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苏科版八年级数学上学期期中检测A卷-2022-2023学年八年级数学上学期期中期末考点大串讲（苏科版）
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苏科版八年级数学上学期期中检测A卷考试范围：第1章-第3章； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据全等图形的判定方法分析解答．【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等；②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等；③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等．正确的有③，故选：B．【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键．2．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为196，则AB长为（ ）A．13 B．14 C．16 D．无法确定【答案】B【分析】利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为196，∴，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴，∴，∴AB=14，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确理解题意得到是解题的关键．4．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（ ）A．23cm B．28cm C．13cm D．18cm【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=CD，将△ABC的周长表示成△ABD的周长加上AC长求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE=5cm，∴AC=10cm，∵△ABD的周长是18cm，∴AB+BD+AD=18cm，△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=AB+BD+AD+AC=18+10=28cm．故选：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．5．（2022·吉林·前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形C．如果，那么△ABC是直角三角形D．如果，那么△ABC是直角三角形【答案】A【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：A、如果 a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果 a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．6．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ）s．A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或【答案】C【分析】需要分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解．【详解】解：当点在上，点在上时，以，，为顶点的三角形与全等，，，，当点在上，点第一次从点返回时，以，，为顶点的三角形与全等，，，，综上所述：的值为1或．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则斜边长为___________．【答案】13【分析】根据勾股定理可直接计算求解．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别是5和12，∴斜边长为，故答案为：13．【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．【答案】95°【分析】根据两个多边形全等，则对应角相等，利用四边形内角和为360°即可求解.【详解】∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′∴∠D=∠D′=130゜∵四边形ABCD的内角和为360゜∴∠A=360゜-∠B-∠C-∠D=95゜故答案为：95゜【点睛】本题考查了多边形全等的性质、多边形的内角和定理，掌握多边形全等的性质是关键．9．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图，点D在BC上，AB=AD，∠B=∠ADE，添加适当的条件能使△ABC≌△ADE，则添加的条件是____________．【答案】【分析】根据题意条件可知，△ABC和△ADE有对应一组等角和一组等边，结合判定两个三角形全等的方法，若，即可根据AAS方法来判定三角形全等．【详解】解：添加一个条件，理由如下，在△ABC和△ADE中则△ABC≌△ADE（AAS）故答案为：【点睛】本题考查的是添加条件使三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．10．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°．【答案】90【分析】求出BC，AC和AB的长，利用勾股定理证明△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即可得到结果．【详解】解：由图可知：BC=5，AC=，AB=，且满足，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴∠BCA+∠ABC=90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，解题的关键是证明△ABC是直角三角形．11．（2022·河南周口·七年级期末）如图，，点B和点C是对应顶点，若AB=8cm，AD=3cm，则DC=________cm．【答案】5【分析】根据全等三角形的性质，可得AB=AC，AD=AE，根据线段的和差即可求解．【详解】解：∵△ABD≌△ACE，点B和点C对应， ∴AB=AC，AD=AE，∴AB-AE=AC-AD即CD=BE，已知AB=9，AE=4，∴CD=BE=AB-AE=9-4=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．12．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部的点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数是_____．【答案】90°##90度【分析】根据折叠的性质可得，再由FH平分∠BFE，可得，再由∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：，∵FH平分∠BFE，∴，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠GFH=90°．故答案为：90°．【点睛】此题主要考查了翻折变换以及角平分线的性质，解决问题的关键是根据翻折的方法得到∠1和∠3的关系，根据角平分线的性质得到∠2和∠4的关系．13．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 _____________．【答案】10【分析】根据绝对值和平方都是非负数，得到m－2＝0以及n－4＝0，求出m，n的值．再分别讨论以m为腰以及以n为腰的情况，根据三角形三边关系判断等腰三角形△ABC腰的长，进而得到周长．【详解】由题可知，│m－2│≥0，．又∵，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4．因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4，因为2＋2＝4，所以此时不满足三角形三边关系；②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4，此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：＝4＋4＋2＝10．故答案是10．【点睛】本题主要考查三角形的基本概念，平方与绝对值的非负性，牢记平方及绝对值的性质求出m，n的值是解题的关键．14．（2021·四川凉山·八年级期中）已知：如图，点P为∠MON内一点，点P与点A关于ON对称，点P与点B关于OM对称，若AB长为15cm，则△PCD的周长为_______．【答案】15cm【分析】根据轴对称的性质得到AD=PD，PC=BC，据此求解即可．【详解】解：∵点P与点A关于ON对称，点P与点B关于OM对称，∴AD=PD，PC=BC，∴△PCD的周长=PD+CD+PC=AD+CD+BC=AB=15cm，故答案为：15cm．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．15．（2022·江苏·八年级专题练习）如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________．【答案】10【分析】将正方体上表面如图展开（见详解），根据两点之间，线段最短，即可得到：连接PQ的线段是P到Q的最短路程，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示，∵PB＝AB＝6，AQ＝2，∴BQ＝6+2＝8，∴PQ＝＝＝10．∴蚂蚁爬行的最短路程10．故答案为：10．【点睛】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键.16．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．△DEF为等腰三角形时，∠ACD=__________．【答案】15°或30°或60°【分析】当△DEF为等腰三角形时，分四种情况讨论，三角形的外角性质以及等腰三角形的性质即可求得结果．【详解】解：△DEF为等腰三角形时，根据折叠变换的性质可得∠A=∠E=40°，∠ACD=∠ECD，①当DF=DE时，∠E=∠DFE=40°，如图，∴∠CFB=40°，∵∠B=50°，∴∠FCB=90°，显然不符合题意；②当EF=DE时，∠E=40°，如图，∴∠EDF=∠EFD==70°，∴∠CFB=70°，∴∠ACF=70°-40°=30°，∴∠ACD=15°；③当EF=DF时，∠E=∠FDE=40°，如图，∴∠DFE=180°-40°-40°=100°，∴∠ACE=100°-40°=60°，∴∠ACD=30°；④当点E在线段AB上侧时，DE=EF，如图，∵△ACD沿CD翻折得到△ECD，∴∠CAD=∠CED=40°，∴∠EDF=∠EFD=20°，∴∠ADC=∠EDC==80°，∴∠ACD=180°-40°-80°=60°；故答案为：15°或30°或60°．【点睛】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形的外角性质，解题关键是分类讨论求解．三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度．【答案】立柱AB段的长度为9米【分析】延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1 m，GC=AD=15 m，设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1m，GC=AD=15m，设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2=CB2，∴x2+152=（26-1-x）2，解得x=8，∴BA=BG+GA=8+1=9（m），∴AB的长度为9m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（2021·广西贵港·八年级期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD≌EBC．（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．【答案】（1）1；（2）AD⊥CE，见解析【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE=AB=2，BD=BC=3，再利用线段的和差可得答案；（2）先利用全等三角形的性质与邻补角互补求解∠ABD＝∠EBC＝90°，从而可得，再证明从而可得答案.【详解】解：（1） ∵△ABD≌△EBC，AB＝2，BC＝3，∴BE=AB=2，BD=BC=3， ∵点E在BD上，∴DE=BD-BE=3-2=1；（2）AD与CE所在直线的位置关系为AD⊥CE. 理由如下：如图，延长交于 ∵点A，B，C在同一直线上，且△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴， ∴ ， ∴AD⊥CE.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握“全等三角形的对应边相等，对应角相等”是解题的关键.19．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；（2）根据要求画出图形即可；（3）根据要求画出图形即可．（1）如图①中，直线m即为所求；（2）如图②中，图形即为所求；（3）如图③中，图形即为所求．【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，，．(1)求证：△ABC ≌△DFE；(2)若BF＝12，EC＝4，求BC的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段和差可得，然后根据定理即可得证；（2）先根据线段和差可得，从而可得，再根据即可得．（1）证明：，，，，即，在和中，，．（2）解：，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．21．（2022·全国·八年级专题练习）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．(1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【答案】(1)40米(2)12秒【分析】（1）过点A作AD⊥ON于D，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD可得答案；（2）在上取点，点，使，则卡车在BC段对学校A有影响，利用勾股定理求出BD和CD的长，从而求出时间．（1）解：过作，垂足为，由垂线段最短可知为所求，∵，米，∴米，答：噪声影响最大时，卡车与学校的距离为40米；（2）在上取点，点，使，由题意，卡车到达点时开始对学校产生噪声影响，到达点时结束噪声影响，由（1）知AD＝40米，∴米，同理可得：米，∴米，∵卡车的行驶速度为5米/秒，∴给学校带来噪声影响的总时间为（秒）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．22．（2021·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：(1)如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；(2)如图（2），连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）．【答案】(1)AB⊥BC且AB＝BC，理由见解析(2)∠α+∠β＝45°，图跟证明见解析【分析】（1）如图（1），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是直角三角形，据此判断出AB与BC的关系，并说明理由即可．（2）如图（2），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是等腰直角三角形，据此求出∠α+∠β的度数是多少即可．（1）如图，连接AC，由勾股定理得，，，，∴，AB＝BC，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，综上所述，AB与BC的关系为：AB⊥BC且AB＝BC；（2）∠α+∠β＝45°．证明如下：如图，由勾股定理得，，，，∴，∴△ABC是直角三角形，∵AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠α+∠β＝45°．【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．23．（2022·江苏·八年级专题练习）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC,（1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长；（2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长．【答案】（1）；（2）【分详】（1）由勾股定理求出AB的长度，设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x，在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，列式计算求出x的值即可；（2）过点B作BH⊥BC交DF于点H，由全等三角形的判定得△DGC≌△HBG，由全等三角形的性质得DC＝BH，∠CBH＝∠DCB，由平行线的判定得AC//BH及∠A＝∠HBF，由折叠知∠A＝∠F，得∠HBF＝∠F，HB＝HF．设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，列式计算即可求出AD的长【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10．设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x．在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，(8－x) 2＋62＝x2， 解得x＝，AD的长为； （2）过点B作BH⊥BC交DF于点H．在△DGC与△HBG中，∵∠DCB＝∠HBG，∠DGC＝∠BGH，CG＝BG，∴△DGC≌△HBG．∴DC＝BH，DG＝GH，∠CBH＝∠DCB，∴ AC//BH．∴∠A＝∠HBF．由折叠可知∠A＝∠F，∴∠HBF＝∠F．∴HB＝HF．设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，∴DG＝DH＝(8－y－y) ＝4－y，在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，y2＋32＝(4－y) 2， 解得y＝， ∴AD=8－y＝，即AD的长为．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．24．（2021·重庆市渝北区实验中学校八年级期中）在中，是中点，分别为射线上一点，且满足 (1)如图1，若，且分别在线段上，，求线段的长度；(2)如图2，连接并延长至点，使，过点作于点，当点在线段的延长线上，点在延长线上时，求证：【答案】(1)2(2)见解析【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE=CE，∠C=∠EAG=45°，根据已知条件，可得∠CEH=∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG；（2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH=GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），可得BF=BI，即可得证．（1）解：连接AE，如图所示：∵∠B=45°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵E为BC的中点，∴AE=CE，AE⊥BC，∠CAE=∠BAE=45°，∴∠C=∠BAE，∵∠CAB+∠GEH=180°，∴∠GEH=∠AEC=90°，∴∠CEH=∠AEG，在△CEH和△AEG中，∴△CEH≌△AEG（ASA），∴AG=CH=2；（2）证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，如图所示：则EI是线段BJ的垂直平分线，∴EJ=BE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∴EJ=EC，∵∠GEH+∠BAC=180°，∠GAH+∠BAC=180°，∴∠GEH=∠GAH，∴∠JGE=∠CHE，∵EJ=EB，AB=AC，∴∠EJB=∠ABC=∠ACB，∴∠EJG=∠ECH，∴△ECH≌△EJG（AAS），∴CH=JG，∵AC=AB，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，又DE=AE，∴BD=AB，∴∠ABE=∠DBE，∵EF⊥BD，EI⊥AB，∴∠BIE=∠BFE=90°，∵BE=BE，∴△BFE≌△BIE（AAS），∴BF=BI，∴2BF+CH=BG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三角形是解题的关键．25．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得；（2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证；（3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．（1）解：，，，，．（2）证明：如图，过点作于点，作于点，平分，，，由（1）可知，，即平分，，，又点在的内部，平分．（3）解：如图，过点作于点，作于点，由（2）已得：，设，，，，即，又，，，，的面积为．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．26．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．(1)当运动时间为t秒时，BQ的长为 厘米，BP的长为 厘米．（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形；(3)如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，△CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．【答案】(1)t，（6﹣t）；(2)2或4；(3)△CMQ不会变化，始终是60°，理由见解析【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）厘米；（2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可；（3）只需要证明△ABQ≌△CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，即∠CMQ不会变化．（1）解：∵点P、Q的速度都为1厘米/秒．∴BQ＝t厘米，AP＝t厘米，∴BP=AB-AP=（6-t）厘米，故答案为：t，（6﹣t）；（2）解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米，①如图1，当∠PQB＝90°时，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，解得，t＝2，②如图2，当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），解得，t=4，∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形；（3）解：∠CMQ不变，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，∴∠CMQ不会变化．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键．27．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图① ，在△ ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为______s；(2)当△ ABM与△ MCN全等时，① 若点M、N的移动速度相同，求t的值；② 若点M、N的移动速度不同，求a的值；(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△ PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)5(2)① ；② (3)存在，或【分析】（1）根据时间=路程÷速度计算即可（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可②当时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论（3）分两种情况分别求解即可解决问题（1）解：点M的运动t=20÷4=5（s）（2）∵，∴，∴ B、C对应① 若点M、N的移动速度相同∴ 若则即：12=20-4t解得：t=2② 若点M、N的移动速度不同则∴当时，两个三角形全等∴ 运动时间t=10÷4=∴a=12÷2.5=（3）① 若点M、N的移动速度不同，则由求得时间t=，此时BP=12-×3=CN=·a=解得：a=∴当t=时，（此时点N的速度为）②若点M、N的移动速度相同，则∴只要,两个三角形全等或解得：（舍去）或综上：t=或【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，抓住点B始终与点C对应，由点M与点N速度相同和不相同分类求解是解题关键．
苏科版八年级数学上学期期中检测A卷考试范围：第1章-第3章； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）对于两个图形，下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③能够完全重合的两个图形．其中能得出这两个图形全等的结论共有（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据全等图形的判定方法分析解答．【详解】解：①两个图形的周长相等，这两个图形不一定全等；②两个图形的面积相等，这两个图形不一定全等；③能够完全重合的两个图形，这两个图形一定全等．正确的有③，故选：B．【点睛】此题考查了全等图形的判定，熟练掌握全等图形的判定定理是解题的关键．2．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（2022·吉林吉林·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为196，则AB长为（ ）A．13 B．14 C．16 D．无法确定【答案】B【分析】利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵正方形ADEC与正方形BCFG的面积和为196，∴，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴，∴，∴AB=14，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确理解题意得到是解题的关键．4．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（ ）A．23cm B．28cm C．13cm D．18cm【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质得到AD=CD，将△ABC的周长表示成△ABD的周长加上AC长求解．【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AE=CE=5cm，∴AC=10cm，∵△ABD的周长是18cm，∴AB+BD+AD=18cm，△ABC的周长=AB+BD+CD+AC=AB+BD+AD+AC=18+10=28cm．故选：B．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．5．（2022·吉林·前郭尔罗斯蒙古族自治县第三中学八年级阶段练习）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）A．如果a2=b2−c2，那么△ABC是直角三角形且∠A=90°B．如果∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC是直角三角形C．如果，那么△ABC是直角三角形D．如果，那么△ABC是直角三角形【答案】A【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：A、如果 a2=b2-c2，即b2=a2+c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B=90°，选项错误，符合题意；B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；C、如果 a2：b2：c2=9：16：25，满足a2+b2=c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；D、如果∠A-∠B=∠C，由∠A+∠B+∠C=180°，可得∠A=90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是直角三角形的判定和勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．6．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，点C在线段上，于点于点，且，点P从点A开始以的速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，同时停止运动．过分别作的垂线，垂足分别为．设运动的时间为，当以三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（ ）s．A．1 B．1或2 C．1或 D．1或或【答案】C【分析】需要分三种情况讨论，根据全等三角形的判定和性质结合建立一元一次方程可求解．【详解】解：当点在上，点在上时，以，，为顶点的三角形与全等，，，，当点在上，点第一次从点返回时，以，，为顶点的三角形与全等，，，，综上所述：的值为1或．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）7．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）已知直角三角形的两条直角边长分别是5和12，则斜边长为___________．【答案】13【分析】根据勾股定理可直接计算求解．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边分别是5和12，∴斜边长为，故答案为：13．【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是______．【答案】95°【分析】根据两个多边形全等，则对应角相等，利用四边形内角和为360°即可求解.【详解】∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′∴∠D=∠D′=130゜∵四边形ABCD的内角和为360゜∴∠A=360゜-∠B-∠C-∠D=95゜故答案为：95゜【点睛】本题考查了多边形全等的性质、多边形的内角和定理，掌握多边形全等的性质是关键．9．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图，点D在BC上，AB=AD，∠B=∠ADE，添加适当的条件能使△ABC≌△ADE，则添加的条件是____________．【答案】【分析】根据题意条件可知，△ABC和△ADE有对应一组等角和一组等边，结合判定两个三角形全等的方法，若，即可根据AAS方法来判定三角形全等．【详解】解：添加一个条件，理由如下，在△ABC和△ADE中则△ABC≌△ADE（AAS）故答案为：【点睛】本题考查的是添加条件使三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键．10．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°．【答案】90【分析】求出BC，AC和AB的长，利用勾股定理证明△ABC是直角三角形，得到∠BAC=90°，即可得到结果．【详解】解：由图可知：BC=5，AC=，AB=，且满足，∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，∴∠BCA+∠ABC=90°，故答案为：90．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，解题的关键是证明△ABC是直角三角形．11．（2022·河南周口·七年级期末）如图，，点B和点C是对应顶点，若AB=8cm，AD=3cm，则DC=________cm．【答案】5【分析】根据全等三角形的性质，可得AB=AC，AD=AE，根据线段的和差即可求解．【详解】解：∵△ABD≌△ACE，点B和点C对应， ∴AB=AC，AD=AE，∴AB-AE=AC-AD即CD=BE，已知AB=9，AE=4，∴CD=BE=AB-AE=9-4=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．12．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部的点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数是_____．【答案】90°##90度【分析】根据折叠的性质可得，再由FH平分∠BFE，可得，再由∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：，∵FH平分∠BFE，∴，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2=90°，即：∠GFH=90°．故答案为：90°．【点睛】此题主要考查了翻折变换以及角平分线的性质，解决问题的关键是根据翻折的方法得到∠1和∠3的关系，根据角平分线的性质得到∠2和∠4的关系．13．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）若实数、满足等式，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是 _____________．【答案】10【分析】根据绝对值和平方都是非负数，得到m－2＝0以及n－4＝0，求出m，n的值．再分别讨论以m为腰以及以n为腰的情况，根据三角形三边关系判断等腰三角形△ABC腰的长，进而得到周长．【详解】由题可知，│m－2│≥0，．又∵，∴m－2＝0，n－4＝0，解得m＝2，n＝4．因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4，因为2＋2＝4，所以此时不满足三角形三边关系；②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4，此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：＝4＋4＋2＝10．故答案是10．【点睛】本题主要考查三角形的基本概念，平方与绝对值的非负性，牢记平方及绝对值的性质求出m，n的值是解题的关键．14．（2021·四川凉山·八年级期中）已知：如图，点P为∠MON内一点，点P与点A关于ON对称，点P与点B关于OM对称，若AB长为15cm，则△PCD的周长为_______．【答案】15cm【分析】根据轴对称的性质得到AD=PD，PC=BC，据此求解即可．【详解】解：∵点P与点A关于ON对称，点P与点B关于OM对称，∴AD=PD，PC=BC，∴△PCD的周长=PD+CD+PC=AD+CD+BC=AB=15cm，故答案为：15cm．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．15．（2022·江苏·八年级专题练习）如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程为__________．【答案】10【分析】将正方体上表面如图展开（见详解），根据两点之间，线段最短，即可得到：连接PQ的线段是P到Q的最短路程，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：将正方体上表面展开，如图所示，∵PB＝AB＝6，AQ＝2，∴BQ＝6+2＝8，∴PQ＝＝＝10．∴蚂蚁爬行的最短路程10．故答案为：10．【点睛】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此题的关键.16．（2022·江西·崇仁县第二中学七年级阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．△DEF为等腰三角形时，∠ACD=__________．【答案】15°或30°或60°【分析】当△DEF为等腰三角形时，分四种情况讨论，三角形的外角性质以及等腰三角形的性质即可求得结果．【详解】解：△DEF为等腰三角形时，根据折叠变换的性质可得∠A=∠E=40°，∠ACD=∠ECD，①当DF=DE时，∠E=∠DFE=40°，如图，∴∠CFB=40°，∵∠B=50°，∴∠FCB=90°，显然不符合题意；②当EF=DE时，∠E=40°，如图，∴∠EDF=∠EFD==70°，∴∠CFB=70°，∴∠ACF=70°-40°=30°，∴∠ACD=15°；③当EF=DF时，∠E=∠FDE=40°，如图，∴∠DFE=180°-40°-40°=100°，∴∠ACE=100°-40°=60°，∴∠ACD=30°；④当点E在线段AB上侧时，DE=EF，如图，∵△ACD沿CD翻折得到△ECD，∴∠CAD=∠CED=40°，∴∠EDF=∠EFD=20°，∴∠ADC=∠EDC==80°，∴∠ACD=180°-40°-80°=60°；故答案为：15°或30°或60°．【点睛】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形的外角性质，解题关键是分类讨论求解．三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度．【答案】立柱AB段的长度为9米【分析】延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1 m，GC=AD=15 m，设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1m，GC=AD=15m，设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，在Rt△BGC中，∵BG2+CG2=CB2，∴x2+152=（26-1-x）2，解得x=8，∴BA=BG+GA=8+1=9（m），∴AB的长度为9m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．18．（2021·广西贵港·八年级期中）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且ABD≌EBC．（1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长；（2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由．【答案】（1）1；（2）AD⊥CE，见解析【分析】（1）由全等三角形的性质可得BE=AB=2，BD=BC=3，再利用线段的和差可得答案；（2）先利用全等三角形的性质与邻补角互补求解∠ABD＝∠EBC＝90°，从而可得，再证明从而可得答案.【详解】解：（1） ∵△ABD≌△EBC，AB＝2，BC＝3，∴BE=AB=2，BD=BC=3， ∵点E在BD上，∴DE=BD-BE=3-2=1；（2）AD与CE所在直线的位置关系为AD⊥CE. 理由如下：如图，延长交于 ∵点A，B，C在同一直线上，且△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴， ∴ ， ∴AD⊥CE.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握“全等三角形的对应边相等，对应角相等”是解题的关键.19．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）下列正方形网格图中，部分方格涂上了阴影，请按照不同要求作图．(1)如图①，整个图形是轴对称图形，画出它的对称轴．(2)如图②，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有两条对称轴．(3)如图③，将某一个方格涂上阴影，使整个图形有四条对称轴．【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析【分析】（1）根据轴对称图形的性质作出对称轴即可；（2）根据要求画出图形即可；（3）根据要求画出图形即可．（1）如图①中，直线m即为所求；（2）如图②中，图形即为所求；（3）如图③中，图形即为所求．【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，，．(1)求证：△ABC ≌△DFE；(2)若BF＝12，EC＝4，求BC的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段和差可得，然后根据定理即可得证；（2）先根据线段和差可得，从而可得，再根据即可得．（1）证明：，，，，即，在和中，，．（2）解：，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定，线段和差，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．21．（2022·全国·八年级专题练习）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．(1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【答案】(1)40米(2)12秒【分析】（1）过点A作AD⊥ON于D，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD可得答案；（2）在上取点，点，使，则卡车在BC段对学校A有影响，利用勾股定理求出BD和CD的长，从而求出时间．（1）解：过作，垂足为，由垂线段最短可知为所求，∵，米，∴米，答：噪声影响最大时，卡车与学校的距离为40米；（2）在上取点，点，使，由题意，卡车到达点时开始对学校产生噪声影响，到达点时结束噪声影响，由（1）知AD＝40米，∴米，同理可得：米，∴米，∵卡车的行驶速度为5米/秒，∴给学校带来噪声影响的总时间为（秒）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．22．（2021·江西·崇仁县第二中学八年级阶段练习）在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：(1)如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；(2)如图（2），连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）．【答案】(1)AB⊥BC且AB＝BC，理由见解析(2)∠α+∠β＝45°，图跟证明见解析【分析】（1）如图（1），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是直角三角形，据此判断出AB与BC的关系，并说明理由即可．（2）如图（2），根据勾股定理，判断出，即可推得△ABC是等腰直角三角形，据此求出∠α+∠β的度数是多少即可．（1）如图，连接AC，由勾股定理得，，，，∴，AB＝BC，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，综上所述，AB与BC的关系为：AB⊥BC且AB＝BC；（2）∠α+∠β＝45°．证明如下：如图，由勾股定理得，，，，∴，∴△ABC是直角三角形，∵AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠α+∠β＝45°．【点睛】此题主要考查了作图-应用与设计作图，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．23．（2022·江苏·八年级专题练习）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，沿AB的垂线DE折叠△ABC,（1）如图①，若点A落在点B处，求AD的长；（2）如图②，若点A落在AB的延长线的点F处，AD折叠后与CB交点G，且CG＝BG，求AD的长．【答案】（1）；（2）【分详】（1）由勾股定理求出AB的长度，设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x，在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，列式计算求出x的值即可；（2）过点B作BH⊥BC交DF于点H，由全等三角形的判定得△DGC≌△HBG，由全等三角形的性质得DC＝BH，∠CBH＝∠DCB，由平行线的判定得AC//BH及∠A＝∠HBF，由折叠知∠A＝∠F，得∠HBF＝∠F，HB＝HF．设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，列式计算即可求出AD的长【详解】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10．设AD＝x，则CD＝8－x，由折叠可知DB＝AD＝x．在Rt△DCB中， CD2＋BC2＝DB2，(8－x) 2＋62＝x2， 解得x＝，AD的长为； （2）过点B作BH⊥BC交DF于点H．在△DGC与△HBG中，∵∠DCB＝∠HBG，∠DGC＝∠BGH，CG＝BG，∴△DGC≌△HBG．∴DC＝BH，DG＝GH，∠CBH＝∠DCB，∴ AC//BH．∴∠A＝∠HBF．由折叠可知∠A＝∠F，∴∠HBF＝∠F．∴HB＝HF．设CD＝y，则AD＝DF＝8－y，HF＝y，∴DG＝DH＝(8－y－y) ＝4－y，在Rt△DCG中， CD2＋GC2＝DG2，y2＋32＝(4－y) 2， 解得y＝， ∴AD=8－y＝，即AD的长为．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键．24．（2021·重庆市渝北区实验中学校八年级期中）在中，是中点，分别为射线上一点，且满足 (1)如图1，若，且分别在线段上，，求线段的长度；(2)如图2，连接并延长至点，使，过点作于点，当点在线段的延长线上，点在延长线上时，求证：【答案】(1)2(2)见解析【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE=CE，∠C=∠EAG=45°，根据已知条件，可得∠CEH=∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG；（2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH=GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），可得BF=BI，即可得证．（1）解：连接AE，如图所示：∵∠B=45°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∵E为BC的中点，∴AE=CE，AE⊥BC，∠CAE=∠BAE=45°，∴∠C=∠BAE，∵∠CAB+∠GEH=180°，∴∠GEH=∠AEC=90°，∴∠CEH=∠AEG，在△CEH和△AEG中，∴△CEH≌△AEG（ASA），∴AG=CH=2；（2）证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ=BI，连接EJ，如图所示：则EI是线段BJ的垂直平分线，∴EJ=BE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∴EJ=EC，∵∠GEH+∠BAC=180°，∠GAH+∠BAC=180°，∴∠GEH=∠GAH，∴∠JGE=∠CHE，∵EJ=EB，AB=AC，∴∠EJB=∠ABC=∠ACB，∴∠EJG=∠ECH，∴△ECH≌△EJG（AAS），∴CH=JG，∵AC=AB，点E是BC的中点，∴AE⊥BC，又DE=AE，∴BD=AB，∴∠ABE=∠DBE，∵EF⊥BD，EI⊥AB，∴∠BIE=∠BFE=90°，∵BE=BE，∴△BFE≌△BIE（AAS），∴BF=BI，∴2BF+CH=BG．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三角形是解题的关键．25．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且．(1)求∠ACE的度数；(2)求证：AE平分∠CAF；(3)若AC+CD＝14，AB＝8.5，且，求△ABE的面积．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得；（2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证；（3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．（1）解：，，，，．（2）证明：如图，过点作于点，作于点，平分，，，由（1）可知，，即平分，，，又点在的内部，平分．（3）解：如图，过点作于点，作于点，由（2）已得：，设，，，，即，又，，，，的面积为．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．26．（2020·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．(1)当运动时间为t秒时，BQ的长为 厘米，BP的长为 厘米．（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形；(3)如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，△CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．【答案】(1)t，（6﹣t）；(2)2或4；(3)△CMQ不会变化，始终是60°，理由见解析【分析】（1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）厘米；（2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可；（3）只需要证明△ABQ≌△CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，即∠CMQ不会变化．（1）解：∵点P、Q的速度都为1厘米/秒．∴BQ＝t厘米，AP＝t厘米，∴BP=AB-AP=（6-t）厘米，故答案为：t，（6﹣t）；（2）解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米，①如图1，当∠PQB＝90°时，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t，解得，t＝2，②如图2，当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t），解得，t=4，∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形；（3）解：∠CMQ不变，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°，在△ABQ与△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，∴∠CMQ不会变化．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键．27．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图① ，在△ ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线．点M从点B出发，以4cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为______s；(2)当△ ABM与△ MCN全等时，① 若点M、N的移动速度相同，求t的值；② 若点M、N的移动速度不同，求a的值；(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以3cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在△ PBM与△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)5(2)① ；② (3)存在，或【分析】（1）根据时间=路程÷速度计算即可（2）①利用全等三角形的性质，构建方程解决问题即可②当时，两个三角形全等，求出运动时间，可得结论（3）分两种情况分别求解即可解决问题（1）解：点M的运动t=20÷4=5（s）（2）∵，∴，∴ B、C对应① 若点M、N的移动速度相同∴ 若则即：12=20-4t解得：t=2② 若点M、N的移动速度不同则∴当时，两个三角形全等∴ 运动时间t=10÷4=∴a=12÷2.5=（3）① 若点M、N的移动速度不同，则由求得时间t=，此时BP=12-×3=CN=·a=解得：a=∴当t=时，（此时点N的速度为）②若点M、N的移动速度相同，则∴只要,两个三角形全等或解得：（舍去）或综上：t=或【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，抓住点B始终与点C对应，由点M与点N速度相同和不相同分类求解是解题关键．
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