备战2022年高考数学数列专项题型-第8讲 错位相减求和（含解析）

第8讲 错位相减求和

一．解答题（共11小题）

1．已知为等比数列，，；为等差数列 的前 项和，，．

（1）求和 的通项公式；

（2）设数列 满足，求数列 的前 项和．

【解析】解：（1）设等比数列的公比为，，；，解得．

．

设等差数列 的公差为，，．，解得．

．

（2）．

数列 的前 项和．

．

．

．

2．是等比数列，公比大于0，其前项和为是等差数列．已知，，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和为；

（3）若则数列前项和

①求

②若对，任意，均有恒成立，求实数的取值范围

（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？

（5）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，，求这个新数列的前项和

（6）设，其中，求

（7）是否存在新数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？

【解析】解：（1）是等比数列，公比大于0，是等差数列，设公差为，

，，

，即，解得，

，，

，，即，，

解得，

．

（2），

当为奇数时，，

当为偶数时，．

数列的前项和为：

．

（3）①，

，

，

两式相减，得：

，

．

②由①可知若对任意，，均有恒成立，

设，则，

当时，，当时，，

的最大值为，，

实数的取值范围是，．

（4）一般求数列最值的方法有：

单调法，图象法、基本不等式法、邻项比较法．

（5）数列的前项和为，数列的前项和为，

①当时，

．

②当时，

当时，，

当时，，

当时，也符合，

当时，，

③当时，

．

综上，．

（6），即，

，

，

设，前项和为，则：

，

，

两式相减并化简，得：

，

，

．

（7）设存在新数列，满足等式成立，

则，

当时，，

两式相减，得：

，

当时，，

当时，，

此时当时，也符合，

得到数列的通项公式为．

（8）数列求和的方法有公式法、错位相减法、裂项求和法、分组求和法，其本质还是看数列的通项公式．

3．已知公差的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：，求数列的通项公式；

（3）令，，求数列的前项和．

【解析】解：（1）依题意，得，又，可得．

，即；

（2），

，

两式作差可得：．

又，

；

（3）当时，．

当时，．

．

令，

则，

两式作差得：．

．

则．

4．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）求的值．

【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

，

，

，

，

，

又，，

，，

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

设，

，①

，②，

②①得：

，

．

5．设是公差大于零的等差数列，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）设是以函数的最小正周期为首项，以2为公比的等比数列，求数列的前项和．

【解析】解：（1）设数列的公差为，

则，解得或（舍，（3分）

．（5分）

（2），

其最小正周期为，故数列的首项为1，

公比，，（7分）

，

令，①，

两边都乘以2得，②

②①得，

（11分）

故，（12分）

6．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列满足，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）求的值．

【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

等差数列的前项和为，且，，

解得，，

数列的通项公式．

等比数列满足，．

，，

，，

的通项公式为．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

令，

则，①

，②

①②，得：

，

．

7．已知在等差数列中，前7项和等于35，数列中，点，在直线上，其中是数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）设，为数列的前项和，求并证明；．

【解析】解：（1）设数列的公差为，则由题意知：

得（3分）

（2）点．在直线上

①，②

①②得，，（6分）

又当时，

数列是以为首项，为公比的等比数列．（9分）

（3）由（2）知，，

③

④

③④得，

（14分）

由③知的最小值是

（16分）

8．已知各项都为整数的等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）设，且数列的前项和为，求证：．

【解析】（1）解：设等差数列的公差为，

，，成等比数列，

，

，

，解得，

，

又为整数，

解得，，

．

（2）证明：，

，

，

两式相减可得

，

化简可得，

．

9．已知等差数列的公差，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【解析】解：（1），．

，是方程的两根，且，

解得，．

，即，

．

（2）．

数列的前项和

．

10．已知等差数列的公差，前项和为，是与的等比中项，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：，即，

解得：．

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．

．

．

．

两式作差可得：

．

．

11．已知数列是等差数列，其前项和为，数列是等比数列，且，，

（1）求数列与的通项公式；

（2）设，求数列的前项的和．

【解析】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．

由，得，，．

由条件，得方程组，

解得，

所以，，．

（2）证明：由题意可得①

②

由①②，得

，

．