人教版新课标A必修24.1 圆的方程课后复习题

2021年高中数学必修二 4.1

《圆的标准方程与一般方程》同步练习

一、选择题

1.圆x2＋y2=1的圆心到直线3x＋4y－25=0的距离是(　　)

A.5　　　　 B.3 　　　　C.4　　　 　D.2

2.圆(x－1)2＋(y－1)2=1上的点到直线x－y=2的距离的最大值是(　　)

A.2         B.1＋        C.2＋         D.1＋2

3.圆的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2=a2(a＞0).若点M(6，9)在圆上，则a的值为(　　)

A.         B.2      C.         D.1

4.若点M(3，0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10=0内一点，则过点M(3，0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)

A.x＋y－3=0      B.x－y－3=0     C.2x－y－6=0      D.2x＋y－6=0

5.方程x2＋y2＋2ax－b2=0表示的图形是(　　)

A.一个圆

B.只有当a=0时，才能表示一个圆

C.一个点

D.a，b不全为0时，才能表示一个圆

6.若圆x2＋y2－2x－4y=0的圆心到直线x－y＋a=0的距离为，则a的值为(　　)

A.－2或2         B.或    C.2或0         D.－2或0

7.若直线l：ax－by＋1=0平分圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1=0的周长，则a＋2b的值为(　　)

A.1         B.－1         C.4         D.－4

8.已知圆(x-2)2+(y+1)2=16的一条直径过直线x-2y-3=0被圆截弦的中点，则该直径所在的直线方程为（    ）

A.2x+y-5=0      B.x-2y=0       C.2x+y-3=0      D.x+2y=0

9.圆x2+y2=16上的点到直线x-y-3=0的距离的最大值为（    ）

A.         B.       C.4+       D.0

10.一个动点P在圆x2+y2=1上移动时,它与定点Q(3,0)连线中点的轨迹方程是（    ）

A.(x+3)2+y2=4          B.(x-3)2+y2=1

C.(2x-3)2+4y2=1         D.(x+)2+y2=

11.圆(x-1)2+(y-3)2=1关于直线x-y-1=0对称的圆的方程为（    ）

A.(x+1)2+(y+3)2=1       B.(x-3)2+(y-1)2=1

C.(x-4)2+y2=1           D.(x-3)2+y2=1

12.在y轴上的截距是2和8,且半径为5的圆的方程为（    ）

A.(x-4)2+(y-5)2=25

B.(x-4)2+(y+5)2=25或(x+4)2+(y-5)2=25

C.(x+4)2+(y-5)2=25

D.(x+4)2+(y-5)2=25或(x-4)2+(y-5)2=25

二、填空题

13.圆x2＋y2－6x＋4y=0的周长是________.

14.已知点P(1，－5)，则该点与圆x2＋y2=25的位置关系是______________.

15.圆x2+y2-2ax+2ay+3a2-2a-1=0的面积最大值为_______________.

16.若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是____________.

三、解答题

17.若A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)三点的外接圆为⊙M，点D(m，3)在⊙M上，求m的值.

18.求经过两点P(－2，4)，Q(3，－1)，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程.

19.若直线y=x＋b与曲线y=有公共点，试求b的取值范围.

20.已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14=0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程.

21.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6=0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上.求AD边所在直线的方程.

22.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3=0，圆心在直线x＋y－1=0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程.

23.已知圆的方程是x2＋y2＋2(m-1)x-4my＋5m2-2m-8=0.

(1)求此圆的圆心与半径；

(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆.

24.已知圆C：(x-)2+(y-1)2=4和直线l：x-y=5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值.

0.参考答案

1.答案为：A

解析：圆x2＋y2=1的圆心为(0，0)，所以d==5.

2.答案为：B

解析：圆(x－1)2＋(y－1)2=1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y=2的距离为

=，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，

即最大距离为1＋.

3.答案为：A

解析：因为点M在圆上，所以(6－5)2＋(9－6)2=a2，又由a＞0，可得a=.

4.答案为：C

解析：由题意，过M(3，0)的最长的弦所在的直线为过点M(3，0)的直径，

x2＋y2－8x－4y＋10=0的圆心为(4，2)，故所求直线方程为y－0=2(x－3)，

即2x－y－6=0.

5.答案为：D

解析：(2a)2＋4b2=4(a2＋b2)，当a=b=0时，方程表示一个点；

当a≠0或b≠0时方程表示一个圆.

6.答案为：C

解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得=，得a=0或a=2.

7.答案为：A

解析：已知圆C的圆心为(－1，2)，因为直线l平分圆C的周长，

所以直线l过圆心.即－a－2b＋1=0，所以a＋2b=1.

8.答案为：C

解析：由圆的几何性质知，该直径与已知弦垂直，所以直径所在直线的斜率为k=-2，

又知过点（2，-1），∴其方程为y+1=-2(x-2)，即2x+y-3=0.

9.答案为：C.

解析：圆心（0，0）到直线之距为

又圆半径r=4，故最大值为4+.

10.答案为：C

解析：设点P（x1,y1），则x12+y12=1①

设中点坐标为（x,y），由中点坐标公式知

即代入①得(2x-3)2+4y2=1.

11.答案为：C

解析：由条件知两圆的半径相等，而圆心关于x-y-1=0对称，

设所求圆的圆心为（a,b），已知圆的圆心为(1,3)，

则有∴圆心（4，0）.

12.答案为：D

解析：由条件知圆过点A（0，2），B（0，8），

设圆心为（a,b）,则

13.答案为：2π

解析：(x－3)2＋(y＋2)2=13，r=，l=2πr=2π.

14.答案为：在圆的外部

解析：由于12＋(－5)2=26＞25，故点P(1，－5)在圆的外部.

15.答案为：2π

解析：当圆半径最大时，面积最大，圆半径为

r=；

当a=1时，r最大为.∴面积最大值为πr2=2π.

16.答案为：x-y-3=0.

解析：如图，

∵P为弦AB的中点，∴OP⊥AB.又O（1，0），P（2，-1），∴kOP=-1.∴kAB=1.

故直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.

17.解：设过A(5，0)、B(－1，0)、C(－3，3)的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0.

依题意有解得

即所求圆的方程为x2＋y2－4x－y－5=0.

因为点D(m，3)在⊙M上， 所以m2＋32－4m－×3－5=0，

解得m=－3或m=7.

18.解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，

将P(－2，4)，Q(3，－1)代入圆的方程得

令y=0得x2＋Dx＋F=0.

设x1，x2为方程x2＋Dx＋F=0的两根.

由|x1－x2|=6有D2－4F=36，

解得D=－2，E=－4，F=－8或D=－6，E=－8，F=0.

所以圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8=0或x2＋y2－6x－8y=0.

19.解：如图，在坐标系内作出曲线y=(半圆).

当直线y=x＋b与半圆y=相切时，=2，

所以b=2.

当直线y=x＋b过(2，0)时，b=－2.

直线l1：y=x－2，直线l2：y=x＋2.

当直线l：y=x＋b夹在l1与l2之间(包括l1，l2)时，l与曲线y=有公共点，

所以截距b的取值范围为：[－2，2].

20.解：如图，设所求轨迹上任一点M(x，y)，

圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2=4.

圆心C(3，3).

因为CM⊥AM，所以kCM·kAM=－1，

即·=－1，

即x2＋(y＋1)2=25.

所以所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2=25(已知圆内的部分).

21.解：因为AB边所在直线的方程为x－3y－6=0，且AD与AB垂直，

所以直线AD的斜率为－3.

又因为点T(－1,1)在直线AD上，

所以AD边所在直线的方程为y－1=－3(x＋1)，

即3x＋y＋2=0.

22.解：圆心C（－，－），

因为圆心在直线x＋y－1=0上，

所以－－－1=0，即D＋E=－2，①

又r==，所以D2＋E2=20，②

由①②可得或

又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，

所以

所以圆的一般方程为：x2＋y2＋2x－4y＋3=0.

23.解：(1)x2＋y2＋2(m-1)x-4my＋5m2-2m-8=0可化为[x＋(m-1)]2＋(y-2m)2=9，

∴圆心为(1-m,2m)，半径r=3.

(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组a=1-m,b=2m,

即2a＋b=2.

∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y-2=0上，且为等圆.

24.