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    备战2022年高考数学数列专项题型-第8讲 错位相减求和(含解析)
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    备战2022年高考数学数列专项题型-第8讲 错位相减求和(含解析)

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    8 错位相减求和

    一.解答题(共11小题)

    1.已知为等比数列,为等差数列 的前 项和,

    1)求 的通项公式;

    2)设数列 满足,求数列 的前 项和

    【解析】解:(1)设等比数列的公比为,解得

    设等差数列 的公差为,解得

    2

    数列 的前 项和

    2是等比数列,公比大于0,其前项和为是等差数列.已知

    1)求数列的通项公式;

    2)令,求数列的前项和为

    3)若则数列项和

    若对任意,均有恒成立,求实数的取值范围

    4)由(3)知对于数列的不等式问题,一般都是求最值,那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些?

    5)将数列的项按照“当为奇数时,放在前面;当为偶数时,放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:,求这个新数列的前

    6)设,其中,求

    7)是否存在新数列,满足等式成立,若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.

    8)通过解本题体会数列求和方法,数列求和方法的本质是什么?

    【解析】解:(1是等比数列,公比大于0是等差数列,设公差为

    ,即,解得

    ,即

    解得

    2

    为奇数时,

    为偶数时,

    数列的前项和为:

    3

    两式相减,得:

    可知若对任意,均有恒成立,

    ,则

    时,,当时,

    的最大值为

    实数的取值范围是

    4)一般求数列最值的方法有:

    单调法,图象法、基本不等式法、邻项比较法.

    5)数列的前项和为,数列的前项和为

    时,

    时,

    时,

    时,

    时,也符合,

    时,

    时,

    综上,

    6,即

    ,前项和为,则:

    两式相减并化简,得:

    7)设存在新数列,满足等式成立,

    时,

    两式相减,得:

    时,

    时,

    此时当时,也符合,

    得到数列的通项公式为

    8)数列求和的方法有公式法、错位相减法、裂项求和法、分组求和法,其本质还是看数列的通项公式.

    3.已知公差的等差数列的前项和为,且成等比数列.

    1)求数列的通项公式;

    2)若数列满足:,求数列的通项公式;

    3)令,求数列的前项和

    【解析】解:(1)依题意,得,又,可得

    ,即

    2

    两式作差可得:

    3)当时,

    时,

    两式作差得:

    4.已知等差数列的前项和为,且,等比数列满足

    (Ⅰ)求数列的通项公式;

    (Ⅱ)求的值.

    【解析】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为

    (Ⅱ)由(Ⅰ)可知

    得:

    5.设是公差大于零的等差数列,已知

    1)求的通项公式;

    2)设是以函数的最小正周期为首项,以2为公比的等比数列,求数列的前项和

    【解析】解:(1)设数列的公差为

    ,解得(舍3分)

    5分)

    2

    其最小正周期为,故数列的首项为1

    公比7分)

    两边都乘以2得,

    得,

    11分)

    故,12分)

    6.已知等差数列的前项和为,且,等比数列满足

    (Ⅰ)求数列的通项公式;

    (Ⅱ)求的值.

    【解析】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为

    等差数列的前项和为,且

    解得

    数列的通项公式

    等比数列满足

    的通项公式为

    (Ⅱ)由(Ⅰ)得

    ,得:

    7.已知在等差数列中,7项和等于35,数列中,点在直线上,其中是数列的前项和

    1)求数列的通项公式;

    2)求证:数列是等比数列;

    3)设为数列的前项和,求并证明;

    【解析】解:(1)设数列的公差为,则由题意知:

    3分)

    2在直线

    6分)

    又当时,

    数列是以为首项,为公比的等比数列.9分)

    3)由(2)知,

    得,

    14分)

    的最小值是

    16分)

    8.已知各项都为整数的等差数列的前项和为,若,且成等比数列.

    1)求的通项公式;

    2)设,且数列的前项和为,求证:

    【解析】(1)解:设等差数列的公差为

    成等比数列,

    ,解得

    为整数,

    解得

    2)证明:

    两式相减可得

    化简可得

    9.已知等差数列的公差,且

    1)求数列的通项公式;

    2)求数列的前项和

    【解析】解:(1

    方程的两根,且

    解得

    ,即

    2

    数列的前项和

    10.已知等差数列的公差,前项和为的等比中项,

    (Ⅰ)求数列的通项公式;

    (Ⅱ)设,求数列的前项和

    【解析】解:(Ⅰ)由题意可得:,即

    解得:

    (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

    两式作差可得:

    11.已知数列是等差数列,其前项和为,数列是等比数列,且

    1)求数列的通项公式;

    2)设,求数列的前项的和

    【解析】解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为

    ,得

    由条件,得方程组

    解得

    所以

    2)证明:由题意可得

    ,得

     

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