初中数学北师大版八年级上册第五章 二元一次方程组综合与测试课堂检测

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．小亮解方程组，的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和☆，则这两个数分别为（ ）
A．4和 - 6B．- 6和4C．- 2和8D．8和 – 2
【答案】D
【分析】
根据方程的解的定义，把x=5代入2x−y=12，求得y的值，进而求出▲的值，即可得到答案．
【详解】
解：∵方程组 的解为 ，
∴把x=5代入2x−y=12，
得：2×5−y=12，解得：y=-2，
把x=5，y=-2代入2x+y=▲，
得：2×5+(−2)=▲，即：▲=8，
∴这两个数分别为：8和﹣2．
故选D．
【】
本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解满足各个方程，是解题的关键．
2．由，可以得到用表示的式子是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
把-3x从方程的左边改变符号后移到方程的右边即可．
【详解】
解：∵，
∴，
故选：A
【】
本题考查了解二元一次方程，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的基础
3．用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用代入消元法将方程组变形得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：用代入法解方程组时，将方程①代入方程②正确的是，
去括号得：，
故选：．
【】
本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．将代入的可得（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
将代入，再进行整理，即可得到答案．
【详解】
解：将代入，得：，即
故选D．
【】
本题考查的是二元一次方程的解法，先将已知代入方程得出一个关于x的方程，运用代入法是解二元一次方程常用的方法．
5．下列各组x，y的值中，是方程2x+y＝4的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
将四个选项分别代入方程，能使方程成立的即是方程的解．反之，则不是方程的解．
【详解】
解：A、2×2＋1＝5，故选项A不符合题意；
B、2×1＋2＝4，故选项B符合题意；
C、−1×2＋2＝0，故选项C不符合题意；
D、2×2-1＝3，故选项D不符合题意，
故选：B．
【】
本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，若不满足，则不是方程的解．
6．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
利用二元一次方程的定义判断即可．
【详解】
解：、不是整式方程，不符合题意；
、是二元二次方程，不符合题意；
、是一元一次方程，不符合题意；
、是二元一次方程，符合题意．
故选：D．
【】
此题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数且最高项的次数为1的等式是二元一次方程．
7．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点与点重合∠B′EA比∠B′EC大48°，设∠B′EA与∠B′EC的度数分别为x°，y°，则可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据题意以及折叠的性质，平角的定义，列出二元一次方程组即可解决问题．
【详解】
折叠，
，
，
即，
∠B′EA比∠B′EC大48°，
可列方程组为
故选B
【】
本题考查了二元一次方程组的应用，折叠的性质，平角的定义，找到等量关系列出方程组是解题的关键．
8．若一次函数y＝（m﹣3）x+5的图象经过点（1，2），则m的值为（ ）
A．m＝0B．m＝4C．m＝1D．m＝2
【答案】A
【分析】
将点（1，2）代入解析式求出m的值即可．
【详解】
解：将点（1，2）代入y＝（m﹣3）x+5得：
2＝（m﹣3）+5，
解得：m＝0，
故选：A．
【】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
9．疫情期间，铁路、公路等部门担负着物资运输的重要任务，运输360吨疫情物资，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨疫情物资，装载了8节火车车厢和10辆汽车，则10节火车车厢和20辆汽车能运输多少吨疫情物资？（ ）．
A．720B．860C．1100D．580
【答案】D
【分析】
设1节火车车厢和1辆汽车分别运吨物资，根据题意列二元一次方程组，再将方程组的解代入即可求得．
【详解】
设1节火车车厢和1辆汽车分别运吨物资，根据题意得：
，
解得，
．
故选D．
【】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列方程组是解题的关键．
10．若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可．
【详解】
解：根据题意，联立方程组，
解得：，
则两直线交点坐标为，，
两直线交点在第一象限，
，
解得：,
故选：C．
【】
本题考查了两直线相交的问题，解二元一次方程组和一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了道题，“一百马，一百瓦，大马一拖三，小马三拖一，大马小马各几何？”（大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马拉片瓦，匹小马拉片瓦，问大马和小马各多少匹？）若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为________．
【答案】
【分析】
根据“匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马拉片瓦，匹小马拉片瓦，”即可列出方程．
【详解】
解：设大马有匹，小马有匹，根据题意得：．
故答案为：．
【】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，找到数量关系是解题的关键．
12．写出方程x+3y＝11的一个整数解___．
【答案】（答案不唯一，x+3y=11即可）
【分析】
先给 一个整数值，再确定的值即可．
【详解】
解：当 时，有 ，
解得： ，
∴是方程x+3y＝11的一个整数解；
当 时，有，
解得： ，
∴是方程x+3y＝11的一个整数解；

由于二元一次方程有无数个整数解，
所以答案不唯一，
故答案为：（答案不唯一，x+3y=11即可）．
【】
本题考查了二元一次方程的解，先给出未知数的一个整数值，再确定另一个的值是解题的关键．
13．已知是方程组的解，则直线y＝2x+1与直线y＝3x﹣1的交点坐标是________．
【答案】(2，5)
【分析】
根据二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点即可求出答案．
【详解】
解：∵是方程组的解，
∴直线y＝2x+1与直线y＝3x﹣1的交点坐标是（2，5），
故答案为：（2，5）．
【】
本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，掌握二者之间的关系是关键．
14．如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个相同的矩形，长方形ABCD的面积为________cm2．
【答案】280
【分析】
由题意可知本题存在两个等量关系，即小长方形长的4倍+小长方形宽的7倍＝68cm，小长方形的长的2倍＝小长方形宽的5倍，根据这两个等量关系可列出方程组，进而求出小长方形的长与宽，最后求得大长方形的长与宽，最后求得长方形ABCD的面积．
【详解】
解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，
则可列方程组，
解得
则长方形ABCD的面积＝2x×（x+y）＝2×10×（10+4）＝280cm2
故答案： 280．
【】
解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．
15．根据以下对话，可以求得嫒嫒所买的笔和笔记本的价格分别是_____．
【答案】1.2元、3.6元
【分析】
设所买笔的价格为x元，所买的笔记本的价格为y元，根据“5支笔和10本笔记本花了42元钱，10支笔和5本笔记本花了30元钱”列方程组解决问题．
【详解】
解：设笔的单价为x元/支，笔记本单件为y元/本，
根据题意，得：
，
解得：，
∴笔的单价为1.2元/支，笔记本单件为3.6元/本，
故答案为：1.2元、3.6元．
【】
此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
16．若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式______．
【答案】或
【分析】
根据二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1．
【详解】
解：若方程组是关于x，y的二元一次方程组，
则c＋3＝0，a−2＝1，b＋3＝1，
解得c＝−3，a＝3，b＝−2．
所以代数式a＋b＋c的值是−2．
或c＋3＝0，a−2＝0，b＋3＝1，
解得c＝−3，a＝2，b＝−2．
所以代数式a＋b＋c的值是−3．
综上所述，代数式a＋b＋c的值是−2或−3．
故答案为：−2或−3．
【】
本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
17．附中文化源远流长，潜移默化．学校通过推出的“你的名字，我的记忆”校园文创产品的设计活动，给学子们提供了施展自己才华的平台，经过选拔评比，学校拟推出A、B、C三款校园文创产品，并以零售和礼盒两种形式销售（各产品的零售单价均为正整数，礼盒售价为各产品零售价之和）．其中甲礼盒含有3件A产品，2件B产品，2件C产品，乙礼盒含有4件A产品，1件B产品，1件C产品，丙礼盒含有2件A产品，4件B产品，1件C产品．甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，并且A产品的单价不超过10元．则A产品与B产品的单价之比为______．
【答案】2：3
【分析】
先设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，乙礼盒的售价为：4a+b+c，丙礼盒的售价为：2a+4b+c；利用甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，列出三元一次方程组，化简得到a关于c的关系式，然后利用A产品的单价不超过10元，各产品的零售单价均为正整数，得到c，a的值，进而利用﹣a+b+c＝11求得b的值，则结论可求．
【详解】
解：设A款校园文创产品的单价为a元，B款校园文创产品的单价为b元，C款校园文创产品的单价为c元，
则甲礼盒的售价为：3a+2b+2c，
乙礼盒的售价为：4a+b+c，
丙礼盒的售价为：2a+4b+c．
∵甲礼盒的售价比乙礼盒多11元，甲礼盒的售价比丙礼盒售价的2倍少80元，
∴．
化简得：，
∴a＝c+2．
∵a≤10，a，b，c均为正整数，
∴c＝7，a＝8符合题意．
∴b＝11+a﹣c＝12．
∴A产品与B产品的单价之比为8：12＝2：3．
故答案为：2：3．
【】
本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式．依据题干中的等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．用适当方法解下列方程组．
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用代入消元法进行求解；
（2）利用代入消元法进行求解．
【详解】
解：（1），
将①代入②中得：，
解得：，
将代入①中得：，
，
（2），
由②整理得：，
将代入①中得：，
解得：，
将代入②得：，
．
【】
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法进行求解．
19．已知x、y满足，且﹣3n2的立方根与x+y互为相反数．
（1）求x、y的值；
（2）求n的值．
【答案】（1）；（2）n＝±3
【分析】
（1）根据非负数的性质可得关于x、y的方程组，求解可得其值；
（2）根据相反数的概念可得答案．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∴；
（2）由（1）得x+y＝3，
∵﹣3n2的立方根与x+y互为相反数，
∴+3＝0，
∴＝﹣3，
∴﹣3n2＝﹣27，
∴n2＝9，
∴n＝±3．
【】
本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，立方根，平方根和相反数，解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+5与y轴交于点A．直线l2：y＝﹣x+1与直线l1交于点B，与y轴交于点C．
（1）当点B的纵坐标为2时，①写出点B的坐标及k的值；②求直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积；
（2）当点B的横坐标XB，满足﹣3≤XB≤﹣1时，求实数k的取值范围．
【答案】（1）①（-1，2），k=3；②2；（2）；
【分析】
（1）①将y=2代入直线l2：y=-x+1，求出x，得到点B的坐标；把B点坐标代入直线l1：y=kx+5，即可求出k的值；
②根据直线l1的解析式，求出A（0，5），根据直线l2的解析式，求出C（0，1）．利用三角形面积公式即可求出S△ABC；
（2）将两条直线的解析式联立得到方程组，解方程组求出点B的坐标，根据点B的横坐标xB满足-3≤xB≤-1，分别计算xB=-3与xB=-1时k的值，即可得到实数k的取值范围．
【详解】
解：（1）①∵直线l2：y=-x+1过点B，点B的纵坐标为2，
∴-x+1=2，解得x=-1，
∴点B的坐标为（-1，2）．
∵直线l1：y=kx+5过点B，
∴2=-k+5，解得k=3；
②∵k=3，
∴直线l1的解析式为：y=3x+5，
∴A（0，5）．
∵直线l2的解析式为：y=-x+1，
∴C（0，1）．
∴AC=5-1=4，
∴直线l1，l2与y轴所围成的图形的面积S△ABC=×4×1=2；
（2）解方程组，解得：，
∴点B的坐标为，
∵点B的横坐标xB满足-3≤xB≤-1，
∴当xB=-3时，，解得，
当xB=-1时，，解得k=3，
∴实数k的取值范围是．
【】
本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
【答案】（1）每头牛3两银子，每头羊2两银子；（2）共有三种购买方法：方案一：购买2头牛，7头羊；方案二：购买4头牛，4头羊；方案三：购买6头牛，1头羊
【分析】
（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买a头牛，b只羊，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】
解：（1）设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得
解得
答：每头牛3两银子，每头羊2两银子．（含设）
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
∵a、b均为正整数
∴该方程的解为或或
所以共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，7头羊；
方案二：购买4头牛，4头羊；
方案三：购买6头牛，1头羊．
【】
本题考查了二元一次方程组的应用、数学常识以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
22．为迎接“创城活动”，某市环卫局准备购买，两种型号的垃圾箱，买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；买1个型垃圾箱和2个型垃圾箱共需元．
（1）每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元?
（2）需购买，两种型号的垃圾箱共30个，其中型垃圾箱不超过16个，求购买垃圾箱的总费用（元）与：型垃圾箱（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元?
【答案】（1）每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；（2），总费用至少要元
【分析】
（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元，购买1个A型垃圾箱比购买2个B型垃圾箱少用110元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买x个A型垃圾箱，则购买（30-x）个B型垃圾箱，根据总价=单价×购进数量，即可得出w关于x的函数关系式；利用一次函数的性质解决最值问题．
【详解】
解：（1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元．
根据题意，得
解得
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元．
（2）①
，
随的增大而减小．
，
∴当时，．
∴总费用至少要元．
【】
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质求函数的最值．
23．如图，在平面直角坐标系中，长方形的边，，过点B的直线与x轴交于点P．
（1）求直线的解析式
（2）连接，设直线交y轴于点M，求的面积．
【答案】（1）；（2）8．
【分析】
（1）先解得点，再利用待定系数法解题；
（2）分别求得与两坐标轴的交点，再根据三角形面积公式解题．
【详解】
解：（1）∵，
∴
∵直线过点，
∴，解得
∴直线的解析式是
（2）在中，令，得；
令，得
∴，
∴，
∴．
答：的面积是8．
【】
本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．近日天气晴朗，某集团公司准备组织全体员工外出踏青．决定租用甲、乙、丙三种型号的巴士出行，甲型巴士每辆车的乘载量是乙型巴士的2倍，丙型巴士每辆可乘坐42人．现在旅游公司有甲、乙、丙型巴士若干辆，预计该集团公司安排甲型、丙型巴士共计12辆，其余员工安排乙型巴士，每辆巴士均满载，这样乘坐乙型巴士和丙型巴士的员工共498人．临行前，突然有若干人因特殊原因请假，这样一来刚好可以减少租用一辆乙型巴士，且有辆乙型巴士多出3个空位，这样甲、乙两种型号巴士共计装载267人，则该集团公司共有__________名员工．
【答案】678
【分析】
设甲型巴士a辆，乙型巴士b辆，丙型巴士（12−a）辆，乙型巴士乘载量为x人，由题意列出方程，由整数解的思想可求解．
【详解】
解：设甲型巴士a辆，乙型巴士b辆，丙型巴士（12−a）辆，乙型巴士乘载量为x人，
由题意可得：，
解得：x＝，
∵1≤a≤11，且a为整数，
∴，
∴b＝4，
∴总人数＝3×60＋4×30＋42×9＝678（人），
故答案为：678．
【】
本题考查了二元一次方程组的应用，利用整数解的思想解决问题是本题的关键．
25．对于平面直角坐标系中的点P（a，b），若点P'的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k属派生点”．例如：P（1，4）的“2属派生点”为P'（1+2×4，2×1+4），即P'（9，6）．
（1）若点P的“3属派生点”P'的坐标为（6，2），求点P的坐标；
（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P'点，且线段PP'的长度为线段OP长度的2倍，求k的值；
（3）如图，已知点A（0，2），点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，以线段AP为一边，在其一侧作如图所示等边三角线APQ．现P点沿x轴运动，当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．问三角形ABQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）点P的坐标为（0，2）；（2）k=±2；（3）△ABQ的面积是定值．S△ABQ=6．
【分析】
（1）设点P的坐标为（x、y），根据“k属派生点”定义及P′的坐标列出关于x、y的方程组，解之可得；
（2）先得出点P′的坐标为（a，ka），由线段PP′的长度为线段OP长度的2倍列出方程，解之可得．
（3）首先确定等P的坐标，证明△PAO≌△QAB（SAS），推出∠AOP＝∠ABQ＝90°，PO＝BQ即可解决问题．
【详解】
（1）设点P的坐标为（x、y），
由题意知，，解得： ，
即点P的坐标为（0，2）．
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
∴b=0，a＞0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka）
∴线段PP′的长为P′到x轴距离为|ka|．
∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a，
∴|ka|=2a，即|k|=2，
∴k=±2．
（3）结论：△ABQ的面积是定值．
理由：∵点P是x轴上一点，且是点（2，4）的“k属派生点”，
∴P（2+4k，2k+4），
∴2k+4=0，
∴k=-2，
∴P（-6，0），
∴OP=6，
∵△APQ，△AOB都是等边三角形，
∴∠OAB=∠PAQ=60°，AB=AO=2，AP=AQ，
∴∠PAO=∠QAB，
∴△PAO≌△QAB（SAS），
∴∠AOP=∠ABQ=90°，PO=BQ，
∵S△ABQ=•AB•BQ=×2×6=6，
∴△ABQ的面积是定值．
【】
本题属于三角形综合题，主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．