2020-2021学年安徽省铜陵市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年安徽省铜陵市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列说法中，正确的是( )
A.若|a→|=|b→|，则a→=b→或a→=−b→
B.若a→//b→，b→//c→，则a→//c→
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D.若|a→|>|b→|，则a→>b→

2. 设z=1−2i2+i+2−3i（i为虚数单位），则z 等于( )
A.−i B.145−4i C.2−3iD.2−4i

3. 在△ABC中，BC=1，AB=3，C=π3，则A=( )
A.π6或5π6B.π6C.π3或2π3D.π3

4. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2=b2−c2+2ac，则角B的大小是（ ）
A.45∘B.60∘C.90∘D.135∘

5. 在△ABC中，若acsC+ccsA=bsinB，则此三角形为( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

6. 如图在梯形ABCD中，BC=2AD，DE=EC，设BA→=a→，BC→=b→，则BE→=( )

A.12a→+14b→B.13a→+56b→C.23a→+23b→D.12a→+34b→

7. Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，BC=1，D为斜边AB的中点，则AB→⋅CD→=( )
A.1B.−1C.2D.−2

8. 已知|a→|=1，|b→|=2，且a→⊥(a→+b→)，则a→在b→方向上的投影为( )
A.−1B.1C.−12D.12

9. 已知△ABC的面积为2，其外接圆面积为π，则△ABC的三边之积为( )
A.8B.6C.4D.2

10. 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB=60米，BC=60米，CD=40米，∠ABC=60∘，∠BCD=120∘，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为( )（结果精确到1米）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646）

A.39米B.43米C.49米D.53米

11. 若O为△ABC所在平面上一点，且满足(OB→−OC→)⋅(OB→+OC→−2OA→)=0，则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.等腰直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形

12. 平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，AB→⋅AD→=4，点P在边CD上，则PA→⋅PB→的取值范围是( )
A.[−1, 8]B.[−1, +∞)C.[0, 8]D.[−1, 0]
二、填空题

已知向量a→=(1,−1), b→=(2,1)，向量c→=2a→+b→，则|c→|=________.

小明以每分钟206米的速度向东行走，他在A处看到一电视塔B在北偏东30∘，行走1小时后，到达C处，看到这个电视塔在北偏西15∘，则此时小明与电视塔的距离为________米．

如图，在△ABC中，AD→=13DC→，P是线段BD上一点，若AP→=mAB→+16AC→，则实数m的值为________．


在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为34a2+b2−c2，且c=4，则△ABC的周长的取值范围是________.
三、解答题

已知复数z=bi，z−21+i是实数，i是虚数单位.
(1)求复数z；

(2)若复数m+z2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．

如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE→=23AD→，AB→=a→，AC→=b→．

(1)用a→，b→表示向量AD→，AE→，BF→；

(2)求证：B，E，F三点共线．

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsC+(c−2b)csA=0.
(1)求∠A的大小；

(2)若△ABC的面积为23且a=23，求b+c的值．

已知向量a→=1,2，向量b→=x,1；
(1)求实数x的值，使得3a→−b→//a→+b→；

(2)若x=2，求3a→−b→与a→+b→的夹角的余弦值．

如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cs∠B=33.

(1)求△ACD的面积；

(2)若BC=23，求AB的长．

如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=c(sinB+csB)．

(1)求∠ACB的大小；

(2)若∠ACB=∠ABC，点A，D在BC的异侧，DB=2,DC=1，求平面四边形ABDC面积的最大值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省铜陵市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
向量的模
平行向量的性质
向量的物理背景与概念
【解析】
由向量的相关概念逐个判断，即可.
【解答】
解：A，由a→=b→可得a→，b→的长度相等，但两向量的方向可以是任意的，故A错误；
B，若b→=0→，由于0→和任何向量都平行，故无法判断a→与c→是否平行，故B错误；
C，平行向量即为方向相同或相反的向量，与向量的长度无关，故C正确；
D，向量不能比较大小，故D错误．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：本题考查负数的运算，z=1−2i2+i+2−3i=−i+2−3i=2−4i.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
直接利用正弦定理求解即可.
【解答】
解：在△ABC中，BC=1，AB=3，C=π3，
由正弦定理BCsinA=ABsinC，
可得sinA=BCsinCAB=1×323=12.
∵ AB>BC，
∴ C>A，
∴ A=π6.
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
【解析】
左侧图片未给出解析
【解答】
解：△ABC中 , ∵a2=b2−c2+2ac，可得 : a2+c2−b2=2ac，
∴由余弦定理可得 : csB=a2+c2−b22ac=2ac2ac=22，
∵B∈(0,π)，∴B=45∘ ，
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
【解析】
由已知以及正弦定理可知sinAcsC+sinCcsA＝sin2B，化简可得sinB＝sin2B，结合B的范围可求B=π2，从而得解．
【解答】
解:在△ABC中，由acsC+ccsA=bsinB以及正弦定理可知，
sinAcsC+sinCcsA=sin2B，
即sin(A+C)=sinB=sin2B．
∵ 0∴ sinB=1，B=π2．
所以三角形为直角三角形．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
取BC中点F，由BC＝2AD可知AD＝FC，从而可得四边形AFCD为平行四边形，结合向量的基本运算即可求解
【解答】
解：取BC中点F，由BC=2AD可知AD=FC，
∴ 四边形AFCD为平行四边形，
则BE→=BC→+CE→=BC→+12FA→
=BC→+12(BA→−12BC→)
=34BC→+12BA→
=12a→+34b→．
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
如图所示，由题意可得：B(1, 0)，A(0, 3)，D(12，32)．利用向量的坐标运算及其数量积运算即可得出．
【解答】
解：如图所示，
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，
BC=1，D为斜边AB的中点，
∴ B(1, 0)，A(0, 3)，D(12，32)，
∴ AB→=(1,−3)，CD→=(12，32)，
∴ AB→⋅CD→=12−3×32=−1.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
通过向量的垂直，得到向量的数量积的值，然后求解a→在b→方向上的投影．
【解答】
解：|a→|=1，|b→|=2，且a→⊥(a→+b→)，
可得a→2+a→⋅b→=0，所以a→⋅b→=−1．
则 a→在b→方向上的投影a→⋅b→|b→|=−12=−12．
故选C.
9.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
三角形的面积公式
【解析】
三角形面积为2，外接圆面积为π，可得2=12absinC，πR2=π，解得R，又sinC=c2R，即可解出．
【解答】
解：设△ABC的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，外接圆半径为R，
因为△ABC外接圆面积为π，所以πR2=π，
解得R=1，
由正弦定理csinC=2R=2，可得sinC=c2.
又因为△ABC的面积为2，
所以S△ABC=12absinC=2，
把sinC=c2代入可得12ab⋅c2=2，
解得abc=8.
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
余弦定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在△ACB中，AB=60，BC=60，∠ABC=60∘，
所以AC=60.
在△CDA中，AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cs60∘
=602+402−2×60×40×12=2800，
所以AB=207≈53（米）．
故选D．
11.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
向量的三角形法则
向量的减法及其几何意义
【解析】
根据平面向量的线性表示与数量积运算，结合题意可得出△ABC是等腰三角形．
【解答】
解：因为(OB→−OC→)⋅(OB→+OC→−2OA→)=0，
即CB→⋅(AB→+AC→)=0.
又因为AB→−AC→=CB→，
所以(AB→−AC→)⋅(AB→+AC→)=0，
即|AB→|=|AC→|，
所以△ABC是等腰三角形.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
先根据向量的数量积的运算，求出A=60∘，再建立坐标系，得到PA→⋅PB→=x(x−4)+3=x2−4x+3=(x−2)2−1，构造函数f(x)，利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决．
【解答】
解：∵ AB=4，AD=2，AB→⋅AD→=4，
∴ |AB→|⋅|AD→|csA=4，
∴ csA=12，
∴ A=60∘，
以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，
∴ A(0, 0)，B(4, 0)，D(1, 3)，
设P(x, 3)，则1≤x≤5，
∴ PA→=(−x, −3)，PB→=(4−x, −3)，
∴ PA→⋅PB→=x(x−4)+3=x2−4x+3=(x−2)2−1，
设f(x)=(x−2)2−1，
∵ f(x)在[1, 2)上单调递减，在[2, 5]上单调递增，
∴ f(x)min=f(2)=−1，f(x)max=f(5)=8，
∴ PA→⋅PB→的取值范围是[−1, 8].
故选A．
二、填空题
【答案】
17
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵a→=(1,−1),b→=(2,1)，
∴2a→=(2,−2)，
∴c→=2a→+b→=(4,−1)，
∴|c→|=42+(−1)2=17.
故答案为：17.
【答案】
3600
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
画出图形，求出AC，利用正弦定理求解即可.
【解答】
解：由题意得∠BAC=60∘，∠ACB=75∘，
所以∠B=45∘，
AC=206×60=12006（米），
所以BCsin60∘=12006sin45∘，
所以BC=3600（米）.
故答案为：3600.
【答案】
13
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的共线定理
【解析】
根据AD→=13DC→即可得出AC→=4AD→，代入AP→=mAB→+16AC→即可得到AP→=mAB→+23AD→，再根据B，P，D三点共线即可得出m+23=1，解出m即可．
【解答】
解：∵AD→=13DC→，
∴AC→=4AD→，
∴AP→=mAB→+23AD→.
∵B，P，D三点共线，
∴m+23=1，
∴m=13.
故答案为：13．
【答案】
(43+4,12]
【考点】
余弦定理
正弦定理
正弦函数的定义域和值域
【解析】
根据△ABC的面积公式和余弦定理，列方程组求出锐角C的值，由正弦定理与三角形内角和定理，根据角的取值范围和三角恒等变换，即可求出a+b的取值范围，以及△ABC的周长取值范围．
【解答】
解：因为△ABC的面积为34a2+b2−c2，
所以34a2+b2−c2=12absinC，
所以3×a2+b2−c22ab=sinC，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab，
则3csC=sinC，即tanC=3，
又0由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=833，
所以a+b=833sinA+sinB
=833sinA+sin2π3−A=8sinA+π6，
因为△ABC为锐角三角形，
所以 π6所以 32则43<8sinA+π6≤8，即43故△ABC的周长的取值范围是(43+4,12].
故答案为：(43+4,12].
三、解答题
【答案】
解：(1)∵z=bi，
∴ z−21+i=bi−21+i=bi−21−i1+i1−i=b−22+b+22i.
∵ z−21+i是实数，
∴ b+22=0，得b=−2，
∴ 复数z=−2i．
(2)由(1)得z=−2i，
∴ m+z2=m−2i2=m2−4−4mi.
∵ 复数m+z2所表示的点在第一象限，
∴ m2−4>0,−4m>0,得m<−2，
∴ 实数m的取值范围是−∞,−2.
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵z=bi，
∴ z−21+i=bi−21+i=bi−21−i1+i1−i=b−22+b+22i.
∵ z−21+i是实数，
∴ b+22=0，得b=−2，
∴ 复数z=−2i．
(2)由(1)得z=−2i，
∴ m+z2=m−2i2=m2−4−4mi.
∵ 复数m+z2所表示的点在第一象限，
∴ m2−4>0,−4m>0,得m<−2，
∴ 实数m的取值范围是−∞,−2.
【答案】
解：(1)如图所示：延长AD到G，使AD→=12AG→，
连接BG，CG，得到四边形ABGC，
∵ D是BC和AG的中点，
∴ 四边形ABGC是平行四边形，则AG→=AB→+AC→=a→+b→，
∴ AD→=12AG→=12(a→+b→)，AE→=23AD→=13(a→+b→)．
∵ F是AC的中点，∴ AF→=12AC→=12b→，
∴ BE→=AE→−AB→=13(a→+b→)−a→=13(b→−2a→)，
BF→=AF→−AB→=12b→−a→．
(2)证明：由(1)可知，BE→=13(b→−2a→)，BF→=12(b→−2a→)，
∴ BE→=23BF→，即BE→、BF→是共线向量，
又∵ BE→与BF→有公共点B，
∴ B、E、F三点共线．
【考点】
向量的三角形法则
向量加减混合运算及其几何意义
三点共线
【解析】
（1）由题意作出辅助线构成平行四边形ABGC，由四边形法则和D是AG的中点求出AD→，由题意求出AE→，由F是AC的中点求出AF→，再由向量减法的三角形法则求出BE→和BF→；
（2）由（1）求出BE→=23BF→，故两个向量共线，即B、E、F三点共线．
【解答】
解：(1)如图所示：延长AD到G，使AD→=12AG→，
连接BG，CG，得到四边形ABGC，
∵ D是BC和AG的中点，
∴ 四边形ABGC是平行四边形，则AG→=AB→+AC→=a→+b→，
∴ AD→=12AG→=12(a→+b→)，AE→=23AD→=13(a→+b→)．
∵ F是AC的中点，∴ AF→=12AC→=12b→，
∴ BE→=AE→−AB→=13(a→+b→)−a→=13(b→−2a→)，
BF→=AF→−AB→=12b→−a→．
(2)证明：由(1)可知，BE→=13(b→−2a→)，BF→=12(b→−2a→)，
∴ BE→=23BF→，即BE→、BF→是共线向量，
又∵ BE→与BF→有公共点B，
∴ B、E、F三点共线．
【答案】
解：(1)∵ acsC+(c−2b)csA=0，
∴ acsC+ccsA=2bcsA，，
由正弦定理，得sinAcsC+sinCcsA=2sinBcsA，
即sin(A+C)=sinB=2sinBcsA.
又∵ B∈(0,π)，
∴csA=12.
∵0∴A=π3.
(2)∵ S=12bcsinA=12bc⋅32=23，
∴ bc=8.
∵ a2=b2+c2−2bccsA
=(b+c)2−2bc−bc
=(b+c)2−3bc，
∴ (b+c)2=a2+3bc=12+24=36，
∴ b+c=6．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
【解析】
本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角形的面积公式．
【解答】
解：(1)∵ acsC+(c−2b)csA=0，
∴ acsC+ccsA=2bcsA，，
由正弦定理，得sinAcsC+sinCcsA=2sinBcsA，
即sin(A+C)=sinB=2sinBcsA.
又∵ B∈(0,π)，
∴csA=12.
∵0∴A=π3.
(2)∵ S=12bcsinA=12bc⋅32=23，
∴ bc=8.
∵ a2=b2+c2−2bccsA
=(b+c)2−2bc−bc
=(b+c)2−3bc，
∴ (b+c)2=a2+3bc=12+24=36，
∴ b+c=6．
【答案】
解：(1)∵ a→=1,2，b→=x,1，
∴ 3a→−b→=3−x,5，a→+b→=1+x,3，
∵ 3a→−b→//a→+b→，
∴ 33−x−51+x=0，
解得x=12．
(2)当x=2时，设3a→−b→与a→+b→的夹角为α．
∵ 3a→−b→=1,5，a→+b→=3,3，
∴ csα=1×3+3×526×32=31313．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平行向量的性质
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ a→=1,2，b→=x,1，
∴ 3a→−b→=3−x,5，a→+b→=1+x,3，
∵ 3a→−b→//a→+b→，
∴ 33−x−51+x=0，
解得x=12．
(2)当x=2时，设3a→−b→与a→+b→的夹角为α．
∵ 3a→−b→=1,5，a→+b→=3,3，
∴ csα=1×3+3×526×32=31313．
【答案】
解：(1)因为∠D=2∠B，cs∠B=33，
所以csD=cs2B=2cs2B−1=−13,
因为∠D∈(0, π)，
所以sinD=223．
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积
S=12AD⋅CD⋅sinD=12×1×3×223=2．
(2)在△ACD中，
AC2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅csD=12．
所以AC=23．
因为BC=23，ACsinB=ABsin∠ACB，
所以23sinB=ABsin(π−2B)=AB233sinB，
所以 AB=4．
【考点】
二倍角的余弦公式
正弦定理
余弦定理
【解析】
（1）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；
（2）利用余弦定理求出AC，通过BC=23，利用正弦定理求解AB的长．
【解答】
解：(1)因为∠D=2∠B，cs∠B=33，
所以csD=cs2B=2cs2B−1=−13,
因为∠D∈(0, π)，
所以sinD=223．
因为 AD=1，CD=3，
所以△ACD的面积
S=12AD⋅CD⋅sinD=12×1×3×223=2．
(2)在△ACD中，
AC2=AD2+DC2−2AD⋅DC⋅csD=12．
所以AC=23．
因为BC=23，ACsinB=ABsin∠ACB，
所以23sinB=ABsin(π−2B)=AB233sinB，
所以 AB=4．
【答案】
解：(1)在△ABC中，∵ a=c(sinB+csB)，
∴ sinA=sinC(sinB+csB)，
∴ sin(π−B−C)=sinC(sinB+csB)，
∴ sin(B+C)=sinC(sinB+csB)，
∴ sinBcsC+csBsinC=sinCsinB+sinCcsB，
∴ sinBcsC=sinCsinB.
又∵ B∈(0, π)，故sinB≠0，
∴ csC=sinC，即tanC=1．
又∵ C∈(0, π)，
∴ ∠ACB=π4．
(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴ BC2=12+22−2×1×2×csD=5−4csD．
又∠ABC=∠ACB=π4，
∴ △ABC为等腰直角三角形，
∴ S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−csD.
又∵ S△BDC=12×BD×DC×sinD=sinD，
∴ SABDC=54−csD+sinD=54+2sin(D−π4)，
∴ 当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+2．
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
三角形的面积公式
三角函数的最值
解三角形
余弦定理
正弦定理
同角三角函数间的基本关系
三角函数值的符号
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)在△ABC中，∵ a=c(sinB+csB)，
∴ sinA=sinC(sinB+csB)，
∴ sin(π−B−C)=sinC(sinB+csB)，
∴ sin(B+C)=sinC(sinB+csB)，
∴ sinBcsC+csBsinC=sinCsinB+sinCcsB，
∴ sinBcsC=sinCsinB.
又∵ B∈(0, π)，故sinB≠0，
∴ csC=sinC，即tanC=1．
又∵ C∈(0, π)，
∴ ∠ACB=π4．
(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，
∴ BC2=12+22−2×1×2×csD=5−4csD．
又∠ABC=∠ACB=π4，
∴ △ABC为等腰直角三角形，
∴ S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−csD.
又∵ S△BDC=12×BD×DC×sinD=sinD，
∴ SABDC=54−csD+sinD=54+2sin(D−π4)，
∴ 当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+2．