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
19．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度γ（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度γ与时间x成反比例关系
（1）求整改过程中硫化物的浓度γ与时间x的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内（含15天）排污达标？为什么？
[来源:学科网ZXXK]
20．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行附近的B地，已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏西30°方向，若要打通穿山隧道建高铁，求线段AC的长（结果保留整数）（参考数据：≈1.73，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈ ）
21．如图，△ABC中，AB=AC，点D、O分别为BC、AB的中点，连接并延长DO到点E，使AE∥BC．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？证明你的结论．
22．某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）
n=50﹣x
销售单价m（元/件）
m=20+x
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．探究活动一：
如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是 ．（不必证明，直接给出结论即可）
探究活动二：
如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；
探究活动三：
根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系．
24．如图1，正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是1cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）
（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由
（2）设△PQC的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S△QCM：S△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题
1．太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（ ）
A．与窗户全等的矩形 B．平行四边形
C．比窗户略小的矩形 D．比窗户略大的矩形
【解答】解：太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是与窗户全等的矩形．
故选：A．
2．将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（ ）
A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7
【解答】解：x2+8x=﹣9，
x2+8x+16=7，
（x+4）2=7．
故选：A．
3．如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．
故选：C．
4．如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（ ）
A．26cm2 B．39cm2 C．20cm2 D．45cm2
【解答】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n．则=（）2=．
因而n=m．
根据面积之和是65cm2．得到m+m=65，
解得：m=45，
即较大五边形的面积为45cm2．
故选：D．
5．把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3
【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），
当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），
则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．
故选：D．
6．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（ ）
A．100° B．120° C．115° D．135°
【解答】解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A=∠BPD，
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．
故选：B．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（ ）个
（1） （2） （3） （4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴cosA===，
故（1），（2），（4）正确．
故选：C．
8．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③m＞2，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故①正确，
由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知a＜0，c＞0，则ac＜0，故②正确，
由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知该函数有最大值，最大值是y=2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2，故③正确，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是 1.92 米．
【解答】解：根据题意知，小红的身高为175﹣7=168（厘米），
设小红的影长为x厘米
则=，
解得：x=192，
∴小红的影长为1.92米，
故答案为：1.92．
10．若=2，则= 2 ．
【解答】解：两边都乘（x﹣y），得
x=2x﹣2y，
两边都减x，都加2y，
得
2y=x，
两边都除以y，得
=2，
故答案为：2．
11．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程： 2（1+x）+2（1+x）2=8 ．
【解答】解：∵去年对实验器材的投资为2万元，该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，
∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2（1+x）2；
∵预计今明两年的投资总额为8万元，
∴2（1+x）+2（1+x）2=8．
12．如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影长CD的长为1m，从C处继续往前走3m达到E处时，测得影子EF的长为2m，已知小明的身高时1.5m，那么路灯A的高度AB等于 6 m．[来源:Zxxk.Com]
【解答】解：如图，
∵=，
当小明在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即=，
当小明在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即==，
∴=，
∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，
设AB=x，BC=y，
∴=，
解得y=3，
∵=，
∴=，
解得x=6米，
即路灯A的高度AB=6米．
故答案为：6．
13．下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x和因变量y的对应值表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
12
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
若点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在这个二次函数的图象上，且3＜x1＜x2，则y1、y2的大小关系是y1 ＜ y2，．（填写“＜”，“＞”或“=”）
【解答】解：∵当﹣3＜x＜1时，﹣4＜y＜12，y随x增大而减小；当1＜x＜3时，﹣4＜y＜0，y随x增大而增大，
∴当3＜x1＜x2时，y1＜y2，
故答案为：＜
14．如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 y=x﹣ ．
【解答】解：将由图中1补到2的位置，
∵10个正方形的面积之和是10，
∴梯形ABCD的面积只要等于5即可，
∴设BC=4﹣x，则[（4﹣x）+3]×3÷2=5，
解得，x=，
∴点B的坐标为（，3），
设过点A和点B的直线的解析式为y=kx+b，
，
解得，，
即过点A和点B的直线的解析式为y=，
故答案为：y=．
三、解答题（共10小题，满分78分）
15．（4分）如图，有一块三角形的铁皮
求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
【解答】解：如图所示，菱形CEFD即为所求．
16．（8分）解方程
（1）x2﹣2x﹣2=0
（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2=0，
x2﹣2x+1=2+1，
（x﹣1）2=3，
x﹣1=，
x=1，
x1=1，x2=1﹣，
（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．
（x+1）2﹣4（x﹣1）2=0．
（x+1）2﹣[2（x﹣1）]2=0．
（x+1）2﹣（2x﹣2）2=0．
（x+1﹣2x+2）（x+1+2x﹣2）=0．
（﹣x+3）（3x﹣1）=0．
x1=3，x2=．
17．（6分）小明和小刚做游戏一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字1，2，3，4，随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，若这两个乒乓球上的数字之和能被4整除则小明赢；若两个乒乓球上的数字之和能被5整除则小刚赢；这个一个对游戏双方公平的游戏吗？请列表格或画树状图说明理由．
【解答】解：列表如下：
共有16种可能，其中和能被4整除的有4种，能被5整除的有4种，
∴P（小明胜）=，P（小刚胜）=，
∵P（小明胜）=P（小刚胜）
∴游戏是公平的．
18．（6分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）
【解答】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．
∵α+∠DAF=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°，
∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=α=36°．
根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．
在Rt△ABE中，sin，
∴AB==40（mm）．
在Rt△ADF中，cos∠ADF=，
∴AD==60（mm）．[来源:Zxxk.Com]
∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200（mm）．
19．（6分）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度γ（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度γ与时间x成反比例关系
（1）求整改过程中硫化物的浓度γ与时间x的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）
（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内（含15天）排污达标？为什么？
【解答】解：（1）分情况讨论：
①当0≤x≤3时，
设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；
把A（0，10），B（3，4）代入得：
，
解得：，
∴y=﹣2x+10；
②当x＞3时，设y=，
把（3，4）代入得：m=3×4=12，
∴y=；
综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=；
（2）能；理由如下：
令y==1，则x=12，
3＜12＜15，
故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
20．（8分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行附近的B地，已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏西30°方向，若要打通穿山隧道建高铁，求线段AC的长（结果保留整数）（参考数据：≈1.73，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈ ）
【解答】解：如图，
过点B作BD⊥AC于点D，
∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB•sin67°=520×==480km，
BD=AB•cos67°=520×==200km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
∴CD=BD•tan30°=200×=，
∴AC=AD﹣CD=480﹣≈480﹣115=365（km）．
答：A地到C地之间高铁线路的长为365km．
21．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、O分别为BC、AB的中点，连接并延长DO到点E，使AE∥BC．
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？证明你的结论．
【解答】解：（1）∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠DBO、∠AEO=∠BDO，
∵O是AB的中点，
∴AO=BO，
在△AOE和△BOD中，
∵，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AE=BD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC、D是BC中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边的中线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
22．（10分）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）
n=50﹣x
销售单价m（元/件）
m=20+x
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）当m=25时，20+x=25，
解得：x=10，
所以第10天时该商品的销售单价为25元/件；
（2）y=n（m﹣10）
=（50﹣x）（20+x﹣10）
=﹣x2+15x+500；
（3）y=﹣x2+15x+500
=﹣（x﹣15）2+，
∴当x=15时，y最大=，
答：这30天中第15天获得的利润最大，最大利润是元．
23．（10分）探究活动一：
如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是 ME=MF ．（不必证明，直接给出结论即可）
探究活动二：
如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；
探究活动三：
根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系．
【解答】解：（1）ME=MF．
理由：如图1，过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
则∠MHF=∠MGE=90°，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
在正方形ABCD中，∠DAB=90°，而∠MHA=∠MGA=90°，
∴∠EMF=∠HMG=90°，
∴∠FMH=∠EMG，
在△MHF和△MGE中，
∴△MHF≌△MGE（ASA），
∴MF=ME，
故答案为：MF=ME；
（2）ME=mMF．
理由：如图2，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
则∠MHE=∠MGF=90°，
在矩形ABCD中，∠A=90°，
∴在四边形GMHA中，∠GMH=90°，
又∵∠EMF=90°，
∴∠HME=∠GMF，
又∵∠MGF=∠MHE=90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴=，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴MG=BC，MH=AB，
∵AB=mBC，
∴==m，
∴ME=mMF；
（3）ME=mMF．
理由：如图3，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
则∠MHE=∠MGF=90°，
在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，而∠EMF=∠B，
∴∠A+∠EMF=180°，
又∵在四边形AGMH中，∠A+∠HMG=180°，
∴∠EMF=∠GMF，
又∵∠MGF=∠MHE=90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴=，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴MG=BC，MH=AB，
∵AB=mBC，
∴===m，
∴ME=mMF．
24．（12分）如图1，正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是1cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）
（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由
（2）设△PQC的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S△QCM：S△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
由运动知，DP=t，AQ=2t，
∴AP=4﹣t，BQ=4﹣2t，
（1）连接BD，如图1，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵PQ∥BD，
∴∠ABD=∠AQP，∠APQ=∠ADB，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AQ=AP，
∴2t=4﹣t，
∴t=；[来源:Z*xx*k.Com]
（2）S=S正方形ABCD﹣S△APQ﹣S△BCQ﹣S△CDP
=AB2﹣AQ×AP﹣BQ×BC﹣DP×CD
=16﹣×2t×（4﹣t）﹣×（4﹣2t）×4﹣t×4
=16+t2﹣4t﹣8+4t﹣2t
=t2﹣2t+8（0＜t＜2）；
（3）如图2，
过点C作CN⊥PQ于N，
∴S△MCQ=MQ×CN，S△MCP=MP×CN，
∵S△QCM：S△PCM=3：5，
∴=，
∴，
过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，
∵点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点，
∴MG=MH，
∴S△AMQ=AQ×MG，S△APM=AP×MH，
∴，
∴，
∴t=．
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