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高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第4节万有引力与航天学案
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这是一份高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第4节万有引力与航天学案，共16页。学案主要包含了开普勒行星运动定律，万有引力定律，宇宙速度等内容，欢迎下载使用。
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3．开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：eq \f(a3,T2)＝k。
二、万有引力定律
1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。
3．适用条件
(1)两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时物体可视为质点。
(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离。
三、宇宙速度
1．三种宇宙速度比较
2.第一宇宙速度的计算方法
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))。
(2)由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)。
一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(√)
2．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中k值与中心天体质量无关。(×)
4．第一宇宙速度与地球的质量有关。(√)
5．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×)
二、走进教材
1．(教科版必修2P44T2改编)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得eq \f(r\\al(3,火),T\\al(2,火))＝eq \f(r\\al(3,木),T\\al(2,木))，故eq \f(T\\al(2,火),T\\al(2,木))＝eq \f(r\\al(3,火),r\\al(3,木))，C正确。]
2．(人教版必修2P43T2改编)若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则eq \f(g′,g)为( )
A．1 B．eq \f(1,9) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,16)
D [根据万有引力等于重力，列出等式：eq \f(GMm,r2)＝mg，g＝eq \f(GM,r2)，其中M是地球的质量，r应该是物体在某位置到球心的距离。eq \f(g′,g)＝eq \f(\f(1,4R2),\f(1,R2))＝eq \f(1,16)，故D正确。]
3．(人教版必修2P48T3改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/sB．4 km/s
C．16 km/sD．32 km/s
C [设地球质量M，某星球质量6M，地球半径r，某星球半径1.5r，由万有引力提供向心力做匀速圆周运动得：Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得：v＝eq \r(\f(GM,r))，分别带入地球和某星球的各物理量得：v地球＝eq \r(\f(GM,r))，v星球＝eq \r(\f(6GM,1.5r))＝2eq \r(\f(GM,r))＝2v地球＝16 km/s，故C正确。]
开普勒定律的理解和应用 eq \([依题组训练])
1．对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是( )
A．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律
B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置
C．根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小
D．根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
C [第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律，选项A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，选项B错误；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，选项C正确；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，选项D错误。]
2．(2020·山东等级考一模)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为( )
A．eq \r(3,\f(T2,T\\al(2,0)))R0 B．eq \r(\f(T3,T\\al(3,0)))R0
C．eq \r(3,\f(T\\al(2,0),T2))R0 D．eq \r(\f(T\\al(3,0),T3))R0
A [由开普勒第三定律可知：eq \f(R3,T2)＝eq \f(R\\al(3,0),T\\al(2,0))，所以R＝eq \r(3,\f(T2,T\\al(2,0)))R0。]
3.(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )
A．TA>TBB．EkA>EkB
C．SA＝SB D．eq \f(R\\al(3,A),T\\al(2,A))＝eq \f(R\\al(3,B),T\\al(2,B))
AD [根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r知，轨道半径越大，周期越大，所以TA>TB，故A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)知，v＝eq \r(\f(GM,r))，所以vB>vA，又因为A、B质量相等，所以EkB>EkA，故B错误；根据开普勒第二定律可知，同一卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，故C错误；由开普勒第三定律知D正确。]
应用开普勒行星运动定律的三点注意
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
万有引力定律的理解及应用 eq \([讲典例示法])
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
eq \([典例示法]) (多选)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝eq \f(hv\\al(2,0),L2)
B．月球的平均密度ρ＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)
C．月球的第一宇宙速度v＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR)
D．月球的质量m月＝eq \f(hR2v\\al(2,0),GL2)
关键信息：“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重力加速度。
BC [设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2hv\\al(2,0),L2)，故A错误；在月球表面eq \f(Gm月m,R2)＝mg月，解得m月＝eq \f(2hR2v\\al(2,0),GL2)，则月球密度为ρ＝eq \f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(2hR2v\\al(2,0),GL2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(g月R)＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR)，故C正确。]
估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)关注黄金代换式GM＝gR2的应用。
eq \([跟进训练])
万有引力定律的简单应用
1．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2B．0.4
C．2.0D．2.5
B [由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝Geq \f(M地m,R\\al(2,地))，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝Geq \f(M火m,R\\al(2,火))，二者的比值eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火R\\al(2,地),M地R\\al(2,火))＝0.4，B正确，A、C、D错误。]
与重力加速度有关的计算
2．(2020·山东省实验中学第二次月考)中国科技发展两个方向：即“上天”和“入地”两大工程。其中“上天”工程指“神舟”载人飞船、天宫空间站和探月工程；“入地”工程指“蛟龙”号深海下潜。若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知均匀球壳对内部任意一点万有引力为零。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h。“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( )
A．eq \f(R－d,R＋h) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R＋h)))eq \s\up12(2)
C．eq \f(R－dR＋h2,R3) D．eq \f(R－dR＋h,R2)
C [设地球质量为M，密度为ρ，在地球表面，物体重力等于地球对其的万有引力，故有eq \f(GMm,R2)＝mg，又M＝ρeq \f(4,3)πR3，
整理后得g＝Gρeq \f(4,3)πR。根据题意有，均匀球壳对内部任意一点万有引力为零，故在深度为d的地球内部，“蛟龙”号受到地球的万有引力即为半径为R－d的球体在其表面产生的万有引力，所以在深度为d的地球内部的重力加速度为g′＝Gρeq \f(4,3)π(R－d)。对于“天宫一号”，根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,R＋h2)＝man，解得“天宫一号”所在处的重力加速度an＝eq \f(Gρ\f(4,3)πR3,R＋h2)，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为eq \f(g′,an)＝eq \f(R－dR＋h2,R3)。]
天体质量和密度的估算
3.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕一周飞行时间为T，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是( )
A．M＝eq \f(4π2R2,GT2)，ρ＝eq \f(3π,GT2)
B．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h2,GT2R3)
C．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)
D．M＝eq \f(4π2T2R＋h3,G)，ρ＝eq \f(3πT2R＋h3,GR3)
C [设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)。又土星体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)，故C正确，A、B、D错误。]
宇宙速度及卫星运行参数的分析计算 eq \([讲典例示法])
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
2．物理量随轨道半径变化的规律
3．同步卫星的六个“一定”
eq \([典例示法]) 如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是( )
A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
思路点拨：解此题抓住以下两个环节：
(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度(周期)。
(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助同步卫星过渡。
D [b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，代入数据得v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝eq \f(GM,r2)得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B错误；卫星c为同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2πeq \r(\f(r3,GM))得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝eq \r(\f(GM,r))，可知b的速度比c的速度大，故D正确。]
研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)同步卫星：周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的。
(2)极地卫星：轨迹经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星：在地球表面附近做匀速圆周运动的卫星，其轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
eq \([跟进训练])
宇宙速度的认识
1．(多选)下列关于三种宇宙速度的说法正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
CD [根据v＝eq \r(\f(GM,r))可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的运行速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，卫星在其他圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误，D正确；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳的引力范围内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚，成为一颗绕太阳运行的人造行星的最小发射速度，选项C正确。]
卫星运行参量的分析与计算
2．第45颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星，该卫星与此前发射的倾斜地球同步轨道卫星(代号为P，周期与地球自转周期相同)、中圆地球轨道卫星(代号为Q)和地球同步轨道卫星(代号为S)进行组网，若这三种不同类型的卫星的轨道都是圆轨道，已知中圆地球轨道卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，下列说法正确的是( )
A．P和S绕地球运动的向心加速度大小相等
B．这三种不同类型轨道卫星的线速度大小有可能相同
C．这三种不同类型轨道卫星的周期有可能相同
D．P和S绕地球运动的向心力大小一定相等
A [由Geq \f(Mm,r2)＝ma可知，P和S绕地球运动的向心加速度大小相等，A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，中圆地球轨道卫星的线速度大于同步卫星的线速度，B错误；由于中圆地球轨道卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，由开普勒第三定律可知，中圆地球轨道卫星的周期小于同步卫星的周期，C错误；由于P和S的质量不一定相等，所以P和S绕地球运动的向心力大小不一定相等，D错误。]
近地卫星、同步卫星与赤道上物体的比较
3．地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3D．ω1＝ω3<ω2
D [地球同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1v3，a2>a3，ω2>ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g。综上可知v＝v2>v3>v1，g＝a2>a3>a1，ω2>ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2>F3>F1，D项正确。]
宇宙航天中的STSE问题
航天科技的发展在增强民族自信、展示国威军威、实现可持续发展战略等方面产生了巨大的影响。结合最新的科技成果考查物理学相关知识是近几年高考的热点。高考中以这类热门素材命题， 旨在引导学生理解科学、技术、社会、环境的关系，逐渐形成良好的科学态度与社会责任。
北斗导航系统
[示例1] 2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第55颗北斗导航卫星。如图所示，是导航系统中倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道面与地球赤道面有夹角，运行周期等于地球的自转周期。倾斜地球同步轨道卫星正常运行，则下列说法正确的是( )
A．此卫星相对地面静止
B．如果有人站在地球赤道的地面上，此人的向心加速度比此卫星的向心加速度大
C．此卫星的发射速度小于地球的第一宇宙速度
D．此卫星轨道正下方某处的人用望远镜观测，可能会一天看到两次此卫星
D [倾斜地球同步轨道卫星相对地面有运动，而地球同步轨道卫星相对于地球静止，选项A错误；赤道上的人的角速度与同步卫星的角速度相同，但运动半径较小，根据a＝ω2r可知，赤道上的人的向心加速度小于此卫星的向心加速度，选项B错误；地球的第一宇宙速度是地球上发射卫星的最小速度，选项C错误；如题图所示，地球同步轨道与倾斜同步轨道有两个交点，由于地球的自转，交点位置正下方的人用望远镜观测，一天能看到两次此卫星，选项D正确。]
地月拉格朗日点与中继卫星“鹊桥”
[示例2] (2020·武汉调研)2018年6月14日，中继卫星“鹊桥”顺利进入以地月拉格朗日L2点为中心的Hal轨道；2019年1月3日，嫦娥四号探测器成功登陆月球。至此，我国实现了人类历史上首次月球背面软着陆和巡视探测，首次实现了月球背面同地球的中继通信。同学们进行了如下讨论：
甲：嫦娥四号的发射速度必须达到第三宇宙速度；
乙：嫦娥四号在月面着陆过程中，如果关闭发动机，其加速度一定为9.8 m/s2；
丙：“鹊桥”在Hal轨道上运动时，只受到地球和月球对它的万有引力；
丁：Hal轨道的半径足够大，才能实现地面测控站与嫦娥四号之间的中继通信。
上述看法正确的是( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
D [嫦娥四号探测器成功登陆月球，但仍然随着月球环绕地球运行，因此其发射速度小于第二宇宙速度，A错误；嫦娥四号在月面着陆过程中，如果关闭发动机，其加速度应近似等于月球表面的重力加速度，B错误；“鹊桥”在Hal轨道上运动时，除受地球、月球的万有引力的作用外，还受到自身的动力作用，C错误；由题图可知，Hal轨道的半径足够大，才能使其发射的信号到达地球，以实现中继通信，D正确。]
引力波的发现
[示例3] 2017年诺贝尔物理学奖颁给LIGO科学合作组织的三位主要成员，以表彰他们对引力波研究的卓越贡献。在物理学中，引力波是指时空弯曲中的涟漪，通过波的形式从辐射源向外传播，并以引力辐射的形式传输能量。2015年9月，LIGO科学合作组织成功探测到来自于13亿年前两个黑洞合并时产生的引力波信号。假设两黑洞合并前绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，不计其他天体的影响，下列判断正确的是( )
A．合并前两黑洞间的万有引力越来越小
B．合并前两黑洞旋转的周期越来越大
C．合并前两黑洞旋转的线速度越来越大
D．合并前后两黑洞的总质量保持不变
C [设两个黑洞的质量分别为M1、M2，合并前两者的距离为L，M1绕它们连线的某一点运动的轨道半径为R1，M2的轨道半径为R2，它们之间的万有引力提供向心力，它们具有相同的周期，万有引力F＝Geq \f(M1M2,L2)，两黑洞合并前M1、M2都不变，而L越来越小，故万有引力越来越大，A项错误；根据Geq \f(M1M2,L2)＝M1eq \f(4π2,T2)R1＝M2eq \f(4π2,T2)R2，解得M1＝eq \f(4π2L2,GT2)R2，M2＝eq \f(4π2L2,GT2)R1，则两黑洞的总质量为M1＋M2＝eq \f(4π2L2,GT2)·(R1＋R2)＝eq \f(4π2L3,GT2)，解得T＝eq \r(\f(4π2L3,GM1＋M2))，合并前两黑洞的总质量M1＋M2不变，L减小，故周期T也在减小，B项错误；根据Geq \f(M1M2,L2)＝M1eq \f(v\\al(2,1),R1)，解得v1＝eq \r(\f(GM2R1,L2))，同理得v2＝eq \r(\f(GM1R2,L2))，由于L2比R1、R2的减小量大，则线速度增大，C项正确；双黑洞的合并过程中释放能量，故一定存在质量亏损，D项错误。]
卫星通讯应用
[示例4] (多选)(2020·重庆一中摸底考试)我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，可为中低轨道卫星提供数据通讯，“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b与地球的位置关系如图所示，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为θ1和θ2(θ2在图中未标出)，卫星a的轨道半径是b的9倍，且a、b均绕地球同向运行，已知卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a的通讯盲区，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略，下列分析正确的是( )
A．卫星a、b的速度之比为1∶9
B．卫星b的周期为eq \f(T,27)
C．卫星b每次在盲区运行的时间为eq \f(θ1＋θ2,52π)T
D．卫星b每次在盲区运行的时间为eq \f(θ1＋θ2,54π)T
BC [设卫星a、b的轨道半径分别为r1和r2，地球半径为R，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，由r1＝9r2可知卫星a、b的速度之比为1∶3，选项A错误；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，结合r1＝9r2，则卫星b的周期为eq \f(T,27)，选项B正确；如图所示，A、B两点是卫星a在图示位置时与卫星b的通迅盲区的两个边缘位置，由几何知识可得∠AOB＝θ1＋θ2，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,\f(T,27))－\f(2π,T)))t＝∠AOB＝θ1＋θ2，解得卫星b每次在盲区运行的时间为t＝eq \f(θ1＋θ2,52π)T，选项C正确，D错误。]
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇
宙速度
7.9
地球卫星最小发射速度(最大环绕速度)
第二宇
宙速度
11.2
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)
第三宇
宙速度
16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)
一、开普勒行星运动定律
1．开普勒第一定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3．开普勒第三定律
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：eq \f(a3,T2)＝k。
二、万有引力定律
1．内容
(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定。
3．适用条件
(1)两个质点之间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时物体可视为质点。
(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离。
三、宇宙速度
1．三种宇宙速度比较
2.第一宇宙速度的计算方法
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(\f(GM,R))。
(2)由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)。
一、思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
1．地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。(√)
2．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中k值与中心天体质量无关。(×)
4．第一宇宙速度与地球的质量有关。(√)
5．地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。(×)
二、走进教材
1．(教科版必修2P44T2改编)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D错误；由开普勒第三定律得eq \f(r\\al(3,火),T\\al(2,火))＝eq \f(r\\al(3,木),T\\al(2,木))，故eq \f(T\\al(2,火),T\\al(2,木))＝eq \f(r\\al(3,火),r\\al(3,木))，C正确。]
2．(人教版必修2P43T2改编)若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则eq \f(g′,g)为( )
A．1 B．eq \f(1,9) C．eq \f(1,4) D．eq \f(1,16)
D [根据万有引力等于重力，列出等式：eq \f(GMm,r2)＝mg，g＝eq \f(GM,r2)，其中M是地球的质量，r应该是物体在某位置到球心的距离。eq \f(g′,g)＝eq \f(\f(1,4R2),\f(1,R2))＝eq \f(1,16)，故D正确。]
3．(人教版必修2P48T3改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的“第一宇宙速度”约为( )
A．2 km/sB．4 km/s
C．16 km/sD．32 km/s
C [设地球质量M，某星球质量6M，地球半径r，某星球半径1.5r，由万有引力提供向心力做匀速圆周运动得：Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，解得：v＝eq \r(\f(GM,r))，分别带入地球和某星球的各物理量得：v地球＝eq \r(\f(GM,r))，v星球＝eq \r(\f(6GM,1.5r))＝2eq \r(\f(GM,r))＝2v地球＝16 km/s，故C正确。]
开普勒定律的理解和应用 eq \([依题组训练])
1．对于开普勒行星运动定律的理解，下列说法正确的是( )
A．开普勒通过自己长期观测，记录了大量数据，通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律
B．根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹是圆，太阳处于圆心位置
C．根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大；距离太阳越远，其运动速度越小
D．根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
C [第谷进行了长期观测，记录了大量数据，开普勒通过对数据研究总结得出了开普勒行星运动定律，选项A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，选项B错误；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速度越大，距离太阳越远，其运动速度越小，选项C正确；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动轨道的半长轴的三次方跟它公转周期的二次方成正比，选项D错误。]
2．(2020·山东等级考一模)2019年10月28日发生了天王星冲日现象，即太阳、地球、天王星处于同一直线，此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R0，天王星和地球的公转周期分别为T和T0，则天王星与太阳的距离为( )
A．eq \r(3,\f(T2,T\\al(2,0)))R0 B．eq \r(\f(T3,T\\al(3,0)))R0
C．eq \r(3,\f(T\\al(2,0),T2))R0 D．eq \r(\f(T\\al(3,0),T3))R0
A [由开普勒第三定律可知：eq \f(R3,T2)＝eq \f(R\\al(3,0),T\\al(2,0))，所以R＝eq \r(3,\f(T2,T\\al(2,0)))R0。]
3.(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )
A．TA>TBB．EkA>EkB
C．SA＝SB D．eq \f(R\\al(3,A),T\\al(2,A))＝eq \f(R\\al(3,B),T\\al(2,B))
AD [根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r知，轨道半径越大，周期越大，所以TA>TB，故A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)知，v＝eq \r(\f(GM,r))，所以vB>vA，又因为A、B质量相等，所以EkB>EkA，故B错误；根据开普勒第二定律可知，同一卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，故C错误；由开普勒第三定律知D正确。]
应用开普勒行星运动定律的三点注意
(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。
(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
(3)开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。
万有引力定律的理解及应用 eq \([讲典例示法])
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
2．星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：
mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)。
3．估算天体质量和密度的两种方法
(1)“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G)。
②天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR)。
(2)“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
②若已知天体的半径R，则天体的密度
ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)。
eq \([典例示法]) (多选)若宇航员在月球表面附近高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A．月球表面的重力加速度g月＝eq \f(hv\\al(2,0),L2)
B．月球的平均密度ρ＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)
C．月球的第一宇宙速度v＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR)
D．月球的质量m月＝eq \f(hR2v\\al(2,0),GL2)
关键信息：“水平抛出一个小球，测出水平射程”，可获得月球表面的重力加速度。
BC [设月球表面的重力加速度为g月，小球在月球表面做平抛运动，根据平抛知识可知在水平方向上L＝v0t，在竖直方向上h＝eq \f(1,2)g月t2，解得g月＝eq \f(2hv\\al(2,0),L2)，故A错误；在月球表面eq \f(Gm月m,R2)＝mg月，解得m月＝eq \f(2hR2v\\al(2,0),GL2)，则月球密度为ρ＝eq \f(m月,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(2hR2v\\al(2,0),GL2),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3hv\\al(2,0),2πGL2R)，故B正确，D错误；月球的第一宇宙速度v＝eq \r(g月R)＝eq \f(v0,L)eq \r(2hR)，故C正确。]
估算天体质量和密度的“四点”注意
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，而非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星，才有r≈R；计算天体密度时，V＝eq \f(4,3)πR3中的“R”只能是中心天体的半径。
(3)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等。
(4)关注黄金代换式GM＝gR2的应用。
eq \([跟进训练])
万有引力定律的简单应用
1．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2B．0.4
C．2.0D．2.5
B [由万有引力定律可得，质量为m的物体在地球表面上时，受到的万有引力大小为F地＝Geq \f(M地m,R\\al(2,地))，质量为m的物体在火星表面上时，受到的万有引力大小为F火＝Geq \f(M火m,R\\al(2,火))，二者的比值eq \f(F火,F地)＝eq \f(M火R\\al(2,地),M地R\\al(2,火))＝0.4，B正确，A、C、D错误。]
与重力加速度有关的计算
2．(2020·山东省实验中学第二次月考)中国科技发展两个方向：即“上天”和“入地”两大工程。其中“上天”工程指“神舟”载人飞船、天宫空间站和探月工程；“入地”工程指“蛟龙”号深海下潜。若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，已知均匀球壳对内部任意一点万有引力为零。“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h。“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为( )
A．eq \f(R－d,R＋h) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R－d,R＋h)))eq \s\up12(2)
C．eq \f(R－dR＋h2,R3) D．eq \f(R－dR＋h,R2)
C [设地球质量为M，密度为ρ，在地球表面，物体重力等于地球对其的万有引力，故有eq \f(GMm,R2)＝mg，又M＝ρeq \f(4,3)πR3，
整理后得g＝Gρeq \f(4,3)πR。根据题意有，均匀球壳对内部任意一点万有引力为零，故在深度为d的地球内部，“蛟龙”号受到地球的万有引力即为半径为R－d的球体在其表面产生的万有引力，所以在深度为d的地球内部的重力加速度为g′＝Gρeq \f(4,3)π(R－d)。对于“天宫一号”，根据万有引力提供向心力有eq \f(GMm,R＋h2)＝man，解得“天宫一号”所在处的重力加速度an＝eq \f(Gρ\f(4,3)πR3,R＋h2)，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为eq \f(g′,an)＝eq \f(R－dR＋h2,R3)。]
天体质量和密度的估算
3.如图所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道。若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h的圆形轨道上绕土星飞行，环绕一周飞行时间为T，已知引力常量为G，则下列关于土星质量M和平均密度的表达式正确的是( )
A．M＝eq \f(4π2R2,GT2)，ρ＝eq \f(3π,GT2)
B．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h2,GT2R3)
C．M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)，ρ＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)
D．M＝eq \f(4π2T2R＋h3,G)，ρ＝eq \f(3πT2R＋h3,GR3)
C [设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，Geq \f(Mm,R＋h2)＝meq \f(4π2,T2)(R＋h)，解得M＝eq \f(4π2R＋h3,GT2)。又土星体积V＝eq \f(4,3)πR3，所以ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(3πR＋h3,GT2R3)，故C正确，A、B、D错误。]
宇宙速度及卫星运行参数的分析计算 eq \([讲典例示法])
1．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s
(4)v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
2．物理量随轨道半径变化的规律
3．同步卫星的六个“一定”
eq \([典例示法]) 如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是( )
A．b卫星转动线速度大于7.9 km/s
B．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>ac
C．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Tc>Tb>Ta
D．在b、c中，b的速度大
思路点拨：解此题抓住以下两个环节：
(1)赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度(周期)。
(2)赤道上物体与卫星比较物理量时，要借助同步卫星过渡。
D [b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，根据万有引力定律有Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)，解得v＝eq \r(\f(GM,R))，代入数据得v＝7.9 km/s，故A错误；地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝eq \f(GM,r2)得b的向心加速度大于c的向心加速度，即ab>ac>aa，故B错误；卫星c为同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2πeq \r(\f(r3,GM))得c的周期大于b的周期，即Ta＝Tc>Tb，故C错误；在b、c中，根据v＝eq \r(\f(GM,r))，可知b的速度比c的速度大，故D正确。]
研究卫星运行熟悉“三星一物”
(1)同步卫星：周期、轨道平面、高度、线速度的大小、角速度、绕行方向均是固定不变的。
(2)极地卫星：轨迹经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(3)近地卫星：在地球表面附近做匀速圆周运动的卫星，其轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。
(4)赤道上的物体随地球自转而做匀速圆周运动，它的运动规律不同于卫星，但它的周期、角速度与同步卫星相等。
eq \([跟进训练])
宇宙速度的认识
1．(多选)下列关于三种宇宙速度的说法正确的是( )
A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
CD [根据v＝eq \r(\f(GM,r))可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的运行速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，卫星在其他圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误，D正确；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳的引力范围内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球引力束缚，成为一颗绕太阳运行的人造行星的最小发射速度，选项C正确。]
卫星运行参量的分析与计算
2．第45颗北斗导航卫星属于地球静止轨道卫星，该卫星与此前发射的倾斜地球同步轨道卫星(代号为P，周期与地球自转周期相同)、中圆地球轨道卫星(代号为Q)和地球同步轨道卫星(代号为S)进行组网，若这三种不同类型的卫星的轨道都是圆轨道，已知中圆地球轨道卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，下列说法正确的是( )
A．P和S绕地球运动的向心加速度大小相等
B．这三种不同类型轨道卫星的线速度大小有可能相同
C．这三种不同类型轨道卫星的周期有可能相同
D．P和S绕地球运动的向心力大小一定相等
A [由Geq \f(Mm,r2)＝ma可知，P和S绕地球运动的向心加速度大小相等，A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，中圆地球轨道卫星的线速度大于同步卫星的线速度，B错误；由于中圆地球轨道卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，由开普勒第三定律可知，中圆地球轨道卫星的周期小于同步卫星的周期，C错误；由于P和S的质量不一定相等，所以P和S绕地球运动的向心力大小不一定相等，D错误。]
近地卫星、同步卫星与赤道上物体的比较
3．地球赤道上有一物体随地球自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3。地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则( )
A．F1＝F2>F3B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3D．ω1＝ω3<ω2
D [地球同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1
宇宙航天中的STSE问题
航天科技的发展在增强民族自信、展示国威军威、实现可持续发展战略等方面产生了巨大的影响。结合最新的科技成果考查物理学相关知识是近几年高考的热点。高考中以这类热门素材命题， 旨在引导学生理解科学、技术、社会、环境的关系，逐渐形成良好的科学态度与社会责任。
北斗导航系统
[示例1] 2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射第55颗北斗导航卫星。如图所示，是导航系统中倾斜地球同步轨道卫星的运行轨道面与地球赤道面有夹角，运行周期等于地球的自转周期。倾斜地球同步轨道卫星正常运行，则下列说法正确的是( )
A．此卫星相对地面静止
B．如果有人站在地球赤道的地面上，此人的向心加速度比此卫星的向心加速度大
C．此卫星的发射速度小于地球的第一宇宙速度
D．此卫星轨道正下方某处的人用望远镜观测，可能会一天看到两次此卫星
D [倾斜地球同步轨道卫星相对地面有运动，而地球同步轨道卫星相对于地球静止，选项A错误；赤道上的人的角速度与同步卫星的角速度相同，但运动半径较小，根据a＝ω2r可知，赤道上的人的向心加速度小于此卫星的向心加速度，选项B错误；地球的第一宇宙速度是地球上发射卫星的最小速度，选项C错误；如题图所示，地球同步轨道与倾斜同步轨道有两个交点，由于地球的自转，交点位置正下方的人用望远镜观测，一天能看到两次此卫星，选项D正确。]
地月拉格朗日点与中继卫星“鹊桥”
[示例2] (2020·武汉调研)2018年6月14日，中继卫星“鹊桥”顺利进入以地月拉格朗日L2点为中心的Hal轨道；2019年1月3日，嫦娥四号探测器成功登陆月球。至此，我国实现了人类历史上首次月球背面软着陆和巡视探测，首次实现了月球背面同地球的中继通信。同学们进行了如下讨论：
甲：嫦娥四号的发射速度必须达到第三宇宙速度；
乙：嫦娥四号在月面着陆过程中，如果关闭发动机，其加速度一定为9.8 m/s2；
丙：“鹊桥”在Hal轨道上运动时，只受到地球和月球对它的万有引力；
丁：Hal轨道的半径足够大，才能实现地面测控站与嫦娥四号之间的中继通信。
上述看法正确的是( )
A．甲B．乙
C．丙D．丁
D [嫦娥四号探测器成功登陆月球，但仍然随着月球环绕地球运行，因此其发射速度小于第二宇宙速度，A错误；嫦娥四号在月面着陆过程中，如果关闭发动机，其加速度应近似等于月球表面的重力加速度，B错误；“鹊桥”在Hal轨道上运动时，除受地球、月球的万有引力的作用外，还受到自身的动力作用，C错误；由题图可知，Hal轨道的半径足够大，才能使其发射的信号到达地球，以实现中继通信，D正确。]
引力波的发现
[示例3] 2017年诺贝尔物理学奖颁给LIGO科学合作组织的三位主要成员，以表彰他们对引力波研究的卓越贡献。在物理学中，引力波是指时空弯曲中的涟漪，通过波的形式从辐射源向外传播，并以引力辐射的形式传输能量。2015年9月，LIGO科学合作组织成功探测到来自于13亿年前两个黑洞合并时产生的引力波信号。假设两黑洞合并前绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，不计其他天体的影响，下列判断正确的是( )
A．合并前两黑洞间的万有引力越来越小
B．合并前两黑洞旋转的周期越来越大
C．合并前两黑洞旋转的线速度越来越大
D．合并前后两黑洞的总质量保持不变
C [设两个黑洞的质量分别为M1、M2，合并前两者的距离为L，M1绕它们连线的某一点运动的轨道半径为R1，M2的轨道半径为R2，它们之间的万有引力提供向心力，它们具有相同的周期，万有引力F＝Geq \f(M1M2,L2)，两黑洞合并前M1、M2都不变，而L越来越小，故万有引力越来越大，A项错误；根据Geq \f(M1M2,L2)＝M1eq \f(4π2,T2)R1＝M2eq \f(4π2,T2)R2，解得M1＝eq \f(4π2L2,GT2)R2，M2＝eq \f(4π2L2,GT2)R1，则两黑洞的总质量为M1＋M2＝eq \f(4π2L2,GT2)·(R1＋R2)＝eq \f(4π2L3,GT2)，解得T＝eq \r(\f(4π2L3,GM1＋M2))，合并前两黑洞的总质量M1＋M2不变，L减小，故周期T也在减小，B项错误；根据Geq \f(M1M2,L2)＝M1eq \f(v\\al(2,1),R1)，解得v1＝eq \r(\f(GM2R1,L2))，同理得v2＝eq \r(\f(GM1R2,L2))，由于L2比R1、R2的减小量大，则线速度增大，C项正确；双黑洞的合并过程中释放能量，故一定存在质量亏损，D项错误。]
卫星通讯应用
[示例4] (多选)(2020·重庆一中摸底考试)我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，可为中低轨道卫星提供数据通讯，“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b与地球的位置关系如图所示，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为θ1和θ2(θ2在图中未标出)，卫星a的轨道半径是b的9倍，且a、b均绕地球同向运行，已知卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a的通讯盲区，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略，下列分析正确的是( )
A．卫星a、b的速度之比为1∶9
B．卫星b的周期为eq \f(T,27)
C．卫星b每次在盲区运行的时间为eq \f(θ1＋θ2,52π)T
D．卫星b每次在盲区运行的时间为eq \f(θ1＋θ2,54π)T
BC [设卫星a、b的轨道半径分别为r1和r2，地球半径为R，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，解得v＝eq \r(\f(GM,r))，由r1＝9r2可知卫星a、b的速度之比为1∶3，选项A错误；由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，结合r1＝9r2，则卫星b的周期为eq \f(T,27)，选项B正确；如图所示，A、B两点是卫星a在图示位置时与卫星b的通迅盲区的两个边缘位置，由几何知识可得∠AOB＝θ1＋θ2，则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,\f(T,27))－\f(2π,T)))t＝∠AOB＝θ1＋θ2，解得卫星b每次在盲区运行的时间为t＝eq \f(θ1＋θ2,52π)T，选项C正确，D错误。]
宇宙速度
数值(km/s)
意义
第一宇
宙速度
7.9
地球卫星最小发射速度(最大环绕速度)
第二宇
宙速度
11.2
物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)
第三宇
宙速度
16.7
物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)
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