2020-2021学年湖北省襄阳市、宜昌市、荆州市、荆门市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省襄阳市、宜昌市、荆州市、荆门市高二（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年湖北省襄阳市、宜昌市、荆州市、荆门市高二（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设，向量，若，则　　
A． B． C．1 D．3
2．（5分）已知随机变量的分布列如表所示，则　　


0
1




A． B．0 C． D．
3．（5分）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为　　
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
4．（5分）一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中不放回地取球2次，每次任取一球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知函数在处取得极值，则曲线在点，处的切线方程为　　
A． B． C． D．
6．（5分）2021年是“十四五”开局之年，“三农”工作重心转向全面推进乡村振兴．某县现招录了5名大学生，其中3名男生，2名女生，计划全部派遣到、、三个乡镇参加乡村振兴工作，每个乡镇至少派遣1名大学生，乡镇只派2名男生．则不同的派遣方法总数为　　
A．9 B．18 C．36 D．54
7．（5分）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为　　

A． B． C． D．
8．（5分）已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）下列命题中，正确的命题有　　
A．利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心，
B．设随机变量，则
C．天气预报，五一假期甲地的降雨概率是0.3，乙地的降雨概率是0.2，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为0.5
D．在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好
10．（5分）已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有　　
A．
B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中系数最大的项为第3项
D．展开式中的系数为
11．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体中中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是　　

A．平面
B．平面
C．异面直线和所成的角的正切值为
D．若为直线上的动点，则三棱锥的体积为定值
12．（5分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，直线交抛物线于，两点，点，则下列说法正确的是　　
A．存在直线，使得，两点关于对称
B．的最小值为6
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．若分别以，为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则，两点的纵坐标之和的最小值为4
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知随机变量服从正态分布且，则　　．
14．（5分）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，是数列的前项和，则　　．
15．（5分）已知函数在上连续且可导，为偶函数且（2），其导函数满足，则函数的零点个数为 　　．
16．（5分）已知正四面体的棱长为，是该正四面体内切球球面上的动点，则的最小值为 　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知圆经过点，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，求弦长．
18．（12分）已知数列的前项和为，且是等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
19．（12分）如图，在三棱柱中，已知侧面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若是的中点，求二面角的余弦值．

20．（12分）为庆祝中国共产党成立100周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史、知奋进”党史知识竞赛活动，设置一、二、三等奖若干名．为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表：

没有获奖
获奖
合计
选修历史
4

20
没有选修历史



合计

12

（1）请完成上面列联表；并判断是否有的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数）
（2）①在上述样本中从选修历史的学生中抽取4名学生，设抽到没有获奖的人数为，求（概率用组合数表示即可）；
②若将样本频率视为概率，从全校获奖的学生中随机抽取14人，求这些人中选修了历史学科的人数的数学期望．下面的临界值表供参考

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中
21．（12分）已知双曲线的方程为，椭圆的焦点为和，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过椭圆的焦点的直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切，且与椭圆交于，两点，试判断△的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若存在两个不相等的正数，，满足，求证：．

2020-2021学年湖北省襄阳市、宜昌市、荆州市、荆门市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设，向量，若，则　　
A． B． C．1 D．3
【解答】解：因为向量，且，
则有，解得．
故选：．
2．（5分）已知随机变量的分布列如表所示，则　　


0
1




A． B．0 C． D．
【解答】解：由题意可得：，解得．
所以．
故选：．
3．（5分）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为　　
A．外离 B．外切 C．相交 D．内含
【解答】解：根据题意，圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，有，
则两圆相交；
故选：．
4．（5分）一袋中有大小相同的3个红球和2个白球，从中不放回地取球2次，每次任取一球，在第一次取到红球的条件下，第二次也取到红球的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为第一次取到红球，
所以还剩下2个红球和2个白球，
故第二次也取到红球的概率为．
故选：．
5．（5分）已知函数在处取得极值，则曲线在点，处的切线方程为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由，得，
由题意，（1），即．
，，
，，
则曲线在点，处的切线方程为，即．
故选：．
6．（5分）2021年是“十四五”开局之年，“三农”工作重心转向全面推进乡村振兴．某县现招录了5名大学生，其中3名男生，2名女生，计划全部派遣到、、三个乡镇参加乡村振兴工作，每个乡镇至少派遣1名大学生，乡镇只派2名男生．则不同的派遣方法总数为　　
A．9 B．18 C．36 D．54
【解答】解：乡镇派2名男生有种，
然后剩下3人派给乡镇，有种，
故共有种，
故选：．
7．（5分）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则线段的长度为　　

A． B． C． D．
【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，，，，
，，，，
，
，即．
故选：．

8．（5分）已知函数，若对任意的，，且，都有，则实数的取值范围是　　
A． B． C．， D．
【解答】解：因为，，且，不妨设，
所以，
于是题意可转化为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
当 时，，
令
令，解得；令，解得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）下列命题中，正确的命题有　　
A．利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心，
B．设随机变量，则
C．天气预报，五一假期甲地的降雨概率是0.3，乙地的降雨概率是0.2，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为0.5
D．在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好
【解答】解：对于：线性回归直线必过样本点的中心，而样本点未必在回归直线上，故正确；
对于：由于随机变量，则，故正确；
对于：甲地和乙地都不降雨的概率为，故不正确；
对于：在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好，故正确．
故选：．
10．（5分）已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有　　
A．
B．展开式中二项式系数之和为256
C．展开式中系数最大的项为第3项
D．展开式中的系数为
【解答】解：选项：令可得：，解得，故正确，
选项：所以二项式为，二项式系数和为，故错误，
选项：二项式展开式为，
令，解得，所以展开式的的系数为，故错误，
选项：二项式的展开式为，
设第项的系数最大，则，解得，又，所以，
又当时，是二项式的展开式第3项，即，故正确，
故选：．
11．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体中中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是　　

A．平面
B．平面
C．异面直线和所成的角的正切值为
D．若为直线上的动点，则三棱锥的体积为定值
【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系：

则，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，
所以，1，，，，，，0，，
因为，
所以不垂直于，
所以不垂直于平面，故错误；
对于：因为，分别是，中点，
所以是△的中位线，
所以，
因为，
所以，
所以平面，故正确；
对于，0，，，，，
所以，，
所以，，故正确；
对于：当点为，0，时，，，，
平面的法向量，，，
，，
所以，，
当点为，1，时，，0，，
，，
所以，，
所以点到平面的距离不是定值，
所以三棱锥的体积不是定值，故错误．
故选：．

12．（5分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，直线交抛物线于，两点，点，则下列说法正确的是　　
A．存在直线，使得，两点关于对称
B．的最小值为6
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．若分别以，为切点的抛物线的两条切线的交点在准线上，则，两点的纵坐标之和的最小值为4
【解答】解：由于抛物线的焦点，
对于，假设存在直线，使得，两点关于直线对称，
则设直线的方程为，
联立，
所以，
所以△，即，
设，，，，线段的中点为，
所以，
所以，，
点在直线上，
所以，解得，与矛盾，故不正确；
对于：设为抛物线的准线，则准线的方程为，过点作于点，

则，当且仅当，， 三点共线时等号成立，
所以的最小值为6，故正确；
对于：当直线过焦点时，设，，
则以为直径的圆心为的中点，，，
所以圆心到轴的距离为，
由抛物线的定义可得为点到准线的距离，即，
所以，
所以当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切，故正确；
对于：设，，，，
由，即，
所以，
则切线的方程为，即，
同理切线的方程为，
联立，
解得，，
由题意，点在准线上，
则，
所以，
所以，
所以当时，取得最小值4，故正确；
故选：．
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知随机变量服从正态分布且，则　0.4　．
【解答】解：因为随机变量服从正态分布，故对称轴为．
由得：．
则．
故答案为：0.4．
14．（5分）已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，是数列的前项和，则　108　．
【解答】解：由，，成等比数列，得，即，
整理并解得，所以．
故答案为：108．
15．（5分）已知函数在上连续且可导，为偶函数且（2），其导函数满足，则函数的零点个数为 　3　．
【解答】解：因为为偶函数，
所以关于轴对称，
又向右平移1个单位长度得到，
所以关于对称，
因为，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以（1），
又因为（2），
所以，
所以函数有两个零点0，2，
令，得或，
所以函数的零点有三个0，1，2．
故答案为：3．
16．（5分）已知正四面体的棱长为，是该正四面体内切球球面上的动点，则的最小值为 　　．
【解答】解：四面体是棱长为的正四面体，
底面外接圆的半径为，
四面体的高为，
其体积，
设正四面体内切球的半径为，则，得．
如图，取的中点为，
则．
则当的长度最小时，取得最小值，
设正四面体内切球的球心为，可得，
球心到点的距离，
球上的点到的最小距离为，
的最小值为．
故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知圆经过点，且与直线相切于点．
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆相交于，两点，求弦长．
【解答】解：（1）过切点且与垂直的直线为，
即，则其经过圆心．
直线的方程为，直线的中垂线过圆心，
联立，解得，．
圆心为，半径，
所求圆的方程为；
（2）直线的方程为，圆心到直线的距离，
设的中点为，连接，则必有，
在中，，
．
18．（12分）已知数列的前项和为，且是等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【解答】解：（1）由题意得，设等差数列的公差为，
则．，，
当时，，经检验也满足上式，，
（2），
，
．
19．（12分）如图，在三棱柱中，已知侧面，，，．
（1）求证：平面；
（2）若是的中点，求二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：因为平面，平面，则，
又，则，
所以，又，，平面，
故平面；
（2）解：以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，
因为平面，
所以在方向上取平面的法向量，
所以，
故二面角的余弦值为．

20．（12分）为庆祝中国共产党成立100周年，某高中决定在全校约3000名高中生中开展“学党史、知奋进”党史知识竞赛活动，设置一、二、三等奖若干名．为了解学生的获奖情况与选修历史学科之间的关系，在全校随机选取了50名学生作为样本，统计这50名学生的获奖情况后得到如下列联表：

没有获奖
获奖
合计
选修历史
4

20
没有选修历史



合计

12

（1）请完成上面列联表；并判断是否有的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关；（结果保留一位小数）
（2）①在上述样本中从选修历史的学生中抽取4名学生，设抽到没有获奖的人数为，求（概率用组合数表示即可）；
②若将样本频率视为概率，从全校获奖的学生中随机抽取14人，求这些人中选修了历史学科的人数的数学期望．下面的临界值表供参考

0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：，其中
【解答】解：（1）补充完整的列联表如下：

没有获奖
获奖
合计
选修历史
4
16
20
没有选修历史
18
12
30
合计
22
28
50
，
故有的把握认为“党史知识竞赛是否获奖与选修历史学科”有关．
（2）①显然，随机变量服从超几何分布，取值为3表示抽到选修了历史但没有获奖的人数恰好为3人．
故．
②从全校获奖的学生中随机抽取1人，则此人选修了历史学科的概率为，
设从全校获奖的学生中随机抽取14人，这些人中选修了历史学科的人数为，
则，
故．
21．（12分）已知双曲线的方程为，椭圆的焦点为和，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过椭圆的焦点的直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切，且与椭圆交于，两点，试判断△的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，
由题意得，．双曲线的离心率为，
椭圆的离心率．，，
故椭圆的方程：．
（2）由题意，，即圆心到直线的距离为，
则，，
设，，，，
由，得，
由△，得，
则
，
又，，
周长，周长为定值4．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若存在两个不相等的正数，，满足，求证：．
【解答】解：（1）
令解得（舍或．
①当时，，则在上单调递减，
②当时，，则在上单调递减；
③当时，，则在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：，由（1）不妨设．
设．
则，
当时，恒成立，
则在上单调递增，
（a），
，

由，则可得，
，，
而在上单调递减，
，
．
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