专题09 二次函数与胡不归综合应用（知识解读）-备战中考数学《重难点解读•专项训练》（全国通用）

专题09  二次函数与胡不归综合应用（知识解读）

【专题说明】

   “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。

(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；

前面几何模型中我们已经学习了“胡不归”解题方法。本章节继续学习二次函数与胡不归综合应用。

【方法技巧】

胡不归问题

识别条件：动点P的运动轨迹是直线（或线段）

方法：

1、将所求线段和改为的形式（）

2、作，使

3、过点B作交AC于点P

4、的最小值转化为垂线段的长

注意：当k＞1时，

【典例分析】

【典例1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为　   　；

【解答】解：（1）由题意解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，

∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，

∴顶点坐标（，﹣）．

（2）如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，

此时PB+PD最小．

理由：∵OA＝1，OB＝，

∴tan∠ABO＝＝，

∴∠ABO＝30°，

∴PH＝PB，

∴PB+PD＝PH+PD＝DH，

∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．

在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，

∴sin60°＝，

∴DH＝，

∴PB+PD的最小值为．

故答案为．

【典例2】如图1，抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣2m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A在B左边），与y轴交于点C．连接AC，BC．且△ABC的面积为8．

（1）求m的值；

（2）在（1）的条件下，在第一象限内抛物线上有一点T，T的横坐标为t，使∠ATC＝60°．求（t﹣1）2的值．

（3）如图2，点P为y轴上一个动点，连接AP，求CP+AP的最小值，并求出此时点P的坐标．

【解答】解：（1）y＝x2+（m﹣2）x一2m＝（x﹣2）（x+m），

令y＝0，则x＝2或x＝﹣m，

∵m＞0，

∴﹣m＜0，

∴A（﹣m，0），B（2，0），

∴AB＝2+m，

令x＝0，则y＝﹣2m，

∴C（0，﹣2m），

∵△ABC的面积为8，

∴×（2+m）×（2m）＝8，

解得m＝2或m＝﹣4（舍）；

（2）当m＝2时，y＝x2﹣4，

∵的横坐标为t，

∴T（t，t2﹣4），

过点C作EF∥x轴，过点T作TF⊥EF交于F点，过点C作CD⊥CT交直线AT于点D，过点D作DE⊥EF交于E点，

∵∠DCT＝90°，

∴∠DCE+∠TCF＝90°，

∵∠DCE+∠CDE＝90°，

∴∠TCF＝∠CDE，

∴△CED∽△TFC，

∴＝＝，

∵∠ATC＝60°，

∴＝，

∵C（0，﹣4），

∴CF＝t，TF＝t2，

∴DE＝t，CE＝t2，

∴D（﹣t2，t﹣4），

设直线AT的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴y＝（t﹣2）x+2t﹣4，

∴t﹣4＝（t﹣2）（﹣t2）+2t﹣4，

∴（t﹣1）2＝；

（3）过点B作BG⊥AC交于G点，交y轴于点P，

∵A、B关于y轴对称，

∴AP＝BP，

∵∠GBA+∠BAC＝∠ACO+∠CAO＝90°，

∴∠ABG＝∠ACO，

∵AO＝2，CO＝4，

∴AC＝2，

∴sin∠ACO＝，

∴＝，

∴CP＝GP，

∵CP+AP＝（CP+AP）＝（GP+AP）≥BG，

∵cos∠ACO＝＝＝，

∴BG＝，

∴CP+AP的最小值为8，

∵tan∠ACO＝＝＝，

∴OP＝1，

∴P（0，﹣1）．

【变式1】如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值．

所有

【解答】解：在第二象限内作∠OCD＝30°，CD与y轴交于点D，过点Q作QP⊥CD于点P，连接AP，则∠ODC＝60°，

令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，

∴C（0，3），

令y＝0，得y＝x2﹣4x+3＝0，

解得x＝1或3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴OA＝1，OC＝3，

∴OD＝OC•tan30°＝，

∴AD＝+1，

∵∠OCD＝30°，

∴PQ＝，

∴AQ+CQ＝AQ+PQ≥AP，

当A、Q、P三点依次在同一直线上，且AP⊥CD时，

AQ+CQ＝AQ+PQ＝AP的值最小，

此时AP＝AD•sin60°＝，

∴AQ+CQ的最小值为．

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为（0，6），点Q是y轴上任意一点，则PQ+QB的最小值为 　   　．

【解答】解：过点P作直线PD与y轴的夹角∠OPD＝30°，作B点关于y轴的对称点B'，过B'点作B'E⊥PD交于点E、交y轴于点Q，

∵B'E⊥PD，∠OPE＝30°，

∴QE＝PQ，

∵BQ＝B'Q，

∴PQ+QB＝QE+B'Q＝B'E，此时PQ+QB取最小值，

∵∠OPD＝30°，∠POD＝90°，

∴PD＝2OD，∠ODP＝60°，

∵P的坐标为（0，6），

∴PO＝6，

∴OD2+（6）2＝（2OD）2，

∴OD＝6，

∵直线y＝﹣x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B，

∴A（0，4），B（4，0），

∴OB＝4，

∴OB'＝4，

∴B'D＝10，

∵B'E⊥PD，∠ODP＝60°，

∴∠EB'D＝30°，

∴DE＝B'D＝5，

∴B'E＝＝＝5，

∴PQ+QB取最小值为5，

故答案为：5．

【变式3】二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）．

（1）a＝　　，c＝　  　；

（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；

【解答】解：（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c

得到，，解得．

故答案为1，﹣3．

（2）如图1中，作PH⊥BC于H．

∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，

∴∠PCH＝45°，

在Rt△PCH中，PH＝PC．

∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），

根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，

在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，

∴DH′＝BD＝2，

∴DP+PC的最小值为•2＝4．