2020-2021学年湖北省十堰高二（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰高二（下）5月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知复数z满足1−iz=2+i，则z在复平面内对应的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数x=3，y=2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.y=2x−3.2B.y=0.4x+1.5
C.y=−2x+8.6D.y=−0.2x+3.3

3. 某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是( )

4. 函数fx=x+3x+2lnx的单调递减区间为( )
A.0,3B.0,1C.1,3D.3,+∞

5. 函数fx的图象如图所示，则不等式(x+2)f′(x)<0的解集( )

A.−∞,−2∪−1,1B.−∞,−2
C.−∞,−2∪1,+∞D.1,+∞

6. 若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数，则m的取值范围是( )
A.m>3B.m≥13C.m<13D.m<0

7. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天的日平均温度均不低于22​∘C”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：​∘C）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.
其中肯定进入夏季的地区有( )
A.①②B.①③C.②③D.①②③

8. 已知f(x)=−x2−2x+3，x≤1,lnx,x>1.若函数y=f(x)−kx+12有4个零点，则实数k的取值范围是( )
A.(12, e)B.[12, e)C.(12, ee)D.(12, ee]
二、多选题

设f(x)，g(x)都是单调函数，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，ℎ(x)=f(x)−g(x)，下列命题中，正确的是( )
A.若f′(x)>0，g′(x)>0，则ℎ(x)单调递增
B.若f′(x)>0，g′(x)<0，则ℎ(x)单调递增
C.若f′(x)<0，g′(x)>0，则ℎ(x)单调递减
D.若f′(x)<0，g′(x)<0，则ℎ(x)单调递减

某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则( )

A.众数的估计值为35
B.中位数的估计值为35
C.平均数的估计值为29.2
D.样本中有25名同学阅读时间不低于40分钟

若函数exfx在fx的定义域上单调递增，则称函数fx具有M性质．下列函数中具有M性质的是( )
A.fx=x2B.fx=sinxC.fx=2−xD.fx=lnx

下列命题为真命题的是( )
①e2e>2；②ln2>23；③lnππ<1e；④πln2>2lnπ
A.①B.②C.③D.④
三、填空题

已知曲线y=x−sinx+1,x∈0,π的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为________.

设复数z满足z+|z|=2+i，那么z的虚部为________.

给出下列说法：
①回归直线y=bx+a恒过样本点的中心x,y；
②两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；
④在回归直线方程y=2−0.5x中，当变量x增加一个单位时，y平均减少0.5个单位．
其中说法正确的是________.

已知点M−4,−2，抛物线x2=4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1,l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为_______.
四、解答题

已知函数f(x)=13x3−4x+4.
(1)求f(x)的极值；

(2)求f(x)在[0, 3]上的最值．

2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施．为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生（男生与女生的人数之比为1:1）对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意．其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85．

(1)求b的值，并估计100名学生对线上课程评分的平均值；（每组数据用该组的区间中点值为代表）

(2)结合频率分布直方图，请完成以下2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．
附：随机变量K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

已知函数fx=ex−x−1（e是自然对数的底数）．
(1)求曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)判断函数fx是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由．

某市教学研究室为了对今后所出试题的难度有更好的把握，提高命题质量，对该市高二数学试卷的得分情况进行了调研．从全市参加考试的高二考生中随机抽取了100名考生的数学成绩（满分150分），将数据分成9组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，140,150并整理得到如图所示的频率分布直方图．用统计的方法得到样本标准差σ=20，以频率值作为概率估计值．

(1)根据频率分布直方图，求抽取的100名高二考生数学成绩的平均分x及众数y；

(2)用频率估计概率，从该市所有高二考生的数学成绩中随机抽取3个，记数学成绩位于区间[100,120)内的个数为Y，求Y的分布列及数学期望E(Y)；

(3)从该市高二数学考试成绩中任意抽取一份，记其成绩为X，依据以下不等式评判（P表示对应事件的概率）：
标准1：Pμ−σ标准2：Pμ−2σ其中μ=x.
评判规则：若至少满足以上两个不等式，则给予这套试卷好评，否则差评．
试问：这套试卷得到好评还是差评？

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率e=63，并且经过定点P32,12.
(1)求曲线E的方程；

(2)直线l：y=kx+2交椭圆E于不同的A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值．

已知函数f(x)=lnx+bx−c，f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为x+y+4=0．
(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)若在区间[12,3]内，恒有f(x)≥2lnx+kx成立，求k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+3i2=12+32i，
则z在复平面内对应的点为(12,32)，在第一象限.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
利用变量x与y负相关，排除选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可．
【解答】
解：变量x与y负相关，排除选项A，B；
回归直线方程经过样本中心，
把x=3，y=2.7，代入D成立，代入C不成立．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：甲、乙、丙三名教师某天使用1号录播教室上课分别为事件A，B，C，
则所求概率P=1−P(ABC)
=1−P(A)⋅P(B)⋅P(C)
=1−0.4×0.4×0.2=0.968.
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解： fx的定义域为0,+∞，
f′x=1−3x2+2x=x2+2x−3x2，
由f′(x)<0可解得0所以函数的单调递减区间为0,1.
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数单调性的性质
其他不等式的解法
【解析】
无
【解答】
解：由图可得，f(x)在(−∞,−1)上单调递增，(−1,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴当x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)时，f′x>0；当x∈(−1,1)时，f′x<0，
∴当x<−2时，由x+2f′(x)<0可得f′x>0,
∴x<−2，
当x>−2时，由x+2f′(x)<0可得f′x<0，
∴x∈(−1,1)，
∴不等式x+2f′(x)<0的解集为−∞,−2∪−1,1．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系转化为f′(x)≥0恒成立，解不等式即可得到结论．
【解答】
解：要使函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调增函数，
则f′(x)=3x2+2x+m≥0恒成立，
即判别式Δ=4−4×3m≤0，
解得m≥13.
故选B.
7.
【答案】
B
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案．
【解答】
解：甲地的5个数据的中位数为24，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据中必有22，22，24，其余2天的记录数据大于24，且不相等，故甲地符合进入夏季的标准；
乙地的5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19，20，27，27，27时，其连续5天的日平均温度中有低于22∘的，此时乙地不符合进入夏季的标准；
丙地的5个数据中有1个数据是32，总体均值为26，设其余4个数据分别为x1，x2，x3，x4，
则总体方差s2=15[(32−26)2+(x1−26)2+(x2−26)2+(x3−26)2+(x4−26)2]=7.2+15[(x1−26)2+(x2−26)2+(x3−26)2+(x4−26)2].
若x1，x2，x3，x4中有小于22的数据时，
则s2≥7.2+5=12.2，即s2>10.8，不满足题意，
所以x1，x2，x3，x4均大于或等于22，故丙地符合进入夏季的标准．
综上所述，肯定进入夏季的地区有①③．
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
函数的零点与方程根的关系
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
构造函数g(x)=kx−12，问题即为函数g(x)与f(x)的图象有4个交点，作出两个函数的图象，利用导数研究恰有3个交点的k的取值，结合图象求解即可．
【解答】
解：由题意，函数y=f(x)−kx+12有4个零点，即f(x)=kx−12有4个零点，
设g(x)=kx−12，则g(x)恒过点(0, −12)，
所以函数g(x)与f(x)的图象有4个交点，
在同一直角坐标系下作出函数g(x)与f(x)的图象，如图所示，
由图象可知，当k<12时，函数g(x)与f(x)的图象至多有2个交点；
当函数g(x)过点(0, −12)和(1, 0)时，k=12，
此时函数g(x)与f(x)的图象恰有3个交点；
当函数g(x)与y=lnx(x>1)的图象相切时，
设切点为(a, lna)，则y′=1x，
所以k=1a，
所以lna+12a=1a，
解得a=e，
所以k=ee，此时函数g(x)与f(x)的图象恰有3个交点；
当k>ee时，两函数图象至多有两个交点．
所以若要使函数y=f(x)−kx+12有4个零点，
则k∈(12,ee)．
故选C.
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
直接利用函数的导数的运算判断函数的单调性，进一步确定结果．
【解答】
解：因为f(x)，g(x)都是单调函数，其导函数分别为f′(x)，g′(x)，ℎ(x)=f(x)−g(x)，
所以ℎ′(x)=f′(x)−g′(x).
①当f′(x)>0，g′(x)<0时，−g′(x)>0，
故ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)>0，所以函数ℎ(x)为单调递增函数，故B正确；
②当f′(x)<0，g′(x)>0时，−g′(x)<0，
故ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)<0，所以函数ℎ(x)为单调递减函数，故C正确；
③对于A和D，由于f′(x)>0，g′(x)>0，和f′(x)<0，g′(x)<0，
不能判定ℎ′(x)的正负，则ℎ(x)的单调性不能确定，故A和D错误．
故选BC.
【答案】
A,C,D
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由频率分布直方图知30,40的频率最大，因此众数估计值为35，故A正确；
由于0,30的频率为0.1+0.18+0.22=0.5，中位数是30，故B错误；
平均值估计为5×0.1+15×0.18+25×0.22+35×0.25+45×0.2+55×0.05=29.2，故C正确；
不低于40分钟的人数为100×0.2+0.05=25，故D正确.
故选ACD.
【答案】
C,D
【考点】
函数新定义问题
复合函数的单调性
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，令gx=ex⋅x2，则g′(x)=ex(x2+2x)，
所以gx在R上有增有减，故不满足题意；
对于B，令gx=ex⋅sinx，则g′(x)=ex(sinx+csx)，
因为sinx+csx≥0不恒成立，
所以gx在R上不是单调函数，故不满足题意；
对于C，令gx=ex⋅2−x，
则g′x=ex2−x+2−xln12=ex⋅2−x1+ln12>0，
所以gx在R上单调递增，故满足题意；
对于D，令gx=ex⋅lnx，则g′x=exlnx+1x，
求导易得y=lnx+1x≥1，
所以g′x>0，即gx在R上单调递增，故满足题意．
故选CD．
【答案】
A,B,C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式比较两数大小
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：构造函数fx=lnxx，其中x>0，
则f′x=1−lnxx2.
当00，此时函数fx单调递增；
当x>e时， f′x<0，此时函数fx单调递减．
对于①，因为0<2则f2ln2，
所以e2e>2，故①正确；
对于②，因为23=8>e2，
所以ln23>lne2，即3ln2>2，
即ln2>23，故②正确；
对于③，因为π>e，则fπ即lnππ<1e，故③正确；
对于④，因为4>π>e，则f4即ln44=2ln24=ln22即πln2<2lnπ，故④错误．
故选ABC.
三、填空题
【答案】
x−y=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
利用导数求函数图象的切线方程，一般思路是：
设切点坐标，求切点处的导数即切线斜率，根据
切点在曲线上也在切线上求出切点坐标，则问题解决.
【解答】
解：设曲线y=x−sinx+1，x∈0,π上一点x0,y0，
x0处的切线的斜率为1，
则由y′=1−csx知，1−csx0=1.
∵x0∈0,π，
∴x0=π2，
于是y0=x0−sinx0+1=π2.
∴该切线方程为：y−π2=1×x−π2，
即x−y=0.
故答案为：x−y=0.
【答案】
1
【考点】
复数的模
复数的基本概念
复数代数形式的加减运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设复数z=x+yi，x，y∈R，
由z+|z|=2+i，
得x+yi+x2+y2=2+i，
即x+x2+y2+y=2+i，
所以x+x2+y2=2,y=1,
所以 y=1,x=34,
所以z=34+i，即z的虚部为1.
故答案为：1.
【答案】
①②④
【考点】
求解线性回归方程
回归分析
命题的真假判断与应用
相关系数
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】

【解答】
解：对于①，回归直线y=bx+a恒过样本点的中心x,y，所以正确；
对于②，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1，所以正确；
对于③，根据平均数的计算公式可得x=7×4+47+1=4，
根据方差的计算公式s2=187×2+(4−4)2=1.75<2，所以不正确；
对于④，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程y=2−0.5x中，当变量x增加一个单位时，y平均减少0.5个单位，所以正确．
故答案为：①②④.
【答案】
5
【考点】
抛物线的定义
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
（1）根据题目所给信息进行解题即可.
【解答】
解：已知P为抛物线x2=4y上一点，
设P(x0,x024)，则过点P的切线斜率为k=x02，
可得Q(x0,−1)，kFQ=−2x0，
而kFQ⋅k=−1 ，根据抛物线定义可知|PF|=|PQ|，
则l1为FQ的垂直平分线，|RF|=|RQ|，
则|QR|+|MR|=|FR|+|MR|≥|FM|=5 .
所以|QR|+|MR|的最小值为5.
故选D.
四、解答题
【答案】
解：(1)依题意，得f′(x)=x2−4.
令f′(x)=0，得x=−2或x=2．
当x<−2或x>2时，f′(x)>0；当−2∴ f(x)在(−∞, −2)和(2, +∞)上是增函数，在(−2, 2)上是减函数，
∴ f(x)在x=−2处取得极大值，并且极大值为f(−2)=283，
在x=2处取得极小值，并且极小值为f(2)=−43．
(2)由(1)可知，f(x)在[0, 3]上，当x=2时，f(x)有极小值−43.
又∵ f(0)=4，f(3)=1，
∴ 函数f(x)在[0, 3]上的最大值是4，最小值是−43.
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）求导数，确定函数的单调性，即可求得函数f(x)的极值；
（2）求得函数的极值，求出端点的函数值，即可求得函数f(x)在[0, 3]上的最大值和最小值．
【解答】
解：(1)依题意，得f′(x)=x2−4.
令f′(x)=0，得x=−2或x=2．
当x<−2或x>2时，f′(x)>0；当−2∴ f(x)在(−∞, −2)和(2, +∞)上是增函数，在(−2, 2)上是减函数，
∴ f(x)在x=−2处取得极大值，并且极大值为f(−2)=283，
在x=2处取得极小值，并且极小值为f(2)=−43．
(2)由(1)可知，f(x)在[0, 3]上，当x=2时，f(x)有极小值−43.
又∵ f(0)=4，f(3)=1，
∴ 函数f(x)在[0, 3]上的最大值是4，最小值是−43.
【答案】
解：(1)由已知得(0.015+b+0.03)×10=0.85，
解得b=0.04，
又(0.005+a)×10=1−0.85，
解得a=0.01，
评分的平均值为55×0.05+65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.15=80.
(2)完成2×2列联表如下表：
因此K2=100×(20×15−35×30)255×45×50×50≈9.091>6.635，
∴ 有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知得(0.015+b+0.03)×10=0.85，
解得b=0.04，
又(0.005+a)×10=1−0.85，
解得a=0.01，
评分的平均值为55×0.05+65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.15=80.
(2)完成2×2列联表如下表：
因此K2=100×(20×15−35×30)255×45×50×50≈9.091>6.635，
∴ 有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”．
【答案】
解：(1)由题可得f′x=ex−1，
所以f′1=e−1，
又由题可得f1=e−2，
所以曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程为：
y−f1=f′(1)(x−1)，
即e−1x−y−1=0 .
(2)由(1)知f′x=ex−1，令f′x=0，得x=0，
当x变化时，f′x的符号变化情况及fx的单调性如下表所示：
由上表可知：函数fx存在极小值，且极小值为f0=0，不存在极大值．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可得f′x=ex−1，
所以f′1=e−1，
又由题可得f1=e−2，
所以曲线y=fx在点(1,f(1))处的切线方程为：
y−f1=f′(1)(x−1)，
即e−1x−y−1=0 .
(2)由(1)知f′x=ex−1，令f′x=0，得x=0，
当x变化时，f′x的符号变化情况及fx的单调性如下表所示：
由上表可知：函数fx存在极小值，且极小值为f0=0，不存在极大值．
【答案】
解：(1)x=65×0.06+75×0.06+85×0.1+95×0.14+105×0.22
+115×0.18+125×16+135×0.06+145×0.02=105，
众数：y=105.
(2)用频率估计概率，可得从该市所有高二考生的数学成绩中随机抽取1个，
数学成绩位于[100,120)内的概率为0.22+0.18=0.40=25，
则随机变量Y服从二项分布Y∼B3,25，
故P(Y=k)=C3k×(25)k×(35)3−k.
由题意知：Y所有可能的取值为0，1，2，3，
PY=0=353=2715,
PY=1=C3125×352=54125,
PI=2=C32252×35=36125,
PY=3=253=8125.
Y的分布列为：
数学期望EY=3×25=65.
(3)记该市高二考生的数学成绩为X，
由(1)可知，μ=x=105，又σ=20,
则μ−σ=105−20=85，μ+σ=105+20=125，
μ−2σ=105−2×20=65，μ+2σ=105+2×20=145，
μ−3σ=105−3×20=45，μ+3σ=105+3×20=165,
Pμ−σ=0.05+0.14+0.22+0.18+0.08=0.67<0.6827,
Pμ−2σ=1−0.03−0.01=0.96>0.9545,
符合②，不符合①，这套试卷得到好评．
【考点】
频率分布直方图
众数、中位数、平均数
二项分布与n次独立重复试验的模型
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
正态分布的密度曲线
【解析】
（1）利用频率分布直方图估计平均数和众数的方法可直接求得结果；
（2）根据频率分布直方图计算可知理科数学成绩位于[100,120)内的概率为25，则Y∼B325，由此计算出Y的每个取值对应的概率，由此得到分布列；由二项分布数学期望计算公式计算可得EY.
（3）计算每个区间取值所对应的概率与3♂原则所对应的概率之间的大小关系，从而得到结论．
【解答】
解：(1)x=65×0.06+75×0.06+85×0.1+95×0.14+105×0.22
+115×0.18+125×16+135×0.06+145×0.02=105，
众数：y=105.
(2)用频率估计概率，可得从该市所有高二考生的数学成绩中随机抽取1个，
数学成绩位于[100,120)内的概率为0.22+0.18=0.40=25，
则随机变量Y服从二项分布Y∼B3,25，
故P(Y=k)=C3k×(25)k×(35)3−k.
由题意知：Y所有可能的取值为0，1，2，3，
PY=0=353=2715,
PY=1=C3125×352=54125,
PI=2=C32252×35=36125,
PY=3=253=8125.
Y的分布列为：
数学期望EY=3×25=65.
(3)记该市高二考生的数学成绩为X，
由(1)可知，μ=x=105，又σ=20,
则μ−σ=105−20=85，μ+σ=105+20=125，
μ−2σ=105−2×20=65，μ+2σ=105+2×20=145，
μ−3σ=105−3×20=45，μ+3σ=105+3×20=165,
Pμ−σ=0.05+0.14+0.22+0.18+0.08=0.67<0.6827,
Pμ−2σ=1−0.03−0.01=0.96>0.9545,
符合②，不符合①，这套试卷得到好评．
【答案】
解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2=1，
又a2=b2+c2，
解得a=3，b=1，c=2
∴ 曲线E的方程为x23+y2=1.
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x23+y2=1，y=kx+2，
消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0，
∴ Δ=12k2−361+3k2=36k2−36>0，
即k2>1，
∴ x1+x2=−12k1+3k2 ，x1x2=91+3k2，
∴ x1−x22=x1+x22−4x1x2
=144k21+3k22−361+3k2
=36k2−11+3k22.
又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2，
∴ S△AOB=12|AB|d
=12×1+k2|x1−x2|×21+k2
=|x1−x2|.
令t=k2，则t>1，
∴ S2=x1−x22=36t−11+3t2
=36t−19t2+6t+1
=36t−19t−12+24t−1+16
=369t−1+16t−1+24t>1，
当且仅当t−1=43，即t=73时，Smax2=34，
所以当k2=73，即k=±213时，△AOB的面积最大，最大为32.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
点到直线的距离公式
【解析】
（Ⅰ）根据椭圆的离心率与曲线上的点的坐标，求出椭圆的标准方程；
（Ⅱ）联系直线与椭圆的方程，然后根据韦达定理可知x1+x2=−12k1+3k2，x1x2=91+3k2，然后求出点到直线的距离d=21+k2,，然后求出三角形的面积公式为S2=369t−1+16t−1+24 t>1，根据均值不等式求出面积的最大值.
【解答】
解：(1)由题意：e=ca=63且94a2+14b2=1，
又a2=b2+c2，
解得a=3，b=1，c=2
∴ 曲线E的方程为x23+y2=1.
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x23+y2=1，y=kx+2，
消去y并整理，得1+3k2x2+12kx+9=0，
∴ Δ=12k2−361+3k2=36k2−36>0，
即k2>1，
∴ x1+x2=−12k1+3k2 ，x1x2=91+3k2，
∴ x1−x22=x1+x22−4x1x2
=144k21+3k22−361+3k2
=36k2−11+3k22.
又原点到直线l:y=kx+2的距离d=21+k2，
∴ S△AOB=12|AB|d
=12×1+k2|x1−x2|×21+k2
=|x1−x2|.
令t=k2，则t>1，
∴ S2=x1−x22=36t−11+3t2
=36t−19t2+6t+1
=36t−19t−12+24t−1+16
=369t−1+16t−1+24t>1，
当且仅当t−1=43，即t=73时，Smax2=34，
所以当k2=73，即k=±213时，△AOB的面积最大，最大为32.
【答案】
解：(1)由题意，f′(x)=1x+b，则f′(1)=1+b，
∵ 在点(1, f(1))处的切线方程为x+y+4=0，
∴ 切线斜率为−1，则1+b=−1，得b=−2，
将(1, f(1))代入方程x+y+4=0，
得：1+f(1)+4=0，
解得f(1)=−5，
∴ f(1)=b−c=−5.
将b=−2代入得c=3，
故f(x)=lnx−2x−3.
(2)依题意知函数的定义域是(0, +∞)，且f′(x)=1x−2，
令f′(x)>0得，0令f′(x)<0得，x>12，
故f(x)的单调增区间为(0, 12)，单调减区间为(12, +∞)．
(3)由f(x)≥2lnx+kx，k≤−2−lnx+3x在区间[12,3]内恒成立，
设g(x)=−2−lnx+3x，
则g′(x)=lnx+2x2，
∴ g(x)在区间[12,3]上单调递增，
∴ g(x)的最小值为g(12)=2ln2−8，
∴ k≤2ln2−8．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）由求导公式、法则求出f′(x)，根据题意和导数的几何意义求出b的值，将（1, f(1)）代入方程x+y+4=0求出f(1)，代入解析式列出方程求出c，即可求出函数f(x)的解析式；
（2）由（1）求出函数的定义域和f′(x)，求出f′(x)>0和f′(x)<0的解集，即可求出函数f(x)的单调区间；
（3）由f(x)≥2lnx+kx，k≤−2−lnx+3x在区间[12，3]内恒成立，求出右边的最小值，即可得出结论．
【解答】
解：(1)由题意，f′(x)=1x+b，则f′(1)=1+b，
∵ 在点(1, f(1))处的切线方程为x+y+4=0，
∴ 切线斜率为−1，则1+b=−1，得b=−2，
将(1, f(1))代入方程x+y+4=0，
得：1+f(1)+4=0，
解得f(1)=−5，
∴ f(1)=b−c=−5.
将b=−2代入得c=3，
故f(x)=lnx−2x−3.
(2)依题意知函数的定义域是(0, +∞)，且f′(x)=1x−2，
令f′(x)>0得，0令f′(x)<0得，x>12，
故f(x)的单调增区间为(0, 12)，单调减区间为(12, +∞)．
(3)由f(x)≥2lnx+kx，k≤−2−lnx+3x在区间[12,3]内恒成立，
设g(x)=−2−lnx+3x，
则g′(x)=lnx+2x2，
∴ g(x)在区间[12,3]上单调递增，
∴ g(x)的最小值为g(12)=2ln2−8，
∴ k≤2ln2−8．态度
性别
满意
不满意
合计
男生
20
30
50
女生
35
15
50
合计
55
45
100
态度性别
满意
不满意
合计
男生
20
30
50
女生
35
15
50
合计
55
45
100
x
−∞,0
0
0,+∞
f′x
−
0
+
fx
减函数
极小值f0
增函数
x
−∞,0
0
0,+∞
f′x
−
0
+
fx
减函数
极小值f0
增函数
Y
0
1
2
3
p
27125
54125
36125
8125
Y
0
1
2
3
p
27125
54125
36125
8125