备战2022年高考数学数列专项题型-第17讲 简单的数列与不等式证明（含解析）

第17讲 简单的数列与不等式证明

一．解答题（共11小题）

1．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有．

【解析】解：（1）当时，，解得：或，

数列为正数，

（2分）

（2），

即，

，

，

当时，，

两式相减得：，

当，满足，

（8分）

（3）证明：，

．

．（14分）

2．已知数列前项的乘积，满足．

（1）求；

（2）证明数列为等差数列，并求出；

（3）记，设，求证：．

【解析】解（1）易知，（2分）

（2），

由两式相除可得：，即，即．

所以数列为等差数列（6分）

，

故．  （7分）

（3）由（1）得．

，

，

．

所以．  （12分）

3．在平面上有一系列点，，，，，，，，对每个正整数，以点为圆心的与轴及射线，都相切，且与彼此外切．若，且．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设数列的各项为正，且满足，

求证：，

（3）对于（2）中的数列，当时，求证：．

【解析】解：（1）点列，，，，，，，必在射线，

为的半径，

与外切，

①（3分）

化简①式得：，解得：或，

，，数列是等比数列，，则（5分）

（2），而，，

，，，

（8分）

设

当时，，必有

当时，

（13分）

（3），

令：，则（18分）

分．

4．设数列的前项的和，，2，3，．

（Ⅰ）求首项与通项；

（Ⅱ）设，，2，3，．证明：．

【解析】解：，，2，3，．

时，，解得．

时，，化为：，

变形为：，

数列为等比数列，首项为，公比为4．

，可得：．

证明：由可得：．

．

．

5．设数列为等差数列，且，，数列的前项和为，且，

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）若，，2，3，，为数列的前项和．求证：．

【解析】解：（Ⅰ）由数列为等差数列，得公差，

易得，所以．

由得，，令，则，

又，所以，则．

由，当时，得，

两式相减得，，即，，

又，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

于是．

（Ⅱ）．

，

两式相减得，，

所以，

从而．

6．已知数列中，，，且，3，4，．为数列的前项和，且

，，2，3，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项的和；

（3）证明对一切，有．

【解析】（1）解：由已知，，得，

，，，

由题意，即，，

当为奇数时，；当为偶数时，．

所以数列的通项公式为，．（4分）

（2）解：由已知，对有，

两边同除以，得，

即，

于是，，

即，，

，

，，又时也成立，

，．

，．（8分）

（3）当，有，

时，有

．

当时，．

故对一切，有．（14分）

7．已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．

【解析】解：（1）各项均不为零的数列的前项和为，

且满足，①．

则：②，

①②

得：，

即：，

当时，

解得：，

所以：．

证明：（2）数列满足，

所以：，

①，

则：②，

①②得：，

，

解得：．

8．设公差不为零的等差数列的前5项的和为55，且，成等比数列．

（1）求数列的通项公式．

（2）设数列，求证：数列的前项和．

【解析】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，

由题意可得，

即有或（舍去），

故数列的通项公式为即；

（2）证明：由（1），

得，

则

．

故原不等式成立．

9．已知等差数列的前项和为，，．

（1）求；

（2）设数列的前项和为，证明：．

【解析】（1）解：，，

，；

（2）证明：

．．

10．已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求及；

（2）设，设数列的前项和，证明：．

【解析】解：（1）为等差数列，，，

即，

，，

，

；

（2）证明：，

数列的前项和，

，

，

；

．

11．已知等差数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求证：．

【解析】解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，

．

（2）由（1）知，，

，

令，由函数的图象关于点对称及其单调性知，

，，

，

．