2022届高考物理一轮复习5.3机械能守恒定律及应用学案新人教版

第3讲　机械能守恒定律及应用

知识点一　重力做功与重力势能的关系

1．重力做功的特点

(1)重力做功与________无关，只与始末位置的________有关．

(2)重力做功不引起物体________的变化．

2．重力势能

(1)表达式：Ep＝________.

(2)重力势能的特点

3.重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能________；重力对物体做负功，重力势能________．

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝________＝________.

知识点二　弹性势能

1．定义：发生________的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．

2．弹簧弹性势能大小的决定因素：形变量和劲度系数．

3．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能________；弹力做负功，弹性势能________，即W＝________.

知识点三　机械能守恒定律

1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，________与________可以互相转化，而总的机械能________．

2．表达式：mgh1＋m＝________.

3．机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功．

思考辨析

(1)被举到高处的物体的重力势能一定不为零．(　　)

(2)物体在速度增大时，其机械能可能在减小．(　　)

(3)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．(　　)

(4)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．(　　)

(5)弹力做正功，弹性势能一定增加．(　　)

教材改编

[人教版必修2P78T3改编](多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)

A．重力对物体做的功为mgh

B．物体在海平面上的势能为mgh

C．物体在海平面上的动能为m－mgh

D．物体在海平面上的机械能为m

考点一　机械能守恒的理解与判断

自主演练

机械能守恒的判断方法

(1)直接判断法：物体的动能与势能之和保持不变．

(2)做功判断法：只有重力或系统内的弹力做功，其他力做功代数和为0.

(3)能量转化判断法：系统内只有动能和势能的转化，没有其他形式的能转化．

[多维练透]

1.奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示．下列说法不正确的是(　　)

A．加速助跑过程中，运动员的动能增加

B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加

C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加

D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少，动能增加

2. [2021·福州模拟]如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，小球

从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)

A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功

B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态

C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒

D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒

3.如图所示，倾角为θ的光滑斜面体C固定于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，释放后，A将向下运动，则在A碰地前的运动过程中(　　)

A．A的加速度大小为g

B．物体A机械能守恒

C．由于斜面光滑，所以物块B机械能守恒

D．A、B组成的系统机械能守恒

考点二　单个物体的机械能守恒问题

师生共研

机械能守恒定律的表达式

例1 取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力，该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【考法拓展1】　在【例1】中如果抛出点足够高，当物块的动能等于重力势能的两倍时，速度与水平方向的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

【考法拓展2】　在【例1】中原题改为，物块由静止释放，当重力势能等于动能时，物块距离地面的高度与释放点距离地面高度的比值为(　　)

A．2  B.  C．3  D.

练1　[2020·江西九校4月联考，17]2022年第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一．图为一简化后的跳台滑雪的轨道示意图，运动员(可视为质点)从起点由静止开始自由滑过一段圆心角为60°的光滑圆弧轨道，从A点水平飞出，然后落到斜坡上的B点．已知A点是斜坡的起点，光滑圆弧轨道半径为40 m，斜坡与水平面的夹角θ＝30°，运动员的质量m＝60 kg(重力加速度g＝10 m/s2，阻力忽略不计)．下列说法正确的是(　　)

A．运动员到达A点时对轨道的压力大小为1 200 N

B．运动员从起点运动到B点的整个过程中机械能不守恒

C．运动员到达A点时重力的瞬时功率为104 W

D．运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为s

练2　 (多选)如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，B点在O点的正上方，小球自A端正上方高h处由静止释放，自由下落至A端进入管道，要使小球最终恰好停在管道的B处，则满足条件的h值为(　　)

A．R  B.R  C.R  D.R

练3　如图所示，倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点，轨道半径R＝1 m，将滑块由B点无初速度释放，滑块恰能运动到圆周的C点，OC水平，OD竖直，xAB＝2 m，滑块可视为质点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：

(1)滑块在斜面上运动的时间；

(2)若滑块能从D点抛出，滑块仍从斜面上无初速度释放，释放点至少应距A点多远．

题后反思

考点三　多个物体的机械能守恒问题

多维探究

题型1|绳连接的物体

例2 如图所示，用轻绳跨过定滑轮悬挂质量为m1、m2的两个物体A、B，已知m1>m2.若滑轮质量及一切摩擦都不计，则系统由静止开始运动的过程中(　　)

A．A、B各自的机械能守恒

B．A减少的机械能等于B增加的重力势能

C．A减少的重力势能等于B增加的重力势能

D．当A下落高度为h时，若A的速度为v，则m1gh－m2gh＝ (m1＋m2)v2

题型2|杆连接的物体

例3 如图所示，质量分别为m和3m的两个小球a和b用一长为2L的轻杆连接，杆可绕中点O在竖直平面内无摩擦运动．现将杆处于水平位置后无初速度释放，重力加速度为g.则下列说法正确的是(　　)

A．在转动过程中，a球的机械能守恒

B．b球转动到最低点时处于失重状态

C．a球到达最高点时速度大小为

D．运动过程中，b球的高度可能大于a球的高度

题型3|弹簧连接的物体

例4 如图所示，右边传送带长L＝15 m、逆时针转动速度为v0＝16 m/s，左边是光滑竖直半圆轨道(半径R＝0.8 m)，中间是光滑的水平面AB(足够长)．用轻质细线连接甲、乙两物体，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲、乙两物体不拴连．甲的质量为m1＝3 kg，乙的质量为m2＝1 kg，甲、乙均静止在光滑的水平面上．现固定甲物体，烧断细线，乙物体离开弹簧后在传送带上滑行的最远距离为sm＝12 m．传送带与乙物体间动摩擦因数为0.6，重力加速度g取10 m/s2，甲、乙两物体可看作质点．

(1)固定乙物体，烧断细线，甲物体离开弹簧后进入半圆轨道，求甲物体通过D点时对轨道的压力大小；

(2)甲、乙两物体均不固定，烧断细线以后(甲、乙两物体离开弹簧时的速度大小之比为＝)，问甲物体和乙物体能否再次在AB面上发生水平碰撞？若碰撞，求再次碰撞前瞬间甲、乙两物体的速度；若不会碰撞，说明原因．

练4　如图所示，足够长的半径为R＝0.4 m的圆弧形光滑轨道固定于竖直平面内，圆弧形轨道与光滑固定的水平轨道相切，可视为质点的质量均为m＝0.5 kg的小球甲、乙用轻杆连接，置于圆弧形轨道上，小球甲与O点等高，小球乙位于圆心O的正下方．某时刻将两小球由静止释放，最终它们在水平面上运动．g取10 m/s2.则(　　)

A．两小球由静止释放后速度大小相等，最终在水平面上运动的速度大小为4 m/s

B．小球甲下滑过程中重力对它做功的功率一直增大

C．小球甲下滑到圆弧形轨道最低点对轨道压力的大小为5 N

D．整个过程中轻杆对小球乙做的功为1 J

练5　如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长．用手托住物体B使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放．求

(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；

(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；

(3)物体A的最大速度的大小．

练6　[2020·江苏卷，15]如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动．在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R.在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物．重物由静止下落，带动鼓形轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g.求：

(1)重物落地后，小球线速度的大小v；

(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；

(3)重物下落的高度h.

第3讲　机械能守恒定律及应用

基础落实

知识点一

1．(1)路径　高度差　(2)机械能

2．(1)mgh　(2)物体和地球　有关　无关

3．(1)减小　增大　(2)－(Ep2－Ep1)　－ΔEp

知识点二

1．弹性形变

3．减小　增加　－ΔEp

知识点三

1．动能　势能　保持不变

2．mgh2＋m

思考辨析

(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

教材改编

解析：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故A正确；以地面为零势能面，海平面低于地面h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故B错误；由动能定理得：mgh＝Ek2－m，物体在海平面上的动能为：Ek2＝m＋mgh，故C错误；整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为m，所以物体在海平面时的机械能也为m，故D正确．故选AD.

答案：AD

考点突破

1．解析：运动员加速助跑过程中，速度增加，动能增加，选项A正确；起跳上升过程中杆的弹性势能先增大后减小，运动员的重力势能一直增加，选项C正确，B错误；越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少，速度增加，动能增加，选项D正确．

答案：B

2．解析：小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但实际上没有动，整个系统中只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒；小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒；小球从A点至到达槽最低点过程中，小球先失重，后超重；小球由最低点向右侧最高点运动的过程中，半圆形槽也向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒，故选项C正确．

答案：C

3．解析：物体A向下运动的过程中除受到重力以外，还受到细绳向上的拉力，物体A下落的加速度一定小于g，故A错误；物体A下落过程中，细绳的拉力做负功，A的机械能不守恒，故B错误；由于斜面光滑，A、B组成的系统在整个运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，但细绳拉力对B做正功，B的机械能增加，故C错误，D正确．

答案：D

例1　解析：设物块的初速度为v0，质量为m，依题意有：mgh＝m，设物块落地瞬间水平速度分量为vx，竖直速度分量为vy，则根据平抛运动的规律可得：vx＝v0，vy＝，即vx＝vy＝v0，所以物块落地时速度方向与水平方向夹角为，B项正确．

答案：B

考法拓展1　解析：设物块水平抛出的初速度为v0，抛出时的高度为h.根据题意，由m＝mgh，有v0＝，；设当物块的动能等于重力势能的两倍时，物块距离地面的高度为h′，由机械能守恒定律得：2mgh＝mgh′＋mv2，又2mgh′＝mv2，解得h′＝h，则此时物块在竖直方向上的分速度为vy＝＝，则tan θ＝＝，即速度与水平方向的夹角为.选项A正确．

答案：A

考法拓展2　解析：假设释放点距离地面的高度为h，重力势能等于动能时距离地面的高度为h′.则由机械能守恒定律得mgh＝2mgh′，则＝.故选项B正确．

答案：B

练1　解析：运动员在光滑的圆弧轨道上的运动和随后的平抛运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，故B错误；运动员在光滑的圆弧轨道上运动的过程中机械能守恒，所以mgR(1－cos 60°)＝mv2，由牛顿第二定律可得，N－mg＝，得N＝1 200 N，故到达A点时对轨道的压力大小为1 200 N，故A正确；此时速度沿水平方向，故重力的瞬时功率为零，故C错误；由h＝gt2，s＝vt，tan θ＝，可得t＝＝s，故D错误．

答案：A

练2　解析：情境一：从B点等高处释放小球．由机械能守恒得mgh1＝mgR，所以h1＝R，A项正确．情境二：从高于B点某高度处释放小球，小球从B点以一定速度滑出后做平抛运动，恰好落至A点，并从A点再次进入管道．由于小球和管道发生碰撞，沿水平方向的分速度减为零，小球又恰好返回B点．小球从高度h2处释放后第一次运动至管道B处的过程中，由机械能守恒得mgh2＝mgR＋m.小球从B点飞出后做平抛运动，水平方向有R＝vBt，竖直方向有R＝gt2，联立解得h2＝，D项正确．

答案：AD

练3　解析：(1)设滑块到达A点的速度为vA，从A到C过程机械能守恒有

m＝mgRcos 37°

从B到A过程，滑块做匀加速直线运动，由匀变速直线运动规律可知＝2axAB，vA＝at

联立各式解得a＝4 m/s2，t＝1 s

(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD，在D点，由重力提供向心力，

有mg＝m

从A到D由机械能守恒有

m＝mgR(1＋cos 37°)＋m

＝2ax′

联立各式解得x′＝5.75 m.

答案：(1)1 s　(2)5.75 m

例2　解析：把A、B看成一个系统，系统的机械能与其他形式的能量之间没有转化，系统机械能守恒，但就每个物体而言，绳子的拉力都对其做功，机械能均发生变化，A错误；B增加的机械能与A减少的机械能相等，B错误；由于m1>m2，A减少的重力势能大于B增加的重力势能，C错误；二者运动过程中位移大小相等、速度大小相等，由ΔEp＝－ΔEk可知D正确．

答案：D

例3　解析：转动过程中，整个系统只有重力和系统内弹力做功，故机械能守恒，又有动能不可能为负，b球质量大于a球质量，故b球的高度不可能大于a球的高度，两球速度大小相等，根据机械能守恒可知a球的机械能不可能守恒，故A、D错误；b球转动到最低点时，速度不为零，向心力不为零，合外力方向向上，b球处于超重状态，故B错误；a球到达最高点时，由机械能守恒得3mgL－mgL＝mv2＋·3mv2，解得a球到达最高点时速度大小v＝，故C正确．

答案：C

例4　解析：(1)乙物体滑上传送带做匀减速运动：μm2g＝m2a①

由运动学公式：＝2asm②

由机械能守恒定律得弹簧压缩时的弹性势能Ep＝m2③

固定乙物体，烧断细线，甲物体离开弹簧的速度满足：Ep＝m1④

甲物体从B运动到D过程中机械能守恒：

2m1gR＝m1－m1⑤

甲物体在D点：

m1g＋FN＝m1⑥

联立①～⑥得FN＝30 N

由牛顿第三定律知F′N＝FN＝30 N

(2)甲、乙两物体均不固定，烧断细线以后：

EP＝m1＋m2

由题意：＝

解得：v′1＝2 m/s，v′2＝6 m/s

之后甲物体沿轨道上滑，设上滑的最高点高度为h，则m1＝m1gh，

得h＝0.6 m<0.8 m

滑不到与圆心等高位置就会返回，返回AB面上时速度大小仍然是＝2 m/s

乙物体滑上传送带，因v′2＝6 m/s<16 m/s，则乙物体先向右做匀减速运动，后向左做匀加速运动．

由对称性可知乙物体返回AB面上时速度大小仍然为v′2＝6 m/s

甲物体和乙物体能再次在AB面上发生水平碰撞．

答案：(1)30 N　(2)见解析

练4　解析：两个球组成的系统机械能守恒，则mgR＝mv2＋mv2，解得v＝＝m/s＝2 m/s，故A错误；小球甲下滑过程中，最高点速度为零，故重力的功率为零，最低点速度和重力垂直，故重力的功率也是零，而运动过程中重力的功率不为零，故重力的功率先增加后减小，故B错误；小球甲下滑到圆弧形轨道最低点时，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，解得FN＝mg＋m＝ N＝10 N，根据牛顿第三定律，压力也为10 N，故C错误；整个过程中，对球乙根据动能定理得W＝mv2＝×0.5×22 J＝1 J，故D正确．

答案：D

练5　解析：(1)恢复原长时

对B有mg－FT＝ma

对A有FT－mgsin 30°＝ma

解得FT＝30 N.

(2)初态弹簧压缩x1＝＝10 cm

当A速度最大时mg＝kx2＋mgsin 30°

弹簧伸长x2＝＝10 cm

所以A沿斜面上升x1＋x2＝20 cm.

(3)因x1＝x2，故弹性势能改变量ΔEp＝0，由系统机械能守恒

mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝×2m·v2

得v＝g·＝1 m/s.

答案：(1)30 N　(2)20 cm　(3)1 m/s

练6　解析：(1)线速度v＝ωr

得v＝2ωR

(2)向心力F向＝2mω2R

设F与水平方向的夹角为α，则Fcos α＝F向；

Fsin α＝mg

解得F＝

(3)落地时，重物的速度v′＝ωR，由机械能守恒得Mv′2＋4×mv2＝Mgh

解得h＝(ωR)2