数学选择性必修 第二册4.2 等差数列教案设计

这是一份数学选择性必修 第二册4.2 等差数列教案设计，共14页。教案主要包含了学习目标，学习策略，要点梳理，典型例题，思路点拨等内容，欢迎下载使用。
1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系；
2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题.
3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
【学习策略】
数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点.
注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前项和公式中，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量.
【要点梳理】
要点一：等差数列的定义
文字语言形式
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.
要点诠释：
⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）；
符号语言形式
对于数列，若(，，为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差.
要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关.
等差中项
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即.
要点诠释：
①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数. 任意两实数a，b的等差中项存在且唯一.
②三个数，，成等差数列的充要条件是.
要点二：等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
首相为，公差为的等差数列的通项公式为：
推导过程：
（1）归纳法：
根据等差数列定义可得：，
∴，
，
，
……
当n=1时，上式也成立
∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）.
（2）叠加法：
根据等差数列定义，有：
，
，
，
…
把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得，
∴.
(3)迭代法：
∴.
要点诠释：
①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了.
②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.
等差数列通项公式的推广
已知等差数列中，第项为，公差为，则：
证明：∵，
∴
∴
由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况.
要点三：等差数列的性质
等差数列中，公差为，则
①若，且，则，
特别地，当时.
②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为.
③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列.
④仍是等差数列.
⑤数列（为非零常数）也是等差数列.
要点四：等差数列的前项和公式
等差数列的前项和公式
公式一：
证明：倒序相加法
①
②
①+②：
∵
∴
由此得：
公式二：

证明：将代入可得：
要点诠释：
①倒序相加是数列求和的重要方法之一.
②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
要点五：等差数列的前项和的有关性质
等差数列中，公差为，则
①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为.
= 2 \* GB3 ②若项数为2n，则，，
③若项数为2n-1，则，，，，
要点六：等差数列中的函数关系
等差数列的通项公式是关于的一次函数(或常数函数)
等差数列中，，令，则：
（，是常数且为公差）
（1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
（2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点.
①当时，一次函数单调增，为递增数列；
= 2 \* GB3 ②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列.
等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数）
由，令，，则：
（，为常数）
（1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点.
（2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点.
= 1 \* GB3 ①当时有最小值
= 2 \* GB3 ②当时，有最大值
要点诠释：
1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数.
2. （，是常数）是数列成等差数列的充要条件.
3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数.
4. (其中，为常数)是数列成等差数列的充要条件.
【典型例题】
类型一：等差数列的定义
例1. -401是不是等差数列……的项？如果是，是第几项？
【思路点拨】要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数值，使得等于这一数.
【解析】 由 得
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得：
成立
解得：即是这个数列的第100项.
【变式1】－20是不是等差数列0，，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
【答案】由题意可知：，，∴此数列的通项公式为：，
令，解得，所以－20不是这个数列的项.
【变式2】求集合的元素的个数，并求这些元素的和.
【答案】∵， ∴， ∵，∴中有14个元素符合条件，
又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即，，，
∴.
例2. 已知成等差数列，求证：也成等差数列.
证法一：∵成等差数列，∴即
∵
=
∴成等差数列.
证法二：∵成等差数列，∴成等差数列，
即成等差数列.
∴成等差数列.
【变式1】已知数列的通项公式为这个数列是等差数列吗？
【答案】因为时，
所以数列是等差数列，且公差为3.
【变式2】已知数列中，，（），求证：是等差数列.
证明：∵，∴
∴，∴是公差为的等差数列.
类型二：等差数列通项公式的应用
例3．已知等差数列中，，，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由.
【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量的问题，列出的方程组.
【解析】
方法一：由通项公式得：，解得，
∴（，），
∴，解得.
方法二：由等差数列性质，得，即，解得，
∴， ∴，解得.
方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点，
∵点、、在同一条直线上，
∴ ，解得.
【变式1】在等差数列中，已知求首项与公差.
【答案】由 解得；
【变式2】等差数列中， ， ， ，求的值.
【答案】6或-2
由题意得
即，解得：或.
【变式3】已知单调递增的等差数列的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
【答案】
方法一：根据题意，设等差数列的前三项分别为，则
因为数列为单调递增数列，因此，.
∴等差数列的通项公式为.
方法二：由于数列为等差数列，因此可设前三项分别为，于是
.
由于数列为单调递增数列，因此，从而
∴.
类型三：活用等差数列的性质解题
例4. 已知等差数列中，若，，求的通项公式.
【思路点拨】可以直接列方程组求解和；同时留意到脚标，可以用性质：当时解题.
【解析】∵，∴即，
代入已知，有，解得或，
当，时，，∴；
当，时，， ∴.
【变式1】在等差数列中，，则=
【答案】9
【变式2】在等差数列中，，则=
【答案】10
【变式3】在等差数列中，若，， 则= ， =
【答案】∵，，∴，
∴，∴.
类型四：前n项和公式及性质的运用
例5．等差数列前项和为30，前2项和为100，求它的前3项和.
【思路点拨】利用等差数列的前n项和公式求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（）等知识求解.
【解析】
方法一：利用等差数列的前n项和公式求解.
由已知得，解得，
∴.
方法二：利用等差数列前n项和公式及性质，则求解.
由已知得
由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4)， 得.
方法三：根据性质：“已知成等差数列，则……，，……成等差数列”解题.
由上述性质，知成等差数列.
∴，
∴.
方法四：由的变形式解题，由上式知，
∴数列也成等差数列，即成等差数列，
∵ ，又，
∴.
方法五：∵为等差数列， ∴设
∴， 得，
∴.
【变式1】等差数列中，若， 则= .
【答案】比较对应项可知后一段中每一项总比前段每一项多5d，故后一段和比前一段和多25d，故三段依然构成等差数列，故由等差中项公式可知:a11+a12+a13+a14+a15=2×80-30=130.
【变式2】等差数列中，，且， 则=_________.
【答案】
方法一：数列{an}成等差数列的充要条件是（其中为常数），
故有
(2)-(1)得，
∵， ∴，
∴.
方法二:
从等差数列去认识它是函数图象上的点.
∵，∴函数图象对称轴为，
故.
【变式3】等差数列前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和.
【答案】
方法一：
由已知，得，解得，，
∴.
方法二：
等差数列中，，，…构成新的等差数列，
∴， ∴.
方法三：等差数列中，设，则
，解得，
∴.
例6．已知两等差数列、的前项和分别为、，且，试求.
【思路点拨】利用前项和公式与性质解题，或利用解决，或利用等差数列前项和形式解题.
【解析】
方法一：∵，
∴ .
方法二：由得
方法三：由题设，令等差数列前项和， ，则
，，
∴.
【变式1】等差数列中，若， 则=_________.
【答案】由，得.
【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .
【答案】.
例7．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列.
【思路点拨】本题设这三个数时，常规设法为， ，，但不如用对称设法设为， ， .
【解析】设这三个数分别为， ， ，则
，解得，.
∴所求三个数分别为1，3，5或5，3，1.
【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数.
【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8
类型五：等差数列前项和的最值问题
例8．已知数列是等差数列，，，试问为何值时，数列的前项和最大？为什么？
【思路点拨】要研究一个等差数列的前项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用是的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决.
【解析】
方法一：∵， ∴即，
∵， ∴，
又，
∵，∴ 当， 有最大值为.
方法二：要使最大，必须使且，
即
解得， ∵，
∴时，最大为.
【变式】设等差数列的前项和为， 已知，，.
（1）求公差的取值范围；
（2）指出，，…，中哪一个值最大，并说明理由.
【答案】
（1）依题意，有，即，
解得.
（2）法一:由，可知.
设存在自然数，使得就是，，…，中的最大值，只需，，
由，
故是，，…，中的最大值.
法二:
∵， ∴最小时，最大，
∵， ∴，
∴时，最小，
故是，，…，中的最大值.