期中检测卷（难）（含解析）八年级数学上册同步期中检测卷（苏科版）

这是一份期中检测卷（难）（含解析）八年级数学上册同步期中检测卷（苏科版），共51页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

八年级数学上册同步单元检测 期中检测卷
总分：150分 范围：第1-3章 难度：较难
一、单选题(共24分)
1．(本题3分)已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2 D．a：b：c＝7：24：25
2．(本题3分)如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是( )

A．2和3 B．3和3 C．2和4 D．3和4
3．(本题3分)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（ ）

A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
4．(本题3分)如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
5．(本题3分)如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③AE＝BG；④CE＝BF．其中正确的是（　　）

A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①③
6．(本题3分)如图，在正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
7．(本题3分)如图，过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA=CQ 时，连PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为（ ）

A．0.5 B．1 C．0.25 D．2
8．(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF平分∠ABC，过点C作CF⊥BF于F点，过A作AD⊥BF于D点．AC与BF交于E点，下列四个结论：①BE＝2CF；②AD＝DF；③AD＋DE=BE；④AB＋BC＝2AE．其中正确结论的序号是（ ）

A．只有①②③ B．只有②③ C．只有①②④ D．只有①④

二、填空题(共30分)
9．(本题3分)若三角形三边满足，且三角形周长为，则这个三角形最长边上的高为_________．
10．(本题3分)如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为_____．

11．(本题3分)在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这种性质的点P有_____个．
12．(本题3分))如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝18，AB＝CD＝24．点E为DC上的一个动点， △ADE与△A D'E关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为_____．

13．(本题3分)如图，在等腰中，，高，平分，则三角形的面积为_______．

14．(本题3分)如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=_____.

15．(本题3分)如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长次后，变成的图中所有正方形的面积用表示，则______．

16．(本题3分)如图，图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝70厘米，BC＝84厘米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝70厘米．档位为Ⅰ档时，OD∥AB．档位为Ⅱ档时，OD′⊥AC．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为_____厘米．

17．(本题3分)如图，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，则的最小值是________．

18．(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，AE=6，DE=10，点P在边BC上，且△DEP为等腰三角形，则BP的长为_____________

三、解答题(共96分)
19．(本题10分)如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，

(1)求∠APO+∠DCO的度数;
(2)求证:点P在OC的垂直平分线上.








20．(本题10分)如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若∠APB＝150°，PB＝8，PA＝6，连接PQ，求PC的长．





21．(本题10分)如图，已知△ABC，点 P 为 BC 上一点．

（1）尺规作图：作直线 EF，使得点 A 与点 P 关于直线 EF 对称，直线 EF 交直线 AC于 E，交直线 AB 于 F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接 PE，AP，AP 交 EF 于点 O，若 AP 平分∠BAC，请在（1）的基础上说明 PE=AF．








22．(本题10分)如图，点E在等边△ABC的边AB所在直线上，以EC为一边作等边△ECF，顶点E、C、F顺时针排序．

（1）点E在线段AB上，连接BF．求证：BF//AC；
（2）已知AB＝6，当△BCF是直角三角形时，求BE的长．



23．(本题10分)如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．






24．(本题10分)如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．



25．(本题12分)如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4；
(1)试说明△ABC是等腰三角形；
(2)已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t(秒)．
①若△DMN的边与BC平行，求t的值；
②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．




26．(本题12分)勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下：
把两个全等的直角三角形（）如图1放置，，点E在边AC上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
（1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米．
（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离．












27．(本题12分)（观察发现）
如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，则线段BD与AE的数量关系是 ，BD与AE相交构成的锐角的度数是 ．（只要求写出结论，不必说出理由）

（深入探究1）
如图2，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接BD和AE，BD、AE相交于点P，猜想线段BD与AE的数量关系，以及BD与AE相交构成的锐角的度数．请说明理由
结论：
理由：

（深入探究2）
如图3，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K．
求证：QK⊥BE；

参考答案与试题解析

1．A
【分析】
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】
解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝90°，故△ABC是直角三角形；
C、因为a2﹣b2＝c2，a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝7：24：25，设a＝7x，b＝24x，c＝25x，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，故△ABC是直角三角形．
故选：A．
2．A
【分析】
结合格点图形及勾股定理，等腰三角形的性质即可得解．
【详解】
解：（1）如图，为等腰三角形有两种

由勾股定理易知：ED=DC=, 符合题意，

由勾股定理易知：AE=EC=,符合题意，
（2）如图，为直角三角形有三种

由勾股定理及格点图知：AB=2，BE=4，AE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆ABE为直角三角形，

由勾股定理及格点图知：BC=2，BE=4，CE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆CBE为直角三角形，

由勾股定理及格点图知：DC=，DE=，CE=, 满足，由勾股定理逆定理知∆CDE为直角三角形，
故选：A
3．C
【分析】
画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，

则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．
4．B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.
【详解】
解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，
∴AG＝CG，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故选：B.
5．B
【分析】
由等腰直角三角形的性质可得，利用判定，可得，．则，即；再利用判定，得出，可得，连接．因为是等腰直角三角形，即．又因为，那么垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即．
【详解】
解：，，
是等腰直角三角形．
．故①正确；
在和中，，
，且，
，
在和中，
，
，
，，
，
；故②正确；
平分，
．
在和中，
，
，
．
又，
；故④正确；
连接．

是等腰直角三角形，

又，
垂直平分，
，
在中，是斜边，是直角边，
，
，
．故③错误．
故选：B．
6．A
【分析】
把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形；接下来，依据给出图形的特点，结合轴对称图形的定义进行解答即可.
【详解】
解：根据轴对称图形的定义可知：分别在下图1，2，3处涂上阴影都可得到一个轴对称图形，故不符合条件的选A.

7．A
【分析】
过P作PM∥BC，交AC于M，则△APM也是等边三角形，在等边三角形△APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE=EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM=CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
【详解】
过P作PM∥BC，交AC于M；

∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形，
又∵PE⊥AM，
∴；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中
，
∴△PMD≌△QCD（AAS），
∴，
∴，
故选A．
8．A
【分析】
适当做辅助线，构建三角形.延长CF并交BA延长线于H


①证明△ABE≌△ACH，得到BE=CH，又可证CH=2CF，故可得BE＝2CF
②若要得到AD＝DF，则需要证明△ADF为等腰直角三角形，需要证明∠DAF为45°即可
③过E作交AF于点M，证明△EMF为等腰直角三角形，

④过E作于点N，证明，得到，即可证明④错误.
【详解】
①延长BA、CF，交于点H，

∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
②由①知，F为CH中点，又为直角三角形
故
∴
∵
∴
∵
∴
又BF为的平分线
∴
∴
∴

在中，
∴
③过E作交AF于点M，由②知，CA为∠DAF的平分线

∴
△EMF为等腰直角三角形
∴
∴
④过E作于点N，可知

在中，
∴
即,而
∴
故
∴,故④错误，本题答案选A.
9．．
【分析】
首先设三角形三边的长分别是5x，12x，13x，根据勾股定理的逆定理，可判定此三角形是直角三角形，然后利用三角形的面积，可求得这个三角形最长边上的高．
【详解】
解：设三角形三边的长分别是5x，12x，13x，
由题意可知5x+12x+13x=25
解得：
所以这个三角形三边长分别为，10，
又∵，
∴此三角形为直角三角形
∴这个三角形最长边上的高是：
故答案为：．
10．29
【分析】
设正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，根据勾股定理得，然后代入计算即可．
【详解】
解：设正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，根据勾股定理得
，
∵正方形A、B、C的面积依次为4、16、9，
∴根据图形得：4＋16＝﹣9，
解得：＝29，
故答案为：29．
11．10
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作边AB的垂直平分线，在以顶点A、C为圆心，以边长为半径画弧，与垂直平分线相交于3个点，同理可得边BC、AC上也分别有3个点，再加上等边三角形的外心，计算即可求出．
【详解】
解：如图，等边三角形AB边的垂直平分线上可作3个点P，
同理：AC、BC上也分别有3个点，另外，△ABC的外心也是满足条件的一个点，
所以，共有3+3+3+1=10个．
故答案为10．
12．18或9
【分析】
本题分两种情况：（1）当∠D'EC＝90°时，根据轴对称的性质求出∠AED＝45°，然后判断出△ADE是等腰直角三角形，从而求出DE＝AD；
（2）当∠E D'C＝90°时，∠A D'E＝90°，判断出A、D'、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据轴对称的性质可得A D'＝AD，DE＝D'E，然后求出D'C，设DE＝D'E＝x，用（24- x）表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）当∠CE D'＝90°时，如图1，

∵∠CE D'＝90°，
由轴对称的性质得∠AED＝∠AED'＝×90°＝45°，
∵∠D＝90°
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝18；
（2）当∠ED'C＝90°时，如图2，

由轴对称的性质得： ∠AD'E＝∠D＝90°，AD'＝AD，DE＝D'E，
∴A、D'、C在同一直线上，
由勾股定理得，AC＝＝＝30，
∴CD'＝30-18＝12，
设DE＝D'E＝x，则EC＝CD-DE=24−x，
在Rt△D'EC中，D'E2＋D'C2＝EC2，
即x2＋122＝（24 – x)2，
解得x＝9，
即DE＝9，
综上所述，DE的长为18或9．
故答案为：18或9．
13．
【分析】
连接EC，证明，可得它们面积相等，用勾股定理算出AD长，然后设，用面积法列式求出DE的长，就可以算出结果．
【详解】
解：如图，连接EC，

∵AE平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
设，
，
，
，解得，
∴．
故答案是：．
14．70°
【分析】
连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝35°，
∴∠GOH＝2×35°＝70°．

15．2n＋2
【分析】
根据勾股定理，发现：经过一次生长后，两个小正方形的面积和等于第一个正方形的面积，故经过一次生长后，所有正方形的积和等于2；依此类推，经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍．
【详解】
解：根据勾股定理以及正方形的面积公式，可以发现：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，
∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积Sn=2n+2，
故答案为：2n+2．
16．14
【分析】
过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，再次证明全等：△ABG≌△DON，△ACG≌△OD'M，便可解决问题．
【详解】
解：过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，如图所示，

则OM＝HE，ON＝HE，
∵AB＝AC＝70厘米，BC＝84厘米，
∴BG＝CG＝BC＝42厘米，
∴AG＝（厘米），
∵AB∥OD，BC∥OM，
∴∠ABG＝∠DON，
在△ABG和△DON中，
，
∴△ABG≌△DON（AAS），
∴BG＝ON＝HE＝42厘米，
∵OD'⊥AC．
∴∠D'OM+∠MOC＝90°，
∵OM∥BC，
∴∠MOC＝∠ACG，
∵∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠CAG＝∠D'OM，
在△ACG和△OD'M中，
，
∴△ACG≌△OD'M（AAS），
∴AG＝OM＝HF＝56厘米，
∴EF＝HF﹣HE＝56﹣42＝14（厘米），
故答案为：14．
17．13
【分析】
过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1，当A、O、B1共线时，最小，即可求得．
【详解】
过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1
当A、O、B1共线时，最小
C B1=9+9－6=12
根据勾股定理得
A B1==13
∴的最小值是13
故答案为：13

18．2或5或8或18
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DE⊥AB，AE=BE，然后分四种情况讨论求解.
【详解】
如图，

∵∠ABC=90°，点D是AC的中点
∴BD=AD=AC
∵DE是∠ADB的角平分线
∴DE⊥AB，AE=BE=6
①DE=DP1时，过点D作DF⊥BC于点F，
则DF=BE=6
由勾股定理得：
∴
②DP2=P2E时，
③DE=EP3时，
④DE=DP4时，

综上所述，BP的长为2、5、8、18
故答案为：2、5、8、18
19．（1）30°；（2）详见解析．
【分析】
（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
（2）证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形，进而解答即可．
【详解】
解：（1）如图1，连接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；
（2）∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴OP=PC，
∴点P在OC的垂直平分线上
20．（1）AP=CQ，证明见解析；（2）10．
【分析】
（1）AP＝CQ．证明△ABP≌△CBQ即可得证；
（2）连接PQ，证明∠PQC＝90°，利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）AP＝CQ．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝CB，
∴∠ABP+∠PBC＝60°．
又∵∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ．
在△ABP和△CBQ中，
，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ．
（2）连接PQ，如图所示．
∵△ABP≌△CBQ，
∴∠BQC＝∠BPA＝150°．
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PQ＝PB＝8，∠BQP＝60°，
∴∠PQC＝90°．
在Rt△PQC中，∠PQC＝90°，PQ＝8，CQ＝AP＝6，
∴PC＝＝10．

21．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）连接AP，作线段AP的垂直平分线，交AC于E，交AB于F，连接EF即可；
（2）由（1）中作图可知EF⊥AP，AE=PE，再证明△AOF≌△AOE，得到AF=AE，即可证明PE=AF．
【详解】
解：（1）如图，直线EF即为所作图形；

（2）∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
由（1）可知：EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AE=PE，
在△AOF和△AOE中，
∠OAF=∠OAE，AO=AO，∠AOF=∠AOE=90°，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AF=AE，
∴AF=PE.

22．（1）见解析；（2）BE＝3或6
【分析】
（1）利用SAS证明△ACE≌△BCF可得∠CBF=∠CAE=60°，即可得∠FBC=∠ACB，进而可证明结论；
（2）可分两种情况：①当E点在线段AB上时，∠BFC=90°，②当E点在线段AB的延长线上时，∠BCF=90°，利用等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质分别计算求解即可．
【详解】
证明：（1）∵△ABC和△ECF为等边三角形，
∴BC＝AC，CE=CF，∠BAC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
在△ACE和△BCF中，
，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴∠CAE＝∠CBF，
∵∠CAE＝60°，
∴∠FBC＝60°，
∴∠FBC＝∠ACB，
∴BF∥AC；
（2）解：①当E点在线段AB上时，∠BFC＝90°，
∵BC＝AB＝6，∠CBF＝60°，
∴BF＝BC＝3；

②当E点在线段AB的延长线上时，∠BCF＝90°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE＝30°，
∵∠ABC＝∠BCE+∠BEC＝60°，
∴∠BEC＝30°＝∠BCE，
∴BE＝BC＝6，
综上，BE＝3或6．

23．（1）见解析；（2）3；（3）见解析．
【分析】
（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；
（3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
【详解】
解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；

（2）△ABC的面积为：×3×2＝3；
（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△PAC周长最小．
所以点P即为所求．
24．（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出，，，由等式的性质就可以，根据就可以得出；
（3）分情况讨论：当点在线段上时，如图1，由（2）可知，就可以求出结论；当点在线段的延长线上时，如图2，可以得出而有而得出结论；当点在线段的延长线上时，如图3，通过得出同样可以得出结论．
【详解】
解：（1）是等边三角形，
．
线段为边上的中线，
，
．
故答案为：30°；
（2）与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
；
（3）是定值，，
理由如下：
①当点在线段上时，如图1，

由（2）可知，则，
又，
，
是等边三角形，线段为边上的中线，
平分，即，
．
②当点在线段的延长线上时，如图2，

与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
．
③当点在线段的延长线上时，如图3，

与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，，
．
综上，当动点在直线上时，是定值，．
25．（1）见解析；（2）①5或6；②9或10或
【分析】
（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
（2）由的面积求出、、、；①当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出，根据题意得出当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）证明：设，，，
则，
在中，，
，
是等腰三角形；
（2），而，
，
则，，，．
①当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与平行时，值为5或6．
②点是边的中点，，
，
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有3种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点作于，如图3所示：
，
，
在中，；
，，

则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为9或10或．
．
26．（1）见解析；（2）41千米；（3）见解析，千米
【分析】
（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出；
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
（3）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC=PD建立方程，解方程即可．
（4）根据轴对称-最短路线的求法作图，然后根据勾股定理即可求出．
【详解】
（1），，，
他们满足的关系式为：，化简得
证毕；
（2）如图2①，连接CD，作于点E，

∵，，
∴，，
∴千米，
∴（千米），
∴两个村庄相距41千米．
故答案为：41千米．
（3）如图2②所示：

设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即千米．
故答案为千米；

27．【观察发现】：BD＝AE，∠DPE＝60°；【深入探究1】：结论BD＝AE，∠DPE＝∠APB＝60°，理由：见解析；【深入探究2】：见解析
【分析】
观察发现：根据等边三角形的性质可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DPE=∠DCE；
深入探究1：根据等边三角形的性质可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根据三角形的内角和定理求出∠DPE=∠DEC；
深入探究2：延长CQ到R，使得QR＝CQ，连AR，先证明△AQR≌△DQC，得到AR＝CD＝CE，∠ARQ＝∠DCQ，进而得到∠CAR+∠ACD＝180°，再证明△ACR≌△BCE，得到∠ACR＝∠CBE，最后根据∠ACR+∠BCK＝90°即可求证．
【详解】
解：观察发现：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AB＝AC∠ACE＝∠BCDCD＝CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，
由三角形的外角性质，∠DPE=∠AEC+∠BDC，
∠DCE=∠BDC+∠DBC，
∴∠DPE=∠DCE=60°；
深入探究1：结论BD＝AE，∠DPE＝∠APB＝60°．
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，AB＝AC，∠ACE＝∠BCD，CD＝CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，
∵∠BDC+∠CDE+∠AED＝∠AEC+∠CDE+∠AED＝∠CDE+∠CED＝120°，
∴∠DPE＝180°﹣（∠BDC+∠CDE+∠AED）＝180°﹣120°＝60°；
∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°
深入探究2：

延长CQ到R，使得QR＝CQ，连AR
∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CE＝CD，∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AQ＝DQ，QR＝QC，又∠AQR＝∠CQD，∴△AQR≌△DQC，
∴AR＝CD＝CE，∠ARQ＝∠DCQ，∴AR∥CD，∴∠CAR+∠ACD＝180°，
∴∠BCE＝∠CAR，∵CA＝CB，AR＝CE，∴△ACR≌△BCE，∴∠ACR＝∠CBE，
∵∠ACR+∠BCK＝90°，∴∠CBE+∠BCK＝90°，
∴∠CKB＝90°，即CK⊥BE．