备战2022年高考数学数列专项题型-第16讲 存在性问题（整除问题）（含解析）

第16讲 存在性问题（整除问题）

一．选择题（共1小题）

1．已知数列满足，若从中提取一个公比为的等比数列，其中且，，则满足条件的最小的值为　　

A． B． C． D．2

【解析】解：数列满足，

，，，，

，，，，

若取，则，不在数列中；

若取，则，不在数列中；

若取，则，在数列中．

综上，满足条件的最小的的值为2．

故选：．

二．解答题（共15小题）

2．设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，，数列满足．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求正整数的值，使得是数列中的项．

【解析】解：（Ⅰ）设的公比为，则有，解得，或（舍．

则，，（4分）

．（6分）

即数列和的通项公式为，．

（Ⅱ），令，

所以，（10分）

如果是数列中的项，设为第项，则有，

那么为小于等于5的整数，

所以，，1，．当或时，，不合题意；

当或时，，符合题意．

所以，当或时，即或时，是数列中的项．（14分）

3．已知是递增数列，其前项和为，，且．

（1）求数列的通项；

（2）是否存在，，，使得成立？若存在，写出一组符合条件的，，的值；若不存在，请说明理由；

（3）设，若对于任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．

【解析】解：（1），得，解得或．

由于，所以．

因为，所以．

故．

整理，得，即．

因为是递增数列，且，故，因此．

则数列是以2为首项，为公差的等差数列．

所以．

（2）满足条件的正整数，，不存在，证明如下：

假设存在，，，使得，

则．

整理，得，①

显然，左边为整数，所以①式不成立．

故满足条件的正整数，，不存在．

（3），

不等式可转化为．

设，

则

．

所以，即当增大时，也增大．

要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．

因为，所以．

即．

所以，正整数的最大值为8．

4．已知等差数列中，首项，公差为整数，且满足．，数列满足，其前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求的值．

【解析】解：（Ⅰ）等差数列中，首项，公差为整数，

且满足．，可得，且，

即，由为整数，可得，

则；

（Ⅱ），

则，

，，成等比数列，

可得，

即，

解得．

5．已知等差数列满足：，且，，成等比数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式．

（Ⅱ）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．

【解析】解：（1）设数列公差为，由（2分）

解得或，（4分）

故或；（6分）

（2）当时，（7分）．不存在正整数，使得（8分）

当时，（9分）

由解得或（舍去）

此时存在正整数使得．且的最小值为31．（11分）

综上，当时，不存在正整数，使得

当时，存在正整数使得．且的最小值为31．（12分）

6．已知等差数列的前项和为，且满足，．

求数列的通项公式；

若，，成等比数列，求正整数的值．

【解析】（共13分）

解：（Ⅰ）设数列的公差为，由题意知，即，

由，解得．

所以，即，．（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．

又，，

由已知可得，即，

整理得，．

解得（舍去）或．

故．（13分）

7．已知等差数列的前项和为，且满足，．

（Ⅰ）求数列的通项公式及；

（Ⅱ）若，，成等比数列，求的最小值．

【解析】解：（Ⅰ）设公差为，

由题意，得（4分）

解得，，（5分）

所以，（6分）

．                     （7分）

（Ⅱ）因为，，成等比数列，

所以，（9分）

即，（10分）

化简，得，（11分）

考察函数，知在上单调递增，

又因为，（2），，

所以当时，有最小值6．                            （13分）

8．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式及数列的前项和为；

（2）是否存在正整数，，使得，，成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）因为是等差数列，

由，

又因为，所以，

由，

所以．

（2）由（1）知，，

所以，

若，，成等比数列，则，

即．

由，

可得，

所以，

从而：，又，且，

所以，此时．

故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．

9．已知数列满足，且．

（Ⅰ）设数列的前项和为，若数列满足，求；

（Ⅱ）设，是否存在常数，使为等差数列，请说明理由．

【解析】解：数列满足，且，数列是等差数列，公差为2，首项为2，，．

当时，；

当时，．

．

，

．

假设存在常数，使为等差数列，

则，，，

则，

化为：．

是关于的一次函数，是等差数列．

10．已知点是函数的图象上的一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的通项，求数列的前项和；

（3）若数列的前项和为，是否存在最大的整数，使得对任意的正整数，均有总成立？若成立，求出；若不存在，请说明理由．

【解析】解：（1）由题意可得，等比数列的前项和为，

由等比数列的求和公式可得，即，公比，

则；

数列的首项为1，且前项和满足：，

可得，即有，

即，；

（2）通项，

前项和，

，

相减可得

，

化简可得；

（3），

数列的前项和为

，

由在为自然数集递增，可得最小值为，

，可得，

则存在最大的整数，使得对任意的正整数，均有总成立．

11．已知点是函数且的图象上一点，等比数列的前项和为，

数列的首项为，且前项和满足．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列前项和为，则满足的最小正整数是多少？

【解析】解：（1）（1），，

（1），（2）（1）（2）（1），

（3）（2）（3）（2），

又数列成等比数列，，；

又公比，；

又，，

数列构成一个首项为1公差为1的等差数列．

，，

当，，

当，，；

（2），

由得，满足的最小正整数为53．

12．已知点是函数的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足：当时，都有

（1）求的值；

（2）求证：是等差数列，并求出；

（3）若数列前项和为，问是否存在实数，使得对于任意的都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【解析】解：（1）（1），

，

，

（1）

，（2）（1），

（3）（2），

又数列成等比数列，

，

即，

，

（2）证明：公比，

，

，

又，，

，

数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，

，

，

当时，

，

当时，，满足上式，

，，

，

，

对于任意的都有，

，

故的取值范围为，．

13．已知正项数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求的前项和

（3）数列满足，，试问是否存在正整数，其中，使，，成等比数列？若存在求出满足条件所有的数组；若不存在请说明理由．

【解析】解：（1），

当时，，

两式相减可得，

由，可得，

即有，都是公差为2的等差数列，

由，可得，

即有，．

即有；

（2）

，

即有的前项和

；

（3）数列满足，，

假设存在正整数数组，使，，成等比数列，

则，，成等差数列，

于是，，

所以，☆．

易知，，为方程☆的一组解．

当，且时，，

故数列为递减数列

于是，

所以此时方程☆无正整数解．

综上，存在唯一正整数数对，，，

使，，成等比数列．

14．若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”

（1）已知数列中，，．

①求的通项公式；

②试判断是否为“等比源数列”，并证明你的结论．

（2）已知数列为等差数列，且，，求证：为“等比源数列”

【解析】解：（1）①，，

数列是等比数列，首项为1，公比为2．

，

．

②假设为“等比源数列”，

则此数列中存在三项：，．

满足，

，

化为：，

，

可知：左边为偶数，而右边为奇数，因此不可能成立．

故不是“等比源数列”．

（2）设等差数列的公差为，

则，，，

假设存在三项使得，．

，

展开：，

当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立．

15．已知数列 满足，，数列满足，，数列满足，．

（1）求，，．

（2）求数列，，的通项公式．

（3）是否存在正整数使得对一切恒成立，若存在求的最小值；若不存在请说明理由．

【解析】解（1），

，．（1分）

，，，．（2分），

，

．（3分）

（2）因为，，

所以 时，

验证可得 时也成立，

所以 ，（5分）

因为 ，

所以，

所以时，

验证可得 时也成立，

所以．（7分）

因为，．

所以．

两式相减得：，

所以，当时，，，

当，所以，

所以．（9分）

（3）时，，

所以 且，

当 时，，

即，

也即，

所以，（10分）

事实上：

因为当且仅当时取等号，

所以，（11分）

所以 且，

综上：，，

故的最小值为10．（12分）

16．已知数列，满足，，，．

（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由．

【解析】（1）证明：，，

则

，（2分）

，

又，，

是首项为，公差为的等差数列，（4分）

即，．（6分）

（2）解：由（1）知，，

，，成等差数列，

则，

，

即，，（10分）

欲满足题设条件，只需，此时，（12分）

对于任意给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列，

，，

即． 且．（14分）

综上所述，当时，存在，，满足题设条件．（16分）