2023-2024学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin120°=( )
A. 32B. 12C. − 32D. −12
2.设命题p：∀x>0，lnx≤x−1，则￢p为( )
A. ∀x>0，lnx>x−1B. ∀x≤0，lnx≥x−1
C. ∃x0>0，lnx0>x0−1D. ∃x0≤0，lnx0>x0−1
3.在下列区间中，方程3x+4x−3=0的实数解所在的区间为( )
A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)
4.已知集合A={x|x2−2x⩽0}，B={x|x=sinkπ2,k∈Z}，则A∩B=( )
A. {−1,0}B. {0,1}C. {0}D. {1}
5.设x∈R，则“csx=1”是“sinx=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
6.已知a=20.8，b=ln2，c=ln0.8，则( )
A. a7.已知α为锐角，sin(α+45°)=35，则sin2α=( )
A. 725B. 1425C. ±1425D. −725
8.某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P=kat(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)，其图象如图，则污染物减少60%至少需要的时间约为
(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)( )
A. 23小时B. 25小时C. 42小时D. 44小时
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>b，则下列不等式成立的是( )
A. a+c>b+cB. ac>bcC. 1a<1bD. 2a>2b
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如下所示，则( )
A. φ=π3
B. f(x)在[π,7π6]上单调递增
C. f(x)的图象关于直线x=−5π12对称
D. 将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后所得的图象关于原点对称
11.已知函数f(x)的定义域为R，∀x，y∈R都有2f(xy+1)=f(x)f(y)−f(y)−2x+6，且f(0)=1，则( )
A. f(−1)=2B. f(1)=3C. f(x)是增函数D. f(x)是偶函数
12.已知函数f(x)=(12)x−1,x⩽0,−x(x−2),x>0.若关于x的方程f(x)=m有3个实数解x1，x2，x3(x1A. x1+x2<0
B. 1C. −1D. 关于x的方程f(x)=f(m)恰有3个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=ax+1(a>0且a≠1)的图象过定点，则该定点的坐标是______．
14.已知扇形的弧长是2cm，面积是1cm2，则扇形的圆心角(正角)的弧度数为______．
15.已知函数f(x)不恒为0，且同时具备下列三个性质：
①f(1)=0；②f(x)是偶函数；③∀x>0，y>0，f(xy)=f(x)+f(y)．
写出一个函数f(x)= ______．
16.用MI表示函数y=sinx在闭区间I上的最大值，已知0(1)若 2M[0,a]⩽1，则a的取值范围是______．
(2)若M[0,a]⩾ 2M[a,2a]，则a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=x+9x−1(x>1)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若a2+6a⩽f(x)恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(−3,4)．
(1)求sinα，csα，tanα的值；
(2)将α的终边按顺时针方向旋转π4，此时终边所对应的角为β，求sinβ+2csβsinβ−csβ的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2csxcs(x+φ)(|φ|<π2)，f(π6)= 3．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
20.(本小题12分)
已知e是自然对数的底数，f(x)=ex+1ex．
(1)判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性并证明；
(2)解不等式f(2x)≥f(x+1)．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2a−x1+x为奇函数，g(x)=m⋅4x−2x+2+1．
(1)求实数a的值；
(2)∀x1∈[0.1]，∃x2∈[0,1)，使得g(x1)=f(x2)，求实数m的取值范围．
22.(本小题12分)
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为5m的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心O距离水面的高度为52m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y(单位：m)(在水面下则y为负数).若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t(单位：s)之间的关系为y=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,|φ|<π2)．
(1)求A，ω，φ，K的值；
(2)若盛水筒P在不同时刻t1，t2距离水面的高度相等，求t1+t2的最小值；
(3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可得解．
【解答】解：sin120°=sin(90°+30°)=cs30°= 32．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】解：因为p：∀x>0，lnx≤x−1为全称命题，
则￢p：∃x0≤0，lnx0>x0−1，
故选：D．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】C
【解析】解：构造函数f(x)=3x+4x−3，在R上单调递增，
则f(0)=1+0−3<0，f(1)=3+4−3=4>0，
f(0)f(1)<0，
故方程3x+4x−3=0的解所在区间是(0,1)．
故选：C．
由函数零点判定定理求其零点所在区间，即可求解．
本题考查函数零点判定定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x2−2x⩽0}={x|0≤x≤2}，
B={x|x=sinkπ2,k∈Z}={−1,0,1}，
则A∩B={0,1}．
故选：B．
求出集合B，由此能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由csx=1，
又sin2x+cs2x=sin2x+1=1，
解得sinx=0，充分性成立，
若sinx=0，
又sin2x+cs2x=0+cs2x=1，
解得csx=±1，必要性不成立，
故“csx=1”是“sinx=0”的充分不必要条件．
故选：A．
由题意根据充分条件、必要条件的定义即可判断．
本题考查的知识点是充要条件，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵20.8>20=1，∴a>1，
∵0=ln1∵ln0.8∴c故选：B．
利用指数函数和对数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为α为锐角，sin(α+45°)=35，
所以sin2α=−cs(2α+90°)=−[1−2sin2(α+45°)]=−1+2×925=−725．
故选：D．
利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可．
本题主要考查了诱导公式和二倍角余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由题有p0=k⋅a00.81p0=k⋅a10(1−0.6)p0=k⋅at，解得t≈43.5，
所以污染物减少60%至少需要的时间约为44小时．
故选：D．
由已知条件结合图象即可求解．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：a>b，c=c，
故a+c>b+c，故A正确；
a>b，
当c<0时，
则ac令a=1，b=−1，满足a>b，但1a>1b，故C错误；
y=2x在R上单调递增，
a>b，
2a>2b，
故D正确．
故选：AD．
结合函数的性质，特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：由图象可得，3T4=5π6−π12=3π4，即T=π，
所以ω=2，f(x)=sin(2x+φ)，
因为2×π12+φ=π2，所以φ=π3，A正确；
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
则−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
当k=1时，可得函数的一个单调递增区间为[7π12,13π12]，B错误；
当x=−5π12时，函数取得最小值，符合题意；
将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数为y=sin(2x+π3+2π3)=−sin2x为奇函数，图象关于原点对称，D正确．
故选：ACD．
由已知结合五点作图法可求函数解析式，结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题综合考查了正弦函数的性质在函数解析式求解中的应用，还考查了函数图象的变换，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：令x=y=0，则有2f(1)=f2(0)−f(0)+6=1−1+6，
解得f(1)=3，故B正确；
令x=−1，y=0，则有2f(1)=f(−1)f(0)−f(0)+2+6，
即6=f(−1)−1+2+6，解得f(−1)=−1，故A错误；
令y=0，则有2f(1)=f(x)f(0)−f(0)−2x+6，
即6=f(x)−1−2x+6，
所以f(x)=2x+1，
所以y=f(x)为增函数，且为非奇非偶函数，故C正确、D错误．
故选：BC．
用赋值法判断A，B；求出函数f(x)的解析式，从而判断C，D．
本题考查了用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的单调性和奇偶性，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：由题意作出y=f(x)的图象：
要使f(x)=m有3个实数解，只需0对于A，作出x<0时，f(x)的部分图象关于y轴的图象，可知交点在x2与x=1之间，
则−x1>x2>0，所以−1对于B，据图可知−1当m→0时，x1→0，x2x3→0，即x1x2x3<0，故C错；
因为0故选：ABD．
作出y=f(x)的图象，据图分析ABC三个选项，并得到m的范围，求出f(m)的范围，再进一步研究D选项．
本题考查函数的零点与方程根，以及两函数图象交点间的关系，属于中档题．
13.【答案】(0,2)
【解析】解：对于函数f(x)=ax+1(a>0且a≠1)，令x=0，求得y=2，
可得它的图象过定点(0,2)．
故答案为：(0,2)．
令幂指数等于零，求出x、y的值，可得函数的图象过定点的坐标．
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：因为扇形的弧长是2cm，面积是1cm2，
设扇形的圆心角(正角)的弧度数为α，半径为r，
所以αr=2，12αr2=1，
所以r=1，可得α=2．
故答案为：2．
根据扇形的弧长公式和面积公式即可求解．
本题考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．
15.【答案】ln|x|(答案不唯一)
【解析】解：根据题意，如函数f(x)=ln|x|，
有f(1)=ln1=0，
其定义域为{x|x≠0}，f(−x)=ln|x|=f(x)，则f(x)为偶函数，
f(xy)=ln|xy|=ln|x|+ln|y|=f(x)+f(y)，
故f(x)=ln|x|是一个符合题意的函数．
故答案为：ln|x|.(答案不唯一)．
根据题意，由对数函数的性质，分析可得答案．
本题考查函数解析式的求法，注意对数的运算，素养基础题．
16.【答案】(0,π4] [3π4,9π8]
【解析】解：(1)由M[0,a]≤ 22恒成立，即a∈(0,π4]，
由于32π≥a≥0，所以a∈(0,π4]；
(2)①a∈(0,π4]时，M[0,a]=sina，2a∈(0,π2]，M[a,2a]=sin2a，
此时M[0,a]≤M[a,2a]，不符合情况；
②a∈(π4,π2]时，M[0,a]=sina，2a∈(π2,π]，
M[a,2a]=1，此时M[0,a]≤M[a,2a]，不符合情况；
③a∈(π2,32π]时，M[0,a]=1，2a∈(π,3π]，M[a,2a]=sina或sin2a，
M[a,2a]≤ 22成立时，sina≤ 22csa≤ 22，
a∈[34π,98π]，由于3π2≥a>0，
所以a∈[3π4,9π8].
故答案为：(1)(0,π4]；(2)[3π4,9π8]．
(1)由题意可得M[0,a]≤ 22恒成立，再由题意可得a的范围；
(2)分类讨论a在不同的范围，是否满足条件，可得a的范围．
本题考正弦函数定义域与值域的知识，正弦函数最值问题，分类讨论的思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)=x+9x−1(x>1)，
所以f(x)=x+9x−1=x−1+9x−1+1．
因为x>1，所以x−1>0，
所以x−1+9x−1+1⩾2 (x−1)⋅9x−1+1=7，
当且仅当x−1=9x−1，即x=4时，取等号，
所以f(x)的最小值为7．
(2)由(1)知，函数f(x)的最小值为7，
因为a2+6a⩽f(x)恒成立，所以a2+6a⩽7，解得−7⩽a⩽1，
所以a的取值范围是[−7,1]．
【解析】(1)根据f(x)，利用基本不等式求最小值即可；
(2)由(1)知，函数f(x)的最小值为7，由a2+6a⩽f(x)恒成立，可得a2+6a⩽7，再求出a的取值范围即可．
本题考查了利用基本不等式求函数的最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属基础题．
18.【答案】解：(1)角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(−3,4)．
故|OP|=5，sinα=45，csα=−35，tanα=−43．
(2)根据题意可得，
tanβ=tan(α−π4)=−43−11+(−43)×1=7，
所以sinβ+2csβsinβ−csβ=tanβ+2tanβ−1=7+27−1=32．
【解析】(1)由任意角的三角函数的定义可求得sinα，csα，tanα的值；
(2)依题意，得tanβ=tan(α−π4)=7，将所求关系式中的“弦”化“切”，可求得答案．
本题考查两角和与差的三角函数及任意角的三角函数的定义，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意可得，f(π6)=2csπ6cs(π6+φ)= 3cs(π6+φ)= 3，
即cs(φ+π6)=1，所以φ+π6=kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以−π3<φ+π6<2π3，
所以φ+π6=0，即φ=−π6，
所以f(x)=2csxcs(x−π6)
=2csx(csxcsπ6+sinxsinπ6)
= 3cs2x+csxsinx
= 32(cs2x+1)+12sin2x
=sin(2x+π3)+ 32，
所以函数的单调递增区间满足：2kπ−π2⩽2x+π3⩽2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−5π12⩽x⩽kπ+π12，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z；
(2)因为x∈[0,π2]，所以2x+π3∈[π3,4π3]，
所以当2x+π3=4π3，即x=π2时，[f(x)]min=sin4π3+ 32=− 32+ 32=0；
当2x+π3=π2，即x=π12时，[f(x)]max=1+ 32．
即函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值分别为1+ 32，0．
【解析】(1)由f(π6)= 3及φ的范围，可得φ角的大小，整理可得函数f(x)的解析式；
(2)由x的范围，可得角的整体的范围，再由正弦函数的性质可得函数的最值．
本题考查三角函数的性质的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，
证明如下：
任取x1，x2∈[0,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=(ex1+1ex1)−(ex2+1ex2)
=(ex1−ex2)+(1ex1−1ex2)
=(ex1−ex2)(1−1ex1ex2)，
因为x1，x2∈[0,+∞)，且x1所以ex2>ex1≥1，
所以ex1−ex2<0，ex1ex2>1，1−1ex1ex2>0，
故f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在[0,+∞)上单调递增．
(2)函数f(x)=ex+1ex的定义域为R，且f(−x)=e−x+1e−x=ex+1ex=f(x)，
所以f(x)是偶函数，
又由(1)知f(x)在[0,+∞)上单调递增，
则f(x)在(−∞,0)上单调递减，
所以f(2x)≥f(x+1)⇔f(|2x|)≥f(|x+1|)⇔|2x|≥|x+1|，
两边平方可得3x2−2x−1≥0，
解得x≥1或x≤−13，
故不等式f(2x)≥f(x+1)的解集为{x|x≥1或x≤−13}．
【解析】(1)利用函数单调性的定义证明；
(2)首先证明函数是偶函数，将不等式转化为f(|2x|)≥f(|x+1|)，再结合函数的单调性解不等式．
本题考查了函数的性质，重点考查了导数的应用，属中档题．
21.【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(−x)+f(x)=0，
所以lg2a+x1−x+lg2a−x1+x=0，所以a2−x2=1−x2，
所以a2=1，解得a=±1，
当a=−1时，a−x1+x=−1<0，舍去；
当a=1时，函数f(x)的定义域为(−1,1)，符合题意．
所以实数a的值为1．
(2)设M={g(x1)|x1∈[0,1]}，N={f(x2)|x2∈[0,1)}，
由∀x1∈[0.1]，∃x2∈[0,1)，使得g(x1)=f(x2)，可得M⊆N．
由(1)知，f(x)=lg21−x1+x=lg2(−1+21+x)，
当x∈[0,1)时，−1+21+x∈(0,1]，所以N=(−∞,0]．
又g(x)=m⋅4x−2x+2+1=m⋅(2x)2−4⋅2x+1，
设t=2x，则函数h(t)=mt2−4t+1，t∈[1,2]．
①当m=0时，h(t)=−4t+1，可得[h(t)]max=h(1)=−3⩽0，符合题意；
②当m≠0时，h(t)=m(t−2m)2+1−4m，h(t)图象的对称轴为t=2m．
(i)当m<0时，对称轴t=2m<0，
所以h(t)在区间[1,2]上单调递减，故[h(t)]max=h(1)=m−3，
由M⊆N，得m−3⩽0，即m⩽3，所以m<0；
(ii)当m>0时，若2m⩽32，即m⩾43时，[h(t)]max=h(2)=4m−7，
由M⊆N，得4m−7⩽0，所以43⩽m⩽74；
若2m>32，即0由M⊆N，得m−3⩽0，所以0综上，m的取值范围是(−∞,74]．
【解析】(1)根据f(x)为奇函数，利用定义求出a的值，再检验即可；
(2)设M={g(x1)|x1∈[0,1]}，N={f(x2)|x2∈[0,1)}，由∀x1∈[0.1]，∃x2∈[0,1)，使得g(x1)=f(x2)，可得M⊆N，再求出a的取值范围．
本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用函数恒成立与能成立求参数的取值范围，考查了方程思想、分类讨论思想和转化思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可求A=5，K=52，
因为筒车转一周需要1分钟，
所以ω=2π60=π30，
所以y=5sin(π30t+φ)+52，
因为f(0)=5sinφ+52=0，可得sinφ=−12，
又|φ|<π2，可得φ=−π6；
(2)由(1)知y=5sin(π30t−π6)+52，t∈[0,+∞)，
不妨设t1>t2≥0，由题意得5sin(π30t1−π6)+52=5sin(π30t2−π6)+52，
故sin(π30t1−π6)=sin(π30t2−π6)，
所以π30t1−π6=π30t2−π6+2k1π，k1∈N*或π30t1−π6+π30t2−π6=π+2k2π，k2∈N，
当π30t1−π6=π30t2−π6+2k1π，k1∈N*时，解得t1=t2+60k1，k1∈N*，
故t1+t2=2t2+60k1⩾60，当且仅当t2=0，k1=1时，等号成立，
此时t1+t2的最小值为60；
当π30t1−π6+π30t2−π6=π+2k2π，k2∈N时，解得t1+t2=40+60k2，
显然当k2=0时，t1+t2取得最小值40，
综上，t1+t2的最小值为40s；
(3)设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为hm，
两个相邻的盛水筒的位置分别用P1和P2表示，则∠P1OP2=π6，
所以h=|5sin(π30t−π6)+52−[5sin(π30t−π3)+52]|
=5( 3−1)2|sinπ30t+csπ30t|
=5 6−5 22|sin(π30t+π4)|，t∈[0,+∞)，
当π30t+π4=π2+kπ，即t=152+30k，k∈N时，
高度差h的最大值为5 6−5 22m．
【解析】(1)由题意可求A，K的值，利用正弦函数的周期公式可求ω的值，由f(0)=0，可得sinφ=−12，结合|φ|<π2，可得φ=−π6；
(2)根据正弦方程，求解t1，t2的关系，通过分类讨论得到t1+t2的最小值；
(3)设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为hm，利用三角函数恒等变换可求h=|5sin(π30t−π6)+52−[5sin(π30t−π3)+52]|=5 6−5 22|sin(π30t+π4)|，t∈[0,+∞)，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查三角函数的应用，三角函数解析式的确定，正弦型函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．