备战2022 中考数学 人教版 专题五 二次函数的综合应用

专题五　二次函数的综合应用

题型一　线段及周长最值问题

【典例1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)，如图．

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线AB的函数解析式为________，点M的坐标为____，sin ∠ACO＝____．

(3)在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，请求出点Q的坐标．

1．常考题型：

(1)线段最值问题．

(2)周长最值问题．

2．解决方法：解决线段和的最小值或三角形周长最小值问题，主要依据是“两点之间，线段最短”，具体方法是利用轴对称将两条线段之和转化为一条线段的长，然后求出该条线段的长．

1．如图所示，已知A(－2，0)，B(4，0)，抛物线y＝ax2＋bx－1过A，B两点，并与过A点的直线y＝－x－1交于点C.

(1)求抛物线解析式及对称轴；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2．如图所示，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋3交于A，B两点，交x轴于C，D两点，连接AC，BC，已知A(0，3)，C(－3，0).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB－MD|的值最大，并求出这个最大值．

题型二　面积最值问题

【典例2】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－2，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C(0，8)，连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；

(3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．

1．常考题型：

(1)三角形面积问题．

(2)四边形面积问题．

2．解决方法：通常先设出动点坐标，然后表示出图形面积，利用二次函数性质求最大值或最小值．

1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－1与x轴的交点为A(－1，0)，B(2，0)，且与y轴交于点C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点(不与B，C1重合)，ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E，F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．

2.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；

(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．

题型三　存在性问题

【典例3】如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A(0，3).

(1)求抛物线的表达式．

(2)P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连接AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1．常考题型：

(1)等腰、直角三角形存在性问题．

(2)相似三角形存在性问题．

(3)特殊四边形存在性问题．

2．解决方法：先假设存在某点，设出点的坐标，根据图形满足的某种特殊形状或性质求出点的坐标，解答时要注意分类讨论思想的应用．

1．如图，在直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC.

(1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y轴交于点C.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．