2020-2021学年河北省张家口高二（下）期末考试数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年河北省张家口高二（下）期末考试数学试卷 (1)人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A=x|x2−2x−3≤0，B={x||x|≤2}，则A∩B=（ ）
A.x|−2≤x≤3B.x|−2≤x≤−1
C.x|−1≤x≤2D.x|−1≤x≤3

2. 已知命题p："∃x0∈R，x02+ax0+1>0”，则命题¬p为（ ）
A.∀x∉R，x2+ax+1>0B.∀x∈R，x2+ax+1>0
C.∀x∈R，x2+ax+1≤0D.∀x∈R，x2+ax+1<0

3. 已知 fx=3sinx+4csx，则f′(0)=（ ）
A.−3B.3C.−4D.4

4. 某高中学校高二和高三年级共有学生2400人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本，其中高一年级抽取25人，则高一年级学生人数为（ ）
A.1000B.800C.200D.600

5. 已知a∈R，则“a>3”是“1a<13”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6. 现有5名学生坐成一排，其中乙和甲相邻而坐，并且乙和丙也相邻而坐，则不同的坐法共有（ ）
A.18种B.16种C.14种D.12种

7. 函数fx=3x2ex+e−x的大致图象是（ ）
A.B.
C.D.

8. 已知函数fx为偶函数，且在−∞,0上是增函数，若a=f(lg217)，b=flg138，c=f0.30.2 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a
二、多选题

设 z1−i=2+i ，则下列叙述中正确的是（ ）
A.z的虚部为 −32
B.z=12−32i
C.|z|=102
D.在复平面内，复数z对应的点位于第四象限

在 x−1x6 的展开式中，下列叙述中正确的是（ ）
A.二项式系数之和为32B.各项系数之和为0
C.常数项为15D.x−3的系数为15

甲、乙两名学生在环保知识竞赛的6次成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A.甲的竞赛成绩的平均分比乙的竞赛成绩的平均分高
B.甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数
C.甲的竞赛成绩的众数为110
D.甲的竞赛成绩的方差小于乙的竞赛成绩的方差

已知函数 fx,∀x∈R，均有 f−x=fx,fx+2=fx−2，当 x∈2,4时，fx=12x2−4x+8，函数 gx=fx−a⋅|x|(a≠0)在R上至少有7个零点，则下列说法正确的是（ ）
A.fx是周期为2的偶函数B.当 x∈0,2时，fx=12x2
C.fx−x≤0 的解集为[0,+∞）D.a的取值范围是0,1
三、填空题

在某市举行的庆祝建党100周年学党史知识竞赛中，参赛人员成绩 X∼N90,σ2，已知P90
已知 a>0,b>0,a+9b=7 ，则 1a+4b的最小值为________．

盒中有6个大小、形状完全相同的小球，其中有3个红球、2个绿球、1个黄球．现从盒中随机取3个球，每次取1个，不放回．则取出的3个球中恰有1个红球、1个绿球、1个黄球的概率为________．

设函数 fx=lnxx，若∃x∈2,4，使得不等式aex−xfx≤x 成立，则实数a的取值范围是________．
四、解答题

某中学准备组织学科文化节活动，为调查学生是否愿意成为文化节志愿者，该中学在高二年级学生中随机选取了90人，进行了问卷调查，得到了如下2×2列联表：

(1)补全2×2列联表；

(2)是否有90%的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关？请说明理由．
参考公式：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ，其中 n=a+b+c+d．
参考数据：

已知函数 fx=x3−3x2+a ．
(1)若曲线 y=fx 的切线方程为 y=−3x，求a的值；

(2)若函数 fx在区间[−2,4]上的最大值为16，求a的值．

槲寄生是一种寄生在大树上部树枝的寄生植物，可以从寄主植物上吸取水分和无机物，进行光合作用制造养分．它喜欢寄生在树龄较小的大树上．下表给出了在一定条件下完成的实验中采集的数据：

(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系．请用相关系数r加以说明（精确到0.01）（|r|≥0.75，说明变量间的线性相关性很强；0.3≤|r|<0.75，说明变量间的线性相关性一般）；

(2)求出y关于x的线性回归方程（b精确到 0.01），并估算一棵树龄为12年的大树上，槲寄生的株数（精确到1）．
参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2i=1n(yi−y)2 ；线性回归方程 y=bx+a 中斜率
和截距的最小二乘估计公式：b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2，a=y−bx；
参考数据：i=15(xi−x)(yi−y)=−312.60，i=15xi−x2=328.80，i=15yi−y2=309.20，
101664.96≈318.85．

已知函数fx为定义在R上的奇函数，且当x<0时，fx=−3x2+2x−1．
(1)求 fx在R上的解析式；

(2)若 ∀x>0,y>0，都有 f(x2−axy+4y2)≥0，求实数a的取值范围．

随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准．零件加工精度受到机械加工工艺的影响，只有提高机械加工工艺水平，才能够尽可能地减少机械加工零件的失误．某制造工厂检测部门抽查了200个机械零件，将其直径长度（单位：毫米）作为样本，经统计得频率分布直方图如图所示．已知零件的直径长度在区间(98,104]内的为合格品，其他为不合格品．
(1)求样本中零件的直径长度在区间（96,98]内的零件个数；

(2)若从样本的不合格品中随机抽取2个零件，求恰有一个零件的直径长度在区间（104，106]内的概率；

(3)若将样本的频率视为概率，从生产线中随机抽取3个零件，记合格品的个数为X，求X的分布列、数学期望EX及方差DX．

已知函数 fx=12e2x+ex−aex+x,a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；

(2)若函数fx存在极值点x0，且 ∀x∈R,fx+a2−a≥2−2ln2 恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省张家口市高二（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ A=x|−1≤x≤3，B=x|−2≤x≤2，
∴ A∩B=x|−1≤x≤2.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
无
【解答】
解：根据特称命题的否定为全称命题可知，
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ f′x=3csx−4sinx，
∴ f′0=3．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
无
【解答】
解：因为高二和高三年级人数占总人数的34，
所以总人数为2400×43=3200，
所以高一人数为3200×14=800．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
无
【解答】
解：1a<13等价于a<0或a>3，
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
无
【解答】
解：A33×A22=12．
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：函数fx的定义域为R，f−x=3−x2e−x+ex=3x2ex+e−x=fx，
则函数fx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B；
f0=0，排除D；
f2=12e2+1e2>1，排除C，
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
指数式、对数式的综合比较
【解析】
无
【解答】
解：因为lg27>lg24=2，lg38lg33=1，0<0.30.2<0.30=1，
又a=f−lg27=flg27，b=f−lg38=flg38，c=f0.30.2，lg27>lg38>0.30.2，
所以c>b>a，
故选D．
二、多选题
【答案】
B,C
【考点】
复数的基本概念
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
【解析】z=2+i1−i=1+3i2，z的虚部为32，A错误；
z=12−32i，B正确；
|z|=102，C正确；
复数：对应的点为12,32，该点位于第一象限，D错误．
故选：B，C．
【解答】
解：z=2+i1−i=1+3i2，z的虚部为32，A错误；
z=12−32i，B正确；
|z|=102，C正确；
复数z对应的点为12,32，该点位于第一象限，D错误．
故选BC．
【答案】
B,C,D
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A．26=64，A错误；
B．令x=1得各项系数之和为0，B正确；
C．Tr+1=C6r(x)6−r−1xr=(−1)r⋅C6r⋅x3−3r2，令r=2，得T3=15，C正确；
D．令r=4，得T5=15x−3，D正确．
故选BCD.
【答案】
B,C,D
【考点】
茎叶图
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
【解析】由茎叶图中数据可得，x甲=16×101+110+110+111+112+122=111，
x乙=16×101+103+105+112+120+125=111，所以x甲=x乙，故A错误；
甲的竞赛成绩的中位数为110+1112=110.5，乙的竞赛成绩的中位数为105+1122=108.5，所以甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数，故B正确；
易知甲的竞赛成绩的众数为110，故C正确；
由茎叶图可知，甲的竞赛成绩更集中，故甲的竞赛成绩的方差小于乙竞赛成绩的方差，故D正确．
故选：BCD．
【解答】
解：由茎叶图中数据可得，x甲=16×101+110+110+111+112+122=111，
x乙=16×101+103+105+112+120+125=111，所以x甲=x乙，故A错误；
甲的竞赛成绩的中位数为110+1112=110.5，乙的竞赛成绩的中位数为105+1122=108.5，
所以甲的竞赛成绩的中位数大于乙的竞赛成绩的中位数，故B正确；
易知甲的竞赛成绩的众数为110，故C正确；
由茎叶图可知，甲的竞赛成绩更集中，故甲的竞赛成绩的方差小于乙竞赛成绩的方差，故D正确．
故选BCD．
【答案】
B,C
【考点】
函数的周期性
抽象函数及其应用
函数的对称性
函数的零点
【解析】
【解析】因为f−x=fx，所以fx是定义域为R的偶函数，由fx+2=fx−2，得fx+4=fx，则fx是周期为4的偶函数，故A错误；
fx+4=f−x，故函数fx的图象关于x=2对称，当x∈2,4时，fx=12x−42，则x∈0,2时，4−x∈2,4,fx=f4−x=124−x−42=12x2，故B正确；
函数fx的图象如图所示，当x≤0时，fx≥x，当x≥0时，fx≤x，则fx−x≤0的解集为[0,+∞），故C正确；
函数gx=fx−a⋅|x|在R上至少有7个零点，0为函数gx的零点，且gx为偶函数，则 gx在0,+∞上至少有3个零点，即函数fx与ℎx=a⋅x的图象在0,+∞上至少有3个交点，如图所示，可得a>0,ℎ6≤f6，即a⋅6≤2，则0故选：BC．
【解答】
解：因为f−x=fx，所以fx是定义域为R的偶函数，
由fx+2=fx−2，得fx+4=fx，则fx是周期为4的偶函数，故A错误；
fx+4=f−x，故函数fx的图象关于x=2对称，当x∈2,4时，fx=12x−42，
则x∈0,2时，4−x∈2,4,fx=f4−x=124−x−42=12x2，故B正确；
函数fx的图象如图所示，
当x≤0时，fx≥x，当x≥0时，fx≤x，则fx−x≤0的解集为[0,+∞），故C正确；
函数gx=fx−a⋅|x|在R上至少有7个零点，0为函数gx的零点，且gx为偶函数，则 gx在0,+∞上至少有3个零点，即函数fx与ℎx=a⋅x的图象在0,+∞上至少有3个交点，如图所示，可得a>0,ℎ6≤f6，即a⋅6≤2，则0故选BC．
三、填空题
【答案】
0.65
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
【解析】∵ PX≥95=0.5−0.15=0.35，
∴ PX>85=1−PX≥95=1−0.35=0.65．
故答案为：0.65．
【解答】
解：∵ PX≥95=0.5−0.15=0.35，
∴ PX>85=1−PX≥95=1−0.35=0.65．
故答案为：0.65．
【答案】
7
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解析】1a+4b=1a+4ba+9b7=1737+9ba+4ab≥7，当且仅当9ba=4ab，即a=1,b=23时取等号．
故答案为：7．
【解答】
解：1a+4b=1a+4ba+9b7=1737+9ba+4ab≥7，
当且仅当9ba=4ab，即a=1,b=23时取等号．
故答案为：7．
【答案】
310
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
无
【解答】
解：P=C31C21C11C63=620=310．
故答案为：310．
【答案】
−∞,ln2+2e2
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
【解答】
解：将aex−xfx≤x化为a≤lnx+xex=ℎx，
则ℎ′x=1x+1−lnx−xex．
设gx=1x+1−lnx−x，
易知gx在2,4上单调递减，gx≤g2=−ln2−12<0，
则ℎ′x<0，ℎx在2,4上单调递减，
则a≤ℎxmax=ℎ2=ln2+2e2，
故实数a的取值范围是−∞,ln2+2e2．
故答案为：−∞,ln2+2e2．
四、解答题
【答案】
解：(1)补全2×2列联表如下：
(2)K2=90×(28×23−17×22)245×45×50×40=1.62．
因为1.62<2.706，
所以没有90%的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关．
【考点】
独立性检验
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)补全2×2列联表如下：
(2)K2=90×(28×23−17×22)245×45×50×40=1.62．
因为1.62<2.706，
所以没有90%的把握认为是否愿意成为志愿者与性别有关．
【答案】
解：（1）由f′x=3x2−6x=−3，得x=1，
∴ 切点为1,a−2，∴ a−2=−3，∴ a=−1 ．
(2)f′x=3xx−2，令f′x>0，得x>2或x<0，
令f′x<0，得0∴ fx在−2,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递增．
又f0=a,f4=16+a，
∴ fxmax=16+a=16，∴ a=0．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由f′x=3x2−6x=−3，得x=1，
∴ 切点为1,a−2，∴ a−2=−3，∴ a=−1 ．
(2)f′x=3xx−2，令f′x>0，得x>2或x<0，
令f′x<0，得0∴ fx在−2,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2,4上单调递增．
又f0=a,f4=16+a，
∴ fxmax=16+a=16，∴ a=0．
【答案】
解：(1)相关系数r=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2i=15(yi−y)2=−×309.20≈−≈−0.98．
∵ |r|>0.75，
∴ y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)∵ x=3+4+9+15+255=11.20，y=25+23+16+10+45=15.60，
∴ b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=−≈0.95，
a=y−bx≈15.60+0.95×11.20=26.24，
故线性回归方程为y=−0.95x+26.24．
当x=12时，y=−0.95×12+26.24=14.84≈15，
则估计一棵树龄为12年的大树上，槲寄生的株数为15．
【考点】
相关系数的求法
求解线性回归方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)相关系数r=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2i=15(yi−y)2=−×309.20≈−≈−0.98．
∵ |r|>0.75，
∴ y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)∵ x=3+4+9+15+255=11.20，y=25+23+16+10+45=15.60，
∴ b=i=15xi−xyi−yi=15xi−x2=−≈0.95，
a=y−bx≈15.60+0.95×11.20=26.24，
故线性回归方程为y=−0.95x+26.24．
当x=12时，y=−0.95×12+26.24=14.84≈15，
则估计一棵树龄为12年的大树上，槲寄生的株数为15．
【答案】
解：（1）当x=0时，f0=0．
当x>0时，−x<0,f−x=−3x2−2x−1=−fx，
∴ fx=3x2+2x+1．
∴ fx=3x2+2x+1,x>0,0,x=0,−3x2+2x−1,x<0.
（2）∵ x>0时，fx=3x2+2x+1，对称轴为直线x=−13，开口向上，
∴ 函数fx在0,+∞上为增函数．
又x=0时，3x2+2x+1=1>0，
∴ 函数fx在R上为增函数．
∵ f0=0，∴ fx2−axy+4y2≥f0，
∴ x2−axy+4y2≥0，即x2+4y2≥axy,a≤x2+4y2xy．
又x2+4y2xy=xy+4yx≥4，当且仅当xy=4yx，即x=2y时，取“=”，
∴ a≤4．
故实数a的取值范围为（−∞,4]．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）当x=0时，f0=0．
当x>0时，−x<0,f−x=−3x2−2x−1=−fx，
∴ fx=3x2+2x+1．
∴ fx=3x2+2x+1,x>0,0,x=0,−3x2+2x−1,x<0.
（2）∵ x>0时，fx=3x2+2x+1，对称轴为直线x=−13，开口向上，
∴ 函数fx在0,+∞上为增函数．
又x=0时，3x2+2x+1=1>0，
∴ 函数fx在R上为增函数．
∵ f0=0，∴ fx2−axy+4y2≥f0，
∴ x2−axy+4y2≥0，即x2+4y2≥axy,a≤x2+4y2xy．
又x2+4y2xy=xy+4yx≥4，当且仅当xy=4yx，即x=2y时，取“=”，
∴ a≤4．
故实数a的取值范围为（−∞,4]．
【答案】
解：（1）由频率分布直方图，知0.01+a+0.10+0.13+0.17×2=1，解得a=0.09，
则样本中零件的直径长度在区间(96,98]内的零件个数为0.09×2×200=36 ．
（2）样本中零件的直径长度在区间(104,106]内的零件个数为0.01×2×200=4，不合格品共40个，则恰有一个零件的直径长度在区间(104,106]内的概率为C361C41C402=1265 ．
（3）由频率分布直方图知，零件的直径长度在区间98,104内的频率为0.10+0.13+0.17×2=45，将其视为合格品的概率，从生产线中随机抽取3个零件，易知X∼B3,45 ．
X的所有可能取值为0，1，2，3．
PX=0=C30153=1125,PX=1=C31451152=12125,
PX=2=C32452151=48125,PX=3=C33453=64125，
∴ X的分布列为
EX=3×45=125,DX=3×45×15=1225．
【考点】
频率分布直方图
古典概型及其概率计算公式
排列、组合及简单计数问题
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）由频率分布直方图，知0.01+a+0.10+0.13+0.17×2=1，解得a=0.09，
则样本中零件的直径长度在区间(96,98]内的零件个数为0.09×2×200=36 ．
（2）样本中零件的直径长度在区间(104,106]内的零件个数为0.01×2×200=4，不合格品共40个，则恰有一个零件的直径长度在区间(104,106]内的概率为C361C41C402=1265 ．
（3）由频率分布直方图知，零件的直径长度在区间98,104内的频率为0.10+0.13+0.17×2=45，将其视为合格品的概率，从生产线中随机抽取3个零件，易知X∼B3,45 ．
X的所有可能取值为0，1，2，3．
PX=0=C30153=1125,PX=1=C31451152=12125,
PX=2=C32452151=48125,PX=3=C33453=64125，
∴ X的分布列为
EX=3×45=125,DX=3×45×15=1225．
【答案】
解：（1）fx的定义域为R，f′x=e2x+1−aex−a=ex+1ex−a，
当a≤0时，f′x>0恒成立，则fx在R上单调递增；
当a>0时，令f′x=0，得x=lna，当x∈−∞,lna时，f′x<0,fx单调递减；
当x∈lna,+∞时，f′x>0,fx单调递增．
综上所述，当a≤0时，fx在R上单调递增；当a>0时，fx在lna,+∞上单调递增，在−∞,lna上单调递减．
（2）若函数fx存在极值点x0，由（1）知a>0，且x0=lna,fxmin=fx0=flna，则有
flna+a2−a≥2−2ln2，即12a2+a−aa+lna+a2−a≥2−2ln2，
化简得12a2−alna≥2−2ln2.
设gx=12x2−xlnxx>0，则g′x=x−lnx−1．
设mx=x−lnx−1，则m′x=1−1x=x−1x，易知mx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故mx≥m1=0，故g′x≥0，则gx在0,+∞上单调递增．
又因为g2=2−2ln2，则ga≥g2，解得a≥2，
即a的取值范围是[2,+∞）．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）fx的定义域为R，f′x=e2x+1−aex−a=ex+1ex−a，
当a≤0时，f′x>0恒成立，则fx在R上单调递增；
当a>0时，令f′x=0，得x=lna，当x∈−∞,lna时，f′x<0,fx单调递减；
当x∈lna,+∞时，f′x>0,fx单调递增．
综上所述，当a≤0时，fx在R上单调递增；当a>0时，fx在lna,+∞上单调递增，在−∞,lna上单调递减．
（2）若函数fx存在极值点x0，由（1）知a>0，且x0=lna,fxmin=fx0=flna，则有
flna+a2−a≥2−2ln2，即12a2+a−aa+lna+a2−a≥2−2ln2，
化简得12a2−alna≥2−2ln2.
设gx=12x2−xlnxx>0，则g′x=x−lnx−1．
设mx=x−lnx−1，则m′x=1−1x=x−1x，易知mx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，故mx≥m1=0，故g′x≥0，则gx在0,+∞上单调递增．
又因为g2=2−2ln2，则ga≥g2，解得a≥2，
即a的取值范围是[2,+∞）．愿意成为志愿者
不愿意成为志愿者
总计
男
50
女
17
总计
45
PK2≥k0
0.25
0.15
0.10
0.05
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
愿意成为志愿者
不愿意成为志愿者
总计
男
28
22
50
女
17
23
40
总计
45
45
90
愿意成为志愿者
不愿意成为志愿者
总计
男
28
22
50
女
17
23
40
总计
45
45
90
X
0
1
2
3
P
1125
12125
48125
64125
X
0
1
2
3
P
1125
12125
48125
64125