备战2022年高考数学数列专项题型-第8讲 错位相减求和(含解析)
展开第8讲 错位相减求和
一.解答题(共11小题)
1.已知为等比数列,,;为等差数列 的前 项和,,.
(1)求和 的通项公式;
(2)设数列 满足,求数列 的前 项和.
【解析】解:(1)设等比数列的公比为,,;,解得.
.
设等差数列 的公差为,,.,解得.
.
(2).
数列 的前 项和.
.
.
.
2.是等比数列,公比大于0,其前项和为是等差数列.已知,,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,求数列的前项和为;
(3)若则数列前项和
①求
②若对,任意,均有恒成立,求实数的取值范围
(4)由(3)知对于数列的不等式问题,一般都是求最值,那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些?
(5)将数列,的项按照“当为奇数时,放在前面;当为偶数时,放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:,,,,,,,,,,,,求这个新数列的前项和
(6)设,其中,求
(7)是否存在新数列,满足等式成立,若存在,求出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
(8)通过解本题体会数列求和方法,数列求和方法的本质是什么?
【解析】解:(1)是等比数列,公比大于0,是等差数列,设公差为,
,,
,即,解得,
,,
,,即,,
解得,
.
(2),
当为奇数时,,
当为偶数时,.
数列的前项和为:
.
(3)①,
,
,
两式相减,得:
,
.
②由①可知若对任意,,均有恒成立,
设,则,
当时,,当时,,
的最大值为,,
实数的取值范围是,.
(4)一般求数列最值的方法有:
单调法,图象法、基本不等式法、邻项比较法.
(5)数列的前项和为,数列的前项和为,
①当时,
.
②当时,
当时,,
当时,,
当时,也符合,
当时,,
③当时,
.
综上,.
(6),即,
,
,
设,前项和为,则:
,
,
两式相减并化简,得:
,
,
.
(7)设存在新数列,满足等式成立,
则,
当时,,
两式相减,得:
,
当时,,
当时,,
此时当时,也符合,
得到数列的通项公式为.
(8)数列求和的方法有公式法、错位相减法、裂项求和法、分组求和法,其本质还是看数列的通项公式.
3.已知公差的等差数列的前项和为,且,,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,求数列的通项公式;
(3)令,,求数列的前项和.
【解析】解:(1)依题意,得,又,可得.
,即;
(2),
,
两式作差可得:.
又,
;
(3)当时,.
当时,.
.
令,
则,
两式作差得:.
.
则.
4.已知等差数列的前项和为,且,,等比数列满足,.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)求的值.
【解析】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
,
,
,
,
,
又,,
,,
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,
设,
,①
,②,
②①得:
,
.
5.设是公差大于零的等差数列,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)设是以函数的最小正周期为首项,以2为公比的等比数列,求数列的前项和.
【解析】解:(1)设数列的公差为,
则,解得或(舍,(3分)
.(5分)
(2),
其最小正周期为,故数列的首项为1,
公比,,(7分)
,
令,①,
两边都乘以2得,②
②①得,
(11分)
故,(12分)
6.已知等差数列的前项和为,且,,等比数列满足,.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)求的值.
【解析】解:(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
等差数列的前项和为,且,,
解得,,
数列的通项公式.
等比数列满足,.
,,
,,
的通项公式为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,
令,
则,①
,②
①②,得:
,
.
7.已知在等差数列中,前7项和等于35,数列中,点,在直线上,其中是数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列是等比数列;
(3)设,为数列的前项和,求并证明;.
【解析】解:(1)设数列的公差为,则由题意知:
得(3分)
(2)点.在直线上
①,②
①②得,,(6分)
又当时,
数列是以为首项,为公比的等比数列.(9分)
(3)由(2)知,,
③
④
③④得,
(14分)
由③知的最小值是
(16分)
8.已知各项都为整数的等差数列的前项和为,若,且,,成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)设,且数列的前项和为,求证:.
【解析】(1)解:设等差数列的公差为,
,,成等比数列,
,
,
,解得,
,
又为整数,
解得,,
.
(2)证明:,
,
,
两式相减可得
,
化简可得,
.
9.已知等差数列的公差,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【解析】解:(1),.
,是方程的两根,且,
解得,.
,即,
.
(2).
数列的前项和
.
10.已知等差数列的公差,前项和为,是与的等比中项,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
【解析】解:(Ⅰ)由题意可得:,即,
解得:.
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
.
.
.
两式作差可得:
.
.
11.已知数列是等差数列,其前项和为,数列是等比数列,且,,
(1)求数列与的通项公式;
(2)设,求数列的前项的和.
【解析】解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由,得,,.
由条件,得方程组,
解得,
所以,,.
(2)证明:由题意可得①
②
由①②,得
,
.
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