2020-2021学年湖北省宜昌市高二（上）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖北省宜昌市高二（上）期中考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在等差数列an中，a3+a7=4，则必有（ ）
A.a5=4B.a6=4C.a5=2D.a6=2

2. 已知点A1,0，B0,1，圆C:x2+y+12=3，则( )
A.A，B都在C内B.A在C外，B在C内
C.A，B都在C外D.A在C内，B在C外

3. 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A2,6，B1,−6，C(5,2)，M为BC的中点，则中线AM所在直线的方程为( )
A.10x+y−26=0B.8x+y−22=0C.8x+y−26=0D.10x−y−34=0

4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于122，若第六个单音的频率为f，则( )
A.第四个单音的频率为2−112f
B.第三个单音的频率为2−14f
C.第五个单音的频率为216f
D.第八个单音的频率为2112f

5. 圆C1:x2+y2=9与圆C2:x−12+y+22=36的位置关系是( )
A.相交B.相离C.内切D.内含

6. 已知等差数列an的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ）
A.S5,S10−S5,S15−S10必成等差数列
B.S2,S4−S2,S6−S4必成等差数列
C.S5,S10,S15+S10有可能是等差数列
D.S2,S4+S2,S6+S4必成等差数列

7. 设直线kx−y−k+3=0过定点A，直线2kx−y−8k=0过定点B，则直线AB的倾斜角为( )
A.5π6B.2π3C.π3D.π6

8. 已知lg3≈0.477,x表示不大于x的最大整数．设Sn为数列an的前n项和，a1=2且Sn+1=3Sn−2n+2，则lga100−1=( )
A.45 B.46 C.47 D.48
二、多选题

已知直线l的方程为ax+by−2=0，下列判断正确的是（ ）
A.若ab>0，则l的斜率小于0B.若b=0,a≠0，则l的倾斜角为90∘
C.l可能经过坐标原点D.若a=0,b≠0，则l的倾斜角为0∘

已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若a3=1,1a1+1a3+1a5=214，则( )
A.an必是递减数列B.S5=314
C.公比q=4或14 D.a1=4或14

已知数列ann+2n是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（ ）
A.a1=3B.若d=1，则an=n2+2n
C.a2可能为6D.a1,a2,a3可能成等差数列

若过点−2,1的圆M与两坐标轴都相切，则直线3x−4y+10=0与圆M的位置关系可能是( )
A.相交B.相切C.相离D.不能确定
三、填空题

4与9的等比中项是________．

若直线4x+m+1y+8=0与直线2x−3y−9=0平行，则这两条平行线间的距离为________.

若直线y=3x+m与函数y=4−x2的图象有公共点，则m的最小值为________.

若数列an为单调递增数列，且an=2n−1+λ2n，则a3的取值范围为________.
四、解答题

已知两条直线l1:ax+by−4=0和l2:x+2y+2=0.
(1)若l1⊥l2，且l1过点3,2，求l1的方程；

(2)若l1与l2在x轴上的截距相等，且l1的斜率为3，求l1在y轴上的截距．

在①an+1an=−12，②an+1−an=−16，③an+1=an+n−8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的Sn存在最大值，则求出最大值；若问题中的Sn不存在最大值，请说明理由．问题：设Sn是数列an的前n项和，且a1=4，________，求an的通项公式，并判断Sn是否存在最大值．

已知直线l:4x−3y−8=0与圆M:x+12+y−12=m相交．
(1)求m的取值范围；

(2)若l与M相交所得弦长为8，求直线l′:x+y−4=0与M相交所得弦长．

已知an是等比数列，bn是等差数列，a1=b1=1，a2=−4，a3=b6.
(1)求an与bn的通项公式；

(2)若数列akbnbn+1的前21项和S21为正整数，求k的最小值，并求此时S21的值．

已知数列an的首项为0，2anan+1+an+3an+1+2=0.
(1)证明数列{1an+1}是等差数列，并求an的通项公式；

(2)已知数列bn的前n项和为Sn，且数列bn满足bn=2nan+1，若不等式−1nλ
已知圆C:x2+y2+Dx+Ey−12=0过点P−1,7，圆心C在直线l:x−2y−2=0上．
(1)求圆C的一般方程；

(2)若不过原点O的直线l与圆C交于A，B两点，且OA→⋅OB→=−12，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省宜昌市高二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a3+a7=2a5=4，所以a5=2.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
因为12+0+12<3,02+1+12>3，所以A在C内，B在C外．
【解答】
解：将A1,0，B0,1代入圆C：x2+y+12=3,
得12+0+12<3，02+1+12>3，
即A在C内，B在C外．
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程
直线的两点式方程
中点坐标公式
【解析】
无
【解答】
解：由中点坐标公式得M3,−2，
所以kAM=−8，
所以AM的方程为y+2=−8x−3，
即8x+y−22=0．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】

【解答】
解：因为第六个单音的频率为f，
所以第三个单音的频率为f1223=f214=2−14f .
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
圆的一般方程
两点间的距离公式
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】

【解答】
解：由题知圆心C1(0,0)，r1=3，圆心C2(1,−2)，r2=6.
故|C1C2|=1−02+−2−02=5.
因为r2−r1=3，
所以|C1C2|所以圆C1和圆C2的位置关系是内含．
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
等差关系的确定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为等差数列an的前n项和为Sn，所以A，B正确．
当首项与公差均为0时，S5,S10,S15+S10是等差数列，所以C正确．
S2,S4+S2,S6+S4未必成等差数列，所以D错误．
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
直线恒过定点
直线的倾斜角
【解析】

【解答】
解：由kx−y−k+3=0，得y=k(x−1)+3，
则点A的坐标为1,3.
由2kx−y−8k=0，得y=2k(x−4)，
则点B的坐标为4,0，
所以kAB=31−4=−33，
故直线AB的倾斜角为5π6．
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
数列递推式
等比关系的确定
等比数列的通项公式
对数的运算性质
【解析】

【解答】
解：当n≥2时，Sn=3Sn−1−2n+4，
则an+1=3an−2，
∴ an+1−1=3(an−1)，
当n=1时，S2=3S1−2+2=6，
∴ a2=S2−S1=4，此时a2−1=3a1−1，
∴ 数列{an−1}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴ an−1=3n−1，即an=3n−1+1，
∴ a100=399+1，
∴ lg(a100−1)=99lg3≈99×0.477=47.223，
∴ [lga100−1]=47．
故选C.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
直线的倾斜角
直线的斜率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若ab>0，则l的斜率−ba<0，则A正确；
若b=0,a≠0，则l的方程为x=2a，其倾斜角为90∘，则B正确；
若l可能经过坐标原点，则−2=0，这显然不成立，则C错误；
若a=0,b≠0，则l的方程为y=2b，其倾斜角为0∘，则D正确．
故选ABD.
【答案】
B,D
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的性质
【解析】

【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q，且a1a5=a32=1，a3=a1q2=1，
∴ a1+1+1a1=214，
解得a1=4，q=12，或a1=14，q=2，
故C错误，D正确；
当a1=4，q=12时，
S5=4(1−125)1−12=314；
当a1=14，q=2时，
数列{an}为递增数列，
S5=14(1−25)1−2=314，
故A错误，B正确.
故选BD.
【答案】
A,C,D
【考点】
等差数列的通项公式
等比中项
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a11+2=1，ann+2n=1+n−1d，
所以a1=3，an=[1+n−1d]n+2n，
故A正确；
若d=1，则an=nn+2n，故B错误；
若d=0，则a2=6，故C正确；
因为a2=6+6d，a3=11+22d，
所以若a1,a2,a3成等差数列，则a1+a3=2a2，
即14+22d=12+12d，解得d=−15，故D正确.
故选ACD．
【答案】
A,B
【考点】
点到直线的距离公式
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
【解析】
解：因为圆M与两坐标轴都相切，且点−2,1在该圆上，
所以可设圆M的方程为x+a2+y−a2=a2，
所以−2+a2+1−a2=a2，即a2−6a+5=0，
解得a=1或a=5．当圆心坐标为−1,1时，
圆的半径为1，所以圆心到直线3x−4y+10=0的距离为35<1；
当圆心坐标为−5,5时，圆的半径为5，
所以圆心到直线3x−4y+10=0的距离为255=5.
故选AB.
【解答】
解：因为圆M与两坐标轴都相切，且点−2,1在该圆上，
所以可设圆M的方程为x+a2+y−a2=a2，
所以−2+a2+1−a2=a2，即a2−6a+5=0，
解得a=1或a=5．当圆心坐标为−1,1时，
圆的半径为1，所以圆心到直线3x−4y+10=0的距离为35<1；
当圆心坐标为−5,5时，圆的半径为5，
所以圆心到直线3x−4y+10=0的距离为255=5.
故选AB.
三、填空题
【答案】
±6
【考点】
等比中项
【解析】
利用等比中项公式求解．
【解答】
解：4与9的等比中项G=±4×9=±6．
故答案为：±6．
【答案】
13
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
两条平行直线间的距离
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设两条平行线间的距离为d，
依题意可得4×−3=2m+1，得m=−7，
两条直线分别为2x−3y+4=0，2x−3y−9=0，
则d=4−−922+−32=13．
故答案为：13．
【答案】
−6
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
【解析】

【解答】
解：由 y=4−x2，得x2+y2=4y≥0，则函数y=4−x2的图象表示圆x2+y2=4在 y≥0的部分．当直线y=3x+m经过点2,0时，m取得最小值，且最小值为−6.
故答案为：−6．
【答案】
−∞,6
【考点】
数列递推式
数列与不等式的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当n≥2时，
an−an−1=2n−1+λ2n−2n−3+λ2n−1
=2−λ2n，
因为数列an为单调递增数列，
所以2−λ2n>0对n≥2n∈N∗恒成立，
即λ<2n+1对n≥2n∈N∗恒成立，
所以λ<8，a3=5+λ8<6，
故a3的取值范围为−∞,6.
故答案为：−∞,6.
四、解答题
【答案】
解：(1)因为l2的斜率k2=−12，
所以l1的斜率k1=−ab=−1k2=2，a=−2b．
又因为l1过点(3,2)，所以3a+2b−4=0，
所以a=2，b=−1，
故l1的方程为2x−y−4=0．
(2)因为l2在x轴上的截距为−2，
所以l1在x轴上的截距4a=−2，即a=−2．
因为l1的斜率−ab=3，所以b=−a3=23，
代入直线方程整理得y=3x+6，
故l1在y轴上的截距为6．
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
直线的斜截式方程
直线的一般式方程
【解析】


【解答】
解：(1)因为l2的斜率k2=−12，
所以l1的斜率k1=−ab=−1k2=2，a=−2b．
又因为l1过点(3,2)，所以3a+2b−4=0，
所以a=2，b=−1，
故l1的方程为2x−y−4=0．
(2)因为l2在x轴上的截距为−2，
所以l1在x轴上的截距4a=−2，即a=−2．
因为l1的斜率−ab=3，所以b=−a3=23，
代入直线方程整理得y=3x+6，
故l1在y轴上的截距为6．
【答案】
解：选①
因为an+1an=−12，a1=4，所以{an}是首项为4，公比为−12的等比数列，
所以an=4×−12n−1=−12n−3．
当n为奇数时，Sn=41−−12n1+12=831+12n，
因为831+12n随着n的增加而减少，所以此时Sn的最大值为S1=4，
当n为偶数时，Sn=831−12n，
且Sn=831−12n<83<4．
综上，Sn存在最大值，且最大值为4．
选②
因为an+1−an=−16，a1=4，所以{an}是首项为4，公差为−16的等差数列，
所以an=4+(n−1)−16=−16n+256．
由−16n+256≥0，得n≤25，
所以Sn存在最大值，且最大值为S25（或S24），
因为S25=25×4+25×242×−16=50，所以Sn的最大值为50，
选③
因为an+1=an+n−8，所以an+1−an=n−8，
所以a2−a1=−7，a3−a2=−6，⋯，an−an−1=n−9，
则an−a1=a2−a1+a3−a2+⋯+an−an−1
=−7+n−9n−12=n2−17n+162，
又a1=4，所以an=n2−17n+242．
当n≥16时，an>0，
故Sn不存在最大值．
【考点】
数列与函数最值问题
数列递推式
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】

【解答】
解：选①
因为an+1an=−12，a1=4，所以{an}是首项为4，公比为−12的等比数列，
所以an=4×−12n−1=−12n−3．
当n为奇数时，Sn=41−−12n1+12=831+12n，
因为831+12n随着n的增加而减少，所以此时Sn的最大值为S1=4，
当n为偶数时，Sn=831−12n，
且Sn=831−12n<83<4．
综上，Sn存在最大值，且最大值为4．
选②
因为an+1−an=−16，a1=4，所以{an}是首项为4，公差为−16的等差数列，
所以an=4+(n−1)−16=−16n+256．
由−16n+256≥0，得n≤25，
所以Sn存在最大值，且最大值为S25（或S24），
因为S25=25×4+25×242×−16=50，所以Sn的最大值为50，
选③
因为an+1=an+n−8，所以an+1−an=n−8，
所以a2−a1=−7，a3−a2=−6，⋯，an−an−1=n−9，
则an−a1=a2−a1+a3−a2+⋯+an−an−1
=−7+n−9n−12=n2−17n+162，
又a1=4，所以an=n2−17n+242．
当n≥16时，an>0，
故Sn不存在最大值．
【答案】
解：(1)圆M的圆心为−1,1，
半径为m．
依题意可得(−1,1)到l的距离d=|−15|5=3解得m＞9，即m的取值范围是(9,+∞) .
(2)因为l与M相交所得弦长为8，
所以m=822+32=25 .
因为(−1,1)到l′:x+y−4=0的距离d′=|−4|2=22，
所以直l′:x+y−4=0与M相交所得弦长为2m−d′2=217 .
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
直线和圆的方程的应用
【解析】


【解答】
解：(1)圆M的圆心为−1,1，
半径为m．
依题意可得(−1,1)到l的距离d=|−15|5=3解得m＞9，即m的取值范围是(9,+∞) .
(2)因为l与M相交所得弦长为8，
所以m=822+32=25 .
因为(−1,1)到l′:x+y−4=0的距离d′=|−4|2=22，
所以直l′:x+y−4=0与M相交所得弦长为2m−d′2=217 .
【答案】
解：(1)因为a1=1，a2=−4，
所以{an}的公比q=−4，
则{an}的通项公式为an=−4n−1．
又因为b1=1，b6=a3=16，
所以{bn}的公差d=16−16−1=3，
则{bn}的通项公式为bn=1+3n−1=3n−2．
(2)因为akbnbn+1=ak(3n−2)(3n+1)=ak313n−2−13n+1，
所以S21=ak3(1−14+14−17+⋯+161−164)
=ak31−164=2164ak．
因为ak=−4k−1，所以当k=5，7，9，⋯时，S21为正整数，
从而k的最小值为5，
此时S21=2164×44=84．
【考点】
等差数列的通项公式
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)因为a1=1，a2=−4，
所以{an}的公比q=−4，
则{an}的通项公式为an=−4n−1．
又因为b1=1，b6=a3=16，
所以{bn}的公差d=16−16−1=3，
则{bn}的通项公式为bn=1+3n−1=3n−2．
(2)因为akbnbn+1=ak(3n−2)(3n+1)=ak313n−2−13n+1，
所以S21=ak3(1−14+14−17+⋯+161−164)
=ak31−164=2164ak．
因为ak=−4k−1，所以当k=5，7，9，⋯时，S21为正整数，
从而k的最小值为5，
此时S21=2164×44=84．
【答案】
(1)证明：∵ 2anan+1+an+3an+1+2=0，
∴ 2(an+1)(an+1+1)+an+1−an=0，
∴ 2(an+1)(an+1+1)+(an+1+1)−(an+1)=0，
∴ 1an+1+1−1an+1=2，
∴ 数列{1an+1}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴ 1an+1=1+2n−1=2n−1，
∴ an=12n−1−1=2−2n2n−1．
(2)解：由题可知bn=(2n−1)×2n，
Sn=1×21+3×22+5×23+⋯+(2n−1)×2n，
2Sn=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n−1)×2n+1，
两式相减得−Sn=1×21+2×22+2×23+⋯+2×2n−(2n−1)×2n+1，
∴ Sn=2n+1(2n−3)+6，
∴ (−1)nλ若n为偶数，则λ∴ λ<38；
若n为奇数，则−λ∴ −λ<14，∴ λ>−14，
综上，−14<λ<38．
【考点】
等差数列的通项公式
等差关系的确定
数列的求和
函数恒成立问题
【解析】


【解答】
(1)证明：∵ 2anan+1+an+3an+1+2=0，
∴ 2(an+1)(an+1+1)+an+1−an=0，
∴ 2(an+1)(an+1+1)+(an+1+1)−(an+1)=0，
∴ 1an+1+1−1an+1=2，
∴ 数列{1an+1}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴ 1an+1=1+2n−1=2n−1，
∴ an=12n−1−1=2−2n2n−1．
(2)解：由题可知bn=(2n−1)×2n，
Sn=1×21+3×22+5×23+⋯+(2n−1)×2n，
2Sn=1×22+3×23+5×24+⋯+(2n−1)×2n+1，
两式相减得−Sn=1×21+2×22+2×23+⋯+2×2n−(2n−1)×2n+1，
∴ Sn=2n+1(2n−3)+6，
∴ (−1)nλ若n为偶数，则λ∴ λ<38；
若n为奇数，则−λ∴ −λ<14，∴ λ>−14，
综上，−14<λ<38．
【答案】
解：(1)由题意可得圆心C的坐标为−D2,−E2，
则−D2−2×−E2−2=0，①
因为圆C经过点P−1,7，
所以1+7−D+7E−12=0，②
联立①②，解得D=−4，E=0，
故圆C的一般方程是x2+y2−4x−12=0．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x2+y2−4x−12=0,y=kx+m,整理得k2+1x2+2km−2x+m2−12=0，
则x1+x2=−2(km−2)k2+1，x1x2=m2−12k2+1．
因为OA→⋅OB→=−12，
所以x1x2+y1y2=−12，
所以x1x2+kx1+mkx2+m=−12，
则k2+1x1x2+kmx1+x2+m2=−12，即2m2−12−2km(km−2)k2+1=−12，
整理得mm+2k=0.
因为m≠0，所以m=−2k，
所以直线l的方程为y=kx−2k=kx−2，
故直线l过定点2,0．
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m，
则Am,y，Bm,−y，
由(1)知，m2+y2−4m=−12，
从而OA→⋅OB→=m2−y2=2m2−4m−12=−12，
解得m=2，m=0（舍去）．
故直线l过点2,0．
综上，直线l过定点2,0．
【考点】
圆的一般方程
直线恒过定点
直线与圆的位置关系
【解析】


【解答】
解：(1)由题意可得圆心C的坐标为−D2,−E2，
则−D2−2×−E2−2=0，①
因为圆C经过点P−1,7，
所以1+7−D+7E−12=0，②
联立①②，解得D=−4，E=0，
故圆C的一般方程是x2+y2−4x−12=0．
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），Ax1,y1，Bx2,y2，
联立x2+y2−4x−12=0,y=kx+m,整理得k2+1x2+2km−2x+m2−12=0，
则x1+x2=−2(km−2)k2+1，x1x2=m2−12k2+1．
因为OA→⋅OB→=−12，
所以x1x2+y1y2=−12，
所以x1x2+kx1+mkx2+m=−12，
则k2+1x1x2+kmx1+x2+m2=−12，即2m2−12−2km(km−2)k2+1=−12，
整理得mm+2k=0.
因为m≠0，所以m=−2k，
所以直线l的方程为y=kx−2k=kx−2，
故直线l过定点2,0．
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x=m，
则Am,y，Bm,−y，
由(1)知，m2+y2−4m=−12，
从而OA→⋅OB→=m2−y2=2m2−4m−12=−12，
解得m=2，m=0（舍去）．
故直线l过点2,0．
综上，直线l过定点2,0．