2020-2021学年新疆阿勒泰地区第二高级中学、布尔津高级中学等八校高一(上)期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年新疆阿勒泰地区第二高级中学、布尔津高级中学等八校高一(上)期末数学试卷,共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2020-2021学年新疆阿勒泰地区第二高级中学、布尔津高级中学等八校高一(上)期末数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
2.(5分)已知集合A={y|y=log2x,x>2},B={y|y<4},则A∩B=( )
A.{y|0<y<4} B.{y|0<y<1} C.{y|1<y<4} D.∅
3.(5分)设a=2﹣1,b=()0,c=log0.21,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
4.(5分)计算:sin=( )
A.﹣ B. C. D.﹣
5.(5分)设扇形的半径为2cm,弧长为6cm,则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(5分)若函数y=f(x)是偶函数,在(0,+∞)上有最大值8,则函数f(x)在(﹣∞,0)上有( )
A.最小值﹣8 B.最大值8 C.最小值﹣4 D.最小值﹣6
7.(5分)已知幂函数f(x)=xα过点(4,2),则f(9)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.(5分)函数f(x)=的单调递增区间是( )
A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,1] C.[1,+∞) D.[4,+∞)
9.(5分)为了得到函数y=2sin(3x+)的图象,只需把函数y=2sin3x的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
10.(5分)设函数f(x)=(2a﹣1)x+b是R上的减函数,则有( )
A. B. C. D.
11.(5分)我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢函数的图象的特征,函数y=﹣|x|(x∈[﹣2,2])的图象的是( )
A. B.
C. D.
12.(5分)若函数f(x)=在R上为单调增函数,则实数k的取值范围是( )
A.(0,2] B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2]
二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)已知f(x)=,则f[f(1)]= .
14.(5分)在平面直角坐标系中,与角边相同的角的集合S= .
15.(5分)方程lnx=﹣x+1的解的个数为 .
16.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1),则函数f(x)= .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知全集U=R,A={x|2≤x<5},集合B是函数y=+lg(9﹣x)的定义域.
(1)求集合B;
(2)求A∩(∁UB).
18.(12分)已知,f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若=﹣,求tanα.
19.(12分)已知tanα=2,计算:
(1);
(2)sinαcosα;
(3)若α是第三象限角,求sinα、cosα.
20.(12分)已知函数f(x)=x2+bx﹣1.
(1)若b=0,求函数f(x)在区间[﹣1,3]上的最大值和最小值;
(2)要使函数f(x)在区间[﹣1,3]上单调递增,求b的取值范围.
21.(12分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期,振幅,初相;
(2)当时,求f(x)的值域.
22.(12分)已知函数,其中a∈R.
(1)证明:函数f(x)在R上是减函数;
(2)探究是否存在实数a,使得函数f(x)为奇函数?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
2020-2021学年新疆阿勒泰地区第二高级中学、布尔津高级中学等八校高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2}
【分析】进行交集的运算即可.
【解答】解:∵A={0},B={0,1,2},
∴A∩B={0}.
故选:A.
2.(5分)已知集合A={y|y=log2x,x>2},B={y|y<4},则A∩B=( )
A.{y|0<y<4} B.{y|0<y<1} C.{y|1<y<4} D.∅
【分析】可求出集合A,然后进行交集的运算即可.
【解答】解:∵A={y|y>1},B={y|y<4},
∴A∩B={y|1<y<4}.
故选:C.
3.(5分)设a=2﹣1,b=()0,c=log0.21,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.
【解答】解:∵,∴a=,
∵=1,∴b=1,
∵log0.21=0,∴c=0,
∴c<a<b,
故选:D.
4.(5分)计算:sin=( )
A.﹣ B. C. D.﹣
【分析】把所求式子中的角变形为π﹣,利用诱导公式sin(π﹣α)=sinα化简后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值.
【解答】解:sin
=sin(π﹣)
=sin=.
故选:B.
5.(5分)设扇形的半径为2cm,弧长为6cm,则扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】本题已知扇形的半径和弧长,直接根据弧长的变形公式α=解之即可.
【解答】解:由题意圆心角α===3,
故选:C.
6.(5分)若函数y=f(x)是偶函数,在(0,+∞)上有最大值8,则函数f(x)在(﹣∞,0)上有( )
A.最小值﹣8 B.最大值8 C.最小值﹣4 D.最小值﹣6
【分析】根据题意,当x∈(﹣∞,0)时,﹣x∈(0,+∞),则有f(﹣x)≤8在(0,+∞)上恒成立,结合函数的奇偶性可得f(x)=f(﹣x)≤8,即可得答案.
【解答】解:根据题意,当x∈(﹣∞,0)时,﹣x∈(0,+∞),
函数y=f(x)在(0,+∞)上有最大值8,则f(﹣x)≤8在(0,+∞)上恒成立,
又由f(x)为偶函数,则f(x)=f(﹣x)≤8,
则函数f(x)在(﹣∞,0)上有最大值8,
故选:B.
7.(5分)已知幂函数f(x)=xα过点(4,2),则f(9)等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】由幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),求出f(x)=,由此能求出f(9).
【解答】解:∵幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),
∴4α=2,解得:α=,
∴f(x)==,
∴f(9)==3,
故选:C.
8.(5分)函数f(x)=的单调递增区间是( )
A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,1] C.[1,+∞) D.[4,+∞)
【分析】根据题意,先求出函数的定义域,设t=x2﹣2x﹣8,x∈(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞),则y=,分析两个函数的单调性,结合复合函数单调性判断方法,分析可得答案.
【解答】解:根据题意,f(x)=,有x2﹣2x﹣8≥0,解可得x≤﹣2或x≥4,
即函数f(x)的定义域为(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞),
设t=x2﹣2x﹣8,x∈(﹣∞,﹣2]∪[4,+∞),则y=,
t=x2﹣2x﹣8,在(﹣∞,﹣2]上为减函数,在[4,+∞)上为增函数,
而y=在[0,+∞)上为增函数,
根据复合函数的单调性可知,函数f(x)的单调递增区间为[4,+∞),
故选:D.
9.(5分)为了得到函数y=2sin(3x+)的图象,只需把函数y=2sin3x的图象上所有的点( )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:由于函数y=2sin(3x+)=2sin3(x+),
故把函数y=sin3x的图象上所有的点向左平 个单位长度,即可得到函数y=sin(3x+)的图象,
故选:B.
10.(5分)设函数f(x)=(2a﹣1)x+b是R上的减函数,则有( )
A. B. C. D.
【分析】根据一次函数的单调性由x的系数可得2a﹣1<0,解可得答案.
【解答】解:∵函数f(x)=(2a﹣1)x+b是R上的减函数,
则2a﹣1<0
∴a<
故选:B.
11.(5分)我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢函数的图象的特征,函数y=﹣|x|(x∈[﹣2,2])的图象的是( )
A. B.
C. D.
【分析】利用特殊值进行排除即可.
【解答】解:当x=2时,y=﹣2,排除,A,C,D,
故选:B.
12.(5分)若函数f(x)=在R上为单调增函数,则实数k的取值范围是( )
A.(0,2] B.[1,2) C.(1,2) D.[1,2]
【分析】利用分段函数以及函数的单调性列出不等式求解即可.
【解答】解:函数f(x)=在R上为单调增函数,
所以,解得1≤k≤2.
故选:D.
二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)已知f(x)=,则f[f(1)]= 8 .
【分析】先求f(1)的值,判断出将1代入解析式2x2+1;再求f(3),判断出将3代入解析式x+5即可.
【解答】解:∵f(1)=2+1=3
∴f[f(1)]=f(3)=3+5=8
故答案为:8
14.(5分)在平面直角坐标系中,与角边相同的角的集合S= .
【分析】利用终边相同的角的定义进行分析即可.
【解答】解:根据终边相同的角的定义可知,与角边相同的角的集合S=.
故答案为:.
15.(5分)方程lnx=﹣x+1的解的个数为 1 .
【分析】方程lnx=﹣x+1的解的个数,即为函数y=lnx和函数y=﹣x+1交点的个数,根据图象即可得到方程解的个数.
【解答】解:方程lnx=﹣x+1的解的个数,即为函数y=lnx和函数y=﹣x+1交点的个数,
画出函数y=lnx和函数y=﹣x+1的图象,
根据图象可知,函数y=lnx和函数y=﹣x+1交点的个数为1,
∴方程lnx=﹣x+1的解的个数为1.
故答案为:1.
16.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(x+1),则函数f(x)= .
【分析】要求函数的解析式,已知已有x>0时的函数解析式,只要根据题意求出x<0及x=0时的即可,根据奇函数的性质容易得f(0)=0,而x<0时,由﹣x>0及f(﹣x)=﹣f(x)可求
【解答】解:设x<0则﹣x>0
∵当x>0时,f(x)=x(x+1)
∴f(﹣x)=(﹣x)(1﹣x)
由函数f(x)为奇函数可得f(﹣x)=﹣f(x)
∴﹣f(x)=(﹣x)(1﹣x)
即f(x)=x(1﹣x),x<0
∵f(0)=0适合f(x)=x(x+1),x>0
∴f(x)=
故答案为:
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知全集U=R,A={x|2≤x<5},集合B是函数y=+lg(9﹣x)的定义域.
(1)求集合B;
(2)求A∩(∁UB).
【分析】(1)由根式内部的代数式大于等于0且对数的真数大于0联立求解x的取值集合得B;
(2)直接利用补集和交集的概念求解.
【解答】解:(1)要使原函数有意义,则,解得3≤x<9,
所以B={x|3≤x<9};
(2)因为B={x|3≤x<9},所以∁UB={x|x<3或x≥9},
所以A∩(∁UB)={x|2≤x<5}∩{x|x<3或x≥9}={x|2≤x<3}.
18.(12分)已知,f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若=﹣,求tanα.
【分析】(1)利用诱导公式,同角三角函数基本关系式即可化简得解.
(2)由(1)及已知利用诱导公式可得cosα=﹣,分类讨论,利用同角三角函数基本关系式即可计算得解.
【解答】解:(1)f(α)===sinα.
(2)∵=﹣,
∴sin(﹣α)=﹣,可得cosα=﹣,
∴α是第二或第三象限角,
当α是第二象限角时,sinα==,tan=﹣,
当α是第三象限角时,sinα=﹣=﹣,tan=.
19.(12分)已知tanα=2,计算:
(1);
(2)sinαcosα;
(3)若α是第三象限角,求sinα、cosα.
【分析】(1)由已知化弦为切求解;
(2)分母看作1,用平方关系替换,在化弦为切求解;
(3)联立商的关系与平方关系求解.
【解答】解:(1)=;
(2)sinαcosα==;
(3)∵tanα=2,∴sinα=2cosα,①
代入sin2α+cos2α=1中,可得4cos2α+cos2α=1.
∴,得cos,
又∵α是第三象限角,∴.
代入①式得.
20.(12分)已知函数f(x)=x2+bx﹣1.
(1)若b=0,求函数f(x)在区间[﹣1,3]上的最大值和最小值;
(2)要使函数f(x)在区间[﹣1,3]上单调递增,求b的取值范围.
【分析】(1)利用二次函数的性质即可得到答案;
(2)利用二次函数的单调性与其图象的开口以及对称轴的位置有关,列出不等式求解即可.
【解答】解:(1)当b=0时,f(x)=x2﹣1,
其对称轴为x=0,图象开口向上,
所以函数f(x)在区间[﹣1,3]上的最大值为f(3)=8,最小值为f(0)=﹣1;
(2)由于函数f(x)的图象开口向上,且f(x)在区间[﹣1,3]上单调递增,
则有对称轴,解得b≥2,
所以b的取值范围为b≥2.
21.(12分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期,振幅,初相;
(2)当时,求f(x)的值域.
【分析】(1)直接利用函数的关系式求出函数中的最小正周期,振幅,初相;
(2)利用函数的定义域求出函数的值域.
【解答】解:(1)函数.
所以函数的最小正周期为,振幅为2;初相位.
(2)当,
所以,
则,
所以f(x)∈[﹣1,2].
22.(12分)已知函数,其中a∈R.
(1)证明:函数f(x)在R上是减函数;
(2)探究是否存在实数a,使得函数f(x)为奇函数?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)利用单调性的定义证明即可;
(2)由f(x)为奇函数,可得出f(﹣x)=﹣f(x),从而可得出(a+2)•2x+a=﹣a•2x﹣(a+2),从而解得a的值.
【解答】(1)证明:设x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=﹣=,
因为x1<x2,所以<,所以﹣>0,且+1>0,+1>0,
所以>0
所以f(x1)>f(x2),
所以f(x)在R上为减函数,
(2)解:,要使f(x)为奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),
所以=﹣,
所以=,
所以(a+2)•2x+a=﹣a•2x﹣(a+2),
所以(a+1)(2x+1)=0,解得a=﹣1,
所以存在实数a=﹣1,使f(x)为奇函数.
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