2020-2021年安徽省铜陵市高二（上）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年安徽省铜陵市高二（上）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 从一批产品中取出三件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是( )
A.B与C互斥B.任何两个均互斥
C.A与C互斥D.任何两个均不互斥

2. 某胸科医院感染科有3名男医生和2名女医生，现需要从这5名医生中抽取2名医生成立一个临时新冠状病毒诊治小组，恰好抽到的2名医生都是男医生的概率为( )
A.25B.710C.310D.35

3. 已知命题p:∃x∈R，x−2>lgx，命题q:∀x∈R，x2>0，则( )
A.命题p∨q是假命题B.命题p∧q是真命题
C.命题p∧(¬q)是真命题D.命题p∨(¬q)是假命题

4. 若a∈R，则“a=1”是“|a|=1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5. 程序框图如图所示：如果程序运行的结果S=1320，那么判断框中应填入( )

A.K<10？B.K≤10？C.K<9？D.K≤11？

6. 某单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如果采取分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为( )
A.3B.5C.10D.15

7. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x¯，方差为s2，则( )

A.x¯=4，s2<2B.x¯=4，s2>2C.x¯>4，s2<2D.x¯>4，s2>2

8. 设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A.若l//α，l//β，则α//βB.若l//α，l⊥β，则α⊥β
C.若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD.若α⊥β，l//α，则l⊥β

9. 点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=2，AC=2，若球的表面积为25π4，则四面体ABCD体积的最大值为( )
A.12B.34C.23D.1

10. 已知直线mx+2y+3=0与直线3x+m−1y+m=0平行，则实数m=( )
A.−2B.3C.5D.−2或3

11. 如果圆x2+(y−1)2=1上任意一点P(x, y)，都能使不等式x+y+c≥0恒成立，那么实数c的取值范围是( )
A.c≥−2−1B.c≤−2−1C.c≥2−1D.c≤2−1

12. 在空间直角坐标系Oxyz中，点M(0,m,0)到点P1,0,2和点Q1,−3,1的距离相等，则实数m的值为( )
A.−2B.−1C.1D.2
二、填空题

用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为_______.

用秦九韶算法计算多项式f(x)=3x5+2x3−8x+5在x=1时的值时，V3的值为________．

已知一圆的圆心坐标为C(2, −1)，且被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22，则此圆的方程________．

已知x与y之间的一组数据如图所示，则y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点________．
三、解答题

已知直线l的方程为2x−y+1=0.
(1)求过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1的方程；

(2)若直线l2与直线l平行，且点P(3, 0)到直线l2的距离为5，求直线l2的方程．

如图，在四棱锥S−ABCD中， SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ABC=90∘，SA=AB=AD=1，BC=2.

(1)求证：AD⊥SB；

(2)求三棱锥D−SBC的体积．

端午节是我国民间为纪念爱国诗人屈原的一个传统节日.某市为了解端午节期间粽子的销售情况，随机问卷调查了该市1000名消费者在去年端午节期间的粽子购买量（单位：克），所得数据如下表所示：
将频率视为概率.
(1)试求消费者粽子购买量不低于300克的概率；

(2)若该市有100万名消费者，请估计该市今年在端午节期间应准备多少千克棕子才能满足市场需求（以各区间中点值作为该区间的购买量）.

下表提供了某厂节油降耗技术发行后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．

(1)求线性回归方程y=bx+a所表示的直线必经过的点；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；并预测生产1000吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤？
（参考：b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯）

为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如表数据：
若用表中数据所得频率代替概率．
(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？

(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？

某校2020届高三数学教师为分析本校2019年高考文科数学成绩，从该校文科生中随机抽取400名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140]后得到如图所示的频率分布直方图．

(1)若每组数据以该组的中点值作为代表，估计这400个学生数学成绩的众数和平均数；

(2)用分层抽样的方法，从这400名学生中抽取20人，再从所抽取的20人中成绩在[120,140]内的学生中抽取2人，求这2人至少有一人成绩在[130,140]内的概率．
参考答案与试题解析
2020-2021年安徽省铜陵市高二（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
根据互斥事件的定义可判断出结果
【解答】
解：事件C包含事件B，故A，B选项错误，
事件A与事件C没有相同的事件，故C选项正确，D选项错误.
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
基本事件总数n=C52=10，恰好抽到的2名医生都是男医生包含的基本事件个数m=C32=3，由此能求出恰好抽到的2名医生都是男医生的概率．
【解答】
解：3名男医生编号为A，B，C，2名女医生编号为a，b，
任选2名医生的事件：AB，AC，Aa，Ab，
BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab 共10个，
其中抽到的2名医生都是男医生的事件有AB，AC，BC共3个，
所以所求概率为P=310.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
全称命题与特称命题
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．
【解答】
解：由于x=10时，x−2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题.
令x=0，则x2=0，故命题q为假命题.
依据复合命题真假性的判断法则，得到
命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，¬q是真命题，
进而得到命题p∧(¬q)是真命题，命题p∨(¬q)是真命题．
故选C．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
先判断“a=1”⇒“|a|=1”的真假，再判断“|a|=1”时，“a=1”的真假，进而结合充要条件的定义即可得到答案．
【解答】
解：当“a=1”时，“|a|=1”成立，
即“a=1”⇒“|a|=1”为真命题，
但“|a|=1”时，“a=1”不一定成立，
即“|a|=1”⇒“a=1”为假命题，
故“a=1”是“|a|=1”的充分而不必要条件.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
程序框图
【解析】
按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当k为何值时输出，得到判断框中的条件．
【解答】
解：经过第一次循环得到
S=1×12=12，k=12−1=11不输出，即k的值不满足判断框的条件；
经过第二次循环得到
S=12×11=132，k=11−1=10不输出，即k的值不满足判断框的条件；
经过第三次循环得到
S=132×10=1320，k=10−1=9输出，即k的值满足判断框的条件，
故判断框中的条件是k<10.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
先计算业务人员、管理人员、后勤人员的人数的比例，再根据这个比例计算需抽取的人数．
【解答】
解：分层抽样应按各层所占的比例从总体中抽取．
∵ 96:40:24=12:5:3，共抽出20人，
∴ 管理层抽取人数为20×512+5+3=5（人）．
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
本题主要考查样本的数字特征．
【解答】
解：设原来的7个数分别为x1，x2，⋯，x7，
加入一个新数据4之后的平均数为7×4+48=4，
则这8个数的方差
s2=(x1−4)2+(x2−4)2+⋯+(x7−4)2+(4−4)28
=7×2+(4−4)28<2，
所以x¯=4，s2<2．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，l//α，l//β时，α//β或α与β相交，故A错误；
B，l//α，l⊥β，则α⊥β，正确；
C，若α⊥β，l⊥α，则l//β或l⊂β，故C错误；
D，若α⊥β，l//α，则l//β或l与β相交或l⊂β，故D错误.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积，转化求解四面体ABCD体积最大值．
【解答】
解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．
其所在球的小圆圆心在斜边AC的中点上.
设小圆的圆心为Q，球的半径为r，
因为球的表面积为25π4，
所以4πr2=25π4，即r=54，
当底面积S△ABC不变，高最大时，四面体ABCD的体积的最大，
即D到底面ABC距离最大值时，
ℎ=r+r2−12=2．
四面体ABCD体积的最大值为
13×S△ABC×ℎ=13×12×2×2×2=23.
故选C.
10.
【答案】
A
【考点】
两条直线平行的判定
【解析】
由题意利用两条直线平行的性质，求得m的值．
【解答】
解：∵ 直线mx+2y+3=0与直线3x+m−1y+m=0平行，
当m=0时，两直线显然不平行，
∴ m≠0，
∴ 3m=m−12≠m3，
解得m=−2.
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
不等式恒成立问题
点的极坐标和直角坐标的互化
两角和与差的正弦公式
【解析】
设出圆的参数方程为x=csα，y=sinα+1，代入x+y+c≥0中解出c大于等于一个式子，利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域求出这个式子的最大值，令c大于等于这个最大值，即可求出c的范围．
【解答】
解：设圆上任一点P的坐标为(csα, sinα+1)，
即x=csα，y=sinα+1，
则x+y+c=csα+sinα+1+c
=2(22csα+22sinα)+1+c
=2sin(α+π4)+1+c≥0，
即c≥−1−2sin(α+π4)，
又因为−1≤sin(α+π4)≤1，
所以得到：−1−2≤−1−2sin(α+π4)≤2−1，
则c≥2−1．
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
空间两点间的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意，点M(0, m, 0)，
∵ |MP|=|MQ|，
∴ 1+m2+4=1+(m+3)2+1，
即m2+5=m2+6m+11，
∴ m=−1.
故选B．
二、填空题
【答案】
51
【考点】
辗转相除法
【解析】
根据题目的已知条件，利用辗转相除法与更相减损术的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握辗转相除法，也叫欧几里德算法—结果是以相除余数为0而得到．
【解答】
解：由用辗转相除法知：
459÷357，余数为102，
357÷102，余数为51，
102÷51，余数为0，
所以459和357的最大公约数是51.
故答案为：51.
【答案】
5
【考点】
秦九韶算法
【解析】
所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值．
【解答】
解：∵ f(x)=3x5+2x3−8x+5
=(3x4+2x2−8)x+5
=[(3x3+2x)x−8]x+5
={[(3x3+2)x]−8}x+5
={{[(3x)x+2]x}−8}x+5，
∴ 在x=1时的值时，
V3的值为[(3x)x+2]x=[(3×1)×1+2]=5．
故答案为：5．
【答案】
(x−2)2+(y+1)2=4
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
圆的标准方程
【解析】
先求出圆心C(2, −1)到直线l的距离d=2，再由圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22，求出此圆半径r，由此能求出此圆的方程．
【解答】
解：∵ 一圆的圆心坐标为C(2,−1)，直线l:x−y−1=0，
∴ 圆心C(2,−1)到直线l的距离d=|2+1−1|1+1=2.
∵ 圆被直线l:x−y−1=0截得的弦长为22，
∴ 此圆半径r=(2)2+2222=2，
∴ 此圆的方程为(x−2)2+(y+1)2=4．
故答案为：(x−2)2+(y+1)2=4．
【答案】
(32,4)
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
根据回归直线方程一定过样本中心点，先求出这组数据的样本中心点，即横标和纵标的平均数分别作横标和纵标的一个点，得到结果．
【解答】
解：∵ 回归直线方程必过样本中心点，
∵ x¯=0+1+2+34=32,
y¯=1+3+5−a+7+a4=4，
∴ 样本中心点是(32, 4)，
∴ y与x的回归直线方程y=bx+a必过定点(32, 4).
故答案为：(32,4).
三、解答题
【答案】
解：(1)设与直线l:2x−y+1=0垂直的直线l1的方程为
x+2y+m=0，
把点A(3, 2)代入可得，3+2×2+m=0，
解得m=−7．
∴ 过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1的方程为
x+2y−7=0.
(2)设与直线l:2x−y+1=0平行的直线l2的方程为
2x−y+c=0.
∵ 点P(3, 0)到直线l2的距离为5．
∴ |2×3+c|22+12=5，
解得c=−1或−11，
∴ 直线l2的方程为：2x−y−1=0或2x−y−11=0．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
点到直线的距离公式
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
（1）设与直线l:2x−y+1=0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m=0，把点A(3, 2)代入解得m即可；
（2）设与直线l:2x−y+1=0平行的直线l2的方程为：2x−y+c=0，由于点P(3, 0)到直线l2的距离为5．可得|2×3+c|22+12=5，解得c即可得出．
【解答】
解：(1)设与直线l:2x−y+1=0垂直的直线l1的方程为
x+2y+m=0，
把点A(3, 2)代入可得，3+2×2+m=0，
解得m=−7．
∴ 过点A(3, 2)，且与直线l垂直的直线l1的方程为
x+2y−7=0.
(2)设与直线l:2x−y+1=0平行的直线l2的方程为
2x−y+c=0.
∵ 点P(3, 0)到直线l2的距离为5．
∴ |2×3+c|22+12=5，
解得c=−1或−11，
∴ 直线l2的方程为：2x−y−1=0或2x−y−11=0．
【答案】
1证明：∵ 在底面是直角梯形的四棱锥S−ABCD中，
SA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴ SA⊥AD，
直角梯形ABCD中，∠ABC=90∘，AD//BC，
∴ AD⊥AB，
又∵ SA∩AB=A，
∴ AD⊥平面SAB，
∵ SB⊂平面SAB，
∴ AD⊥SB.
(2)解：三棱锥D−SBC的体积：
VD−SBC=VS−BCD=13⋅SA⋅S△BCD
=13×12×BC×AB×SA
=16×2×1×1
=13.
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的性质
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
1利用线面垂直的性质及判定定理证明线线垂直；
(2)由题设转换顶点求三棱锥的体积：VD−SBC=VS−BCD=13×SA⋅S△BCD，由此能求出结果．
【解答】
1证明：∵ 在底面是直角梯形的四棱锥S−ABCD中，
SA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴ SA⊥AD，
直角梯形ABCD中，∠ABC=90∘，AD//BC，
∴ AD⊥AB，
又∵ SA∩AB=A，
∴ AD⊥平面SAB，
∵ SB⊂平面SAB，
∴ AD⊥SB.
(2)解：三棱锥D−SBC的体积：
VD−SBC=VS−BCD=13⋅SA⋅S△BCD
=13×12×BC×AB×SA
=16×2×1×1
=13.
【答案】
解：(1)在随机调查的该市1000名消费者中，粽子购买量不低于300克的共有200人，
所以消费者粽子购买量不低于300克的概率P=2001000=15.
(2)由题意可得，购买[0,100)的概率为0.1，
购买[100,200)的概率为0.3，购买[200,30)的概率为0.4，
购买[300,400)的概率为0.15，购买400,500的概率为0.05，
所以粽子购买量的平均数为
x¯=50×0.1+150×0.3+250×0.4+
350×0.15+450×0.05=225克，
所以需准备粽子的重量为0.225×106=225000千克.
【考点】
古典概型及其概率计算公式
随机抽样和样本估计总体的实际应用
众数、中位数、平均数
【解析】
（1）由表得粽子购买量不低于300克的共有200人，可得其概率；
（2）先计算出每位顾客粽子购买量的平均数，再乘100万即可．
【解答】
解：(1)在随机调查的该市1000名消费者中，粽子购买量不低于300克的共有200人，
所以消费者粽子购买量不低于300克的概率P=2001000=15.
(2)由题意可得，购买[0,100)的概率为0.1，
购买[100,200)的概率为0.3，购买[200,30)的概率为0.4，
购买[300,400)的概率为0.15，购买400,500的概率为0.05，
所以粽子购买量的平均数为
x¯=50×0.1+150×0.3+250×0.4+
350×0.15+450×0.05=225克，
所以需准备粽子的重量为0.225×106=225000千克.
【答案】
解：(1)x¯=14(3+4+5+6)=4.5，
y¯=14(2.5+3+4+4.5)=3.5，
因为线性回归方程所表示的直线必经过数据样本中心点，
所以线性回归方程所表示的直线必经过(4.5, 3.5).
(2)因为i=14xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
i=14xi2=32+42+52+62=86，
x¯=4.5，y¯=3.5，
所以b=66.5−4×4.5×3.586−4×4.52=66.5−6386−81=0.7，
a=y¯−bx¯=3.5−0.7×4.5=0.35，
所求的回归方程为：y=0.7x+0.35，
当x=1000时，y=1000×0.7+0.35=700.35吨，
预测生产1000吨甲产品的生产能耗700.35吨．
【考点】
回归分析的初步应用
求解线性回归方程
【解析】
（1）线性回归方程所表示的直线必经过数据样本中心点(X¯, y¯)，由已知中数据代入平均数公式，可得答案．
（2）根据（1）中x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．
【解答】
解：(1)x¯=14(3+4+5+6)=4.5，
y¯=14(2.5+3+4+4.5)=3.5，
因为线性回归方程所表示的直线必经过数据样本中心点，
所以线性回归方程所表示的直线必经过(4.5, 3.5).
(2)因为i=14xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
i=14xi2=32+42+52+62=86，
x¯=4.5，y¯=3.5，
所以b=66.5−4×4.5×3.586−4×4.52=66.5−6386−81=0.7，
a=y¯−bx¯=3.5−0.7×4.5=0.35，
所求的回归方程为：y=0.7x+0.35，
当x=1000时，y=1000×0.7+0.35=700.35吨，
预测生产1000吨甲产品的生产能耗700.35吨．
【答案】
解：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率40200=15；
不进行处罚，行人闯红灯的概率80200=25，
∴ 当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低15；
(2)由题可知，闯红灯的市民有80人，A类市民和B类市民各有40人，
故分别从A类市民和B类市民各抽出两人，4人依次排序，
记A类市民中抽取的两人对应的编号为1，2，B类市民中抽取的两人编号为3，4，
则4人依次排序分别为1,2,3,4，1,2,4,3，1,3,2,4，1,3,4,2，1,4,3,2，1,4,2,3，
2,1,3,4，2,1,4,3，2,3,1,4，2,3,4,1，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，3,1,2,4，3,1,4,2，
3,2,1,4，3,2,4,1，3,4,1,2，3,4,2,1，4,1,2,3，4,1,3,2，4,2,1,3，4,2,3,1，
4,3,1,2，4,3,2,1，共有24种，
前两位均为B类市民排序为(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)，有4种，
所以前两位均为B类市民的概率是P=424=16.
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
分层抽样方法
【解析】
（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率40200=15；不进行处罚，行人闯红灯的概率80200=25，即可求出结论；
【解答】
解：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率40200=15；
不进行处罚，行人闯红灯的概率80200=25，
∴ 当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低15；
(2)由题可知，闯红灯的市民有80人，A类市民和B类市民各有40人，
故分别从A类市民和B类市民各抽出两人，4人依次排序，
记A类市民中抽取的两人对应的编号为1，2，B类市民中抽取的两人编号为3，4，
则4人依次排序分别为1,2,3,4，1,2,4,3，1,3,2,4，1,3,4,2，1,4,3,2，1,4,2,3，
2,1,3,4，2,1,4,3，2,3,1,4，2,3,4,1，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，3,1,2,4，3,1,4,2，
3,2,1,4，3,2,4,1，3,4,1,2，3,4,2,1，4,1,2,3，4,1,3,2，4,2,1,3，4,2,3,1，
4,3,1,2，4,3,2,1，共有24种，
前两位均为B类市民排序为(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)，有4种，
所以前两位均为B类市民的概率是P=424=16.
【答案】
解：(1)在频率分布直方图中，
众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，
所以众数的估计值为115，
平均数的估计值为10×(85×0.005+95×0.010+
105×0.020+115×0.030+125×0.025+135×0.010)
=114.
(2)由频率分布直方图可得，
成绩在[80,90)内的人数为0.005×10×400=20（人），
[90,100)内的人数为0.010×10×400=40（人），
[100,110)内的人数为0.020×10×400=80（人），
[110,120)内的人数为0.030×10×400=120（人），
[120,13)内的人数为0.025×10×400=100（人），
130,140内的人数为0.010×10×400=40（人），
按分层抽样方法，抽取20人，则成绩在[80,90)内的抽1人，
在[90,100)内的抽2人，在[100,11)内的抽4人，
在[110,120)内的抽6人，在[120,130)内的抽5人，
在[130,140)内的抽2人．
记成绩在[120,130)内的5人分别为a，b，c，d，e，
成绩在130,140内的2人分别为x，y，
则从成绩在120,140内的学生中抽取2人的基本事件有
a,b，a,c，a,d，a,e，a,x，a,y，
b,c，b,d，b,e，b,x，b,y，c,d，
c,e，c,x，c,y，d,e，d,x，d,y，
e,x，e,y，x,y，共21种，
其中成绩在130,140中至少有一人的基本事件有
a,x，a,y，b,x，b,y，c,x，c,y，
d,x，d,y，e,x，e,y，x,y，共11种，
所以2人中至少有一人成绩在130,140内的概率P=1121.
【考点】
众数、中位数、平均数
分层抽样方法
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
（1）根据频率分布直方图，结合众数和平均数的计算，即可容易求得结果；
（2）利用分层抽样求得在各个区间抽取的人数，列举所有抽取的可能，找出满足题意的可能，用古典概型的概率计算公式，即
可求得结果．
【解答】
解：(1)在频率分布直方图中，
众数的估计值为最高矩形对应的成绩区间的中点，
所以众数的估计值为115，
平均数的估计值为10×(85×0.005+95×0.010+
105×0.020+115×0.030+125×0.015+135×0.010)
=114.
(2)由频率分布直方图可得，
成绩在[80,90)内的人数为0.005×10×400=20（人），
[90,100)内的人数为0.010×10×400=40（人），
[100,110)内的人数为0.020×10×400=80（人），
[110,120)内的人数为0.030×10×400=120（人），
[120,13)内的人数为0.025×10×400=100（人），
130,140内的人数为0.010×10×400=40（人），
按分层抽样方法，抽取20人，则成绩在[80,90)内的抽1人，
在[90,100)内的抽2人，在[100,11)内的抽4人，
在[110,120)内的抽6人，在[120,130)内的抽5人，
在[130,140)内的抽2人．
记成绩在[120,130)内的5人分别为a，b，c，d，e，
成绩在130,140内的2人分别为x，y，
则从成绩在120,140内的学生中抽取2人的基本事件有
a,b，a,c，a,d，a,e，a,x，a,y，
b,c，b,d，b,e，b,x，b,y，c,d，
c,e，c,x，c,y，d,e，d,x，d,y，
e,x，e,y，x,y，共21种，
其中成绩在130,140中至少有一人的基本事件有
a,x，a,y，b,x，b,y，c,x，c,y，
d,x，d,y，e,x，e,y，x,y，共11种，
所以2人中至少有一人成绩在130,140内的概率P=1121. x
0
1
2
3
y
1
3
5−a
7+a
购买量
[0,100)
[100,200)
[200,300)
[300,400)
[400,500]
人数
100
300
400
150
50
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
处罚金额x（单位：元）
5
10
15
20
会闯红灯的人数y
50
40
20
10