2020-2021学年湖北省宜昌高二（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省宜昌高二（下）期末考试数学试卷人教A版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设x∈R，向量a→=1,−1,x，b→=−4,2,2，若a→⊥b→，则x=（ ）
A.−3B.−1C.1D.3

2. 已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ=( )
A.−13B.0C.13D.23

3. 已知圆O1：x−12+y+22=9，圆O2：x+22+y+12=16，则这两个圆的位置关系为（ ）
A.外离B.外切C.相交D.内含

4. 一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中不放回地取球2次，每次任取一球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为( )
A.13B.310C.12D.925

5. 已知函数fx=x3−x2+cx+2在x=1处取得极值，则曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为（ ）
A.2x+y−2=0B.2x−y+2=0C.x−y+2=0D.x+y−2=0

6. 2021年是“十四五”开局之年，“三农”工作重心转向全面推进乡村振兴．某县现招录了5名大学生，其中3名男生，2名女生，计划全部派遣到A、B、C三个乡镇参加乡村振兴工作，每个乡镇至少派遣1名大学生，乡镇A只派2名男生．则不同的派遣方法总数为（ ）
A.9B.18C.36D.54

7. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60∘，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为( )

A.332B.292C.52D.232

8. 已知函数fx=ex−1−kx2+3，若对任意的x1,x2∈0,+∞ ，且x1≠x2，都有fx1x2+fx2x1>fx1x1+fx2x2，则实数k的取值范围是（ ）
A.−∞,12B.−∞,12C.(−∞,2]D.−∞,2
二、多选题

下列命题中，正确的命题有（ ）
A.利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线y=bx+a必过样本点的中心x,y
B.设随机变量X∼B20,12，则DX=5
C.天气预报，五一假期甲地的降雨概率是0.3，乙地的降雨概率是0.2，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为0.5
D.在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好

已知2x−ax7 的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）
A.a=1
B.展开式中二项式系数之和为256
C.展开式中系数最大的项为第3项
D.展开式中x−5的系数为−14

如图所示，在棱长为1的正方体中 ABCD−A1B1C1D1 中，E，F分别为棱A1D1，DD1 的中点，则以下四个结论正确的是（ ）

A.AC1⊥平面BEF
B.EF//平面B1CD1
C.异面直线BE和AD所成的角的正切值为22
D.若P为直线B1D1 上的动点，则三棱锥E−BFP的体积为定值

已知抛物线x2=8y的焦点为F，P为抛物线上一动点，直线l交抛物线于A，B两点，点M2,4，则下列说法正确的是（ ）
A.存在直线l，使得A，B两点关于x+y−2=0对称
B.|PM|+|PF|的最小值为6
C.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D.若分别以A，B为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则A，B两点的纵坐标之和的最小值为4
三、填空题

已知随机变量X∼N2,σ2且PX<4=0.9，则P0
已知等差数列an的公差为2，且a1,a2,a3+1 成等比数列，Sn是数列an的前n项和，则S9=________.

已知函数y=fx在R上连续且可导， y=fx+1为偶函数且f2=0，其导函数满足x−1f′x>0，则函数gx=x−1fx的零点个数为________.

已知正四面体ABCD的棱长为 26，P是该正四面体内切球球面上的动点，则PA→⋅PD→的最小值为________.
四、解答题

已知圆C经过点 A4,−1，且与直线x−y+1=0相切于点 B−2,−1.
(1)求圆C的方程；

(2)设直线y=x与圆C相交于M，N两点，求弦长|MN|．

已知数列an的前n项和为Sn，且Snn是等差数列，a1=2，a2=4．
(1)求数列an的通项公式；

(2)若数列bn满足bn=1an−12n+1，求数列bn的前n项和Tn．

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，BC=BC1=2，CC1=2，AB=3．

(1)求证：C1B⊥平面ABC；

(2)若E是BB1的中点，求二面角A−C1E−C 的余弦值．

为庆祝中国共产党成立100周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史、知奋进”党史知识竞赛活动，设置一、二、三等奖若干名．为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表：

(1)请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数）

(2)①在上述样本中从选修历史的学生中抽取4名学生，设抽到没有获奖的人数为X，求PX=3（概率用组合数表示即可）；
②若将样本频率视为概率，从全校获奖的学生中随机抽取14人，求这些人中选修了历史学科的人数Y的数学期望．
下面的临界值表供参考
（参考公式K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d）

已知双曲线C的方程为：x24−y212=1，椭圆E的焦点为F1−1,0和 F21,0，椭圆E的离心率与双曲线C的离心率互为倒数．
(1)求椭圆E的方程．

(2)不经过椭圆E的焦点的直线l:y=kx+mk<0，m>0与以坐标原点为圆心、3为半径的圆相切，且与椭圆E交于M，N两点，试判断△MF2N的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

已知函数fx=alnx−12x2+a−1x+2．
(1)讨论fx的单调性．

(2)当a>0时，若存在两个不相等的正数x1，x2，满足fx1=fx2，求证:x1+x2>2a．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省宜昌市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
利用两向量垂直，两向量数量积为零，列方程求解即可.
【解答】
解：∵ a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=−4−2+2x=0，
解得x=3.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
根据分布列的性质可得a+13+16=1可求出a，再求出期望．
【解答】
解：∵ a+13+16=1，
∴ a=12，
∴ Eξ=(−1)×12+0×13+1×16=−13．
故选A．
3.
【答案】
C
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
求出两个圆的圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断两个圆的位置关系．
【解答】
解：因为圆O1的圆心(1, −2)，半径为3；
圆O2的圆心坐标(−2, −1)，半径为4，
两个圆的圆心距为：33+12=10，
因为4−3<10<4+3
所以两个圆的位置关系是相交．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
条件概率与独立事件
【解析】
运用条件概率求解即可．
【解答】
解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得红球}，
则P(A)=C31C51=35，PAB=C31C21C51C41=310，
所以PB|A=PABPA=12．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
【解析】
先利用函数fx=x3−x2+cx+2在x=1处取得极值，得到f′(1)=3−2+c=0，求出c=−1，再利用导数的几何意义求切线方程即可.
【解答】
解：函数fx=x3−x2+cx+2，
则f′(x)=3x2−2x+c，
∵ 函数fx=x3−x2+cx+2在x=1处取得极值，
∴ f′(1)=3−2+c=0，
解得c=−1，
∴ 函数fx=x3−x2−x+2，f′(x)=3x2−2x−1，
∴ f(0)=2，f′(0)=−1，
∴ 曲线y=fx在点0,f0处的切线方程为y−2=−(x−0)，
即x+y−2=0.
故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，分析可得2名女教师在A镇、B镇各一名，易得其分配方法的数目，再对分在B地、C地两种情况讨论，计算各种情况下选派方法的数目，最后由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：从三名男生中选2人派往乡镇A有C31种方法，
剩下3人分成两组，有C31种方法，
这两组派往B、C乡镇，有A22种方法，
则不同的派遣方法总数为C31C31A22=18．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
向量的模
向量在几何中的应用
【解析】
用AB→，AC→，AA1→表示出AO→，计算AO→，开方得出AO→的长度．
【解答】
解：∵ 四边形BCC1B1是平行四边形，
∴ BO→=12BC1→=12BC→+BB1→，
∴ AO→=AB→+BO→=AB→+12BC→+12AA1→
=12AC→+12AB→+12AA1→，
∵ ∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60∘，A1A=3，AB=AC=2，
∴ AB→2=AC→2=4，AA1→2=9，
AB→⋅AC→=2×2×cs60∘=2，
AB→⋅AA1→=AC→⋅AA1→=3×2×cs60∘=3，
AO→2=14AB→+AC→+AA1→2
=14(AB→2+AC→2+AA1→2+2AB→⋅AC→+2AB→⋅AA1→+2AC→⋅AA1→)
=334，
∴ |AO→|=332，即AO=332．
故选A．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
不等式恒成立问题
【解析】
【解答】
解：对任意的x1,x2∈0,+∞ ，且x1≠x2，
都有fx1x2+fx2x1>fx1x1+fx2x2，
即x1fx1+x2fx2>x2fx1+x1fx2，
∴ x1−x2fx1−fx2>0，
∴ fx在0,+∞上单调递增，
∴ f′x=ex−1−2kx≥0在0,+∞上恒成立，
∴ 2k≤ex−1x在0,+∞上恒成立，
设ℎx=ex−1x，
∴ ℎ′x=(x−1)ex−1x2，
∴ ℎx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴ 2k≤ℎ(1)=1，
∴ k≤12.
故选A.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
求解线性回归方程
离散型随机变量的期望与方差
相互独立事件的概率乘法公式
变量间的相关关系
【解析】
利用线性回归方程，离散型随机变量的方差，相互独立事件同时发生的概率计算和回归分析进行逐一分析即可.
【解答】
解：A，利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线y=bx+a必过样本点的中心x,y，该选项正确；
B，设随机变量X∼B20,12，则DX=np(1−p)=5，该选项正确；
C，天气预报，五一假期甲地的降雨概率是0.3，乙地的降雨概率是0.2，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为(1−0.3)×(1−0.2)=0.56，该选项错误；
D，在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好，该选项正确.
故选ABD.
【答案】
A,C
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
对于A选项，令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和得到2−a2=1，求解a=1；
对于B选项，因为二项式系数和为2n，由于n=7，从而展开式中二项式系数之和为128；
对于C选项，通项公式Tr+1=−1r27−rC7rx7−2r，从而得到展开式中系数最大的项为第3项；
对于D选项，根据通项公式得出展开式中x−5的系数．
【解答】
解：A，令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为2−a7，
所以2−a7=1，则a=1，故A正确；
B，展开式中二项式系数之和为27=128，故B错误；
C，展开式的通项为Tr+1=−1r27−rC7rx7−2r，
当r=2时，系数−12×27−2C72最大，
故展开式中系数最大的项为第3项，故C正确；
D，7−2r=−5，r=6，−16×27−6C76=14，故D错误.
故选AC．
【答案】
B,C
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
异面直线及其所成的角
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，连接A1D，A1B，BD，易知AC1⊥平面A1BD，
假设AC1⊥平面BEF，则平面BEF//平面A1BD或两平面重合，显然不成立，故A错误；
B，连接B1D1，B1C，D1C，
∵ E，F分别为棱A1D1，DD1 的中点，
∴ EF//A1D//B1C，B1C⊂平面B1CD1，EF⊄平面B1CD1，
∴ EF//平面B1CD1，故B正确；
C，∵ AD//A1D1，
∴ ∠BEA1即为异面直线BE和AD所成的角，
易知A1E=12，BE=A1E2+A1B12+B1B2=32，
BA1=A1B12+B1B2=2，
∴ cs∠BEA1=14+94−22×12×32=13，sin∠BEA1=223，
则tan∠BEA1=22，故C正确；
D，若三棱锥E−BFP的体积为定值，则P到平面BEF的距离为定值，
即B1D1//平面BEF，
由B1D1//BD，BD与平面BEF相交可知D不成立，故D错误.
故选BC.
【答案】
B,C,D
【考点】
抛物线的性质
抛物线的求解
圆锥曲线的综合问题
直线与抛物线的位置关系
【解析】
根据抛物线的定义以及性质逐项求解即可
【解答】
解：A，假设存在直线l，使得A，B关于x+y−2=0对称，
又由直线l过A，B可得l⊥AB．故l的斜率为1，
设l方程为x−y+m=0，
由x2=8y，x−y+m=0得x2−8x−8m=0，
由l与抛物线有两交点可得Δ=64+32m>0，
∴ m>−2，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
则x1+x2=8，
设AB中点为Qx0,y0，
则x0=x1+x22=4，y0=x0+m=m+4，
又∵ Q点必在直线x+y−2=0上，
∴ x0+y0−2=0，解得m=−6，
这与m>−2矛盾，故A选项错误，
B，设l′是抛物线的准线，则l′: y=−p2=−2，
过P作 PN⊥l′ 于N ，
则 |PM|+|PF|=|PM|+|PN|≥6 ，
当且仅当P，M，N三点共线时，等号成立，
∴ |PM|+|PF|的最小值为6，故B选项正确，
C，如图l过焦点F，l′为抛物线的准线，
设AF的中点为G，
过A作 AC⊥l′ 于C，交x轴于E，
过G作 GD⊥x 轴于D，
由抛物线的性质可得AF=AC
故GD=12OF+AE=12OF′+AE=12AC=12AF，
∴ 以AF为直径的圆与x轴相切，故C选项正确；
D，设 Ax1,y1 ，Bx2,y2, 由 x2=8y 得 y′=14x，
设两条切线交点为T，
则切线AT方程为 y−y1=14x1x−x1，
即y=14x1x−14x12+y1=14x1x−18x12，
同理BT方程为 y=14x2x−18x22，
联立AT，BT方程得 x=12x1+x2 ，y=18x1x2,
∴ T点坐标为 12x1+x2,18x1x2，
∵ T点在准线l′ ：y=−2 上，
∴18x1x2=−2，即x1x2=−16 ，
∴y1+y2=18x12+x22
=18x1+x2−2x1x2
=18x1+x22+4
当 x1+x2=0 时， y1+y2 有最小值4， 故D选项正确.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
0.4
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
首先根据题中所给的正态分布，得出正态曲线关于直线x=2对称，再结合对称轴两侧各占0.5，根据关系求得结果．
【解答】
解：因为随机变量ξ服从正态分布N2,σ2，
所以正态曲线的对称轴是x=2，
因为Pξ<4=0.9，所以Pξ≥4=0.1，
所以P0<ξ<2=0.5−0.1=0.4.
故答案为：0.4.
【答案】
108
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
由题意可得a1，a1+2，a1+5成等比数列，，通过解方程求得a1的值．然后求和．
【解答】
解：∵ 数列an是公差为2的等差数列，且a1，a2，a3+1成等比数列，
∴ a1，a1+2，a1+5成等比数列，
∴ a1+22=a1a1+5，
解得a1=4，
∴ S9=9×4+12×9×8×2=108.
故答案为：108.
【答案】
3
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的零点
函数奇偶性的性质
【解析】
由题意得到函数关于x=1对称，且当x>1时，函数单调递增，x<1时函数单调递减，进而得到函数的零点个数.
【解答】
解：∵ y=f(x+1)为偶函数，
∴ y=f(x)关于x=1对称，
∵ f(2)=0，
∴ f(0)=0.
又(x−1)f′(x)＞0，
∴ 当x>1时，函数单调递增，x<1时函数单调递减，
∴ f(x)有两个零点，分别为0和2，
又当x=1时，g(x)=(x−1)f(x)=0，
∴ 函数g(x)=(x−1)f(x)的零点有0，1，2，共有三个零点.
故答案为：3.
【答案】
−2−23
【考点】
平面向量数量积的运算
点、线、面间的距离计算
柱体、锥体、台体的体积
球内接多面体
【解析】
找到最小距离值，再求解即可
【解答】
解：因为四面体ABCD是棱长为 26的正四面体，
所以其件积为13×12×26×26×32×63×26=83 ，
设正四面体ABCD内切球半径为r，
取4×13×12×26×26×32×r=83，得r=1，
如图，取AD的中点为E，
则PA→⋅PD→
=PE→+EA→⋅PE→+ED→
=PE→2+PE→⋅EA→+ED→+EA→⋅ED→
=PE→2−6，
显然，当PE的长度最小时．PA→⋅PD→所取得最小值，
设正四面体内切球球心为O，可求得OA=OD=3，
因为球心O到点E的距离d=OA2−AE2=32−62=3，
所以球O上的点P到点E的最小距离为d−r=3−1，
所以 PA→⋅PD→的的最小值为 PE→2−6=(3−1)2−6=−(2+23).
故答案为：−2−23.
四、解答题
【答案】
解：(1)过切点 B(−2,−1)且与 x−y+1=0垂直的直线为 y+1=−(x+2)，
即 x+y+3=0，则其经过圆心，
∵ 直线 AB方程为 y=−1，
∴ 直线 AB的中垂线 x=1过圆心，
联立 x+y+3=0,x=1,
解得 x=1，y=−4，
∴ 圆心为 (1,−4)，
∴ 半径r=(1+2)2+(−4+1)2=32，
∴ 所求圆的方程为 (x−1)2+(y+4)2=18.
(2)∵ 直线l的方程为x−y=0，
∴ 圆心 C(1,−4)到直线 l的距离 d=52，
设MN的中点为D，连接 CD，则必有 CD⊥MN，
在Rt△CDM中， |DM|=18−d2=222，
∴ |MN|=2|DM|=22.
【考点】
圆的标准方程
圆的综合应用
直线和圆的方程的应用
点到直线的距离公式
【解析】
(1)点斜式写方程，再联立方程组确定圆心坐标，通过两点间的距离公式求出半径r，最后写出圆的标准方程；
(2)利用直线与圆的性质求解.
【解答】
解：(1)过切点 B(−2,−1)且与 x−y+1=0垂直的直线为 y+1=−(x+2)，
即 x+y+3=0，则其经过圆心，
∵ 直线 AB方程为 y=−1，
∴ 直线 AB的中垂线 x=1过圆心，
联立 x+y+3=0,x=1,
解得 x=1，y=−4，
∴ 圆心为 (1,−4)，
∴ 半径r=(1+2)2+(−4+1)2=32，
∴ 所求圆的方程为 (x−1)2+(y+4)2=18.
(2)∵ 直线l的方程为x−y=0，
∴ 圆心 C(1,−4)到直线 l的距离 d=52，
设MN的中点为D，连接 CD，则必有 CD⊥MN，
在Rt△CDM中， |DM|=18−d2=222，
∴ |MN|=2|DM|=22.
【答案】
解：(1)由题意得S11=2，S22=3，
设等差数列Snn的公差为d，
则d=S22−S11=1，
∴ Snn=2+n−1×1=n+1，
∴ Sn=nn+1．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n，a1也满足，
∴ an=2nn∈N∗．
(2)bn=1an−12n+1
=12n−12n+1
=1212n−1−12n+1，
∴ Tn=b1+b2+⋯+bn
=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1，
∴ Tn=n2n+1．
【考点】
等差数列的通项公式
数列递推式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意得S11=2，S22=3，
设等差数列Snn的公差为d，
则d=S22−S11=1，
∴ Snn=2+n−1×1=n+1，
∴ Sn=nn+1．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n，a1也满足，
∴ an=2nn∈N∗．
(2)bn=1an−12n+1
=12n−12n+1
=1212n−1−12n+1，
∴ Tn=b1+b2+⋯+bn
=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1，
∴ Tn=n2n+1．
【答案】
(1)证明：∵ AB⊥平面BB1C1C，
∴AB⊥BC，
又∵BC=BC1=2，CC1=2，
∴BC2+BC12=CC12 ，
∴BC⊥BC1 ，又AB∩BC=B，
∴BC1⊥平面ABC ．
(2)解：以B为坐标原点，分别以BC→，BA→，BC1→的方向为x轴、y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,3,0)，C1(0,0,2)，B1(−2,0,2)，E(−22,0,22)，
有AC1→=(0,−3,2)，AE→=(−22,−3,22)，
设n1→=(x,y,z)为平面AC1E的法向量，
n⋅AC1→=0，n→⋅AE→=0，
即 −3y+2z=0，−22x−3y+22z=0，
不妨取z=3 ，则n→=−3,2,3，
∵AB⊥平面BB1C1C，
∴在方向上取平面CC1E的法向量n2→=0,1,0，
∴cs⟨n1→，n2→⟩=|n1→⋅n2→||n1→||n1→|=220=1010，
故二面角A−C1E−C的余弦值为1010 ．
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ AB⊥平面BB1C1C，
∴AB⊥BC，
又∵BC=BC1=2，CC1=2，
∴BC2+BC12=CC12 ，
∴BC⊥BC1 ，又AB∩BC=B，
∴BC1⊥平面ABC ．
(2)解：以B为坐标原点，分别以BC→，BA→，BC1→的方向为x轴、y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,3,0)，C1(0,0,2)，B1(−2,0,2)，E(−22,0,22)，
有AC1→=(0,−3,2)，AE→=(−22,−3,22)，
设n1→=(x,y,z)为平面AC1E的法向量，
n⋅AC1→=0，n→⋅AE→=0，
即 −3y+2z=0，−22x−3y+22z=0，
不妨取z=3 ，则n→=−3,2,3，
∵AB⊥平面BB1C1C，
∴在方向上取平面CC1E的法向量n2→=0,1,0，
∴cs⟨n1→，n2→⟩=|n1→⋅n2→||n1→||n1→|=220=1010，
故二面角A−C1E−C的余弦值为1010 ．
【答案】
解：(1)补充完整的2×2联立表如下：
∴ k2=50(4×12−16×18)220×30×22×28≈7.8>6.635，
故有99%的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关．
(2)①显然，随机变量X服从超几何分布，取值为3表示抽到选修了历史但没有获奖的人数恰好为3人．
故PX=3=C43C161C204，
②从全校获奖的学生中随机抽取1人，则此人选修了历史学科的概率为1628=47．
设从全校获奖的学生中随机抽取14人，这些人中选修了历史学科的人数为Y，
则y∼B14,47，
故E(Y)=14×47=8．
【考点】
独立性检验
超几何分布
二项分布的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)补充完整的2×2联立表如下：
∴ k2=50(4×12−16×18)220×30×22×28≈7.8>6.635，
故有99%的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关．
(2)①显然，随机变量X服从超几何分布，取值为3表示抽到选修了历史但没有获奖的人数恰好为3人．
故PX=3=C43C161C204，
②从全校获奖的学生中随机抽取1人，则此人选修了历史学科的概率为1628=47．
设从全校获奖的学生中随机抽取14人，这些人中选修了历史学科的人数为Y，
则y∼B14,47，
故E(Y)=14×47=8．
【答案】
解：(1)设椭圆E的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
由题意得，c=1．
∵ 双曲线的离心率4+122=2，
∴ 椭圆E的离心率e=12，
∴ a=2，
∴ b2=a2−c2=3，
故椭圆E的方程：x24+y23=1．
(2)由题意，r=3，
即圆心到直线l的距离为3，
则|m|1+k2=3，
∴ m2=31+k2，
设Mx1,y1，Nx2,y2，
由y=kx+m,x24+y23=1,
得4k2+3x2+8kmx+4m2−3=0，
由Δ>0，
得x1+x2=−8km4k2+3，x1x2=4m2−34k2+3，
则|MN|=1+k2|x1−x2|
=1+k2(x1+x2)2−4x1x2
=13m2−8km4k2+32−16m2−34k2+3=−4km4k2+3，
又|MF2|=x1−12+y12=2−12x1，|NF2|=2−12x2，
|M2F|+|MF1|=4−12x1+x2=4+4km4k2+3．
△MNF2周长=|MN|+|MF2|+|NF2|=4，
∴ △MNF2周长为定值4．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
双曲线的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)设椭圆E的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，
由题意得，c=1．
∵ 双曲线的离心率4+122=2，
∴ 椭圆E的离心率e=12，
∴ a=2，
∴ b2=a2−c2=3，
故椭圆E的方程：x24+y23=1．
(2)由题意，r=3，
即圆心到直线l的距离为3，
则|m|1+k2=3，
∴ m2=31+k2，
设Mx1,y1，Nx2,y2，
由y=kx+m,x24+y23=1,
得4k2+3x2+8kmx+4m2−3=0，
由Δ>0，
得x1+x2=−8km4k2+3，x1x2=4m2−34k2+3，
则|MN|=1+k2|x1−x2|
=1+k2(x1+x2)2−4x1x2
=13m2−8km4k2+32−16m2−34k2+3=−4km4k2+3，
又|MF2|=x1−12+y12=2−12x1，|NF2|=2−12x2，
|M2F|+|MF1|=4−12x1+x2=4+4km4k2+3．
△MNF2周长=|MN|+|MF2|+|NF2|=4，
∴ △MNF2周长为定值4．
【答案】
(1)解：f′x=ax−x+a−1
=−x2+(a−1)x+ax(x>0)，
令f′x=0，
解得x=−1（舍）或x=a ．
①当a≤0时，f′x>0，则fx在0,+∞上单调递增；
②当a>0时，令f′x<0，解得x>a；令f′x>0，解得0则fx在0,a上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．
(2)证明：∵fx1=fx2，由(1)不妨设0设gx=fx−f2a−x，
则g′x=f′x+f′2a−x
=ax−x+a−1+a2a−x−2a−x+a−1
=2x−a2x2a−x，
当x∈0,2a时，g′x>0恒成立，则gx在x∈0,2a上单调递增．
∴gx1∴ fx1−f2a−x1<0，
∴ fx1由fx1=fx2，
则可得fx2∵0∴ 2a−x1>a，
而fx在a,+∞上单调递减，
∴x2>2a−x1
∴x1+x2>2a．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：f′x=ax−x+a−1
=−x2+(a−1)x+ax(x>0)，
令f′x=0，
解得x=−1（舍）或x=a ．
①当a≤0时，f′x>0，则fx在0,+∞上单调递增；
②当a>0时，令f′x<0，解得x>a；令f′x>0，解得0则fx在0,a上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．
(2)证明：∵fx1=fx2，由(1)不妨设0设gx=fx−f2a−x，
则g′x=f′x+f′2a−x
=ax−x+a−1+a2a−x−2a−x+a−1
=2x−a2x2a−x，
当x∈0,2a时，g′x>0恒成立，则gx在x∈0,2a上单调递增．
∴gx1∴ fx1−f2a−x1<0，
∴ fx1由fx1=fx2，
则可得fx2∵0∴ 2a−x1>a，
而fx在a,+∞上单调递减，
∴x2>2a−x1
∴x1+x2>2a．ξ
−1
0
1
P
a
13
16
没有获奖
获奖
合计
选修历史
4
20
没有选修历史
12
合计
50
PK2≥K0
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
没有获奖
获奖
合计
选修历史
4
16
20
没有选修历史
18
12
30
合计
22
28
50
没有获奖
获奖
合计
选修历史
4
16
20
没有选修历史
18
12
30
合计
22
28
50