备战2022年高考数学数列专项题型-第4讲 分组求和（含解析）

第4讲 分组求和

一．填空题（共1小题）

1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴

趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列，2，1，6，9，10，17，，设数

列的前项和为．

（1）请计算，，．并依此规律求数列的第项　　．

（2）　 　．（请用关于的多项式表示，其中

【解析】解：（1）由题意得，，，，，，，

计算：，，，

可归纳得数列满足的递推关系式为，

由，，

两式相减得．

可得．

（2）由

可得

，

由得：，，，，，

．

故答案为：22，．

二．解答题（共12小题）

2．求数列的前项和：．

【解析】解：设

将其每一项拆开再重新组合得

当时，

当时，

3．数列中，，为抛物线与直线的交点，过作抛物线的切线交直线于点，记的纵坐标为．

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．（附

【解析】解：（Ⅰ），由易得，，

，，

故，经检验时也符合，

故的通项公式为．

对两边取导数，可得，

，处切线斜率为，切线方程为，

与的交点的纵坐标为，

故的通项公式为．

（Ⅱ）

．

4．已知数列满足，．

（1）求证：数列为等比数列：

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1）由，

两边同除以得，

．

，，

，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1）有，，

．

令，，

，

．

则前项和．

5．已知正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，，．

（1）求，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列满足，求数列的前项和．

（参考公式：

【解析】解：（1）正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，，．

分别令，2，可得：，，又，，，，．

，，化为：，解得，．

（2）由（1）可得：化为：．

，．

．

（3）由（2）可得：时，．

数列满足，即，

时，，解得．

当时，，

可得：，即．

数列的前项和．

，

，

时也成立）．

6．设等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列前项和．

参考公式：．

【解析】解：（1）设等差数列的公差为，

由，知，即．

又由，得．

．

；

（2）由．

．

7．已知数列的前项和为，数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）求数列的前项和．

参考公式：．

【解析】解：（1）数列的前项和为，

时，．时，．

．

（2）数列满足，，即．

．

（3）数列的前项和．

8．已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列满足，①

当时，，②

①②得：，

故，

当时，解得，首项符合通项，

故．

（2）由（1）得：，

所以，

，

．

9．已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】解：（1）数列满足，①

当时，，②

①②得：，

故，

当时，解得，首项符合通项，

故．

（2）设，

所以．

10．已知数列满足，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记，求．

【解析】解：（1），且．

，即，

数列是等差数列，首项为1，公差为1．

，

．

当时，．

当时也成立，

．

（2）时，

，

．

11．在数列中，，，．

（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）求数列的与前项和．

【解析】（1）证明：，，．

，

数列是等比数列，首项为4，公比为2．

．

（2）解：数列的与前项和

．

12．单调递增数列满足．

（1）求，并求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】解：（1），①

当时，，解得，

当时，，②

①②并整理，得，

，

解得或

又单调递增数列，故

是首项是1，公差为1的等差数列，

（6分）

（2），

记③

④

由③④得，

，

，

，

，

．（13分）

13．已知数列和满足，若为等比数列，且，．

（1）求与；

（2）设，求数列的前项和．

【解析】解：（1）设数列的公比为

时，，，

时，，

（2）

（2）