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2022届高考物理一轮复习4.1曲线运动运动的合成与分解学案新人教版
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这是一份2022届高考物理一轮复习4.1曲线运动运动的合成与分解学案新人教版，共15页。
知识点一 曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的________．
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是________运动．
3．运动的条件：物体所受________的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的________方向与速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在________方向与________方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
知识点二 运动的合成与分解
1．分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即________，物体的实际运动即________．
2．运动的合成：已知________________，包括位移、速度和加速度的合成．
3．运动的分解：已知________________，解题时应按实际效果分解或正交分解．
4．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________．
5．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的________相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动________，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的________．
思考辨析
如图所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动．
(1)猴子相对地面运动的轨迹是直线．( )
(2)猴子相对地面做匀变速曲线运动．( )
(3)猴子受到的合外力斜向右上．( )
(4)猴子所受合力的方向竖直向上，且指向轨迹的凹侧．( )
(5)t时刻猴子的对地速度的大小为v02+a2t2.( )
考点一 曲线运动的条件及轨迹分析
自主演练
1．速度的特征
(1)速度方向：沿曲线的切线方向时刻在改变，因此曲线运动一定是变速运动．
(2)速度大小：可能变化，也可能不变，如“匀速圆周运动”的速度大小不变．
2．加速度的特征
加速度的大小和方向由合力决定，可能变化，也可能不变．如“平抛运动”的加速度不变．
3．合力的特征
(1)合力与轨迹关系：合力指向轨迹弯曲的凹侧，轨迹介于合力与速度的方向之间，如图：
(2)合力与速度变化的关系：
[多维练透]
1．[人教版必修2P6演示实验改编]在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其速度方向上放置条形磁铁，第二次在其速度方向上的一侧放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小球的运动轨迹．观察实验现象，以下叙述正确的是( )
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上
2．(多选)一个质点在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿图示中( )
A．F1的方向 B．F2的方向
C．F3的方向 D．F4的方向
3．[2021·浙江模拟]如图所示，一物块仅在三个共点恒力F1、F2、F3的作用下以速度v0水平向右做匀速直线运动，其中F1斜向右上方，F2竖直向下，F3水平向左．某时刻撤去其中的一个力，其他力的大小和方向不变，一段时间后恢复该力，则下列说法不正确的是( )
A．如果撤去的是F1，则物块先做匀变速曲线运动，恢复该力之后将做匀速直线运动
B．如果撤去的是F1，恢复F1时物块的速度大小可能为v0
C．如果撤去的是F3，物块将向右做匀加速直线运动，恢复该力之后做匀速直线运动
D．如果撤去的是F2，在恢复该力之前的时间内，因物块做曲线运动，故在相等时间间隔内其速度的变化量Δv的方向时刻在改变
4．2018年珠海航展，我国五代战机“歼20”再次闪亮登场．表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图所示)，最后沿陡斜线直入云霄．设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变，则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合外力大小为零
B．所受合外力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度逐渐增大
D．水平方向的分速度不变
考点二 运动的合成与分解
师生共研
1．合运动和分运动的关系
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(变化：变加速运动,不变：匀变速运动))
(2)加速度(或合外力)与速度方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
题型1|合运动性质的判断
例1 [2020·河北邢台摸底]路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯．若车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于站在梯子上的工人的描述正确的是( )
A．工人相对地面的运动轨迹一定是曲线
B．工人相对地面的运动轨迹一定是直线
C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线
D．工人受到的合力可能是恒力，也可能是变力
题型2|分运动和合运动的计算
例2 [2021·锦州模拟]如图所示，从上海飞往北京的波音737客机上午10点10分到达首都国际机场．若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C．在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
[考法拓展] 在例2中，若飞机在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向做加速度大小为0.2 m/s2的匀减速直线运动．
(1)飞机的运动轨迹是直线还是曲线？
(2)当飞机竖直速度减为零时，飞机恰好着陆，则着陆前飞机的位移为多大？
练1 [2021·山东济南模拟](多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果FyC．如果Fy＝Fxtan α，质点做直线运动
D．如果Fx>Fytan α，质点向x轴一侧做曲线运动
练2 (多选)在光滑的水平面上，一滑块的质量m＝2 kg，在水平面上恒定外力F＝4 N(方向未知)作用下运动．如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5 m/s，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α＝37°，sin 37°＝0.6，则下列说法正确的是( )
A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角
B．滑块从P到Q的时间为3 s
C．滑块从P到Q的过程中速度最小值为4 m/s
D．P、Q两点连线的距离为10 m
练3 如图甲所示，质量m＝2.0 kg的物体在水平外力的作用下在水平面内运动，已知物体沿x方向和y方向的x t图象和vy t图象如图乙、丙所示，t＝0时刻，物体位于原点O.g取10 m/s2.根据以上条件，求：
(1)t＝10 s时刻物体的位置坐标．
(2)t＝10 s时刻物体的速度大小．
考点三 小船渡河模型
多维探究
题型1|最短时间问题
eq \a\vs4\al\c1(,3) 在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A. dv2v22-v12 B．0 C. dv1v2 D. dv2v1
题型2|最小位移问题
例4 小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸．求：
(1)水流的速度；
(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α.
[教你解决问题]
练4 如图所示，一船夫以摇船载客为生往返于河的两岸．若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点．第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点，船轨迹恰好与第一次船轨迹重合．假设河水速度保持不变，则该船两次过河所用的时间之比是( )
A．v1v2 B．v2v1 C．v12v22 D．v22v12
练5 [2021·四川成都外国语学校月考]如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游方向1003 m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )
A. 433 m/s B. 833 m/s C．2 m/s D．4 m/s
题后反思
小船过河模型的分析思路
思维拓展
绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与原则
(1)思路
①明确合速度→物体的实际运动速度v；
②明确分速度→沿绳或杆的速度v1与绳或杆垂直的分速度v2
(2)原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解决关联模型的一般思路
eq \a\vs4\al\c1(,) 如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P.设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小．现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是( )
A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是3：2
B．当θ＝90°时，Q的速度最大
C．当θ＝90°时，Q的速度为零
D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大
练1 如
图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速度为v时，小车的速度为( )
A．vsin θ B．vcs θ C.eq \f(,)vcs θ D. vsin θ
练2 (多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时( )
A．人拉绳行走的速度为vcs θ
B．人拉绳行走的速度为vcs θ
C．船的加速度为eq \f(,)Fcs θ－fm
D．船的加速度为F－fm
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
基础落实
知识点一
1．切线方向 2.变速
3．合外力 加速度 4.合外力 速度
知识点二
1．分运动 合运动 2.分运动求合运动
3．合运动求分运动 4.平行四边形定则
5．(1)时间 (2)独立进行 (3)效果
思考辨析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
考点突破
1．解析：本题考查曲线运动的轨迹问题．第一次实验中，小钢球受到沿着速度方向的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小吸引力变大，加速度变大，则小钢球的运动是非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，方向与大小均改变，是变力，故小钢球的运动不是类似平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向，故选项C错误，D正确．
答案：D
2．解析：曲线运动受到的合力总是指向曲线凹的一侧，但和速度永远不可能达到平行的方向，所以合力可能沿着F3的方向、F4的方向，不可能沿着F1的方向或F2的方向，C、D正确，A、B错误．
答案：CD
3．解析：物块在三个共点力F1、F2、F3的作用下以速度v0水平向右做匀速直线运动，说明三个共点力平衡，如果撤去F1，则F2、F3的合力与F1等大反向，合力与初速度不在同一条直线上，物块做匀变速曲线运动，恢复F1，物块又处于平衡状态，做匀速直线运动，故A项正确；撤去F1，F2、F3的合力对物块可能先做负功后做正功，有可能总功为0，即恢复F1时物块的速度大小可能为v0，故B项正确；撤去F3后，合力水平向右，故物块向右做匀加速直线运动，故C项正确；撤去F2之后，物块做类平抛运动，则Δv＝aΔt，因为加速度a是恒定的矢量，故在相等时间间隔内Δv的大小和方向都不变，故D项错误．
答案：D
4．解析：战机在同一竖直面内做曲线运动，且运动速率不变，由于速度方向是变化的，则速度是变化的，故战机的加速度不为零，根据牛顿第二定律可知，战机所受的合力不为零，故A错误；战机在同一竖直平面内做匀速率曲线运动，所受合力与速度方向垂直，由于速度方向时刻在变化，则合外力的方向也时刻在变化，故B错误；由以上分析可知，战机所受合力始终都与速度方向垂直，斜向左上方，对合力和速度进行分解，竖直方向上做加速运动，水平方向上做减速运动，即竖直分速度增大，水平分速度减小，所以选项C正确，D错误．
答案：C
例1 解析：车在水平方向的速度vx＝vx0＋axt，车在竖直方向的速度vy＝vy0＋ayt，则车的速度v＝vx2+vy2 ，由于车和梯子运动的初速度均未知，工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线，A、B错误，C正确；工人在水平方向和竖直方向都做匀变速运动，故其所受的合力是恒力，D错误．
答案：C
例2 解析：由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝v0xt20+12axt202 －v0xt19－12axt192＝21 m，竖直位移y＝v0yt20+12ayt202-v0yt19－12ayt192＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确．
答案：D
[考法拓展] 解析：(1)飞机的初速度方向斜向下方，而加速度方向竖直向上，故飞机的运动轨迹为曲线．
(2)飞机竖直方向减速运动的时间t＝v竖a＝30 s.
竖直方向的位移h＝v竖2t＝90 m，
水平方向的位移x＝v水平·t＝1 800 m，
故飞机在这段时间内的位移大小为
s＝x2+h2＝1 8002+902 m≈1 802 m．
答案：(1)曲线 (2)1 802 m
练1 解析：如果Fx、Fy二力的合力沿v0方向，即Fy＝Fx tan α，则质点做直线运动，A错误，C正确；若Fx>Fytanα，则合力方向在v0与x轴正方向之间，则轨迹向x轴一侧弯曲而做曲线运动，若Fx答案：CD
练2 解析：在P、Q两点的速度具有对称性，故分解为沿着PQ方向和垂直PQ方向，在沿着PQ方向上做匀速直线运动，在垂直PQ方向上做匀变速直线运动，所以力F垂直PQ向下，在顶点处速度最小，只剩下沿着PQ方向的速度，故有：vmin＝vP cs 37°＝4 m/s，故A错误，C正确；在垂直PQ方向上，有a＝Fm＝2 m/s2，当在垂直PQ方向上速度为零时，时间为：t＝vP⊥a＝5×sin37°2 s＝1.5 s，根据对称性，滑块从P到Q的时间为：t′＝2t＝3 s，PQ连线的距离为s＝vP cs 37°·t′＝12 m，故B正确，D错误．
答案：BC
练3 解析：(1)由图可知坐标与时间的关系为：
在x轴方向上：x＝3.0t m，在y轴方向上：y＝0.2t2 m
代入时间t＝10 s，可得：
x＝3.0×10 m＝30 m，
y＝0.2×102 m＝20 m
即t＝10 s时刻物体的位置坐标为(30 m，20 m)．
(2)在x轴方向上：v0＝3.0 m/s
当t＝10 s时，
vy＝at＝0.4×10 m/s＝4.0 m/s
v＝v02+vy2 ＝3.02+4.02 m/s＝5.0 m/s.
答案：(1)(30 m，20 m) (2)5.0 m/s
例3 解析：摩托艇要想在最短时间内将人送上岸，其航行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的航行运动和水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，所用时间t＝dv2；沿江岸方向的运动速度是水速v1，在相同的时间内，被水冲向下游的距离，即为登陆点距离O点的距离s＝v1t＝dv1v2，故选C.
答案：C
例4 解析：(1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示．
如x＝v2t1得v2＝xt1＝120600 m/s＝0.2 m/s.
(2)船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示．
由图甲可得d＝v1t1，v2＝v1cs α，d＝v1t2sin α
联立解得α＝53°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m.
答案：(1)0.2 m/s (2)0.33 m/s 200 m 53°
练4 解析：由题意可知，船夫两次驾船的轨迹重合，知合速度方向相同，第一次船的静水速度垂直于河岸，第二次船的静水速度与合速度垂直，如图所示．
船两次过河的合位移相等，则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比．则
t1t2＝v2合v1合＝v2tanθv1sinθ＝v2v1cs θ，而cs θ＝v2v1
可得t1t2＝v22 v12 ，故D项正确．
答案：D
练5 解析：本题考查小船渡河的临界问题．当船速最小时，小船的运动轨迹如图所示．据三角形相似有
v1v2＝12dx，其中v1为船速，v2为水速，d为河宽，x为船到达危险区驶过的距离，由几何关系得x＝200 m，由此可以求出船在静水中最小速度为2 m/s.
答案：C
思维拓展
典例
解析：P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，分解vQ如图所示．则当θ＝60°时，Q的速度vQ cs 60°＝vP，解得vPvQ＝12，故A错误；P的机械能最小时，即为Q到达O点正下方时，此时Q的速度最大，即当θ＝90°时，Q的速度最大，故B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，故D错误．
答案：B
练1 解析：
将物体M的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为：v绳＝v cs θ
而绳子速率等于物体m的速率，则有物体m的速率为：vm＝v绳＝v cs θ.
答案：B
练2
解析：船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮逆时针转动，因此将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝v cs θ，A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此F cs θ－f＝ma，得a＝Fcsθ-fm，C正确，D错误．
答案：AC
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果
情况
图示
说明
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝dv船
情况
图示
说明
渡河位
移最短
当v水当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，渡河位移最短，最短渡河位移为xmin＝dv水v船
读题
获取信息
船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处
过河最短时间为10 min
10 min内船顺流而下120 m
船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸
航程最短时过河时间为12.5 min
最短航程为河流的宽度
知识点一 曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的________．
2．运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是________运动．
3．运动的条件：物体所受________的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的________方向与速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在________方向与________方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
知识点二 运动的合成与分解
1．分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即________，物体的实际运动即________．
2．运动的合成：已知________________，包括位移、速度和加速度的合成．
3．运动的分解：已知________________，解题时应按实际效果分解或正交分解．
4．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循________________．
5．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的________相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动________，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的________．
思考辨析
如图所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动．
(1)猴子相对地面运动的轨迹是直线．( )
(2)猴子相对地面做匀变速曲线运动．( )
(3)猴子受到的合外力斜向右上．( )
(4)猴子所受合力的方向竖直向上，且指向轨迹的凹侧．( )
(5)t时刻猴子的对地速度的大小为v02+a2t2.( )
考点一 曲线运动的条件及轨迹分析
自主演练
1．速度的特征
(1)速度方向：沿曲线的切线方向时刻在改变，因此曲线运动一定是变速运动．
(2)速度大小：可能变化，也可能不变，如“匀速圆周运动”的速度大小不变．
2．加速度的特征
加速度的大小和方向由合力决定，可能变化，也可能不变．如“平抛运动”的加速度不变．
3．合力的特征
(1)合力与轨迹关系：合力指向轨迹弯曲的凹侧，轨迹介于合力与速度的方向之间，如图：
(2)合力与速度变化的关系：
[多维练透]
1．[人教版必修2P6演示实验改编]在演示“做曲线运动的条件”的实验中，有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球，第一次在其速度方向上放置条形磁铁，第二次在其速度方向上的一侧放置条形磁铁，如图所示，虚线表示小球的运动轨迹．观察实验现象，以下叙述正确的是( )
A．第一次实验中，小钢球的运动是匀变速直线运动
B．第二次实验中，小钢球的运动类似平抛运动，其轨迹是一条抛物线
C．该实验说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D．该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上
2．(多选)一个质点在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿图示中( )
A．F1的方向 B．F2的方向
C．F3的方向 D．F4的方向
3．[2021·浙江模拟]如图所示，一物块仅在三个共点恒力F1、F2、F3的作用下以速度v0水平向右做匀速直线运动，其中F1斜向右上方，F2竖直向下，F3水平向左．某时刻撤去其中的一个力，其他力的大小和方向不变，一段时间后恢复该力，则下列说法不正确的是( )
A．如果撤去的是F1，则物块先做匀变速曲线运动，恢复该力之后将做匀速直线运动
B．如果撤去的是F1，恢复F1时物块的速度大小可能为v0
C．如果撤去的是F3，物块将向右做匀加速直线运动，恢复该力之后做匀速直线运动
D．如果撤去的是F2，在恢复该力之前的时间内，因物块做曲线运动，故在相等时间间隔内其速度的变化量Δv的方向时刻在改变
4．2018年珠海航展，我国五代战机“歼20”再次闪亮登场．表演中，战机先水平向右，再沿曲线ab向上(如图所示)，最后沿陡斜线直入云霄．设飞行路径在同一竖直面内，飞行速率不变，则沿ab段曲线飞行时，战机( )
A．所受合外力大小为零
B．所受合外力方向竖直向上
C．竖直方向的分速度逐渐增大
D．水平方向的分速度不变
考点二 运动的合成与分解
师生共研
1．合运动和分运动的关系
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(变化：变加速运动,不变：匀变速运动))
(2)加速度(或合外力)与速度方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))
题型1|合运动性质的判断
例1 [2020·河北邢台摸底]路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯．若车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于站在梯子上的工人的描述正确的是( )
A．工人相对地面的运动轨迹一定是曲线
B．工人相对地面的运动轨迹一定是直线
C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线
D．工人受到的合力可能是恒力，也可能是变力
题型2|分运动和合运动的计算
例2 [2021·锦州模拟]如图所示，从上海飞往北京的波音737客机上午10点10分到达首都国际机场．若飞机在降落过程中的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
A．飞机的运动轨迹为曲线
B．经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C．在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D．飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
[考法拓展] 在例2中，若飞机在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向做加速度大小为0.2 m/s2的匀减速直线运动．
(1)飞机的运动轨迹是直线还是曲线？
(2)当飞机竖直速度减为零时，飞机恰好着陆，则着陆前飞机的位移为多大？
练1 [2021·山东济南模拟](多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则( )
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy
D．如果Fx>Fytan α，质点向x轴一侧做曲线运动
练2 (多选)在光滑的水平面上，一滑块的质量m＝2 kg，在水平面上恒定外力F＝4 N(方向未知)作用下运动．如图所示为滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5 m/s，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α＝37°，sin 37°＝0.6，则下列说法正确的是( )
A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角
B．滑块从P到Q的时间为3 s
C．滑块从P到Q的过程中速度最小值为4 m/s
D．P、Q两点连线的距离为10 m
练3 如图甲所示，质量m＝2.0 kg的物体在水平外力的作用下在水平面内运动，已知物体沿x方向和y方向的x t图象和vy t图象如图乙、丙所示，t＝0时刻，物体位于原点O.g取10 m/s2.根据以上条件，求：
(1)t＝10 s时刻物体的位置坐标．
(2)t＝10 s时刻物体的速度大小．
考点三 小船渡河模型
多维探究
题型1|最短时间问题
eq \a\vs4\al\c1(,3) 在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为( )
A. dv2v22-v12 B．0 C. dv1v2 D. dv2v1
题型2|最小位移问题
例4 小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处；若船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸．求：
(1)水流的速度；
(2)小船在静水中的速度、河的宽度以及船头与河岸间的夹角α.
[教你解决问题]
练4 如图所示，一船夫以摇船载客为生往返于河的两岸．若该船夫摇船从河岸A点以v1的速度用最短的时间到对岸B点．第二次该船以v2的速度从同一地点以最短的路程过河到对岸B点，船轨迹恰好与第一次船轨迹重合．假设河水速度保持不变，则该船两次过河所用的时间之比是( )
A．v1v2 B．v2v1 C．v12v22 D．v22v12
练5 [2021·四川成都外国语学校月考]如图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游方向1003 m处有一危险区，当时水流速度为4 m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )
A. 433 m/s B. 833 m/s C．2 m/s D．4 m/s
题后反思
小船过河模型的分析思路
思维拓展
绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与原则
(1)思路
①明确合速度→物体的实际运动速度v；
②明确分速度→沿绳或杆的速度v1与绳或杆垂直的分速度v2
(2)原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解决关联模型的一般思路
eq \a\vs4\al\c1(,) 如图所示，水平光滑长杆上套有一物块Q，跨过悬挂于O点的轻小光滑圆环的轻绳一端连接Q，另一端悬挂一物块P.设轻绳的左边部分与水平方向的夹角为θ，初始时θ很小．现将P、Q由静止同时释放，关于P、Q以后的运动下列说法正确的是( )
A．当θ＝60°时，P、Q的速度之比是3：2
B．当θ＝90°时，Q的速度最大
C．当θ＝90°时，Q的速度为零
D．当θ向90°增大的过程中Q的合力一直增大
练1 如
图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高．问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速度为v时，小车的速度为( )
A．vsin θ B．vcs θ C.eq \f(,)vcs θ D. vsin θ
练2 (多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水平面的夹角为θ时，船的速度为v，此时人的拉力大小为F，则此时( )
A．人拉绳行走的速度为vcs θ
B．人拉绳行走的速度为vcs θ
C．船的加速度为eq \f(,)Fcs θ－fm
D．船的加速度为F－fm
第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
基础落实
知识点一
1．切线方向 2.变速
3．合外力 加速度 4.合外力 速度
知识点二
1．分运动 合运动 2.分运动求合运动
3．合运动求分运动 4.平行四边形定则
5．(1)时间 (2)独立进行 (3)效果
思考辨析
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
考点突破
1．解析：本题考查曲线运动的轨迹问题．第一次实验中，小钢球受到沿着速度方向的吸引力作用，做直线运动，并且随着距离的减小吸引力变大，加速度变大，则小钢球的运动是非匀变速直线运动，选项A错误；第二次实验中，小钢球所受的磁铁的吸引力方向总是指向磁铁，方向与大小均改变，是变力，故小钢球的运动不是类似平抛运动，其轨迹也不是一条抛物线，选项B错误；该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合外力的方向与速度方向不在同一直线上，但是不能说明做曲线运动物体的速度方向沿轨迹的切线方向，故选项C错误，D正确．
答案：D
2．解析：曲线运动受到的合力总是指向曲线凹的一侧，但和速度永远不可能达到平行的方向，所以合力可能沿着F3的方向、F4的方向，不可能沿着F1的方向或F2的方向，C、D正确，A、B错误．
答案：CD
3．解析：物块在三个共点力F1、F2、F3的作用下以速度v0水平向右做匀速直线运动，说明三个共点力平衡，如果撤去F1，则F2、F3的合力与F1等大反向，合力与初速度不在同一条直线上，物块做匀变速曲线运动，恢复F1，物块又处于平衡状态，做匀速直线运动，故A项正确；撤去F1，F2、F3的合力对物块可能先做负功后做正功，有可能总功为0，即恢复F1时物块的速度大小可能为v0，故B项正确；撤去F3后，合力水平向右，故物块向右做匀加速直线运动，故C项正确；撤去F2之后，物块做类平抛运动，则Δv＝aΔt，因为加速度a是恒定的矢量，故在相等时间间隔内Δv的大小和方向都不变，故D项错误．
答案：D
4．解析：战机在同一竖直面内做曲线运动，且运动速率不变，由于速度方向是变化的，则速度是变化的，故战机的加速度不为零，根据牛顿第二定律可知，战机所受的合力不为零，故A错误；战机在同一竖直平面内做匀速率曲线运动，所受合力与速度方向垂直，由于速度方向时刻在变化，则合外力的方向也时刻在变化，故B错误；由以上分析可知，战机所受合力始终都与速度方向垂直，斜向左上方，对合力和速度进行分解，竖直方向上做加速运动，水平方向上做减速运动，即竖直分速度增大，水平分速度减小，所以选项C正确，D错误．
答案：C
例1 解析：车在水平方向的速度vx＝vx0＋axt，车在竖直方向的速度vy＝vy0＋ayt，则车的速度v＝vx2+vy2 ，由于车和梯子运动的初速度均未知，工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线，A、B错误，C正确；工人在水平方向和竖直方向都做匀变速运动，故其所受的合力是恒力，D错误．
答案：C
例2 解析：由于初速度的方向与合加速度的方向相反，故飞机的运动轨迹为直线，A错误；由匀减速运动规律可知，飞机在第20 s末的水平分速度为20 m/s，竖直方向的分速度为2 m/s，B错误；飞机在第20 s内，水平位移x＝v0xt20+12axt202 －v0xt19－12axt192＝21 m，竖直位移y＝v0yt20+12ayt202-v0yt19－12ayt192＝2.1 m，C错误；飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s，D正确．
答案：D
[考法拓展] 解析：(1)飞机的初速度方向斜向下方，而加速度方向竖直向上，故飞机的运动轨迹为曲线．
(2)飞机竖直方向减速运动的时间t＝v竖a＝30 s.
竖直方向的位移h＝v竖2t＝90 m，
水平方向的位移x＝v水平·t＝1 800 m，
故飞机在这段时间内的位移大小为
s＝x2+h2＝1 8002+902 m≈1 802 m．
答案：(1)曲线 (2)1 802 m
练1 解析：如果Fx、Fy二力的合力沿v0方向，即Fy＝Fx tan α，则质点做直线运动，A错误，C正确；若Fx>Fytanα，则合力方向在v0与x轴正方向之间，则轨迹向x轴一侧弯曲而做曲线运动，若Fx
练2 解析：在P、Q两点的速度具有对称性，故分解为沿着PQ方向和垂直PQ方向，在沿着PQ方向上做匀速直线运动，在垂直PQ方向上做匀变速直线运动，所以力F垂直PQ向下，在顶点处速度最小，只剩下沿着PQ方向的速度，故有：vmin＝vP cs 37°＝4 m/s，故A错误，C正确；在垂直PQ方向上，有a＝Fm＝2 m/s2，当在垂直PQ方向上速度为零时，时间为：t＝vP⊥a＝5×sin37°2 s＝1.5 s，根据对称性，滑块从P到Q的时间为：t′＝2t＝3 s，PQ连线的距离为s＝vP cs 37°·t′＝12 m，故B正确，D错误．
答案：BC
练3 解析：(1)由图可知坐标与时间的关系为：
在x轴方向上：x＝3.0t m，在y轴方向上：y＝0.2t2 m
代入时间t＝10 s，可得：
x＝3.0×10 m＝30 m，
y＝0.2×102 m＝20 m
即t＝10 s时刻物体的位置坐标为(30 m，20 m)．
(2)在x轴方向上：v0＝3.0 m/s
当t＝10 s时，
vy＝at＝0.4×10 m/s＝4.0 m/s
v＝v02+vy2 ＝3.02+4.02 m/s＝5.0 m/s.
答案：(1)(30 m，20 m) (2)5.0 m/s
例3 解析：摩托艇要想在最短时间内将人送上岸，其航行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的航行运动和水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，所用时间t＝dv2；沿江岸方向的运动速度是水速v1，在相同的时间内，被水冲向下游的距离，即为登陆点距离O点的距离s＝v1t＝dv1v2，故选C.
答案：C
例4 解析：(1)船头垂直对岸方向航行时，如图甲所示．
如x＝v2t1得v2＝xt1＝120600 m/s＝0.2 m/s.
(2)船头保持与河岸成α角航行时，如图乙所示．
由图甲可得d＝v1t1，v2＝v1cs α，d＝v1t2sin α
联立解得α＝53°，v1≈0.33 m/s，d＝200 m.
答案：(1)0.2 m/s (2)0.33 m/s 200 m 53°
练4 解析：由题意可知，船夫两次驾船的轨迹重合，知合速度方向相同，第一次船的静水速度垂直于河岸，第二次船的静水速度与合速度垂直，如图所示．
船两次过河的合位移相等，则渡河时间之比等于船两次过河的合速度之反比．则
t1t2＝v2合v1合＝v2tanθv1sinθ＝v2v1cs θ，而cs θ＝v2v1
可得t1t2＝v22 v12 ，故D项正确．
答案：D
练5 解析：本题考查小船渡河的临界问题．当船速最小时，小船的运动轨迹如图所示．据三角形相似有
v1v2＝12dx，其中v1为船速，v2为水速，d为河宽，x为船到达危险区驶过的距离，由几何关系得x＝200 m，由此可以求出船在静水中最小速度为2 m/s.
答案：C
思维拓展
典例
解析：P、Q用同一根绳连接，则Q沿绳子方向的速度与P的速度相等，分解vQ如图所示．则当θ＝60°时，Q的速度vQ cs 60°＝vP，解得vPvQ＝12，故A错误；P的机械能最小时，即为Q到达O点正下方时，此时Q的速度最大，即当θ＝90°时，Q的速度最大，故B正确，C错误；当θ向90°增大的过程中Q的合力逐渐减小，当θ＝90°时，Q的速度最大，加速度为零，合力为零，故D错误．
答案：B
练1 解析：
将物体M的速度按图示两个方向分解，如图所示，得绳子速率为：v绳＝v cs θ
而绳子速率等于物体m的速率，则有物体m的速率为：vm＝v绳＝v cs θ.
答案：B
练2
解析：船的速度产生了两个效果：一是滑轮与船间的绳缩短，二是绳绕滑轮逆时针转动，因此将船的速度进行分解如图所示，人拉绳行走的速度v人＝v cs θ，A正确，B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此F cs θ－f＝ma，得a＝Fcsθ-fm，C正确，D错误．
答案：AC
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果
情况
图示
说明
渡河时
间最短
当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝dv船
情况
图示
说明
渡河位
移最短
当v水
读题
获取信息
船头垂直对岸方向航行时，在出发后10 min到达对岸下游120 m处
过河最短时间为10 min
10 min内船顺流而下120 m
船头保持与河岸成α角向上游航行，出发后12.5 min到达正对岸
航程最短时过河时间为12.5 min
最短航程为河流的宽度
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