2020-2021学年湖北省十堰高二（下）5月周测数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省十堰高二（下）5月周测数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A=x∈N∗|12<2x<16， B=x|x2−5x+m=0，若1∈A∩B，则A∪B=( )
A.1,2,3B.1,2,3,4C.0,1,2D.0,1,2,3

2. 已知集合A=−1,0,1，B=x,y|x∈A,y∈A,xy∈N，则集合B的子集个数为（ ）
A.4B.8C.13D.16

3. 某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为m，13，n，已知三个社团他都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为34，则m+n=( )
A.12B.23C.34D.512

4. 若“∃x0≥0，使2x0+x0−a≤0”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.1,+∞B.[1,+∞)C.−∞,1D.(−∞,1]

5. 已知f(x−1)=x2+4x−5，则f(x+1)=( )
A.x2+8x+7B.x2+6xC.x2+2x−3D.x2+6x−10

6. 已知函数fx的定义域为−2,3，则函数 Fx=fx|x|−2+lg2|x|的定义域为( )
A.(−2,3]B.(−2,0)∪(0,3]
C.−2,0∪0,2∪2,3D.(−2,0)∪(0,2)∪(2,3]

7. 已知函数fx=x2+alnx，a>0，若曲线y=fx在点1,1处的切线的斜率是曲线y=fx的所有切线中斜率最小的，则实数a=（ ）
A.12B.1C.2D.2

8. 国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20:20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29:29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球赢球的概率为35，则在比分为20:20，且甲发球的情况下，甲以23:21赢下比赛的概率为（ ）
A.18B.320C.950D.720
二、多选题

已知A=B={1, 2, 3}，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a, b)，事件“点P(a, b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X，P(X=n)=Pn，X的数学期望和方差分别为E(X)，D(X)，则（ ）
A.p4=2p2B.P(3≤X≤5)=79
C.E(X)=4D.D(X)=43

已知多项式x+13x+22=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则下列说法正确的是（ ）
A.a0的值为1B.a5的值为8
C.a1+a2+⋯+a5的值为70D.a0+a1+⋯+a5的值为72

下列说法正确的是（ ）
A.若a+b≥4，则a，b中至少有一个不小于2
B.∀x>0且x≠1，x+1x>2
C.“∃x0∈R，x02−x0<0”的否定是“∀x∈R，x2−x>0”
D.已知x，y都是实数，“|x|+|y|≤1”是“x2+y2≤1”的充分不必要条件

已知定义在0,π2上的函数f(x)的导函数为f′x，且f0=0,f′xcsx+fxsinx<0，则下列判断中正确的是( )
A.fπ6<62fπ4 B.flnπ3>0
C.fπ6>3fπ3D.fπ4>2fπ3
三、填空题

对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn∼N0,2n，为使误差εn在−0.5,0.5的概率不小于0.9545，至少要测量________次（若X∼Nμ,σ2，则P(|X−μ|<2σ)=0.9545） .

北京大兴国际机场是一座跨地域、超大型的国际航空综合交通枢纽，目前建有“三纵一横”4条跑道，分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道，如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞，有________种不同的安排方法；若西一跑道、西二跑道至少有一道被选取，有________种不同的安排方法.(用数字作答）


已知p：(x−m)2<9，q:lg4(x+3)<1．若¬q是¬p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

已知函数f(x)=xex+x+2ex+1+sinx，则f(−5)+f(−4)+f(−3)+f(−2)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值是________.
四、解答题

唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为12，45，35，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为45，12，23.
(1)求第一次烧制后甲、乙、丙三件工艺品中恰好有一件合格的概率；

(2)经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为X，求随机变量X的数学期望.

设全集为R，集合A=x|x2−2x−3>0，B=x|1−a(1)若a=1，求∁RA∩B；

(2)已知________，求实数a的取值范围．
从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．
①A∩B=B；②A∪B=R；③A∩B=⌀ .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

某市一隧道由于机动车常在隧道内变道、超速，进而引发交通事故，交管部门在该隧道内安装了监控测速装置，并将该隧道某日所有车辆的通行速度进行统计，制成了频率分布直方图如图．已知通过该隧道车辆的平均速度为64km⋅ℎ−1.

(1)求a，b的值，并估计这一天通过该隧道车辆速度的中位数；

(2)为了调查在该隧道内安装监控测速装置的必要性，研究人员随机抽查了通过该隧道的200名司机，得到的答复统计如图表所示，判断是否有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别有关.
附：K2=n(ad−bc)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n=a+b+c+d．

已知函数fx=lnx+12x2.
(1)求函数fx在区间[1,e]上的最大值和最小值；

(2)若fx>1−ax2有解，求实数a的取值范围．

1952年—2018年，我国GDP 从679.1亿元跃升至90.03万亿元，实际增长174倍；人均GDP从119元提高到6.46万元，实际增长70倍．如图是全国2010年至2018年GDP总量y（万亿元）的折线图．
注：年份代码(t)1−9 分别对应年份2010−2018.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合全国GDP总量y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年全国GDP 总量.
参考数据：i=19yi=582.01,y≈64.67，
i=19tiyi=3254.8，
i=19(ti−t)2i=19(yi−y)2≈346.19.
参考公式：相关系数r=i=1n(ti−t)(yi−y)i=1n(ti−t)2i=1n(yi−y)2，
回归方程 y=a+bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i=1n(ti−t)(yi−y)i=1n(ti−t)2，a=y−bt.

设函数f(x)=lnx−12ax2−bx．
(1)若x=1是f(x)的极大值点，求实数a的取值范围；

(2)当a=0，b=−1时，方程x2=2mf(x)（其中m>0）有唯一实数解，求实数m的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省十堰市高二（下）5月周测数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
并集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
求出集合A，由B=x|x2−5x+m=0，1∈A∩B，1∈B，解得m=4，求出B=1,4，由此能求出A∪B．
【解答】
解：集合A=x∈N∗|12<2x<16
=x∈N∗|−1B=x|x2−5x+m=0，
∵ 1∈A∩B，
∴ 1∈B，
∴ 1−5+m=0，
解得m=4，
∴ B=x|x2−5x+4=0=1,4，
∴ A∪B={1,2,3,4}．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
集合的包含关系判断及应用
子集与真子集的个数问题
【解析】
本领考查集合的表示方法、集合的子集个数．
【解答】
解：因为x∈A，y∈A，xy∈N，所以满足条件的有序实数对为−1,−1，(0,−1)，0,1，1,1．由于集合B中含有4个元素，因此集合B的子集个数为24=16.
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意列出方程组，得：
13mn=124，1−(1−m)(1−13)(1−n)=34，
解得m=12，n=14或m=14，n=12.
则m+n=12+14=34.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
不等式恒成立问题
【解析】
本题考查根据存在量词命题求参数的取值范围．
【解答】
解：因为∃x0≥0，使 2x0+x0−a≤0，
所以a≥2x0+x0，
易知 fx=2x+x 在[0,+∞) 上单调递增，
所以fxmin=f0=1 ，所以 a≥1．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数的求值
【解析】
由已知中f(x−1)=x2+4x−5，我们利用换元法（或凑配法）可以求出f(x)的解析式，进而再由代入法可以求出f(x+1)的解析式．
【解答】
解：∵ f(x−1)=x2+4x−5=(x−1)2+6(x−1)，
∴ f(x)=x2+6x，
∴ f(x+1)=(x+1)2+6(x+1)=x2+8x+7.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】

【解答】
解：因为函数fx的定义域为−2,3，
所以函数Fx=fx|x|−2+lg2|x|的自变量x的取值为
−2≤x≤3,x≠±2,x≠0 ⇒−2所以定义域为(−2,0)∪(0，2)∪(2,3]．
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
本题考查导数的几何意义以及基本不等式的应用．
【解答】
解：因为a>0，所以函数fx=x2+alnxx>0的导数f′x=2x+ax≥22x⋅ax=22a (当且仅当2x=ax时取等号）．
又曲线y=fx在点1,1处的切线的斜率是f′1=2+a，所以依题意可知22a=2+a，解得a=2．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
根据题意，后4局输赢情况只能为：①输赢赢赢②赢输赢赢，根据相互独立事件的概率乘法计算即可．
【解答】
解：根据题意，两人后4局的比赛输赢情况只能为：①输赢赢赢，②赢输赢赢，
故P=12×35×12×12+12×12×35×12=320.
故选B.
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
求出对应的点P，从而求出对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，推导出P(X＝2)=19，P(X＝3)=29，P(X＝4)=39，P(X＝5)=29，P(X＝6)=19，由此能求出结果．
【解答】
解：由题意得对应的点P有：
(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 1)，(2, 2)，(2, 3)，(3, 1)，(3, 2)，(3, 3)，
∴ 对应的X的可能取值为2，3，4，5，6，
P(X=2)=19，P(X=3)=29，P(X=4)=39，P(X=5)=29，P(X=6)=19，
对于A，p4=P(X=4)=39=13≠2p2=29，故A错误；
对于B，P(3≤X≤5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)
=29+39+29=79，故B正确；
对于C，E(X)=2×19+3×29+4×39+5×29+6×19=4，故C正确；
对于D，D(X)=(2−4)2×19+(3−4)2×29+(4−4)2×39
+(5−4)2×29+(6−4)2×19=43，故D正确．
故选BCD.
【答案】
A,D
【考点】
二项式系数的性质
【解析】
本题考查二项式定理的应用、赋值法求系数和．
【解答】
解：(x+1)3的通项Tr+1=C3rx3−r1r，r=0，1，2，3，
(x+2)2的通项Tk+1=C2kx2−k2k，k=0，1，2．
对于A，a0=C3010⋅C2020=1，故A正确；
对于B，令x=0，则a5=13×22=4，故B不正确；
对于C，令x=1，则23×32=a0+a1+a2+a3+a4+a5=72，
所以a1+a2+⋯+a5=72−a0=71，故C不正确；
对于D，由C得a0+a1+a2+a3+a4+a5=72，故D正确．
故选AD．
【答案】
A,B,D
【考点】
命题的否定
必要条件、充分条件与充要条件的判断
基本不等式
【解析】
本题考查命题真假的判断，命题的否定和充分、必要条件．
【解答】
解：若a+b≥4，则a​，b中至少有一个不小于2，故A正确．
对于B选项，∀x>0且x≠1，由基本不等式知x+1x>2恒成立，故B正确．
对于C选项，”∃x0∈R，x02−x0<0”的否定是“∀x∈R，x2−x≥0”，故C错误．
对于D选项，充分性：|x|+|y|≤1，即(|x|+|y|)2≤1，即x2+y2+2|xy|≤1，所以x2+y2≤1，所以充分性成立；必要性：取x=y=22，x2+y2≤1，但此时|x|+|y|=2>1，所以必要性不成立．
综上，|x|+|y|≤1是x2+y2≤1的充分不必要条件，故D正确．
故选ABD．
【答案】
C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令g(x)=f(x)csx,x∈[0,π2），
则g′x=f′xcsx+fxsinxcs2x，
因为f′xcsx+fxsinx<0，
所以g′x=f′xcsx+fxsinxcs2x<0在[0,π2)上恒成立，
因此函数gx=fxcsx在[0,π2)上单调递减，
因此gπ6>gπ4，
即fπ6csπ6>fπ4csπ4，即fπ6>62fπ4，故A错；
又f0=0，所以g0=f0cs0=0，
所以gx=fxcsx≤0在[0,π2)上恒成立，
因为lnπ3∈[0,π2)，所以flnπ3<0，故B错；
又gπ6>gπ3，所以fπ6csπ6>fπ3csπ3，
即fπ6>3fπ3，故C正确；
又gπ4>gπ3，所以fπ4csπ4>fπ3csπ3，
即fπ4>2fπ3，故D正确；
故选CD．
三、填空题
【答案】
32
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】

【解答】
解：因为εn−N0,2n，所以μ=0，σ=2n，
因为P|X−μ|<2σ=0.9545，即P|X|<2σ=0.9545，所以P−2σ若使误差εn在−0.5,0.5的概率不小于0.9545，
则−2σ,2σ⊆−0.5,0.5，即2σ≤12，σ≤14，则2n≤14，
解得n≥32，所以至少要测量32次．
故答案为：32.
【答案】
12,10
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，
有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞时，
共有C42A22=12种方法；
当西一跑道、西二跑道至少有一道被选取时，
共有C21C21A22+A22=10种方法.
故答案为：12；10.
【答案】
[−2, 0]
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
集合的包含关系判断及应用
【解析】
本题考查利用必要不充分条件求参数范围．
【解答】
解：解不等式(x−m)2<9，得m−3解不等式lg4x+3<1，得−3则p:m−3因为¬q是¬p的必要不充分条件，所以p是q的必要不充分条件，
所以{x|m−3所以m−3≤−3,m+3≥1,
且等号不同时取到，解得−2≤m≤0，
故实数m的取值范围是−2,0．
故答案为：−2,0．
【答案】
11
【考点】
函数的求值
【解析】
由题意可得f(−x)+f(x)＝2，然后代入即可求解．
【解答】
解：∵ f(x)=xex+x+2ex+1+sinx=2ex+1+x+sinx，
∴ f(−x)+f(x)=2ex+1+x+sinx+2e−x+1−x−sinx
=2ex+1+2ex1+ex=2，
又f(0)=1，
∴ f(−5)+f(−4)+f(−3)+f(−2)+f(−1)+
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)
=5×2+1=11．
故答案为：11．
四、解答题
【答案】
解：(1)设第一次烧制后甲、乙、丙合格的事件分别为A1，B1，C1，
则PA1=12，PB1=45，
PC1=35，
∴第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率：
PA1B1C1+PA1B1C1+PA1B1C1
=12×15×25+12×45×25+12×15×35
=1350．
(2)设第二次烧制后甲、乙、丙合格的事件分别为A2，B2，C2，
则PA2=45，PB2=12，
PC2=23，
经过前后两次烧制后，
甲工艺品成为合格工艺品的概率为：P甲=12×45=25，
乙工艺品成为合格工艺品的概率为：P乙=45×12=25，
丙工艺品成为合格工艺品的概率为：P丙=35×23=25，
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，且X∼B3,25，
∴随机变量X的数学期望
EX=3×25=65．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
(1)设第一次烧制后甲、乙、丙合格的事件分别为A1，B1，C1，则PA1=12，PB1=45，PC1=35，由此能求出第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率．
(2)设第二次烧制后甲、乙、丙合格的事件分别为A2，B2，C2，则PA2=45，PB2=12，PC2=23，求出经过前后两次烧制后，甲、乙、丙工艺品成为合格工艺品的概率均为25，从而X∼B3,25，由此能求出随机变量X的数学期望．
【解答】
解：(1)设第一次烧制后甲、乙、丙合格的事件分别为A1，B1，C1，
则PA1=12，PB1=45，
PC1=35，
∴第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率：
PA1B1C1+PA1B1C1+PA1B1C1
=12×15×25+12×45×25+12×15×35
=1350．
(2)设第二次烧制后甲、乙、丙合格的事件分别为A2，B2，C2，
则PA2=45，PB2=12，
PC2=23，
经过前后两次烧制后，
甲工艺品成为合格工艺品的概率为：P甲=12×45=25，
乙工艺品成为合格工艺品的概率为：P乙=45×12=25，
丙工艺品成为合格工艺品的概率为：P丙=35×23=25，
由题意知X的可能取值为0，1，2，3，且X∼B3,25，
∴随机变量X的数学期望
EX=3×25=65．
【答案】
解：(1) A=x|x>3或x<−1，
当a=1时，B={x|0∴ ∁RA=x|−1≤x≤3，
∴ ∁RA∩B=x|0(2)选择①：A∩B=B则B⊊A，
当B=⌀时，则有1−a≥2a+3解得a≤−23.
当B≠⌀时，则有1−a<2a+3,2a+3≤−1或1−a<2a+3,1−a≥3,
此时，两不等式组均无解.
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,−23].
选择②：A∪B=R，
由于B={x|1−a3,解得a>2，
故所求实数a的取值范围是2,+∞.
选择③：A∩B=⌀，
由于B=x|1−a当B≠⌀时，则有1−a<2a+3,1−a≥−1,2a+3≤3, 解得−23综上所述，实数a的取值范围是(−∞,0].
【考点】
交、并、补集的混合运算
集合的包含关系判断及应用
补集及其运算
Venn图表达集合的关系及运算
交集及其运算
【解析】
.

【解答】
解：(1) A=x|x>3或x<−1，
当a=1时，B={x|0∴ ∁RA=x|−1≤x≤3，
∴ ∁RA∩B=x|0(2)选择①：A∩B=B则B⊊A，
当B=⌀时，则有1−a≥2a+3解得a≤−23.
当B≠⌀时，则有1−a<2a+3,2a+3≤−1或1−a<2a+3,1−a≥3,
此时，两不等式组均无解.
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,−23].
选择②：A∪B=R，
由于B={x|1−a3,解得a>2，
故所求实数a的取值范围是2,+∞.
选择③：A∩B=⌀，
由于B=x|1−a当B≠⌀时，则有1−a<2a+3,1−a≥−1,2a+3≤3, 解得−23综上所述，实数a的取值范围是(−∞,0].
【答案】
解：(1)依题意，10a+b+0.02+0.01=1，故a+b=0.07①，
45×0.1+55×0.2+65×10a+75×10b=64，故65a+75b=4.85②，
联立①②，
解得a=0.04，b=0.03．
由于前两块矩形的面积分别为0.1，0.2，
故所求中位数为60+0.5−．
(2)K2的观测值k0=200×70×50−30×502100×100×80×120≈8.333>6.635，
故有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．
【考点】
众数、中位数、平均数
独立性检验的应用
独立性检验
【解析】
本题考查样本的数字特征及独立性检验．
无
【解答】
解：(1)依题意，10a+b+0.02+0.01=1，故a+b=0.07①，
45×0.1+55×0.2+65×10a+75×10b=64，故65a+75b=4.85②，
联立①②，
解得a=0.04，b=0.03．
由于前两块矩形的面积分别为0.1，0.2，
故所求中位数为60+0.5−．
(2)K2的观测值k0=200×70×50−30×502100×100×80×120≈8.333>6.635，
故有99%的把握认为对安装监控测速装置的态度与司机的性别相关．
【答案】
解：(1)由题可知fx的定义域为0,+∞，
函数fx=12x2+lnx ，f′x=x+1x>0，
所以函数fx在区间1,e上是增函数，
所以fx在区间1,e上的最大值为fe=12e2+1，最小值为f1=12.
(2)fx>1−ax2，
令gx=fx−1−ax2=lnx+a−12x2，
g′x=2a−1x+1x,
当a≥12时，g′x>0,g1=a−12≥0，显然gx>0有解．
当a<12时，由g′x=2a−1x+1x=0得x=11−2a，
当x∈(0,11−2a)时， g′x>0，当x∈11−2a,+∞时， g′x<0,
故gx在x=11−2a处取得最大值g(11−2a)=−12−12ln(1−2a)．
若使gx>0有解，只需−12−12ln1−2a>0解得a>12−12e．
结合a<12，此时a的取值范围为12−12e,12．
综上所述，a的取值范围为12−12e,+∞.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题可知fx的定义域为0,+∞，
函数fx=12x2+lnx ，f′x=x+1x>0，
所以函数fx在区间1,e上是增函数，
所以fx在区间1,e上的最大值为fe=12e2+1，最小值为f1=12.
(2)fx>1−ax2，
令gx=fx−1−ax2=lnx+a−12x2，
g′x=2a−1x+1x,
当a≥12时，g′x>0,g1=a−12≥0，显然gx>0有解．
当a<12时，由g′x=2a−1x+1x=0得x=11−2a，
当x∈(0,11−2a)时， g′x>0，当x∈11−2a,+∞时， g′x<0,
故gx在x=11−2a处取得最大值g(11−2a)=−12−12ln(1−2a)．
若使gx>0有解，只需−12−12ln1−2a>0解得a>12−12e．
结合a<12，此时a的取值范围为12−12e,12．
综上所述，a的取值范围为12−12e,+∞.
【答案】
解：(1)由折线图中的数据和参考数据得t=5, i=19(ti−t)2=60，
i=19(ti−t)(yi−y)=i=19tiyi−ti=19yi
=3254.8−5×582.01=344.75，
所以r=≈0.996，
因为y与t的相关系数近似为0.996，说明y与t的线性相关程度很高，
从而可以用线性回归模型拟合全国GDP总量y与年份代码t的关系.
(2)由已知及(1)得b=i=19(ti−t)(yi−y)i=19(ti−t)2=344.7560≈5.75，
a=y−bt=64.67−5.75×5=35.92，
所以，y关于t的回归方程为 y=35.92+5.75t.
将2019年对应的代码 t=10 代入回归方程得y=35.92+5.75×10=93.42.
所以预测2019年全国 GDP 总量约为93.42万亿元.
【考点】
相关系数
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由折线图中的数据和参考数据得t=5, i=19(ti−t)2=60，
i=19(ti−t)(yi−y)=i=19tiyi−ti=19yi
=3254.8−5×582.01=344.75，
所以r=≈0.996，
因为y与t的相关系数近似为0.996，说明y与t的线性相关程度很高，
从而可以用线性回归模型拟合全国GDP总量y与年份代码t的关系.
(2)由已知及(1)得b=i=19(ti−t)(yi−y)i=19(ti−t)2=344.7560≈5.75，
a=y−bt=64.67−5.75×5=35.92，
所以，y关于t的回归方程为 y=35.92+5.75t.
将2019年对应的代码 t=10 代入回归方程得y=35.92+5.75×10=93.42.
所以预测2019年全国 GDP 总量约为93.42万亿元.
【答案】
解：(1)∵ f(x)=lnx−12ax2−bx，
∴ x>0，f′(x)=1x−ax−b，
由f′(1)=0，得b=1−a，
∴ f′(x)=1x−ax+a−1=−(ax+1)(x−1)x．
①若a≥0，由f′(x)=0，得x=1，
当00，此时f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；
所以x=1是f(x)的极大值点．
②若a<0，则f′(x)=0，得x=1或x=−1a，
∵ x=1是f(x)的极大值点，
∴ −1a>1，解得−1综合①②，得a的取值范围是a>−1．
(2)∵ 方程2mf(x)=x2有唯一实数解，
∴ x2−2mlnx−2mx=0有唯一实数解，
设g(x)=x2−2mlnx−2mx，
则g′(x)=2x2−2mx−2mx，
令g′(x)=0，得x2−mx−m=0．
∵ m>0，∴ Δ=m2+4m>0，
方程有两异号根，设为x1<0，x2>0，
∵ x>0，∴ x1应舍去．
当x∈(0, x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0, x2)上单调递减，
当x∈(x2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2, +∞)上单调递增，
当x=x2时，g′(x2)=0，g(x)取最小值g(x2)．
∵ g(x)=0有唯一解，∴ g(x2)=0，
则g(x2)=0，g′(x2)=0， 即x22−2mlnx2−2mx2=0,x2​2−mx2−m=0,
∴ 2mlnx2+mx2−m=0，
∵ m>0，∴ 2lnx2+x2−1=0(∗)，
设函数ℎ(x)=2lnx+x−1，
∵ 当x>0时，ℎ(x)是增函数，
∴ ℎ(x)=0至多有一解，
∵ ℎ(1)=0，
∴ 方程(∗)的解为x2=1，
代入方程组解得m=12．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的最值
【解析】
(1)由f(x)=lnx−12ax2−bx，知x>0，f′(x)=1x−ax−b，由f′(x)=0，得b=1−a，故f′(x)=1x−ax+a−1=−(ax+1)(x−1)x．由此能求出a的取值范围．
(2)由方程2mf(x)=x2中唯一实数解，知x2−2mlnx−2mx=0有唯一实数解，设g(x)=x2−2mlnx−2mx，则g′(x)=2x2−2mx−2mx，令g′(x)=0，得x2−mx−m=0．由此入手能够推导出正数m的值．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=lnx−12ax2−bx，
∴ x>0，f′(x)=1x−ax−b，
由f′(1)=0，得b=1−a，
∴ f′(x)=1x−ax+a−1=−(ax+1)(x−1)x．
①若a≥0，由f′(x)=0，得x=1，
当00，此时f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；
所以x=1是f(x)的极大值点．
②若a<0，则f′(x)=0，得x=1或x=−1a，
∵ x=1是f(x)的极大值点，
∴ −1a>1，解得−1综合①②，得a的取值范围是a>−1．
(2)∵ 方程2mf(x)=x2有唯一实数解，
∴ x2−2mlnx−2mx=0有唯一实数解，
设g(x)=x2−2mlnx−2mx，
则g′(x)=2x2−2mx−2mx，
令g′(x)=0，得x2−mx−m=0．
∵ m>0，∴ Δ=m2+4m>0，
方程有两异号根，设为x1<0，x2>0，
∵ x>0，∴ x1应舍去．
当x∈(0, x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0, x2)上单调递减，
当x∈(x2, +∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2, +∞)上单调递增，
当x=x2时，g′(x2)=0，g(x)取最小值g(x2)．
∵ g(x)=0有唯一解，∴ g(x2)=0，
则g(x2)=0，g′(x2)=0， 即x22−2mlnx2−2mx2=0,x2​2−mx2−m=0,
∴ 2mlnx2+mx2−m=0，
∵ m>0，∴ 2lnx2+x2−1=0(∗)，
设函数ℎ(x)=2lnx+x−1，
∵ 当x>0时，ℎ(x)是增函数，
∴ ℎ(x)=0至多有一解，
∵ ℎ(1)=0，
∴ 方程(∗)的解为x2=1，
代入方程组解得m=12．认为安装监控测速装置十分必要
认为安装监控测速装置没有必要
男司机
70
30
女司机
50
50
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828