2019-2020学年福建师大二附中高一（上）期末数学试卷

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2019-2020学年福建师大二附中高一（上）期末数学试卷
一．选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα＝﹣，则b的值等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
2．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（　　）
A．0 B． C． D．π
3．（5分）下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝sinx C．y＝tan D．y＝cos4x
4．（5分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
5．（5分）若sinθ﹣cosθ＝，且θ∈（π，π），则sin（π﹣θ）﹣cos（π﹣θ）＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
6．（5分）已知α是第一象限角，，则＝（　　）
A． B．﹣ C． D．
7．（5分）已知三角形ABC，如果sin2A+sin2B＜sin2C，则该三角形形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上选项均有可能
8．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a﹣1）＝2，则实数a＝（　　）
A．1 B．lg3 C．lg30 D．lg300
9．（5分）在△ABC中，a＝2，B＝60°，S△ABC＝，则b＝（　　）
A．1 B．2 C． D．2
10．（5分）已知直线y＝1与函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）
A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）
D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）
11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x＝ B．x＝﹣ C．x＝ D．x＝0
12．（5分）关于函数f（x）＝cos|x|+|cosx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数②f（x）在区间（0，1）单调递减
③f（x）在[﹣π，π]有2个零点④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
二．填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）化简＝　 　．
14．（5分）化简：cos（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π﹣α）sin（π+β）＝　 　．（要求将结果写出某个角的三角比）
15．（5分）若x＝是方程2cos（x+α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝　 　．
16．（5分）下列命题中，正确的序号是 　 　．
①y＝|sinx|在上是单调递增函数；
②设，且，则；
③y＝sin|x|不是周期函数；
④若f（sinx）＝1﹣2cos2x，则．
三．解答题（共70分）
17．（10分）已知tanα＝2．求
（1）tan（α+）的值；
（2）的值．
18．（12分）函数y＝2sin（2x+φ）（的一条对称轴为直线．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）用五点法画出函数y＝2sin（2x+φ）在上的简图．

19．（12分）已知函数关系式f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示：
（1）求A，ω，φ的值；
（2）设函数，求g（x）在上的值域．

20．（12分）已知函数f（x）＝loga（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求使f（x）＞0的x取值范围．
21．（12分）如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．

22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间；
（Ⅱ）当时，对任意t∈R，不等式mt2﹣mt+2≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

2019-2020学年福建师大二附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα＝﹣，则b的值等于（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
【分析】根据三角函数的定义建立方程关系即可．
【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣b，4）且cosα＝﹣，
∴cosα＝＝﹣，
则b＞0，
平方得，
即b2＝9，解得b＝3或b＝﹣3（舍），
故选：A．
2．（5分）函数y＝sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ＝（　　）
A．0 B． C． D．π
【分析】根据y＝sinx是奇函数，y＝cosx是偶函数，对选项逐一排除即可．
【解答】解：当φ＝0时，y＝sin（x+φ）＝sinx为奇函数不满足题意，排除A；
当φ＝时，y＝sin（x+φ）＝sin（x+）为非奇非偶函数，排除B；
当φ＝时，y＝sin（x+φ）＝cosx，为偶函数，满足条件．
当φ＝π时，y＝sin（x+φ）＝﹣sinx，为奇函数，
故选：C．
3．（5分）下列函数中，最小正周期为π的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝sinx C．y＝tan D．y＝cos4x
【分析】根据正弦函数的周期性，并利用y＝|sinx|的周期是函数y＝sinx的周期的一半，可得结论．
【解答】解：由于函数y＝sinx的周期为2π，∴y＝|sinx|的周期为π，
故选：A．
4．（5分）要得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象（　　）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin（2x﹣）的图象，
故选：B．
5．（5分）若sinθ﹣cosθ＝，且θ∈（π，π），则sin（π﹣θ）﹣cos（π﹣θ）＝（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求2sinθcosθ＝﹣，结合角θ的范围，可求sinθ+cosθ＜0，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：∵sinθ﹣cosθ＝，两边平方可得1﹣2sinθcosθ＝，
∴可得2sinθcosθ＝﹣，
∵θ∈（π，π），
∴sinθ∈（0，），cosθ∈（﹣1，﹣），
∴sinθ+cosθ＜0，
∴sin（π﹣θ）﹣cos（π﹣θ）＝sinθ+cosθ＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．
故选：A．
6．（5分）已知α是第一象限角，，则＝（　　）
A． B．﹣ C． D．
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得 tan（α﹣）的值，再利用tan（α+）＝＝，计算求得结果．
【解答】解：α是第一象限角，，则cos（α﹣）＝＝，
∴tan（α﹣）＝＝，
∴tan（α+）＝＝＝＝＝﹣，
故选：D．
7．（5分）已知三角形ABC，如果sin2A+sin2B＜sin2C，则该三角形形状为（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上选项均有可能
【分析】由正弦定理化简已知可得：a2+b2﹣c2＜0，由余弦定理可得cosC＜0，可得C为钝角，即可得解三角形ABC的形状为钝角三角形．
【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，
∴由正弦定理，可得：（）2+（）2＜（）2，
∴化简可得：a2+b2﹣c2＜0，
∴由余弦定理可得：cosC＝＜0，
∵C∈（0，π），
∴C为钝角，三角形ABC为钝角三角形．
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）＝，若f（a﹣1）＝2，则实数a＝（　　）
A．1 B．lg3 C．lg30 D．lg300
【分析】结合已知分段函数的解析式，然后对a进行分类讨论，求出f（a﹣1）的解析式，进而可求．
【解答】解：当a﹣1≤﹣3，f（a﹣1）＝1≠2；
当﹣3＜a﹣1≤0，f（a﹣1）≤lg3≠2；
当a﹣1＞0，f（a﹣1）＝10a﹣1﹣1＝2，
此时a＝1+lg3＝lg30．
故选：C．
9．（5分）在△ABC中，a＝2，B＝60°，S△ABC＝，则b＝（　　）
A．1 B．2 C． D．2
【分析】由三角形面积公式＝＝，可求c，然后由余弦定理cosB＝，可求
【解答】解：∵a＝2，B＝60°，S△ABC＝，
∴＝＝，
∴c＝1，
则由余弦定理可得，cosB＝，
∴，
解可得，b＝
故选：C．
10．（5分）已知直线y＝1与函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，则函数f（x）的单调递增区间为（　　）
A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
B．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）
C．[kπ+，kπ+]（k∈Z）
D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）
【分析】首先求出函数的关系式，进一步利用整体思想的应用求出函数的单调区间．
【解答】解：直线y＝1与函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的相邻两交点间的距离为π，
所以函数的最小正周期为π，
所以，解得ω＝2，
所以f（x）＝sin（2x﹣），
令（k∈Z），
解得（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．
故选：B．
11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）图象的一条对称轴方程是（　　）
A．x＝ B．x＝﹣ C．x＝ D．x＝0
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是＝，
∴ω＝π，f（x）＝2sin（πx+）．
若将y＝f（x）的图象向右平移个单位得到y＝g（x）＝2sin（πx﹣+）＝2sin（πx+）的图象，
令πx+＝kπ+，k∈Z，求得x＝k+，
则函数y＝g（x）图象的一条对称轴方程是x＝，
故选：C．
12．（5分）关于函数f（x）＝cos|x|+|cosx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数②f（x）在区间（0，1）单调递减
③f（x）在[﹣π，π]有2个零点④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【分析】由①可得：f（x）是偶函数，且周期T＝π．只要考察在x∈[0，π]上，当x∈上时，f（x）＝2cosx；当x∈上时，f（x）＝0，即可得出结论．
【解答】解：关于函数f（x）＝cos|x|+|cosx|有下述四个结论：f（x+π）＝f（x），可得T＝π．
①∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）是偶函数，正确；
②f（x）在区间（0，1）上，f（x）＝2cosx，∴f（x）在区间（0，1）上单调递减，正确；
③考察在x∈[0，π]上，当x∈上时，f（x）＝2cosx，有一个零点；当x∈上时，f（x）＝cosx﹣cosx＝0，有无数个零点．
因此f（x）在[﹣π，π]有无数个零点，因此③不正确．
④由③可得：f（x）的最大值为2，正确．
其中所有正确结论的编号是①②④．
故选：A．
二．填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）化简＝　﹣1　．
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式，进一步利用|sin10°﹣cos10°|＝cos10°﹣sin10°求的结果
【解答】解：＝＝＝﹣1
故答案为：﹣1
14．（5分）化简：cos（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π﹣α）sin（π+β）＝　sin（α﹣β）　．（要求将结果写出某个角的三角比）
【分析】由题意利用诱导公式、两角差的正弦公式，化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：cos（﹣α）cos（2π﹣β）﹣sin（π﹣α）sin（π+β）＝sinαcosβ﹣（﹣cosα）（﹣sinβ）＝sin（α﹣β），
故答案为：sin（α﹣β）．
15．（5分）若x＝是方程2cos（x+α）＝1的解，其中α∈（0，2π），则α＝　或　．
【分析】利用三角函数方程求出α的表达式，再根据α∈（0，2π）写出满足条件的α的值．
【解答】解：x＝是方程2cos（x+α）＝1的解，
∴2cos（+α）＝1，
∴cos（+α）＝，
∴+α＝2kπ±，
∴α＝2kπ+，α＝2kπ﹣，k∈Z；
又α∈（0，2π），
∴α＝或．
故答案为：或．
16．（5分）下列命题中，正确的序号是 　②③④　．
①y＝|sinx|在上是单调递增函数；
②设，且，则；
③y＝sin|x|不是周期函数；
④若f（sinx）＝1﹣2cos2x，则．
【分析】结合函数的图象判断①；利用同角三角函数基本关系式，求解函数值判断②；结合函数的图象判断③；利用函数的解析式求解函数值判断④．
【解答】解：①y＝|sinx|可画出函数图象如图：

由图可知函数在上是单调递减函数，故①错误；
②∵，∴，解得或，
∵，∴，
故②正确
③y＝sin|x|可画出函数图象如图：

由图可知函数不是周期函数，故③错误；
④∵f（sinx）＝1﹣2cos2x，∴f（sinx）＝2sin2x﹣1，∴f（x）＝2x2﹣1，
∴，
故④正确；
故答案为：②③④．
三．解答题（共70分）
17．（10分）已知tanα＝2．求
（1）tan（α+）的值；
（2）的值．
【分析】（1）由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解；
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【解答】解：tanα＝2，
（1）tan（α+）＝＝＝﹣3．
（2）＝＝＝＝﹣5．
18．（12分）函数y＝2sin（2x+φ）（的一条对称轴为直线．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）用五点法画出函数y＝2sin（2x+φ）在上的简图．

【分析】（Ⅰ）由2×+φ＝kπ+，k∈Z，结合φ∈（0，）即可求得φ；
（Ⅱ）依题意，由2x+∈[0，2π]，可令2x+取0，，π，，2π，列表作图即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，2×+φ＝kπ+，k∈Z．
∴φ＝kπ+（k∈Z），
又φ∈（0，），
∴φ＝．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，y＝2sin（2x+），
∵x∈[﹣，]，
∴2x+∈[0，2π]，
当x＝﹣，，，，时，2x+取0，，π，，2π，作图如下：

19．（12分）已知函数关系式f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示：
（1）求A，ω，φ的值；
（2）设函数，求g（x）在上的值域．

【分析】（1）由函数f（x）的部分图象求出A、T、ω和φ的值；
（2）写出g（x）的解析式并化简，根据正弦函数的性质求出g（x）在上的值域．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象知，
A＝4，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2；
此时f（x）＝4sin（2x+φ）；
因为f（x）的图象过点，
所以，解得．
因为，所以，
所以，解得．
综上知A＝4，ω＝2，．
（2）由（1）得g（x）＝4sin（2x+）•4sin[2（x+）+]
＝16sin（2x+）cos（2x+）
＝8sin（4x+）．
由，得 ，
所以，
所以g（x）在上的值域为．
20．（12分）已知函数f（x）＝loga（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求使f（x）＞0的x取值范围．
【分析】（1）根据函数f（x）＝loga要使要使函数有意义，须真数＞0，解此不等式即可求得结果．
（3）当a＞1时，不等式f（x）＞0等价于＞1；当0＜a＜1时，等价于0＜＜1．由此可得不等式的解集．
【解答】解：（1）由 ＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
得﹣2＜x＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
故f（x）的定义域为（﹣2，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由 f（x）＞0得loga＞loga1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
当a＞1时，＞1 得0＜x＜2﹣﹣﹣﹣（9分）
当0＜a＜1时，0＜＜1得﹣2＜x＜0﹣﹣﹣﹣（12分）
21．（12分）如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，
（1）按下列要求写出函数的关系式：
①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；
②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．

【分析】（ 1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；
②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；
（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．
【解答】解：（1）①因为ON＝，OM＝，所以MN＝，（2分）
所以y＝x（） x∈（0，）．（4分）
②因为PN＝sinθ，ON＝，OM＝，
所以MN＝ON﹣OM＝（6分）
所以y＝sinθ，
即y＝3sinθcosθ﹣sin2θ，θ∈（0，）（8分）
（2）选择y＝3sinθcosθ﹣sin2θ＝sin（2θ+）﹣，（12分）
∵θ∈（0，）∴（13分）
所以．（14分）
22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间；
（Ⅱ）当时，对任意t∈R，不等式mt2﹣mt+2≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（I）化简f（x）解析式，根据正弦函数的性质求出单调区间和周期；
（II）求出f（x）的最大值，转化为二次函数恒成立问题解决．
【解答】解：（I）＝＝＝sinx+cosx＝，
函数f（x）的定义域为，周期，
令，解得：，
令，解得：，
所以f（x）的递增区间为．
（Ⅱ）∵，∴x+∈[，]，
∴当时，f（x）取得最大值1，
所以mt2﹣mt+2≥1恒成立，即mt2﹣mt+1≥0恒成立，
①当m＝0时，显然成立；
②当m≠0时，若对于t∈R，不等式mt2﹣mt+1≥0恒成立，
只需△＝m2﹣4m≤0成立，且m＞0即可，
解得：0＜m≤4，
综上，m的取值范围是0≤m≤4．