2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）一中高一（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）一中高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）一中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（5分）计算cos（﹣600°）的结果是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
2．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O，则等于（　　）

A．2 B．2 C．2 D．2
3．（5分）设a＝sin48°，b＝cos47°，c＝tan46°，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
4．（5分）若sinθcosθ＜0，＞0，则θ的终边在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（5分）下列函数中，以π为最小正周期且在区间（0，）上为增函数的函数是（　　）
A．y＝sin2x B．y＝﹣cos2x C．y＝﹣sinx D．y＝tan2x
6．（5分）函数y＝Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（　　）

A．y＝2sin（2x+） B．y＝2sin（2x+）
C．y＝2sin（﹣） D．y＝2sin（2x﹣）
7．（5分）已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）＝（　　）
A． B． C．﹣ D．
8．（5分）如图，在△ABC中，已知＝，P是BN上一点，若＝+μ，则实数μ的值是（　　）

A． B． C． D．
9．（5分）函数y＝tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（ω＞0，|φ|＜），将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（　　）
A．关于直线x＝对称 B．关于点（，0）对称
C．关于直线x＝﹣对称 D．关于点（﹣，0）对称
11．（5分）若函数f（x）＝sinx+2cos（x+φ）sinφ（0＜φ＜π）在区间[π，]上为增函数，则φ的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，π）
12．（5分）已知平面向量，，满足||＝||＝||＝1，若＝，则（）•（2﹣）的取值范围是（　　）
A．[1，2+] B．[1，3+] C．[3﹣，2+] D．[3﹣，3+]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）
13．（5分）已知角α的终边过点（5，﹣12），则cosαsinα＝　 　．
14．（5分）在半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为　 　．
15．（5分）已知A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||＝||，则点P的坐标为　 　．
16．（5分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形．若图中直角三角形的两个锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9：16，则cos（α﹣β）＝　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知＝（2，﹣2），＝（﹣3，2）．
（1）求||的值．
（2）当k为何值时，k与平行？
18．（12分）已知tan（α+π）＝．
（1）若α为第三象限角，求sinα．
（2）求sin（）的值．
19．（12分）若，是夹角为120°的两个向量，且||＝3，||＝1，设与．
（1）若，求实数k的值；
（2）当k＝0时，求与的夹角θ的大小．
20．（12分）根据市气象站对气温变化的数据统计显示，1月下旬某天市区温度随时间变化的曲线接近于函数y＝6sin（x）cos（x）﹣3cos（）+12的图象（0≤x≤24，单位为小时，y表示气温，单位为摄氏度）．
（1）请推断市区该天的最大温差；
（2）若某仓库存储食品要求仓库温度不高于15℃，根据推断的函数则这天中哪段时间仓库需要降温？
21．（12分）设函数f（x）＝，其中向量＝（4cosx，1），＝（sin（x﹣），2）．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求函数f（A）的值域．
22．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．
（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；
（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．

2019-2020学年福建省福州市八县（市、区）一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（5分）计算cos（﹣600°）的结果是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
【分析】先利用诱导公式令cos（﹣600°）＝cos（﹣600°+2×360°），进而利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．
【解答】解：cos（﹣600°）＝cos（﹣600°+2×360°）＝cos120°＝﹣
故选：C．
2．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O，则等于（　　）

A．2 B．2 C．2 D．2
【分析】利用向量加法定理直接求解．
【解答】解：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC交BD于点O，
∴
＝
＝
＝
＝2．
故选：C．

3．（5分）设a＝sin48°，b＝cos47°，c＝tan46°，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【分析】引入中间量1，，结合正余弦、正切函数的单调性，问题容易解决．
【解答】解：因为sin48°＜1；
；
tan46°＞tan45°＝1．
故tan46°＞sin48°＞cos47°，即b＜a＜c．
故选：B．
4．（5分）若sinθcosθ＜0，＞0，则θ的终边在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据三角函数值符号的判断方法，即可得出θ为第几象限角．
【解答】解：由sinθcosθ＜0知θ为第二或第四象限角，
由＞0知，θ为第一或第四象限角，
所以θ的终边在第四象限．
故选：D．
5．（5分）下列函数中，以π为最小正周期且在区间（0，）上为增函数的函数是（　　）
A．y＝sin2x B．y＝﹣cos2x C．y＝﹣sinx D．y＝tan2x
【分析】根据三角函数的图象及性质，依次判断各选项即可．
【解答】解：对于A：y＝sin2x，其最小正周期T＝＝π，在区间（0，）上单调递增，在区间（，）上单调递减，故A不符合题意；
对于B：y＝﹣cos 2x，其最小正周期T＝＝π，y＝cos2x在区间（0，）上为减函数，则y＝﹣cos2x，在区间（0，）上为增函数，故B符合题意；
对于C，y＝﹣sin x，其最小正周期T＝2π，故C不符合题意；
对于D：y＝tan 2x，其最小正周期T＝，不符合题意．
故选：B．
6．（5分）函数y＝Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（　　）

A．y＝2sin（2x+） B．y＝2sin（2x+）
C．y＝2sin（﹣） D．y＝2sin（2x﹣）
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：根据函数y＝Asin（x+φ）（A＞0，＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象，
可得A＝2，•＝﹣（﹣），∴＝2．
再根据当x＝﹣时，y＝2sin（﹣+φ）＝2，可得sin（﹣+φ）＝1，
故有﹣+φ＝2kπ+，求得φ＝2kπ+，结合0＜φ＜π，求得φ＝，
故函数y＝Asin（2x+），
故选：A．
7．（5分）已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）＝（　　）
A． B． C．﹣ D．
【分析】整体思想，利用二倍角和诱导公式进行化简即可得到答案．
【解答】解：由sin（）＝cos[]＝cos（）
∴cos（）＝，
那么：cos（）＝cos2（）
＝2cos2（）﹣1
＝
＝﹣
故选：C．
8．（5分）如图，在△ABC中，已知＝，P是BN上一点，若＝+μ，则实数μ的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】因为B，P，N三点共线，由向量共线定理可设，然后利用三角形法则用向量AB，AC表示出向量AP，进而可以求解．
【解答】解：法一：因为P是BN上的一点，则可设，
因为
＝，
又，
所以，解得，
故选：C．
法二：由已知＝，可得，
又因为B，P，N三点共线，∴，
∴＝+，
∴，
故选：C．
9．（5分）函数y＝tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间既包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．
【解答】解：函数，
分段画出函数图象如D图示，
故选：D．
10．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（ω＞0，|φ|＜），将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（　　）
A．关于直线x＝对称 B．关于点（，0）对称
C．关于直线x＝﹣对称 D．关于点（﹣，0）对称
【分析】直接利用函数的平移变换求出函数f（x）的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x+φ）（ω＞0，|φ|＜），将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到g（x）＝sin（2x++φ）的图象，
由于函数g（x）的图象关于y轴对称，且|φ|＜），
所以φ＝﹣．
故f（x）＝sin（2x﹣）．
当x＝时，f（）＝0，故A错误，B正确；
当x＝﹣时，f（﹣）＝sin（﹣）≠1，故C、D错误．
故选：B．
11．（5分）若函数f（x）＝sinx+2cos（x+φ）sinφ（0＜φ＜π）在区间[π，]上为增函数，则φ的取值范围是（　　）
A．（0，] B．（0，] C．[，] D．[，π）
【分析】由三角恒等变换化简函数f（x），再由正弦函数的单调性即可求解．
【解答】解：f（x）＝sinx+2cos（x+φ）sinφ
＝sinx+2cosxcosφsinφ﹣2sinxsinφsinφ
＝sin2φcosx+（1﹣2sin2φ）sinx
＝sin2φcosx+cos2φsinx
＝sin（x+2φ），
因为函数f（x）在区间[π，]上为增函数，
由正弦函数的图象和性质可得，
解得≤φ≤，即φ的取值范围是[，]．
故选：C．
12．（5分）已知平面向量，，满足||＝||＝||＝1，若＝，则（）•（2﹣）的取值范围是（　　）
A．[1，2+] B．[1，3+] C．[3﹣，2+] D．[3﹣，3+]
【分析】先将结论化简为，显然前两个式子可直接计算，后面的式子结合数量积的定义可求范围，则问题可解．
【解答】解：因为||＝||＝||＝1，若＝，
则（）•（2﹣）＝
＝3．
由，
故，设＜＞＝θ．显然θ∈[0，π]，
故，
即，所以3﹣≤（）•（2﹣）≤3．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）
13．（5分）已知角α的终边过点（5，﹣12），则cosαsinα＝　﹣　．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosαsinα的值．
【解答】解：∵角α的终边过点（5，﹣12），∴sinα＝＝﹣，cosα＝＝，
则cosαsinα＝+•（﹣）＝﹣，
故答案为：﹣．
14．（5分）在半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为　　．
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为
S扇形＝αr2＝××52＝．
故答案为：．
15．（5分）已知A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||＝||，则点P的坐标为　（﹣7，7）　．
【分析】由题意得，设P（x，y），则（x+4，y﹣6）＝﹣（2﹣x，4﹣y），由此能求出点P的坐标．
【解答】解：∵A（﹣4，6），B（2，4），点P在线段AB的延长线上，且||＝||，
∴，
设P（x，y），则（x+4，y﹣6）＝﹣（2﹣x，4﹣y），
解得x＝﹣7，y＝6．
∴点P的坐标为（﹣7，7）．
故答案为：（﹣7，7）．
16．（5分）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个正方形拼成一个大的正方形．若图中直角三角形的两个锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形的面积之比为9：16，则cos（α﹣β）＝　　．

【分析】由小正方形与大正方形的面积之比为9：16，不妨设小正方形与大正方形的边长分别为3，4，即AC＝4，BD＝3．设AB＝CD＝x，利用勾股定理解得x．利用直角三角形的边角关系、和差公式即可得出cos（α﹣β）的值．
【解答】解：由小正方形与大正方形的面积之比为9：16，
不妨设小正方形与大正方形的边长分别为3，4，即AC＝4，BD＝3.
设AB＝CD＝x，则x2+（x+3）2＝42，解得x＝．
∴sinα＝＝＝cosβ，cosα＝sinβ＝＝．
则cos（α﹣β）＝×+×＝．
故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知＝（2，﹣2），＝（﹣3，2）．
（1）求||的值．
（2）当k为何值时，k与平行？
【分析】（1）求出向量的坐标，即可求解；
（2）求出向量k的坐标，利用向量共线定理即可求解．
【解答】解：（1）因为＝（8，﹣6），
所以||＝；
（2）因为k2，﹣2）+（﹣3，2）＝（2k﹣3，﹣2k+2），
由k与平行，则8（﹣2k+2）＝﹣6（2k﹣3），
解得k＝，
故当k＝﹣时，k与平行．
18．（12分）已知tan（α+π）＝．
（1）若α为第三象限角，求sinα．
（2）求sin（）的值．
【分析】（1）根据三角函数同角关系进行转化求解即可．
（2）利用三角函数的诱导公式结合同角关系进行转化求解即可．
【解答】解：（1）由tan（α+π）＝．得tanα＝．
∵α为第三象限角，∴sinα＜0，
则sin2α＝＝＝＝＝．
则sinα＝﹣．
（2）sin（）•＝﹣cosα•
＝﹣•＝﹣•（﹣1）＝﹣•（﹣1）＝﹣•（﹣1）＝﹣•＝﹣．
19．（12分）若，是夹角为120°的两个向量，且||＝3，||＝1，设与．
（1）若，求实数k的值；
（2）当k＝0时，求与的夹角θ的大小．
【分析】（1）先求出＝﹣，再由，，，利用向量垂直的性质能求出k．
（2）当k＝0时，，则＝，利用向量夹角公式能求出与的夹角θ的大小．
【解答】解：（1）∵，是夹角为120°的两个向量，且||＝3，||＝1，
∴＝3×1×cos120°＝﹣，
∵，，，
∴＝（）•（）＝
＝＝9+（k﹣3）（﹣）﹣3k＝0，
解得k＝3．
（2）当k＝0时，，
则＝（）＝＝9﹣3×（﹣）＝，
||2＝（）2＝＝9﹣6×（﹣）+9＝27，
∴||＝3，||＝||＝3，
由向量的夹角公式，可得cosθ＝＝＝．
又∵0≤θ≤π，∴，∴与的夹角θ的大小为．
20．（12分）根据市气象站对气温变化的数据统计显示，1月下旬某天市区温度随时间变化的曲线接近于函数y＝6sin（x）cos（x）﹣3cos（）+12的图象（0≤x≤24，单位为小时，y表示气温，单位为摄氏度）．
（1）请推断市区该天的最大温差；
（2）若某仓库存储食品要求仓库温度不高于15℃，根据推断的函数则这天中哪段时间仓库需要降温？
【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数为y＝6sin（）+12，求解函数的周期，然后求解该地区一天的最大温差．
（2）利用已知条件列出不等式6sin（）+12≥15 转化求解即可．
【解答】解：（1）y＝6sin（x）cos（x）﹣3cos（）+12
＝3sin（x）﹣3cos（x）+12
＝6sin（）+12，
周期T＝＝24，
∴该地区一天的最高温度为18，最低温度为6，
∴该地区一天的最大温差12．
（2）6sin（）+12≥15 即 sin（）≥，
得≤≤，k∈Z，
6+24k≤x≤14+24k，
∴k＝0时 6≤x≤14，
∴仓库在6时到14时需要降温．
21．（12分）设函数f（x）＝，其中向量＝（4cosx，1），＝（sin（x﹣），2）．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求函数f（A）的值域．
【分析】（1）直接利用平面向量的数量积的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
（2）利用向量的数量积和三角函数的关系式及函数的定义域求出函数的值域．
【解答】解：（1）向量＝（4cosx，1），＝（sin（x﹣），2）．
所以：函数f（x）＝＝＝＝2，
令（k∈Z），
解得（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，
所以，
所以cosB＝，
由于0＜B＜π，
所以B＝．
由于A+B+C＝π，
故A+C＝，
故，
则，
所以，
故函数f（A）的值域为（0，3]．
22．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．
（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；
（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．
【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sinx；
求出g（x）＝﹣2sin2x+sinx，在x∈[0，]的最大值即可；
（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．
【解答】解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），
则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sinx+cos2x＝1﹣2sin2x+sinx；
不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sinx；
设g（x）＝﹣2sin2x+sinx，x∈[0，]，
则g（x）＝﹣2+，
且x∈[0，]时，sinx∈[0，]，
所以sinx＝时，g（x）取得最大值是，
所以实数m的取值范围是m≥；
（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；
又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；
所以φ＝﹣，ω＝3k+，k∈Z；
又f（x）在单调递增，则，解得ω≤6；
综上知，ω的最大值是．