北师大版六年级数学下册全册教案

这是一份小学数学北师大版六年级下册本册综合教案，共198页。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　



本单元是小学阶段学习几何知识的最后一部分内容,包括圆柱与圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥的体积。圆柱与圆锥是人们在生活和生产中经常遇到的几何体,教学这一部分内容,有利于进一步发展学生的空间观念,为进一步学习复杂图形的体积和解决有关圆柱与圆锥的实际问题打下基础。
本单元采用直观入手的方法,通过让学生多观察、多动手、多实践来认识形体特征,并在掌握形体特征的基础上理解表面积的求法,通过变形和做实验的方法得出圆柱和圆锥的体积计算方法,在掌握计算方法的基础上让学生运用知识解决问题,从而达到提高能力的目的。

学生已经直观认识了长方体、正方体和球,并初步了解了长方形、正方形、圆等平面图形的性质,学习了这些图形的面积,还认识了长方体(正方体),掌握了长方体(正方体)表面积和体积的含义及计算方法。在此基础上,本单元进一步学习圆柱和圆锥的知识。本单元主要通过五个活动,引导学生学习面的旋转(圆柱与圆锥的认识)、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积等内容,并让学生参与实践活动。



　　1.结合具体情境和操作活动,引导学生整体把握“点、线、面、体”之间的联系。
2.理解圆柱的表面积、侧面积、体积的意义,从多个角度探索圆柱和圆锥的特征。
3.探索圆柱表面积的计算方法,发展空间观念,能灵活解决实际问题。
4.经历圆柱和圆锥体积计算方法的探索过程,体会“类比”的思想。
5.在解决实际问题的过程中,感受数学与生活的联系。


1.结合具体情境和操作活动,引导学生经历“点动成线”“线动成面”“面动成体”的过程,体会“点、线、面、体”之间的联系 ,由“平面图形经过旋转可形成几何体”,通过快速旋转小旗,引导学生结合空间想象体会立体图形的形成过程,发展空间观念。
2.重视操作与想象相结合,这是学生认识图形、探索图形特征、发展空间观念的重要途径。
3.引导学生经历探索圆柱和圆锥体积计算方法的过程,体会类比等合情推理时常用的数学思想和方法,重视类比、转化等数学思想方法的渗透。在教学“圆柱的体积”时,引导学生经历“类比猜想——验证说明”的探索过程,通过把圆柱切割拼成近似的长方体进行研究,体现了化曲为直的思想方法。
4.在解决实际问题中巩固所学知识,感受圆柱和圆锥的知识在生活中有着较为广泛的应用。通过对实际问题的解决,使学生巩固对所学知识的理解,体会数学知识在生活中的广泛应用,丰富对现实空间的认识,逐步形成学好数学的情感和态度。

1　面的旋转 1课时
2　圆柱的表面积 1课时
3　圆柱的体积 1课时
4　圆锥的体积 1课时
5　练习一 1课时




面的旋转。(教材第2~4页)

1.通过由面旋转成体的过程,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征,知道圆柱和圆锥的各部分名称。
2.通过观察和动手操作,初步体会“点、线、面、体”之间的关系,发展空间观念。
3.通过初步认识圆柱和圆锥,使学生感受数学与生活的密切联系。

重点:在生活中辨认圆柱形和圆锥形物体。初步了解圆柱和圆锥的特征和各部分名称。
难点:初步了解圆柱和圆锥的特征和各部分名称。

长方形、三角尺、直尺、圆柱和圆锥模型等。



师:同学们,我们生活在动的世界里,风吹树梢动,鸟儿飞翔翅膀动,就连我们身体内的血液每时每刻都在不停地流动,其实我们的数学世界也正因为有了动而变得丰富多彩。现在让我们做实验感受一下吧!(课件出示一组图片,并进行旋转)
师:请同学们仔细观察,你发现了什么?
生:这些图形都可以通过旋转得来。
师:这就是旋转的奥妙。
师:首先我们把这个小球看成一点,那么它的运动轨迹是怎样的呢?
同桌讨论,然后汇报。
生:曲线。
师:能具体概括一下吗?
生:点的运动形成一条线。
师:同学们的回答非常正确,我们可用四个字来概括,那就是“点动成线”。(板书:点动成线)
师: 那么,如果把这支笔看成是一条线,那么它的运动轨迹形成了什么?
生:面。
师:能用四个字概括起来吗?
生:线动成面。(板书:线动成面)
师:很好,(举起课本并旋转)如果把这本数学课本看成是一个长方形,那么它是怎样运动的呢?会形成什么呢?
生:旋转后形成了一个圆柱,也就是“面动成体”。(板书:面动成体)
师:大家还能举出生活中的一些类似现象吗?
生1:玻璃球的滚动轨迹可形成线。
生2:一把直尺在桌面上作平移运动时形成的轨迹可形成面。
生3:长方形的旋转可形成体。
……
师:看来点动成线、线动成面与面动成体在我们的生活中随处可见。这节课我们就来研究面的旋转。(板书课题:面的旋转)

活动一:(课件出示教材第2页例1主题图)
师:观察上面各图,你发现了什么?
小组探讨、汇报。
生1:风筝的每一个节连起来看,形成了一条直线。
生2:雨刷器左右摇摆形成一个半圆形的平面。
生3:一扇长方形旋转门旋转后形成一个圆柱。
活动二:让学生用纸片和小棒做小旗,快速旋转小棒,观察并想象纸片旋转后所形成的图形。
生1:长方形小旗旋转后形成的是圆柱。
生2:半圆形小旗旋转后形成的是球。
生3:直角三角形小旗旋转后形成的是圆锥。
教师出示:

师:请同学们动手操作,然后连线。
学生拿出学具实际操作,然后讨论,最后汇报。
教师巡视,适时作出指导。
生1:1——1(圆柱)。
生2:2——3(球)。
生3:3——4(圆锥)。
生4:4——2(圆台)。
老师予以表扬。
师:请大家根据自己的观察介绍一下圆柱与圆锥分别有哪些特点?
生1:圆柱有两个面是大小相同的圆,另一个面是曲面。
生2:圆锥是由一个圆和一个曲面组成的。
师:我们学过的长方体和正方体都是由平面围成的立体图形,今天我们学习的圆柱和圆锥也是立体图形,只是与长方体和正方体不同,围成图形的面可能有曲面。
小组合作探究圆柱和圆锥的特点。
学生自学第3页“试一试”中“认一认”,然后小组讨论。
生1:圆柱的上下两个面叫作底面,它们是完全相同的两个圆。圆柱有一个曲面,叫作侧面。
生2:圆柱两个底面之间的距离叫作高。
生3:圆锥的底面是一个圆,侧面是一个曲面。
生4:从圆锥顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高。
教师结合学生的回答画出平面图进行讲解,并在图上标出各部分的名称。

师:怎样测量圆柱的高呢?要注意什么呢?
生1:先把圆柱竖着放平,然后用直尺测量。
生2:测量时要将直尺的“0”刻度线对准圆柱的下底面。
师:怎样测量圆锥的高呢?
小组讨论、汇报。
生1:先把圆锥竖着放平。
生2:再用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面。
生3:最后竖直地测量出平板和底面之间的距离。

师:大家通过动手操作与探讨,进一步认识了点、线、面、体之间的关系,由平面图形经过旋转形成几何体以及圆柱与圆锥的特征,大家来总结一下吧!
生1:点的运动形成一条线。
生2:线的运动形成一个面。
生3:面的运动形成一个体。
生4:圆柱的两个底面是完全相同的两个圆。两个底面间的距离叫作高。圆柱有无数条高,且高的长度都相等。
生5:圆柱的周围是一曲面,叫作侧面。
生6:圆锥的底面是一个圆,圆锥的侧面是一个曲面,从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。



面　的　旋　转
点线面体
圆柱:有两个完全相同的底面(圆),有无数条长度相等的高。
圆锥:底面是一个圆,侧面是一个曲面,只有一条高。



旋转是生活中处处可见的现象,为了能更好地达到教学目标,通过把小球看成一个点,感受点动成线;通过学生用笔代替线段在桌面上平移,感受“线动成面”,通过转动竖立的数学课本(看成一个长方形),感受“面动成体”。在教学中,教师不仅仅使学生感知和初步认识平移和旋转,并渗透生活中处处有数学的思想。
在本节课中,我做了大胆的尝试,引导学生通过动手操作、观察交流等多种方式获得新知,让学生在看一看、摸一摸、想一想、画一画等活动中发展空间观念。另外,操作与思考、想象相结合是学生认识图形、探索图形特征、发展空间观念的重要途径。因此,在课堂上,我为学生提供了多次探索、操作的空间。“旋转游戏”让每一个学生参与其中,使学生从抽象进入直观,又引发了学生深层次的思考和讨论,体验了旋转的愉悦,思维也渐渐走向深刻,进一步加深了学生对几何形体的认识,形成良好的空间感知。
总之,在课堂教学中,我把促进学生发展落实到具体的学习活动中,让学生在民主、平等、和谐的课堂气氛中,主动参与学习,在体验中发现知识、掌握知识、应用知识,从而形成空间观念,培养学生的合作精神和创新意识。

A 类
1.填空。
(1)圆柱上、下两个面叫作(　　),它们是(　　)的两个圆,两底面(　　)叫作圆柱的高。
(2)圆锥的底面是(　　),从圆锥的(　　)到底面圆心的(　　)是圆锥的(　　),圆锥只有(　　)条高。
(3)一个直角三角形的两条直角边分别是4厘米、3厘米,以较短的直角边为轴旋转一周得到一个(　　)。
2.判断。(对的在括号里画“?”,错的画“✕”)
(1)圆柱有无数条高,圆锥也有无数条高。 (　　)
(2)圆锥的表面有两个面(侧面和底面)。 (　　)
(3)圆柱的底面是面积相等的两个圆。 (　　)
(4)从圆锥的顶点到底面任意一点的距离叫作圆锥的高。 (　　)
(考查知识点:“点、线、面、体”之间的关系,初步认识圆柱和圆锥;能力要求:会根据“点、线、面、体”之间的关系判断旋转一个平面图形后形成的立体图形)

B 类
有一段公路要维修,设置了一排圆锥形路障,每个圆锥的底面直径为40厘米,一共摆了15个,每两个路障之间的距离是1米,从第一个圆锥到最后一个圆锥共占多长的路面?
(考查知识点: 对圆锥的基本特点的认识;能力要求:会根据圆锥的基本特点解决实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)底面　完全相同　之间的距离　(2)一个圆　顶点　距离　高　1　(3)圆锥
2.(1)✕　(2)?　(3)?　(4)✕
B 类:
40×15=600(厘米)=6(米)　1×(15-1)=14(米)　14+6=20(米)
教材第3页“练一练”
1.1——3　2——1　3——4　4——2
2.(1)圆柱　(2)圆锥　(3)圆柱　(4)圆锥
圆柱:有两个完全相同的底面(圆),有无数条长度相等的高。
圆锥:底面是一个圆,侧面是一个曲面,只有一条高。
3.第一幅是圆锥,第三幅是圆柱。　4.略　5.长:39厘米　宽:26厘米　高:11厘米
6.1——4　2——1　3——2　4——3




圆柱的表面积。(教材第5~7页)

1.通过想象、操作等活动,使学生知道圆柱的侧面沿高展开后是一个长方形或正方形,加深对圆柱特征的认识。
2.通过具体情境和动手操作,探索圆柱的侧面积和表面积的计算方法,能正确计算圆柱的侧面积和表面积。
3.根据具体情境,使学生灵活运用圆柱表面积的计算方法解决生活中的实际问题,体会数学与生活的联系,发展学生的空间观念,提高学生的动手操作能力和计算能力。

重点:理解求表面积和侧面积的计算方法,并能正确进行计算。
难点:能灵活运用表面积和侧面积的有关知识解决实际问题。

课件、三个圆柱(其中一个圆柱的侧面展开图是正方形)、剪刀、圆规、三角尺。



师:上节课我们认识了圆柱的一些特征,拿出你们课前制作的圆柱,谁能指着它说说我们学了圆柱的哪些知识?
生1:有两个大小相同的底面。
生2:有无数条高。
生3:侧面是一个曲面。
师:(出示一个圆柱)今天这节课咱们继续来研究圆柱,研究一下制作你们手中的这个圆柱至少需要多少平方厘米的纸,好吗?
【设计意图:使学生体会圆柱在生活中有着广泛的应用,引导学生体会动手制作圆柱至少需要多大面积的纸,就是求圆柱的表面积。提出思考的主题,激发学生的学习热情】

1.了解圆柱的底面积。
让学生拿出一个圆柱,观察并回答问题。
师:先来说说看,你们是怎么制作这个圆柱的?一共制作了几个面?
生1:两个底面。
生2:旁边还一个面。
【设计意图:复习圆柱的各部分名称和圆柱的基本特征,引出圆柱表面积的含义,发展学生的空间观念】
师:(手指着模型)旁边的面我们称它为侧面。那么,我们要研究的这个问题实际上就是求什么呢?你会求这三个面的面积吗?
小组探讨、交流。
生1:两个底面和一个侧面的面积。
生2:两个底面的面积可根据圆的面积公式S=πr2求出。
结合学生的回答在“两个底面”下面板书:S底=πr2。
生3:侧面的面积……
2.探索圆柱的侧面积和表面积。
师:圆柱的底面积容易求出,但它还有一个侧面,而且还是一个曲面,它的面积该怎么求呢?
(根据需要可提醒:回忆一下,你们是怎么制作这个侧面的)
生1:我是用一张长方形的纸围成这个侧面的。
生2:我是用一张正方形的纸围成的。
师:你们的记忆力真不错,(指着刚才回答问题的同学)你的侧面是一个长方形?你的侧面是一个正方形?其他人也是这么做的吗?有不一样的做法吗?
生:是……
师:这样吧,咱们现在来验证一下!拿出剪刀,将你们的圆柱的侧面用自己喜欢的方式剪开,看看得到的是什么图形。
(“用自己喜欢的方式剪开”可能会出现多种可能,如斜着剪、拐弯剪等,对各种可能情况的处理方式教师应该做到心中有数)
学生操作,互相交流,点名学生回答。
生1:我们用剪刀沿着它的高剪开,发现展开后正好是一个长方形。通过观察我们发现长方形的长就是圆柱的底面周长,长方形的宽就是圆柱的高,长方形的面积就是圆柱的侧面积。
生2:平时我们可以用一张长方形纸卷成一个圆柱,所以侧面展开一定是一个长方形。
师:我也来剪剪看……哎呀,怎么是平行四边形呢?你们说这是为什么啊?
学生交流。
生:没有沿着高剪。
师:好,我就沿着高再来剪剪看……咦,这好像是正方形啊?是正方形吗?看来圆柱的侧面也有可能是……
(随即将长方形、平行四边形、正方形贴在黑板上)
师:其实呀,圆柱的侧面还能剪成其他不一样的形状,如我歪歪扭扭的剪,就得到一个不规则的形状。(贴在黑板上)
师:不过,我们这节课需要研究的是面积,你们觉得选择哪一种来研究比较好呢?
生:长方形。
师:你们同意他的说法吗?
生:同意……
师:好的,那我们就选择长方形来研究。长方形是怎样得到的?(再次强调沿着高剪)这个长方形的面积与圆柱的侧面积是什么关系?
生:长方形的面积=圆柱的侧面积(在侧面的下面板书:长方形的面积)
师:长方形的面积怎么求?
生:长方形的面积=长×宽。
教师在长方形面积的下面板书:长×宽。
【设计意图:以小组合作的方式进行探究性学习,把曲面转化为已经学习过的长方形等平面图形,通过猜想、验证和一系列的动手操作活动,使学生知道圆柱的侧面展开后可能是一个长方形,在操作中经历圆柱侧面积的探索过程,体会圆柱侧面展开图的长和宽与圆柱的底面周长和高之间的关系,获得求圆柱侧面积的方法,既发展了学生分析问题和解决问题的能力,又提高了学生的动手操作、合作学习、归纳概括的能力】
师:下面我又要考考同学们的记忆力了,(老师动手围圆柱再展开)仔细回忆一下制作圆柱侧面的过程和刚才剪开侧面的过程,(出示圆柱、半展开图、展开图)这个长方形与圆柱上的哪个面有什么关系?

生:长方形的长是圆柱的底面周长,长方形的宽是圆柱的高。
师:那么圆柱的侧面积可以怎么求呢?公式是什么?
生:我认为长方形的面积=圆柱的侧面积,且长×宽=底面周长×高,所以圆柱的侧面积=底面周长×高。(板书:S侧=Ch)
师:如果不知道底面周长,只知道底面半径r,圆柱的侧面积可以怎么求呢?公式可以怎么写?
生:先求底面周长,再求侧面积,即圆柱的侧面积公式可以写成S侧=2πrh。
师:知道的是底面直径d呢?
生:圆柱的侧面积公式可以写成S侧=πdh。
师:2πr和πd都是求的什么?
生:圆柱的底面周长。
师:如果圆柱的侧面展开图是平行四边形,是否也适用呢?
学生动手操作,动笔验证,得出了同样适用的结论。
师:圆柱的表面积怎样求呢?
小组交流,得出结论:圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2。
3. 运用新知解决实际问题。
师:如果接口不计,至少需要多大面积的纸板?说说你是怎样想的?怎样计算?

生1:需要多大面积的纸板实际就是要求它的表面积,可用公式“圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2”进行计算。
生2:圆柱的侧面积=2×3.14×10×30=1884(cm2)。
生3:底面积=3.14×102=314(cm2)。
生4:表面积=1884+314×2=2512(cm2)。
【设计意图:联系学生实际,灵活运用圆柱表面积的计算方法解决实际问题,使学生体会到数学与生活的密切联系】
师:大家和我一起去看看教材第6页“试一试”吧,说一说你是怎么想的。

师:同学们,通过这节课的学习,你有什么收获?你对自己有什么评价?
生1:我知道了圆柱的表面积=两个底面积+侧面积。
生2:我会根据圆的面积公式S=πr2求出两个底面积。
生3:根据长方形的面积计算方法,我会利用公式S侧=πdh或S侧=2πrh求圆柱的侧面积。
师:今天,同学们的表现真棒,老师非常高兴。



圆柱的表面积
圆柱的侧面积=底面周长×高
　　　↓　　　　　↑　　↑
　长方形的面积=　长 × 宽
　　　　　圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积×2
　　　S侧=Ch　S底=πr2
　　　无盖铁桶的表面积=一个底面积+一个侧面积

本节课通过交流、问答、推理等形式,充分调动学生学习的积极性,激发学生强烈的探究欲望,通过亲身体验知识的探究过程,使学生理解求圆柱的侧面积用2πrh,求圆柱的表面积要用侧面积加两个底面积。
部分学生对圆周长和面积的计算不够熟练,在计算圆柱的侧面积和表面积时,可能会费时费力,出错率高,教师应加强这方面的引导和辅导。

A 类
1.填空。
(1)圆柱的侧面沿着高展开可能是(　　)形或(　　)形,也可能是(　　)形。
(2)要求一个圆柱的表面积,就是求(　　　　　　　　　　)。
2.判断。(对的在括号里画“?”,错的画“✕”)
(1)圆柱的侧面积等于底面积乘高。 (　　)
(2)圆柱的侧面展开是一个长方形。 (　　)
(3)把一个圆柱切成两个小的圆柱,表面积增加了两个底面积。 (　　)
(4)圆柱的高越大,它的侧面积越大。 (　　)
(5)圆柱的底面一定,圆柱的高越大,圆柱的侧面积越大。 (　　)
(考查知识点:加深对圆柱体特征的认识,发展空间观念。能力要求:能正确理解圆柱体的底面积和侧面积的计算方法)
B 类
1.一个圆柱形瓶盖,底面半径是1.2厘米,高是2厘米。在瓶盖的上底和侧面糊上彩纸,至少要多少平方厘米的彩纸?
2.一个圆柱,如果高减少2厘米,那么表面积就减少12.56平方厘米。这个圆柱的底面积是多少平方厘米?
(考查知识点:圆柱侧面积和表面积的计算方法;能力要求:能根据实际情况正确计算圆柱的侧面积和表面积)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)长方　正方　平行四边　(2)侧面积和两个底面积之和
2.(1)?　(2)✕　(3)?　(4)✕　(5)?
B 类:
1.3.14×1.22+2×3.14×1.2×2=19.5936(平方厘米)
2.12.56÷2=6.28(厘米)　6.28÷3.14÷2=1(厘米)　3.14×1×1=3.14(平方厘米)
教材第6页“试一试”
3.14×(4÷2)2+3.14×4×5=75.36(平方分米)
18.84×10=188.4(平方厘米)
3.14×(18.84÷2÷3.14)2×2+188.4=244.92(平方厘米)
教材第6页“练一练”
1.略
2.3.14×(4÷2)2×2+3.14×4×6=100.48(平方厘米)
3.14×32×2+3.14×3×2×10=244.92(平方分米)
3.3.14×20×50=3140(平方厘米)
4.3.14×1.6×2=10.048(平方米)
5.3.14×(25.12÷3.14÷2)2+25.12×1.2=80.384(平方米)
6.0.2×[3.14×(0.6÷2)2×2+3.14×0.6×1]≈0.49(千克)
7.略
8.18.84×12.56+3.14×(18.84÷3.14÷2)2=264.8904(平方厘米)
264.8904-18.84×12.56=28.26(平方厘米)
18.84×12.56+3.14×(12.56÷3.14÷2)2=249.1904(平方厘米)
249.1904-18.84×12.56=12.56(平方厘米)




圆柱的体积。(教材第8~10页)

1.结合具体情境和实践活动,了解圆柱体积的含义,进一步理解体积和容积的含义。
2.通过“类比猜想——验证说明”的过程来探索圆柱体积的计算方法,掌握圆柱体积的计算方法,能正确计算圆柱的体积和解决一些简单的实际问题。
3.通过把圆柱切割拼成近似的长方体,从而推导出圆柱的体积计算公式,向学生渗透转化思想,建立空间观念,培养学生的判断、推理能力和迁移能力。

重点:理解和掌握圆柱的体积计算公式,会求圆柱的体积。
难点:理解圆柱体积计算公式的推导过程。

多媒体课件、圆柱体积计算公式的推导教具等。



1.课件出示一个圆柱。
师:我们已学过了圆柱的哪些知识?
生:圆柱的特征、侧面积和表面积。
师:你还想知道圆柱的什么知识?
学生可能说出:圆柱的体积。
师:你能说说什么是圆柱的体积吗?
2.(配乐)课件出示主题图。
学生思考,小组讨论。
师:星期天,笑笑跟着父母去公园游玩,看到一个楼阁前面立着许多柱子,好奇地问:这么粗的柱子,需要多少木材呢?实际上是求什么?
生:圆柱的体积。
3.(配乐)课件出示主题图。
师:一天,淘气和爸爸在家里边喝水边聊天,看着桌上的杯子,淘气问:一个杯子能装多少水呢?要求杯子能装多少水,实际上是求什么?
生:杯子的容积。
师:杯子的容积也就是谁的体积?
生:水的体积。
师:装在杯子里的水是什么形状的?
生:圆柱形。
师:那么要求水的体积实际上就是求谁的体积?
生:圆柱的体积。
师:生活中像这样的事例还有很多,它们都跟什么知识有关?
生:圆柱的体积。
师:这节课我们就来研究圆柱体积的计算方法。
【设计意图:本环节演示操作,首先激发了学生学习数学的兴趣,进而引发了学生的动脑思考,有助于提高学生的思维能力和探究能力】

1.实际操作,探究新知。
师: 回想一下,我们已经研究过哪些立体图形的体积?它们的体积是怎样计算的? 长方体和正方体的体积计算公式是什么?
生1:长方体和正方体。
生2:长方体的体积=长×宽×高。
生3:正方体的体积=边长×边长×边长。
生4:长方体和正方体统一的体积计算公式是V=Sh。(板书:V=Sh)
师:你能根据长方体和正方体的体积计算方法,猜想一下圆柱的体积该怎样计算吗?
小组讨论、猜想。
生:圆柱的体积=底面积×高。

师: 这一猜想是否正确呢?需要推导验证。我们可采用“转化法”验证,以前学习什么知识时运用了“转化法”?
生:圆的面积。
师:首先回忆一下圆的面积计算公式是怎样推导出来的?
学生可能说出通过分割、拼合的方法变成长方形、平行四边形、三角形或者梯形来推导出圆的面积。这时教师要及时总结,不论是拼成哪种图形,都是把圆转化成已学过面积计算的图形,再根据转化后的图形与圆各部分之间的关系推导出它的面积。

教具演示:

师:这是一个圆,我们把它平均分割,再拼合就变成了一个近似的平行四边形。我们还可以往下继续分割,无限分割就变成了一个近似的长方形。长方形的长相当于圆周长的一半,长方形的宽就相当于圆的半径,所以用“半周长×半径”就可以求出圆的面积,半周长就等于πr,半径是r,所以圆的面积是πr2。
师:那么你们能运用“转化法”试着推导出圆柱的体积计算公式吗?
学生以小组为单位进行推导验证。指名汇报,并电脑演示转化推导过程。
2. 探究普遍规律。
师:我们可以通过分割、拼合转化成已学过面积计算公式的图形推导出圆的面积,圆柱能不能也转化成已学过体积计算公式的图形来求出它的体积呢?
各小组围绕下面几个问题进行讨论:
(1)圆柱可以转化为什么样的立体图形?
(2)转化成的立体图形是不是平时学过的标准立体图形?怎样才能使它成为平时学过的标准立体图形?
(3)转化后的体积与圆柱的体积大小是否有变化?
(4)根据转化后的形体与转化前圆柱各部分间的对应关系,推导出圆柱的体积。
学生讨论,教师参与小组讨论。
【设计意图:本环节鼓励学生经历“类比猜想——验证说明”的探究过程,引导学生在已有知识和经验的基础上,进行大胆猜想,并充分展示学生的思维,然后引导学生设计验证方案。这样的教学为学生的主动探索与发现提供了空间,有利于学生进行观察、实验、猜测、验证、推理等数学探究活动,使学生逐步经历数学知识的形成过程】
师:下面哪个小组来进行汇报?
学生汇报、演示。
生1:圆柱通过分割、拼合可以转化为长方体。

生2:转化后的长方体不是标准的长方体,只有把圆柱无限分割才可以拼成一个近似的长方体。


生3:长方体是由圆柱转化而成的,在转化的过程中,体积既没有增加,也没有减少。
生4:长方体的体积等于圆柱的体积,长方体的底面积等于圆柱的底面积,长方体的高相当于圆柱的高。因为长方体的体积=底面积×高,所以圆柱的体积=底面积×高。
师:以上是采用“转化法”(化曲为直)来推导验证的,还有没有其他的验证方法呢?
学习教材第8页叠硬币法,这种方法又叫积分法。
师:无论是转化法还是积分法,都验证了大家的猜想是正确的——圆柱的体积=底面积×高。
师:如果圆柱的体积用V来表示,底面积用S表示,高用h来表示。用字母如何表示圆柱的体积计算公式呢?
生:V=Sh。(板书:V=Sh)
【设计意图:本环节通过学生动手操作、合作交流及教师的演示,从多渠道推导出圆柱的体积计算公式。在整个学习过程中,学生始终处于积极主动的探索状态,不仅学会了知识,还知道了怎样去学】
师:要想求圆柱的体积必须要知道什么条件?
生:底面积和高。
师:如果已知底面半径、直径、周长和高,怎样求体积?
生1:已知底面半径和高,可用公式V=πr2h求得。
生2:已知底面直径和高,可用公式V=πd22h求得。
生3:已知底面周长和高,可用公式V=πC2π2h求得。
3. 深化体验。
课件出示教材第8页主题图及问题。
(1)笑笑了解到一根柱子的底面半径为0.4m,高为5m。你能算出它的体积吗?
点名学生分别回答下面的问题。
师:这道题已知什么?要求什么?能不能根据公式直接计算?
生:已知底面半径和高,求体积,可以根据V=πr2h直接计算。
同桌交流,共同解答。
V=πr2h=3.14×0.42×5=2.512(m3)
(2)从水杯里面量,水杯的底面直径是6cm,高是16cm,这个水杯能装多少毫升水?
学生试做、汇报。
V=πd22h=3.14×622×16=452.16(cm3)=452.16(mL)

师:通过大家的动手操作,运用分割、拼合的方法推导出了圆柱的体积计算公式,大家来总结一下吧!
生:可根据公式V=Sh求出圆柱的体积。



圆柱的体积
　　　　　　　　　长方体的体积=底面积×高
　　　　　　　　　　　　　↓　　　↓　　↓
　　　　　　　　　　圆柱的体积=底面积×高
　　　　　　　　　　　　　↓　　　↓　　↓
　　　　　　　　　　　　　V　=　 S　× h
　　　　　　V=πr2h　　　　　V=πd22h　　　　　V=πC2π2h


本节课符合新课程理念,有效地落实了教学目标,在学生经历“类比猜想——验证说明”的过程中,引导学生在已有知识和经验的基础上,进行大胆猜想,并充分展示学生的思维。引导学生设计方案,验证“圆柱的体积等于底面积乘高”的猜想,在验证过程中渗透转化的数学思想和培养求异思维的能力。
经历的价值在于获得自主的体验,积累数学活动经验,在体验的过程中往往能激发学生进一步探究的动机。教师通过直观展示长方体和正方体的体积计算以及圆的面积计算公式的推导过程,为学生产生合理猜想提供了一种直接的体验,使学生比较直接地想到圆柱的体积与底面积和高有关。

A 类
求下面各圆柱的体积。
(1)底面半径是2分米,高是3分米。　(2)底面直径是6厘米,高是1分米。
(3)底面周长是125.6分米,高是9分米。
(考查知识点:圆柱的体积计算公式;能力要求:会用圆柱的体积计算公式求圆柱的体积)
B 类
1.一个圆柱形粮囤,从里面量底面周长是6.28米,高1.5米。如果每立方米稻谷约重600千克,这个粮囤大约能装多少千克稻谷?
2.有一个圆柱形水池,底面直径是20米,深4米。现在计划修建一个和原水池容积相等、底面周长是80米的正方形的长方体水池,应挖几米深?
(考查知识点:圆柱的体积计算公式;能力要求:会用圆柱的体积计算公式解决实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
(1)V=πr2h=3.14×22×3=37.68 (立方分米)
(2)1分米=10厘米　V=πd22h=3.14×622×10=282.6(立方厘米)
(3)V=πC2π2h=3.14×(125.6÷2÷3.14)2×9=11304(立方分米)
B 类:
1.3.14×(6.28÷2÷3.14)2×1.5×600=2826(千克)
2.80÷4=20(米)　3.14×(20÷2)2×4÷(20×20)=3.14(米)
教材第9页“试一试”
3.14×(12.56÷2÷3.14)2×200=2512(立方厘米)
2512×7.9÷1000=19.8448(千克)
教材第9页“练一练”
1.(1)4×3×8=96(立方厘米)　(2)6×6×6=216(立方厘米)
(3)3.14×(5÷2)2×8=157(立方厘米)
2.(1)60×4=240(立方厘米)　(2)3.14×12×5=15.7(立方厘米)
(3)3.14×(6÷2)2×10=282.6(立方分米)
3.3.14×(14÷2)2×20=3077.2(立方厘米)=3077.2(毫升)　所以能装下 3000毫升的牛奶。
4.3.14×(3.14÷3.14÷2)2×4=3.14(立方米)
5.2×80÷100×700=1120(千克)
6.4×4×6=96(立方分米)　　3.14×22×6=75.36(立方分米)　96>75.36　长方体的体积大。
7.3.14×(10÷2)2×(7-5)=157(立方厘米)
8、9.略




圆锥的体积。(教材第11~12页)

1.结合具体情境和实践活动,了解圆锥的体积和容积的含义,进一步体会物体体积和容积的含义。
2.经历“类比猜想——验证说明”的过程,探索求圆锥体积的计算方法,掌握圆锥体积的计算方法,能正确利用圆锥的体积解决一些简单的实际问题。
3.通过推导圆锥的体积计算公式,培养学生初步的空间观念、动手操作能力和逻辑思维能力。

重点:圆锥体积计算公式的推导过程。
难点:正确理解圆锥的体积计算公式。

1.多媒体课件。
2.等底等高、等底不等高、等高不等底的圆锥和圆柱共六套,细沙或水,实验报告单,带有刻度的直尺,绳子等。



1.夏天,森林里闷热极了,小动物们都热得喘不过气来。小白兔去“动物超市”购物,在熊伯伯那儿买了一根圆柱形雪糕。这一切都被躲在一旁的狐狸看见了,它就去熊伯伯那儿买了一根圆锥形雪糕。小白兔刚张开嘴,满头大汗的狐狸拿着一个圆锥形雪糕一溜烟跑了过来。(图中的圆柱形和圆锥形雪糕是等底等高的)
引导学生围绕问题展开讨论。
问题一:狐狸狡猾地问:“小白兔,用我手中的雪糕跟你换,怎么样?”(如果这时小白兔和狐狸换了雪糕,你觉得小白兔有没有上当)
问题二:(动画演示)狐狸手上又多了一个同样大小的圆锥形雪糕。(小白兔这时和狐狸换雪糕,你觉得公平吗)
问题三:如果你是小白兔,狐狸手中的圆锥形雪糕有几个时,你才肯与它交换?(把你的想法与小组同学交流一下,再向全班同学汇报)
过渡:小白兔究竟跟狐狸怎样交换才公平合理呢?学习了“圆锥的体积”后,你就知道答案了。
【设计意图:在引入新知时,创设了一个有趣的童话情境,使枯燥的数学问题变为活生生的生活现实,让数学课堂充满生命活力。学生在判断公平与不公平中蕴含了对等底等高圆柱和圆锥体积关系的猜想,他们在这一情境中敢猜想、要猜想、乐猜想,在猜想中交流,在交流中感悟,自然地提出了一些富有挑战性的数学问题,从而引发了学生进一步探究的强烈欲望】
2. 课件出示教材第11页主题图。
师:根据以上图片,你能获得哪些数学信息?
生1:小麦堆是圆锥形的。
生2:笑笑想知道这堆小麦的体积是多少。
师:那我们怎样才能帮助笑笑解决这个问题呢?
生:计算这堆小麦的体积,实际上就是要计算这个圆锥的体积。
师:今天就利用我们学过的知识探讨新问题,学习怎样计算圆锥的体积。(板书:圆锥的体积)

1. 探讨圆锥的体积计算公式。
师:怎样探讨圆锥的体积计算公式呢?在回答这个问题之前,请同学们先想一想,我们是怎样推导圆柱体积计算公式的?
生:长方体的底面积=圆柱的底面积,长方体的高=圆柱的高,因此圆柱的体积=底面积×高。
师:我们可以借鉴这种方法。 为了我们研究圆锥体积的方便,我准备了一个圆柱和一个圆锥。我做你们看,说说它们有什么联系?(教师演示)
(1)师:你发现了什么?(这个圆柱和圆锥的形状有什么关系)
生:底面积相等,高也相等。
师:底面积相等,高也相等,用数学语言说就叫等底等高。(板书:等底等高)
(2)师:既然它们是等底等高的,那么我们就跟求圆柱体积一样,就用“底面积×高”来求圆锥的体积行不行?为什么?
生:不行,因为圆锥的体积小。
师:(把圆锥套在透明的圆柱里)是啊,圆锥的体积小,那你估计一下它们的体积大小有什么样的关系呢?
(指名发言,说出自己的猜想)
生1:2倍。
生2:3倍。
……
师:我有一个实验,能知道这个答案,你们想不想试试看。
师生合做实验。(出示课前准备的沙子)
师:下面我们利用实验的方法来探究圆锥体积的计算方法。老师准备了两个圆锥形容器、两个圆柱形容器和一些沙子,你们觉得这个实验要怎么做呢?
生:实验时,先往等底等高的圆柱(或圆锥)容器里装满沙子(用直尺将多余的沙子刮掉),倒入圆锥(或圆柱)容器里,看能倒几次。
师:你们猜能倒几次?(不给答案,保留兴趣与吸引力)
生1:1次。
生2:2次
……
师:先倒一个圆锥的沙子,请你们观察一下,要不要改变你们刚才的猜想?
学生会发现猜两倍的太少了。
师:要不要再猜一次?
再倒一个圆锥的沙子,再让学生一起观察。
师:怎样,这时你怎么想的?
这时学生的猜想会更接近答案,但不一定准确,不过思想会进一步升华。
师:你们觉得再倒一次能倒得下吗?再倒一次你会得出什么结论?
学生实验,完成回报。
生1:倒3次倒不下,圆柱的体积是圆锥体积的3倍多一点。
生2:倒3次倒不满,圆柱的体积是圆锥体积的3倍少一点。
生3:倒3次正好倒满,圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
师:真聪明,通过刚才的实验我们发现圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
【设计意图:圆锥体积计算公式的推导,教师要敢于大胆放手让学生自主探索,经历“再创造”的过程。学生在教师的引导下,通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动,积极主动地探索等底等高的圆柱与圆锥体积间的关系,进而推导出圆锥体积的计算公式。特别是数学交流体现得很充分,有学生与教师之间的交流、学生与学生之间的交流以及小组和大组的多向交流,这种交流是立体、交叉型的,它能催化学生的知识建构。在有的小组实验失败后,引导学生在反思中不断进行自我调控,在调控中增强了体验的力度,有效培养了学生的认知能力】
引导学生再次验证操作:出示另外一组大小不同的圆柱和圆锥进行体积大小的比较。
师:通过比较你发现了什么?
生:不是任何一个圆锥的体积都是任何一个圆柱体积的三分之一。
教师拿起一个小圆锥和一个大圆柱。
师:如果教师把这个小圆锥里装满沙子,往这个大圆柱体里倒,倒三次能倒满吗?
生:不能。
师:为什么?
生:因为只有等底等高的圆柱和圆锥才可以倒满。
师:现在我们得到的这个结论就更完整了。(指名叙述公式V锥=13Sh=13πr2h,师板书)今后我们求圆锥体积就用这种方法来计算。
2.运用知识解决实际问题。
课件出示教材第11页小麦堆图片。
师:如果小麦堆的底面半径是2m,高为1.5m。笑笑的问题,谁能帮她解决呢?
生:因为我们已经学习了圆锥的体积计算公式,所以根据题目中所给出的条件,直接运用圆锥体积计算公式V锥=13πr2h求出。
师板书:V锥=13πr2h=13×3.14×22×1.5=6.28(m3)

师:通过猜想、验证的方法我们推导出了圆锥的体积计算公式,掌握了圆锥体积的计算方法,大家来总结一下吧。
生1:这节课我们掌握了圆锥的体积计算公式V锥=13Sh或V锥=13πr2h。
生2:能够根据圆锥的体积计算公式解决生活中的一些实际问题。



圆锥的体积
等底等高圆柱的体积是圆锥体积的3倍圆锥的体积是圆柱体积的13
圆锥的体积是与其等底等高圆柱体积的13
V锥=13Sh 或V锥=13πr2h
V=13πr2h=13×3.14×22×1.5=6.28(m3)
答:小麦堆的体积是6.28立方米。


这节课是求圆锥的体积,就小学现有的知识,把圆锥转化为与其体积相等的其他物体有些困难。因此,教学圆锥体积公式采用的方法与圆柱相同,采用“转化”的思想,因而这节课首先复习圆柱的体积公式及推导方法,让学生从图画直观上感受——圆锥的体积比等底等高的圆柱体积小。在此基础上,让学生亲自动手实验,不仅培养学生的自主探究能力,还让学生在操作实验的过程中,培养动手能力,同时还让学生在实验中感受数学的严密性,感受数学的内在魅力,激发学生对数学的热爱。学生学习知识的关键还在于会不会运用,因而,在学生探索好后,让学生用自己探索到的结论,解决生活中的一些实际问题,让他们真正感受到数学的用处——生活中处处离不开数学。

A 类
判断。(对的在括号里画“?”,错的画“✕”)
(1)圆柱的体积一定比圆锥的体积大。 (　　)
(2)圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的13。 (　　)
(3)正方体、长方体、圆锥的体积都等于底面积×高。 (　　)
(4)把一段圆柱形木棒削成一个最大的圆锥,削去的体积是圆锥体积的3倍。 (　　)
(5)一个圆锥的体积是15立方厘米,与它等底等高的圆柱的体积是5立方厘米。 (　　)
(考查知识点:圆柱体积与圆锥体积的关系;能力要求;会利用圆柱的体积求与其等底等高的圆锥的体积)
B 类
1.一个圆锥的底面半径是10厘米,高是9厘米,它的体积是多少?
2.在打谷场上,有一个近似于圆锥的小麦堆,测得底面直径是4米,高是1.2米。每立方米小麦约重735千克,这堆小麦大约有多少千克?(得数保留整千克)
(考查知识点:圆锥的体积计算公式;能力要求:会运用圆锥的体积计算公式解决简单的实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
(1)✕　(2)?　(3)✕　(4)✕　(5)✕
B 类:
1.13×3.14×102×9=942(立方厘米 )
2.4÷2=2(米)　13×3.14×22×1.2×735≈3693(千克)
教材第12页“练一练”
1.与第3个圆柱的体积相等。
2.(1)13×9×3.6=10.8(立方米)　(2)13×3.14×32×8=75.36(立方分米)
(3)13×3.14×(8÷2)2×12=200.96(立方厘米)
3.13×3.14×(4÷2)2×4≈16.75(立方厘米)
4.(1)3.14×(5÷2)2=19.625(平方米)　(2)13×19.625×3.6=23.55(立方米)
5. 9.42÷2÷3.14=1.5(米)　13×3.14×1.52×2=4.71(立方米)　4.71×700=3297(千克)
6.(1)5×3=15(厘米)　(2)12×5×3÷5=36(平方厘米)




圆柱和圆锥的整理与复习。

1.通过整理与复习,使学生进一步认识圆柱和圆锥的特征,熟练掌握圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法。
2.使学生能用所学知识解决实际问题,提高解决实际问题的能力,进一步发展学生的空间观念。
3.引导学生在解决实际问题的过程中感受数学与生活的密切联系。

知识的整理和疏导。

课件,“圆柱和圆锥的整理与复习”的表格。



1.一个长方形以它的一边条为轴,旋转一周将得到一个什么形状的立体图形?(板书:圆柱)引导学生观察长方形的长、宽与圆柱的联系。
2.一个直角三角形以它的一条直角边为轴,旋转一周将得到一个什么形状的立体图形?(板书:圆锥)引导学生观察直角三角形的两条直角边与圆锥的联系。
3.谈话:圆柱和圆锥是本单元学习的内容,今天我们共同把这部分内容进行整理与复习。
(板书课题:圆柱和圆锥的整理与复习)
4.师:我们都学过哪些立体图形?怎样计算它们的体积?
生1:长方体的体积=长×宽×高　V长=abh
生2:正方体的体积=棱长×棱长×棱长　V正=a3
生3:圆柱的体积=底面积×高　　V柱=Sh
生4:圆锥的体积=13×底面积×高　V锥=13Sh
师:这节课我们就利用这些知识来解决一些生活中的实际问题。

1.谈话引入:同学们在课前已经对这部分知识进行了梳理,下面以小组为单位,互相交流,看谁整理得既全面又合理。
要求:
(1)重点要突出,简洁有条理。
(2)能体现知识点之间的联系和区别。
2.小组内展示。
3.汇报评议:推荐代表展示整理的知识网络结构,引导学生参与评论,提出自己的意见。在评议过程中,尽量让学生发表自己的见解,使整理的方法逐步趋于完善。
4.教师出示“圆柱和圆锥的整理与复习”的表格,与学生一起依据表格进行口头复习。

1.一个圆锥形冰淇淋,底面半径是3厘米,高是15厘米。据统计,每立方厘米冰淇淋可以产生5.02焦耳的热量。这个圆锥形冰淇淋大约可以产生多少焦耳的热量?(得数保留整数)
师:求“圆锥形冰淇淋产生多少焦耳的热量”就是要求圆锥形冰淇淋的什么?
生:体积。
师:怎样来求呢?
生:先要求出圆锥的底面积,然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积。
学生解答。
教师板书:
圆锥的底面积:3.14×32=3.14×9=28.26(平方厘米)
圆锥的体积:13×28.26×15=141.3(立方厘米)
产生的热量:5.02×141.3=709.326(焦耳)≈709焦耳
答:这个圆锥形冰淇淋大约可以产生709焦耳的热量。
2.一根底面直径为4厘米的圆柱形铁条,截下2分米长的一段再铸成与它等高的圆锥,铸成后圆锥的底面积是多少?如果每立方厘米铁重7.8克,这个圆锥大约重多少克?(得数保留整数)
学生交流解题思路,汇报。
生:根据等底等高的圆柱与圆锥的体积关系可知,体积相等的圆柱和圆锥,当高也相等时,圆锥的底面积应是圆柱底面积的3倍,因此,求出圆柱的底面积后乘3即可得到圆锥的底面积。再利用圆锥的体积计算公式求出其体积,最后求圆锥的质量。
教师强调:求圆锥体积时别漏乘13。
学生解答。
教师板书:
圆锥的底面积:3.14×(4÷2)2×3=37.68(平方厘米)
圆锥的体积:37.68×20×13=251.2(立方厘米)
圆锥的质量:7.8×251.2=1959.36(克)≈1959(克)
答:这个圆锥大约重1959克。
3.圆柱和圆锥的体积和高分别相等,已知圆柱的底面周长是25.12分米,求圆锥的底面积。
学生交流解题思路。
师:根据题意可知,圆柱与圆锥的体积和高分别相等,那么它们的底面积有什么关系呢?
生:根据前面所学的知识,我们知道等高等体积的圆柱和圆锥,圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。此题先要根据圆柱的底面周长求出半径,再用半径求出圆柱的底面积,最后用圆柱的底面积乘3求出圆锥的底面积。
教师板书:
圆柱的半径:25.12÷3.14÷2=4(分米)
圆柱的底面积:3.14×42=50.24(平方分米)
圆锥的底面积:50.24×3=150.72(平方分米)
答:圆锥的底面积是150.72平方分米。



圆柱和圆锥的整理与复习
名称
图形
特征
表面积公式
体积公式
圆柱

两个相同的圆形底面,侧面沿高展开后是一个长方形,长方形的长等于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高
S侧=Ch
S表=Ch+2πr2
V=Sh=πr2h
圆锥

底面是一个圆,侧面是一个曲面,顶点到底面圆心的距离是高,只有一条高

V=13Sh=13πr2h

本堂课通过整理、复习立体图形的体积计算公式,引导学生自己归纳、分析各种立体图形体积计算公式间的内在联系,并通过要学生到讲台解题、课堂练习等形式,使学生能正确地计算立体图形的体积和容积。整个过程以思维训练为主线,培养学生运用所学知识解决实际问题的能力及创新意识。使学生在解决实际问题中感受数学与生活的密切联系,激发学生的学习兴趣,培养学生主动探索与集体合作的意识。
在整个教学过程中,也发现很多不足之处。例如,学生对各立体图形体积的计算方法掌握得还不是很牢,加上一下复习这么多公式,容易混淆,乱用公式,这说明学生的功底参差不齐,需要花更多时间去复习旧知识。

A 类
1.判断。(对的在括号里画“?”,错的画“✕”)
(1)因为圆柱的体积是圆锥体积的3倍,所以圆锥的体积都比圆柱的体积小。 (　　)
(2)圆柱的侧面展开图一定是长方形。 (　　)
(3)圆柱的体积是圆锥体积的3倍,则它们一定等底等高。 (　　)
(4)圆柱的底面半径扩大2倍,高不变,它的侧面积就扩大4倍。 (　　)
(5)圆锥的底面积不变,它的高越大,圆锥的体积就越大。 (　　)
2.选择。(把正确答案的序号填在括号里)
(1)计算一节圆柱形通风管的铁皮用量,就是求圆柱的(　　)。
A.侧面积　　　　B.表面积　　　　C.底面积　　　　　D.侧面积加一个底面积
(2)一个圆锥的体积是6立方分米,与它等底等高的圆柱的体积是(　　)立方分米。
A.2　　 B.6　　 C.18　　 D.24
(3)把一个圆柱削成一个最大的圆锥,削去部分的体积是圆锥体积的(　　)倍。
A.1　　 B.2　　 C 3　　 D.4
(4)一个圆柱的底面半径和高都扩大2倍,它的体积就扩大(　　)倍。
A.2　　 B.4　　 C.8　　　　 D.16
(5)把一个高12厘米的圆柱形容器装满水,然后将水倒进一个和它底面积相等的圆锥形容器里,水面高(　　)厘米。
A.4　　 B.12　　 C.36　　 D.72
(6)一个圆柱的体积是62.8立方厘米,底面半径是2厘米,它的高是(　　)厘米。
A.5　　 B.12　　 C.15　 D.16
(7)一个长方体和一个圆锥底面积相等,长方体的高是圆锥高的2倍,长方体的体积是圆锥体积的(　　)。
A.6倍　　 B.16倍　　 C.3倍　　 D.13
(8)底面积和体积分别相等的圆柱和圆锥,圆柱的高是圆锥高的(　　)。
A.3倍　　 B.13　　 C.23　 D.32
(9)用一个高是30厘米的圆锥形容器装满水,将水倒入和它等底等高的圆柱形容器内,水的高度是(　　)厘米。
A.15　　 B.20　　 C.10　　 D.25
(10)圆柱的底面半径为r,高为h,表示它的表面积的式子是(　　)。
A.2πrh　　 B.2πr2+2πrh　 C.πr2+2πrh　　 D.2πr2
3. 回答下面的问题,并列出算式。
一个圆柱形(有盖)水桶,底面半径是10分米,高是20分米。
(1)给这个水桶加个盖,需求什么?
(2)给这个水桶加个箍,需求什么?
(3)给这个水桶的外面涂上油漆,需求什么?
(4)这个水桶能装多少水,需求什么?
4.解决实际问题。
(1)把一根9分米长的圆柱形钢材沿横截面截成两段后,表面积比原来增加了2.4平方分米,这根圆柱形钢材原来的体积是多少立方分米?
(2)一个铁皮制成的底面直径为20厘米、高为10厘米的圆柱形礼品盒,捆扎时,底面成十字形,打结处用去绳子18厘米,共需塑料绳多少厘米?做一个礼品盒至少要用多少铁皮?这个礼品盒大约能装多少立方厘米的礼品?
(3)一个圆柱和一个圆锥,体积和高分别相等,已知圆柱的底面周长是25.12分米,求圆锥的底面积。
(4)一个圆锥形沙堆,底面周长是18.84米,高是1.5米,把这些沙铺在8米宽的公路上,如果沙厚2厘米,可以铺多长?
(考查知识点:圆柱和圆锥的特征,圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法;能力要求:能用所学知识解决实际问题)
B 类
计算下面零件的体积。(单位:分米)

(考查知识点:圆柱和圆锥的体积计算公式;能力要求:综合运用知识解决实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)?
2.(1)A　(2)C　(3)B　(4)C　(5)C　(6)A　(7)A　(8)B　(9)C　(10)B
3.(1)求底面积　3.14×102　(2)求底面周长　3.14×10×2　(3)求圆柱的表面积
3.14×102×2+3.14×10×2×20　(4)求圆柱的容积　3.14×102×20
4.(1)2.4÷2×9=10.8(立方分米)
(2)塑料绳138厘米　铁皮1256平方厘米　礼品3140立方厘米　(3)150.72平方分米
(4)18.84÷3.14÷2=3(米)　3.14×32×1.5÷3=14.13(立方米)　2厘米=0.02米
14.13÷(8×0.02)=14.13÷0.16≈88(米)
B类:
12.56立方分米
教材第13页“练习一”
1.略
2.3.14×32×6.5=183.69(立方厘米)　13×3.14×(8÷2)2×6=100.48(立方厘米)
(3)8×5×6.5=260(立方厘米)　(4)4×4×4=64(立方厘米)
3.350　34　2.3　6500　83　4000　4
4.3.14×(125.6÷3.14÷2)2×15=18840(立方米)
5.(1)3.14×2×7=43.96(平方厘米)　(2)3.14×(2÷2)2×7=21.98(立方厘米)
6.3.14×(0.4÷2)2×2+3.14×0.4×0.6=1.0048(平方米)
1.0048×100×0.6=60.288(千克)
7.长方体:(50×30+50×15+30×15)×2=5400(平方厘米)
正方体:5×5×6=150(平方厘米)
圆柱:3.14×6×10+3.14×(6÷2)2×2=244.92(平方厘米)
8.12÷3=4(厘米)
9.10×50×20=10000(立方厘米)　3.14×(20÷2)2=314(平方厘米)　10000÷314≈32(厘米)
10.3.14×(2÷2)2×1.5+13×3.14×(2÷2)2×0.6=5.338(立方米)
5.338×700=3736.6(千克)
11、12.略



本单元主要包括比例的认识、比例的应用、比例尺以及图形的放大和缩小四部分内容。教材充分注重知识之间的联系,在学生学了比的知识并掌握了一些常见数量关系的基础上,呈现了大量学生以前学过的量与量之间的关系,再学习比例的有关知识及其应用。比例尺的应用对于学生来说还是比较抽象的,因此教材结合具体的活动和实例,体验比例尺的应用,这样既可加深学生对数量之间关系的认识,同时也使学生初步了解一种量怎样随着另一种量的变化而变化,获得初步的函数观念,并利用这些知识解决一些简单的数学问题。因此,学好比例这部分内容是很重要的。

本单元是在学生已经掌握比的基础上进行教学的,比例知识起源于比,应在此基础上来认识比例,研究比例的意义。这个单元既体现了比与分数有密切联系,又加强了知识间的内在联系,为后续的学习打下良好的基础。



　　1.使学生理解比例的意义,会运用比例知识解决实际问题。
2.使学生能够看懂线段比例尺,会求平面图形的比例尺及根据比例尺求图上距离和实际距离。
3.使学生在认识比例、应用比例的过程中进一步体会不同数学领域的内在联系,增强用数和图形描述现实问题的意义和能力,丰富解决问题的策略,发展对数学的积极情感,使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。

1.教学时重视基本概念的教学,如在教学比例的意义时,要以大量的便于学生理解的实例为主,从感性认识开始,使学生逐步理解“表示两个比相等的式子叫比例”的含义。
2.让学生经历探索的过程,引导自主获得知识,鼓励学生探究解决问题的方法,交流时重点让学生说出自己是怎样想的,为学生提供探索的空间,培养学生善于思考和交流的学习方式。
3.把情感、态度、价值观的培养渗透到数学教学中,用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机。

1　比例的认识 1课时
2　比例的应用 1课时
3　比例尺 1课时
4　图形的放大和缩小 1课时
5　练习二 1课时




比例的认识。(教材第16~18页)

1.使学生理解比例的意义,能应用比例的意义判断两个比能否组成比例,认识比例中各部分的名称。
2.通过观察、比较、计算、讨论、推理、概括、归纳等方式,使学生自主获取知识,全面参与教学活动。
3.引导学生在实际生活中发现数学的存在,并在实际生活中感受数学的趣味,提高学生学习数学的积极性。

重点:理解比例的意义,能应用比例的意义判断两个比能否组成比例。
难点:通过对比和比例的比较,使学生深刻体会比例的意义。

课件。



1.同学们,我们已经学习了有关比的知识,请同学们回忆一下,关于比你有哪些了解?
2.课件出示教材第16页主题图。
下面请同学们联系比的知识,想一想图中怎样的两张图片像?怎样的两张图片不像呢?请大家先分别写出每张照片长和宽的比,并把这两个比化简或算出比值,然后看一看有什么发现?

1.比较发现。
师:请同学们说一说图A、B、D中每幅图片长和宽的比分别是多少?比值呢?
生1:6∶4、3∶2、12∶8。
生2:6∶4=1.5、3∶2=1.5、12∶8=1.5。
师:说一说图C、E中每幅图片长和宽的比分别是多少?比值呢?
生1:3∶8、12∶2
生2:3∶8=38、12∶2=6。
师:我们再来看一看图D和图A两张图片长与长、宽与宽比是多少?比值是多少?
生1:12∶6、8∶4。
生2:12∶6=2、8∶4=2。
师:那么再来算一下其他任意两张图片的长与长、宽与宽比是多少?比值是多少?
同桌进行计算。
师:你有什么发现?
(学生思考一会)
生1:根据每幅图片的长与宽的比可知比值相等的图片就像,也就是图片A、B、D像。
生2:比值不相等的图片不像,也就是图片C、E不像。
2. 引导探索。
师:我们继续观察上面几幅图片。两幅图片长与宽的比值相等,说明这两个比怎样?
生:比值相等,这两个比也就相等。
师:比值相等的两个比可以用等号连接。(板书:6∶4=3∶2或 4∶6=2∶3)
师:想一想,你还能找出一些比,也用像这样的式子来表示吗?
生1:6∶3 = 4∶2。
生2:3∶6 = 2∶4。
师:说说你是怎样想的?
生1: 6∶3=2,4∶2=2,所以6∶3 = 4∶2。
生2:3∶6和2∶4的比值相等,所以3∶6 = 2∶4。
师:你们的理由都很充分,老师也想到了一个式子“4∶3=6∶2”你们认为老师想到的式子正确吗?
生:不正确。4∶3和6∶2的比值不相等,不能用等号连接。 (教师对该学生的回答予以肯定)
师:上面三个正确的式子有什么共同的特征?
生1:都是由两个组成。
生2:两个比的比值相等。
生3:都由四个数组成。
师:像这样的式子有个名字,叫作比例。谁能根据自己的理解说说什么是比例?
生1:有两个比组成的等式,叫作比例。
生2:比例是有两个比值相等的比组成。
生3:两个比值相等的比写成等式,叫作比例。
师:我们看看书上是怎样给比例下定义的?
生齐读:表示两个比相等的式子叫作比例。(板书:比例)
师:你认为这个定义中哪些词比较关键?
生1:两个比。
生2:相等。
3. 自主探索。
师:我们知道,比有前项、后项,比例的各部分也有自己的名字。同学们你们都知道吗?(学生看书自学比例各部分名称)
生:在一个比例中,两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。
师:谁能上台来根据上面的比例来讲解一下?
学生说出后,根据学生汇报,教师板书。
　　　　　　6∶4 = 3∶2
师:你看,在6∶4=3∶2这个比例中,内项和外项分别是谁?
生:内项是4、3,外项是6、2。
师:4∶6=2∶3呢?
生:内项是6、2,外项是4、3。
师:你们知道吗,比例除了一般写法外也可以写成分数形式?(引导学生观察)
如12∶6 = 8∶4,也可写成 126=84。
师:把12∶6 = 8∶4这个比例写成分数形式126=84后,它的内项和外项分别是谁?
同桌交流。
生:内项是6、8,外项是12、4。
师:请同学们想一想,刚才我们是怎样判断两个比能否组成比例的?
生:如果两个比化简后相同或它们的比值相等,那么这两个比就能组成比例。
师:那么谁能说出一个比例?
学生会说出很多个,重点板书有错误的几个,并进行订正。
师:我们刚才一直在强调比和比例的联系,先写出了比,然后又组成了比例,你觉得比和比例一样吗?比和比例它们有什么区别?(小组交流)
生1:不一样。
生2:形式不同。因为比由两个数组成,比例由四个数组成。
生3:意义不同。因为比表示两个数相除,比例表示两个比相等的式子。
4.学以致用。
师:很好!你们说得非常正确。那么,你们知道学习比例的意义有什么用呢?
生:可以判断两个比是否可以组成比例。
师:既然这样,我们来看一个问题。(课件出示教材第16页第3个问题)根据蜂蜜和水的配比表中提供的数据,你能写出四个比吗?(同桌两人讨论)
生1:我先来!蜂蜜水A中的蜂蜜与蜂蜜水B中的蜂蜜的比3∶2,蜂蜜水A中的水与蜂蜜水B中的水的比15∶10。
生2:蜂蜜水A中的水与蜂蜜的比10∶2,蜂蜜水B中的水与蜂蜜的比15∶3。
师:那么这四个比它们能分别组成两个比例吗?为什么?(学生思考,小组讨论)
生1:能。因为3∶2=1.5,15∶10=1.5,这两个比的比值相等,所以能组成比例3∶2=15∶10。
生2:10∶2=5,15∶3=5,比值也相等,所以能组成比例10∶2=15∶3。
结合学生回答,教师板书:
①蜂蜜水A中的蜂蜜与蜂蜜水B中的蜂蜜的比是3∶2,二者水与水的比是15∶10。
　　　　　3∶2=1.5　15∶10=1.5　比值相等
　　　　所以能组成比例3∶2=15∶10。
②蜂蜜水A中的水与蜂蜜的比是10∶2,蜂蜜水B中的水与蜂蜜的比是15∶3。
5.判断两个比能否组成比例。
师:请同学们想一想,刚才我们是怎样判断两个比能否组成比例的?
生:如果两个比化简后相同或它们的比值相等,那么这两个比就能组成比例。
师:刚才,你们是先求出比值再判断两个比能否组成比例。我不是这样想的,可以很快就判断出,想知道其中的秘密吗?其实秘密就藏在比例的两个内项和两个外项之中,它们两者之间可是存在着一种奇妙的关系,你想揭开这个秘密吗?
那就请你以12∶6=8∶4为例,看看能不能发现这个关系!
全班交流。
生1:通过计算,在比例12∶6=8∶4中,两个内项6×8=48与两个外项12×2=48。
生2:我也试了,其他比例的两个外项与两个内项的积也是相等的,如15∶5=9∶3……
生3:所有的比例都具有两个外项与两个内项的积相等的规律。
师:下面我们可以采用举例验证的方法进行验证,这可是一种非常好的数学方法。那现在,咱们就看一下教材第17页“试一试”第1题,先写出前面学习的几个比例再验证看看,是不是所有的比例都是两个外项的积等于两个内项的积。(学生独立验证)
生1:12∶6=8∶4　6∶4=3∶2　3∶2=15∶10　10∶2=15∶3。
生2:我发现了12×4=6×8,6×2=4×3,3×10=2×15,10×3=2×15。
师:谁还能任意写出几个比例验证一下吗?
生1:15∶12=10∶8,15×8=12×10。
生2:1.5∶0.5=3∶1,1.5×1=0.5×3。
师:根据上面的观察、验证,你们发现了比例的什么规律?
生:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
指导学生学习与教材有关内容。

师:大家通过动手操作、交流想法,进一步理解了比例的意义,掌握了判断两个比能否组成比例以及验证比例是否正确的方法,大家来总结一下吧。
生1:就看两个比的比值是否相等,如果比值相等,那么这两个比就能组成比例。
生2:可根据“两个外项的积等不等两个内项的积”进行验证。



比例的认识
表示两个比相等的式子叫作比例。
　　　　　6∶4=3∶2
12∶6 = 8∶4可以写成126=84。
　　12∶6=8∶4　　6∶4=3∶2　　3∶2=15∶10　　10∶2=15∶3
　　12×4=6×8　　6×2=4×3　　3×10=2×15　　10×3=2×15
　　比例的基本性质:在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。



本节课的教学,总体上流程清晰,尤其是对本节课的两个重点突破较好,学生都理解了比例的意义,能正确读写比例,并且能根据比例的意义正确写出比例。同时,练习设计新颖,能体现学生思维的递进性,为帮助学生理解和掌握本课的知识点起到了很好的巩固作用。
本节课也存在着一些不足之处:①整节课对学生放手不够。②讲解过细,占用时间较长,学生主动时间较少。在今后的教学中将加大“放手”力度,多注意培养学生创新思维,语言力争言简意赅,把更多的时间还给学生探究问题和解决问题。

A 类
1.下面哪组中的两个比可以组成比例?把组成的比例写出来。
　①6∶10和9∶15　　②20∶5和1∶4
2.指出下面比例的外项和内项。
　4.5∶2.7=10∶6　　6∶10=9∶15
(考查知识点:比例的意义,明确比例中各部分名称;能力要求:能正确指出比例的内项和外项,熟练地应用比例的意义判断两个比能否组成比例)

B 类
下面的四个数可以组成比例吗?把组成的比例写出来。
　　　2、3、4 和 6
(考查知识点:比例的组成;能力要求:能根据比例的意义和性质写出比例)

课堂作业新设计
A 类:
1.①　6∶10 = 9∶15
2.
B类:
2∶3=4∶6　3∶2=6∶4
教材第17页“练一练”
1.(1)2∶6　3∶9　能组成比例
(2)2∶3　6∶9　能组成比例
2.15∶18=30∶36　13∶19=16∶118
3.10∶1.5=8∶1.2　6∶9=12∶18　
4.(1)能组成比例　3∶210=5∶350
(2)不能组成比例
(3)能组成比例　0.5∶4=6∶48
(4)不能组成比例
5.340∶1=680∶2　680∶2=1020∶3　1020∶3=1360∶4(答案不唯一)
6.(1)边长的比为1∶2,周长的比为1∶2,所以能组成比例。
(2)面积的比为1∶4,不是1∶2,所以不能组比例。
7.9∶1.2=3∶0.4　1.2∶9=0.4∶3　3∶2=b∶a　2∶3=a∶b





比例的应用。(教材第19~20页)

1.使学生理解解比例的意义,会根据比例的基本性质解比例。
2.联系学生的生活实际创设情境,体会解比例在生产生活中的广泛应用。
3.利用所学知识解决生活中的问题,进一步培养学生综合运用知识的能力及情感、价值观的发展,感受学习数学的乐趣,增强学习的兴趣和自信。

重点:使学生自主探索出解比例的方法,并能解出比例中的未知项。
难点: 用比例解决生活中的实际问题。

课件、汽车玩具、小人书等。



师:同学们,我们知道原始的商品交换形式不是以货币为媒介的,而是以物易物的交换方式进行的,按一定的比例交换自己所需物品的,其实现在人们有时还会用这种“物物交换”的古老方式进行交换。(出示教材主题图)你看淘气和奇思就是这样交换的。
师:根据以上主题图,你能获得哪些信息?
生1:淘气有14个玩具汽车。
生2:奇思想用4个玩具汽车换10本小人书。
师:那我们怎样才能帮助奇思解决这个问题呢?
小组交流、讨论、汇报。
生1:可以分步进行交换,14里面有3个4,也就是说能换3个10本,即30本小人书。还余2个玩具汽车。

生2:余下的2个玩具汽车,正好是4个玩具汽车的12,也就是还能换10本的12,即5本小人书,所以14个玩具汽车一共可换35本小人书。
生3:还可以通过列算式的方法,因为14里面有3.5个4,1个4换10本小人书,3.5个4就可换35本小人书。
结合学生的回答,教师板书。
师:现在假设14个玩具汽车可以换x本小人书,你能用比例知识解答吗?今天我们就来研究这个问题。(板书:比例的应用)

师:“4个玩具汽车换取10本小人书”这种交换方式是不变的,因此我们可以根据比例的意义列出比例,你们试一试吧!
小组合作、汇报。
生:4∶10=14∶x。
师:这样,在这组比例的四个项中,我们知道其中的几个项?还有几个项不知道?
生:知道其中三个项,还有一个项不知道。
师:不知道的这个项,我们把它叫作未知项。
在板书下面加上“未知项”三个字。
师:像这样,知道比例中的任意三项,求另外一个未知项的过程叫作解比例。同学们能用以前学过的知识求出4∶10=14∶x中x的值吗?
引导学生先独立思考,再组织学生合作交流。
生1:把比看作除号,那么4∶10=14∶x就可以转化成4÷10=14÷x。
生2:把4∶10=14∶x转化成4x =10×14 来解。
师:非常好,下面请一个同学解释一下4∶10=14∶x转化成4x =10×14来解,依据是什么?
生:根据两个内项的积等于两个外项的积。
师:同学们会解方程吗?把这个方程解出来。
在全班学生独立解答的同时,由一名学生在黑板上解答。
师:这个未知项是多少呀?(35)对了,14个玩具汽车可以换35本小人书。我们解答得对不对呢?可以怎样检验呢?
生1:若两个比的比值相等,则x值正确。
4∶10=0.4　14∶x=14∶35=0.4　比值相等　x值正确
生2:若两个内项的积等于两个外项的积,则x值正确。
4x=4×35=140　10×14=140　两个内项之积等于两个外项之积　x值正确
师:说一说你是怎样解比例的?
生:解比例可以根据“两个内项的积等于两个外项的积”把比例转化成方程,然后用解方程的方法求出未知数x。
师:大家已经掌握了解比例的方法,那就请你来试一试吧!
课件出示下面的比例。
24∶0.3=x∶0.4　　　　x4=3.57
师:这两个比例你能解答吗? 第2个比例形式上与上面的有什么不同?
生:这个比例是分数形式。
师:你能指出这个比例的内项和外项吗?
生:等号左边分数的分子以及右边分数的分母是外项,其他的是内项。
结合学生回答,教师板书。

师:通过小组的回忆与探讨,进一步理解了比例的意义,掌握了列比例、解比例的方法,并对求出比例中x 的值进行了检验,大家来总结一下吧。
生1:根据比例的意义列出比例。
生2:解比例的关键就是根据“两个内项的积等于两个外项的积”把比例转化为方程,并根据解方程的方法进行解答。
生3:求出未知数的值后,代入方程进行检验。



比例的应用

　　　　　 　　4∶10=14∶x
　　　　　　　 解:4x=10×14
　　　　　　　 　　x=35
　　　　　　　24∶0.3=x∶0.4　　　　　　　x4=3.57
　　　　　 　解:0.3x=24×0.4　　　　　解:7x=3.5×4
　　　　　　　　　x=9.6÷0.3 7x=14
　　　　　　　　　　x=32　　　　　　　　　　 x=2

本课时新内容不多,主要把新知识融入学生原有认知结构中,依靠学生已掌握的知识自己探索解决问题的方法,所以在本课设计时重点展示如何将新知识(解比例)转化成学生原有知识(解方程)的过程,并且这个转化过程完全建立在学生的自主探索上。
教学中运用“同学们能运用原来学习的知识求出4∶10=14∶x的值吗”这一提问,突出新旧知识之间的联系,建立用原有知识推动新知识的学习策略,然后运用“独立思考——相互交流——归纳总结”的学习方式,把学生引到学习的主体地位,使学生参与学习的全过程,帮助学生获得成功体验。

A 类
1.解比例。
　2∶9=8∶x　　0.5∶14=0.2∶x　　x25=1.275
2.根据条件列出比例,并且解比例。
　(1)40和x的比等于5和8的比。
(2)等号左端的比是3.6∶4.8,等号右端的比的前项和后项分别是1.5和x。
(考查知识点:解比例的意义;能力要求:会根据“两个内项的积等于两个外项的积”解比例)
B 类
中午,太阳当头照,小明身高1.5米,他的影子长0.5米。一棵大树的影子长6米,它的高度是多少米呢?
(考查知识点:比例的基本性质;能力要求:利用比例的基本性质解决生活中的问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)x=36　(2)x=0.1　(3)x=0.4
2.(1)40∶x=5∶8　　(2)3.6∶4.8=1.5∶x
　　　 　x=64　　　　　　　　x=2
B类:
解:设大树的高度是x米。
　　1.5∶0.5=x∶6
　　　　　x=18　
教材第20页“练一练”
1.(1)5　(2)6∶2=15∶x　x=5
2.1∶4=x∶84　　　　　4∶10=x∶250
解:4x=84　　　　　　解:10x=1000
　 　x=21　　　　　　　　　x=100
3.x=1.6　x=6　x=118
4.解:设笑笑收集的邮票有x张。
　　　3∶5=36∶x
　　　　3x=180
　　 　　x=60
5.解:设模型的高度是x米。
　　　1∶300=x∶600
　　　　300x=600
　　　　　x=2





比例尺。(教材第21~23页)

1.结合具体情境,认识比例尺;能根据图上距离、实际距离和比例尺中的任意两个量求第三个量。
2.运用比例尺的有关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题。
3.运用比例尺的有关知识,通过小组合作、实践操作,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切联系。

重点:理解比例尺的意义。
难点:能熟练解答比例尺的有关问题。

多媒体课件、直尺、一些比例尺不同的地图或校园平面图。



师:老师的手中有几张图片,你们想不想看一看?
生:想!(出示大小不同的中华人民共和国版图)
师:这是我们中华人民共和国的版图。仔细观察这张图片,看一看它发生了怎样的变化?
生:缩小。
师:同学们观察得真仔细啊!再仔细观察这张图片,又发生了怎样的变化?
生:扩大。
师:在缩小与扩大的变化中,这张图片是从整体发生变化还是从局部发生了变化呢?
生:这张图片在整体上都发生了缩小或扩大相同倍数的变化。
师:在整体变化中,图片缩小和扩大的倍数相同吗?
生:相同。
师:说得好极了!在现实生活中,有时需要把实际物体缩小或扩大若干倍后画到图纸上。你能举出这样的例子吗?
生1:我们学校的平面图就是缩小若干倍后画到图纸上的。
生2:小蚂蚁图片是扩大若干倍后画到图纸上的。
师:你知道这是把实际物体扩大还是缩小了呢?
生1:学校缩小了。
生2:小蚂蚁扩大了。
师:(课件出示:中国地图)这是把实际物体缩小若干倍后画到图纸上的。(课件出示:螺丝钉)像螺丝钉这样很小的机器零件,我们为了研究的方便,常常把它扩大若干倍后再画到图纸上。这些都需要确定图上距离和实际距离的比,这就是比例的知识在实际生活中的一种应用——比例尺,它是表示图上距离与实际距离的比,今天我们就来学习这方面的知识——比例尺(板书课题)。

1.课件出示主题图,引导观察。
师:(出示教材第21页第1个问题)我这里还有一张淘气和笑笑分别画的图。
他们画得合理吗?与同伴交流一下。
小组讨论、汇报。
2.引导探索。
师:在笑笑画的这幅图上你们发现了什么?
生:在图的右上方有“1厘米表示100米”。
师:观察真仔细!1厘米表示100米是什么意思?
生1:图上1厘米长的线段表示实际100米,即10000厘米。
生2:图上距离是实际距离的110000。
生3:表示实际距离是图上距离的10000倍。
生4:这幅图的比例尺就是1∶10000。
师:因为在绘制地图和其他平面图时,经常要用到“图上距离和实际距离的比”,我们就给它起一个名字叫作比例尺。(板书:图上距离∶实际距离=比例尺)有时图上距离和实际距离的比也可以写成分数形式。(板书:图上距离实际距离=比例尺)图上距离是比的前项,实际距离是比的后项,为了计算简便,通常把比例尺写成前项是1的最简单整数比。
师:你们在什么地方看到过比例尺?
生1:在中国地图上。
生2:在世界地图上。
生3:在房屋设计图上。
……
3.自主探索。
出示教材第21页例题。
让学生读题,指名回答。
师:这道题告诉我们什么?
生:在学校的东北角方向400米处,有一个社区活动中心。
师:要我们做什么?
生:求图上距离。(板书:图上距离)
师:实际距离、比例尺分别是多少?
生:实际距离是400米,比例尺是1∶10000。
师:怎样标出社区活动中心的位置呢?
生:先求出图上距离,即400米=40000厘米,40000÷10000=4(厘米)。
所以社区活动中心在学校的东北方向4厘米处。
(在学校的东北方向4厘米处标出社区活动中心的位置)
【设计意图:运用实例,让学生从多角度、多方位理解比例尺的实际含义。同时,借助于学生对比例尺的多角度理解,让学生灵活地选择解决方法,体现了“以人为本、和谐发展”的教育理念,既让不同的学生学不同的数学,又使不同的学生得到不同的发展】
师:(出示中国地图)谁能说出中国地图是根据什么画在这么小的图上的。
生1:根据比例尺。
生2:图上距离和实际距离的比。
【设计意图:用学生熟悉的中国地图,既能提高他们的爱国热情,又学会了应用比例尺计算图上距离和实际距离,使学生感觉到数学就在自己身边。同时,在矛盾冲突中培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,进一步加深学生对比例尺意义的理解】
师:(出示比例尺不同的地图和校园平面图)说出它们的比例尺各是多少,表示什么意思。
……
师:知道了一幅图的比例尺,我们可以解决哪些问题?
生1:根据图上距离可以求出实际距离。
生2:根据实际距离可以求出图上距离。
师:通过观察,你们发现比例尺有什么特点?
生3:比例尺是一个比,不应带计量单位。
生4:求比例尺时,前、后项的长度单位一定要化成同级单位,如10厘米∶10米,要把后项的米化成厘米后再算出比例尺。
生5:地图上的比例尺一般写成前项是“1”的比,如果写成分数形式,分子也应化简成“1”。
师:说得很好!如例1中的比例尺通常写成1∶10000或110000,这种比例尺叫作数值比例尺。
4.探讨线段比例尺。
师:(出示教材第21页第4个问题)这个比例尺与前面的比例尺有什么不同?
生:前面的比例尺是用数字表示的,这里是用线段表示的。
师:这种表示方法叫线段比例尺,你知道它表示的意义吗?
生:表示图上距离1厘米相当于实际距离90千米。
师:比例尺、图上距离和实际距离三者之间有怎样的关系?
生1:图上距离∶实际距离=比例尺
生2:图上距离÷比例尺=实际距离
生3:实际距离×比例尺=图上距离
学生独立完成教材第22页“试一试”,老师巡视、辅导。

师:我们大家通过动手操作、交流想法,掌握了运用比例尺解答有关问题的方法,大家来总结一下吧。
生1:知道比例尺,可以根据实际距离求出图上距离。
生2:知道比例尺,可以根据图上距离求出实际距离。
生3:知道图上距离与实际距离,也可求出这幅图的比例尺。



比　例　尺
　　　　　图上距离与实际距离的比叫作这幅图的比例尺。
　　　　　图上距离∶实际距离=比例尺
　　　　　图上距离实际距离=比例尺
　　　　　图上距离÷比例尺=实际距离
　　　　　实际距离×比例尺=图上距离


通过本节课的教学使我认识到:课堂教学,首先应为学生创设一个轻松的氛围,提供“舞台”,让学生亲身去体会、去观察、去发现、去探索、去交流,这才是学生获取知识的真谛;其次是应注重学生从体验中学习,在体验中自我构建新知识,在体验中掌握学习方法,抓住要点、强调重点、突破难点;由于在本节课中要认识数值比例尺和线段比例尺,区别放大比例尺和缩小比例尺,知识点多,容量大,所以我特别注重细节的强调及学生易出错问题的讲解,化繁为简,化难为易;再就是要灵活运用多媒体教学,提高课堂效率,各类地图的出示快捷、直观,从而激发学生的兴趣。

A 类
填空。
(1)图上距离=(　　　　　　),实际距离=(　　　　　　)。
(2)比例尺表示(　　　　)和(　　　　)的比。
(3)一幅地图,图上2厘米表示实际100千米,这幅图的比例尺是(　　　　　)。
(4)在比例尺是4∶1的图纸上,量得零件长8厘米,这个零件的实际长度是(　　　　)。
(考查知识点:比例尺的意义与比例尺在生活中的应用;能力要求:会运用比例尺的意义解决简单的实际问题)
B 类
1.在比例尺是1∶5000000的地图上,量得上海到杭州的距离是3.4厘米,上海到杭州的实际距离大约是多少千米?
2.每四人一组,拿出一份地图,根据比例尺测量任意两地间的图上距离,并计算两地间的实际距离。
(考查知识点:比例尺的意义;能力要求:比例尺在生活中的应用)

课堂作业新设计
A 类:
(1)实际距离×比例尺　图上距离÷比例尺　(2)图上距离　实际距离
(3)1∶5000000　(4)2厘米
B类:
1.3.4×5000000=17000000(厘米)　　17000000厘米=170千米
2.略
教材第22页“试一试”
1.1020千米　2.略
教材第22页“练一练”
1.略
2.第一幅图:图上1厘米相当于实际距离9000000厘米,也就是90千米。第二幅图:图上1厘米表示实际距离200米。
3.1920千米=192000000厘米　20∶192000000=1∶9600000
　这幅地图的比例尺是1∶9600000。
4.3×2000=6000(厘米)=60(米)　3×500=1500(厘米)=15(米)
5~7.略




图形的放大和缩小。(教材第24~25页)

1.通过观察和操作,体会图形按一定的比放大或缩小的实际意义。
2.提高学生观察、分析问题及动手操作的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣,培养学生独立解决实际问题的能力。

重点:把图形按一定的比放大或缩小。
难点:会把图形按一定的比放大或缩小。

课件、作业纸、直尺、透明方格纸。



师:老师前几天拍了几张照片,拿来给同学们欣赏一下。(出示缩小后的图片)能看清吗?
生:太小了看不清。
师:怎么办呢?(把图片慢慢放大,放大到原来的3倍)
师:现在为什么看得这么清楚了?
生:照片被放大了。
师:其实在生活中由于很多物体太小,我们要看清楚需要把它们放大。
师:还想看照片吗?(出示一张放大得看不清的照片)
师:看得清吗?怎么办?
生:把照片缩小。
师:真不错!我们今天就一起来研究图形的放大和缩小。(板书:图形的放大和缩小)

师:现在老师这里有一个问题。(出示教材第24页第1个问题)
师:仔细观察,数一数,这个长方形的长、宽各是多少?
生:长方形的长是6个方格,宽是3个方格。
师:让我们再来看一下要求什么?
生:按4∶1的比画出这个长方形放大后的图形。
师:题中的4∶1是什么意思?
生1:表示把图形放大到原来的4倍。
生2:比例尺的前项是图上距离,我认为4∶1表示把长方形的边长扩大到原来的4倍。
……
师:同学们都说得非常好,那请大家再想一想,应该怎样来画呢?
生:把长方形的长和宽分别扩大到原来的4倍,原来的长是6格,放大4倍后应该画24格;原来的宽是3格,放大4倍后应该画12格。
……
师:好,请大家按4∶1的比画出放大后的长方形。
学生交流、画图,教师巡视。
生:先在方格纸上画出一组邻边,再根据长方形的两组对边平行且相等的特点画出另一组邻边,就画出了放大后的长方形。
师:如果换成一个直角三角形(两条直角边分别占6格、3格),你们有信心完成吗?
生:有!
师:那你们还是按4∶1画,可以吗?
学生交流、画图,教师巡视。
师:说一下,你是怎样画的?
生:三角形的一条直角边是6格,放大4倍后是24格;另一条直角边是3格,放大4倍后是12格。先画出这个直角三角形的两条直角边,再画斜边,就画好了放大4倍后的三角形。
师:刚才我们按4∶1的比把图形放大,就是把图形的各边按相同的比放大,得到放大后的图形。下面请大家再认真观察一下放大前后的两个图形,你发现了什么?
生:图形的形状没有变化,只是大小发生了变化。
……
师:说得不错!图形的各边按相同的比放大后,得到的图形大小变化了,形状不变。
师:把一个图形放大我们已经研究过了,下面我们来研究图形的缩小。(出示教材主题图)如果把“巨人”用过的三角尺按1∶4的比画出来,图形会发生什么变化?你是怎样理解的?
生:比例尺的前项是图上距离,1∶4表示把三角形的底和高缩小到原来的14。
……
师:应该怎样来画呢?
学生独立思考、画一画,教师巡视,对有困难的学生及时指导。
师:请一名同学向大家介绍一下自己的画法。
生:把三角形的底和高缩小到原来的14,原来的底是8格,缩小到原来的14后应该画2格;原来的高也是8格,缩小到原来的14后也应该画2格。
师:好,让我们再来看缩小前后的图形,你有什么发现?
生:图形缩小了,但形状没变。
师:同学们都说得很好,图形的各边按相同的比放大、缩小,图形的大小发生了变化,形状没变。(板书:图形的大小发生了变化　形状没变)

师:通过小组间的探讨,初步掌握了图形放大或缩小的方法,大家来总结一下吧。
生1:把一个图形按一定的比放大或缩小,就是把图形的各边按一定的比放大或缩小。
生2:图形的各边按相同的比放大、缩小后,图形的大小发生了变化,形状没变。
生3:只有长和宽按照相同的比来画,或者所画图形的各边与原图各边的比相同,才能画的像。



图形的放大和缩小
图形按一定的比放大时,对应线段长的比相等。
图形按一定的比缩小时,对应线段长的比相等。
图形的各边按相同的比放大或缩小后,只是大小发生了变化,形状没变。




把一个图形按一定的比放大或缩小,对于学生来说,是一个新的实践探索。图形的放大和缩小是比的实际应用,通过这部分内容的学习,使学生从数学的角度认识放大和缩小现象,知道图形按一定的比放大或缩小后,只是大小发生了变化,形状没变,从而体会图形相似的特点,并能在方格纸上按一定的比将简单图形放大或缩小。
总之,本节课从学生的生活出发,提高学习兴趣,使学生发现“数学真好玩”,同时让学生感受到生活中把物体放大或缩小的现象是经常遇到的,学习这些数学知识可以帮助他们解决生活中的很多问题。

A 类
1.填空。
(1)一个长方形,长是12厘米,宽是6厘米。
①按一定的比放大后,长是36厘米,宽是18厘米,它是按(　　)∶(　　)的比放大的。
②按一定的比缩小后,长是6厘米,宽是3厘米,它是按(　　)∶(　　)的比缩小的。
(2)图形按一定的比放大时,这个比的比值比1(　　);图形按一定的比值缩小时,这个比的比值比1(　　)。(填“大”或“小”)
(3)把一个长3厘米、宽2厘米的长方形按2∶1的比放大后画在纸上,图纸上的长是(　　)厘米,宽是(　　)厘米。
2.判断。(对的在括号里画“?”,错的画“✕”)
(1)把一个长方形按4∶1进行放大,就是把长方形的长和宽扩大到原来的4倍。 (　　)
(2)一个正方形按1∶3缩小后,边长和面积都缩小到原来的13。 (　　)
(3)一个图形放大或缩小后得到的图形与原来图形是相似图形。 (　　)
(考查知识点:图形放大或缩小的意义;能力要求:会运用图形的放大或缩小的意义解决问题)
B 类
一个圆的半径是4厘米,按1∶2缩小后,得到的图形的面积是多少?
(考查知识点:图形缩小的意义;能力要求:会利用图形的缩放解决实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)①3∶1　②1∶2　(2)大　小　(3)6　4
2.(1)?　(2)✕　(3)?
B类:
3.14×(4÷2)2=12.56(平方厘米)
教材第25页“练一练”
1.A放大后的图形是E,缩小后的图形是C。
2~4.略





练习二。(教材第26~27页)

1.对比例的有关知识进行系统的整理和复习。
2.培养学生灵活运用知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的应用意识,激发学生学习数学的自信心,渗透“事物间是互相联系”的观点。

重点:理清知识间的结构,主动建构知识网络,学会整理知识的方法。
难点:对一些概念的理解和区分,并用所学的知识解决实际问题。

课件、地图等。




师:我们班一共有多少位同学?男生有多少人?女生有多少人呢?
生:共有……位同学,男生有……人,女生有……人。
师:谁能用“比的知识” 说说男女同学人数的关系?
生:……
师:谁能说一个和它比值相等的比?
生:……
师:如果把这两个比用等号连接起来叫什么?
生:比例。

师:那么,现在你知道我们这节课要整理复习什么内容了吗?
生:比和比例。
(板书课题:比例的整理与复习)
【设计意图:从现成的素材导入新课,贴近学生实际生活,激发学生的学习兴趣,点燃了学生的思维兴奋点】
比例比例的意义比例的基本性质解比例用比例解决问题比例尺数值比例尺线段比例尺图像的放大和缩小

师:举例说明比例的意义。
生:表示两个比相等的式子叫作比例,如2∶3=4∶6。
师:举例说明什么叫比?
生: 两个数相除就叫作两个数的比,如5÷10=5∶10。
师:比和比例之间有什么区别?
生:比是两数相除的一种关系,比例是一个等式。
师:举例说明什么是比例的基本性质?
生:两个内项的积等于两个外项的积。
师:举例说明比例的基本性质。
生:2∶3=4∶6
3×4=2×6
师:那什么是比的基本性质呢?
生:比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),比值不变。
师:利用比例的基本性质可以做什么?
生:可以解比例。
师:什么叫解比例?
生:求比例中的未知项的过程叫作解比例。
师:比和比例有什么区别?
小组讨论,填写下表。

比
比例
意义
两个数相除就叫两个数的比
表示两个比相等的式子叫作比例
构成
8 ∶ 4　=　2
前　后　　 比
项　项　 　值

基本性质
比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),比值不变
两个内项的积等于两个外项的积
　　师:比例尺的意义?
生:图上距离和实际距离的比。
师:比例尺的分类?
生:可以分为数值比例尺和线段比例尺。
师:这是按表现形式分,如果按将实际距离放大还是缩小分,分为缩小比例尺和放大比例尺。
师:怎样才能使放大或缩小后的图形与原图形像?
生:各边按相同的比放大或缩小,所形成的图形与原图形才像。

师:通过今天的复习,都掌握了哪些知识?
生1:更加明确了比例的意义以及比例的基本性质。
生2:提高了运用比例解决生活中实际问题的能力。



练　习　二
比例比例的意义比例的基本性质解比例用比例解决问题比例尺数值比例尺线段比例尺图像的放大和缩小

本单元是在学习比的有关知识并掌握了一些常见数量关系的基础上,学习比例的有关知识及应用,可以加深学生对数量关系的认识,渗透函数思想。本单元概念较多,比较抽象。因此,我从以下几方面加强教学,以能突破难关。
1.重视基本概念的教学,让学生建立明晰的概念,把握概念的内涵。
2.注意新旧知识间的联系,注重提高学生综合运用知识的能力。
3.帮助学生建构和巩固解决问题的策略。
总之,想要短时间内使学生灵活运用比例的知识来解决生活中的问题,是难以做到的,这需要加强练习,让学生在练习中不断提高解决问题的能力。

A 类
1.填空。
(1)在6∶5 =1.2中,6是比的(　　),5是比的(　　),1.2是比的(　　)。
(2)在4∶7 =48∶84中,4和84是比例的(　　),7和48是比例的(　　)。
(3)4∶5=24 ÷(　　)=(　　)∶15。
(4)0.7∶x=14∶y,当x=1时,y的值是(　　);当y=1时,x的值是(　　)。
(5)判断两个比能不能组成比例,要看它们的(　　　　　　　)。
(6)在一个比例中,如果两个外项的积是24,其中一个内项是3 ,那么另一个内项是(　　)。
(7)一种精密零件长5毫米,把它画在比例尺是12∶1的零件图上,长应画(　　)厘米。
(8) 在一幅地图上量得甲地到乙地的距离是4厘米,而甲地到乙地的实际距离是180千米,这幅地图的比例尺是(　　　　　　　)。
(9)在比例尺是1∶2000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是38厘米,则两地的实际距离是(　　)千米。
2.判断。 (对的在括号里画“?”,错的画“✕”)
(1)两个比可以组成一个比例。 (　　)
(2)任意两圆各自的周长和直径的比可以组成比例。 (　　)
(3)在一张地图上,4厘米表示实际距离200米,这幅地图的比例尺是1∶50。 (　　)
(4)x∶16=7∶6,求x值的过程叫作解比例。 (　　)
(5)在比例里,两个外项的积与两个内项的积的差是0。 (　　)
(6)在比例尺是8∶1的图纸上,2厘米的线段表示零件实际长16厘米。 (　　)
3. 选择。(将正确答案的序号填在括号里)
(1)图上6厘米表示实际距离240千米,这幅图的比例尺是(　　)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1∶40000　　　 B.1∶400000　　　 C.1∶4000000

(2)小正方形和大正方形边长之比是2∶7,小正方形和大正方形的面积之比是(　　)
A.2∶7　　　　　　 B.6∶21　　　　　　 C.4∶49
(3)下面第(　　)组中的两个比不能组成比例。
A.8∶7 和 16∶14　　　　 B.0.6∶0.2 和 3∶1　　　 C.19∶110 和 10∶9
(4)红关小学新建一个长方形游泳池,长50米,宽30米。选用比例尺(　　)画出的平面图最大;选用比例尺(　　)画出的平面图最小。
A.1∶1000　　 B.1∶1500　　 C.1∶500
4. 解比例。
25∶7=x∶35 17.5∶35= 4∶x x∶0.75 = 81∶25
5.综合应用。
(1)一根木料,锯成3段需要12分钟,如果锯成5段,需要多少分钟?
(2)一个零件的实际长度是8毫米,在设计图上用4厘米表示,这幅图的比例尺是多少?
(3)在一张中国地图上,量得甲、乙两地的距离是5厘米,它的比例尺是1∶500000,甲地到乙地的实际距离是多少千米?
(4)在一张图纸上,量得一个长方形花圃的长是12厘米,宽是8厘米。这张图纸的比例尺是1∶200,这个花圃的实际面积是多少平方米?
(5)某工程队修一条铁路,原计划每天修75米,40天可完工。改进技术和设备后,实际每天多修5米,实际多少天可以完成任务?
(考查知识点: 比例的意义及基本性质,解比例的方法;能力要求:能运用比例知识解决生活中的一些实际问题)
B 类
甲、乙两地的实际距离是300千米,在一幅地图上量得两地之间的距离是6厘米。在这一幅地图上,又量得甲、丙之间的距离是4厘米,甲、丙两地的实际距离是多少千米?
(考查知识点:比例尺的意义;能力要求:运用比例的知识解决简单的实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)前项　后项　比值　(2)外项　内项
(3)30　12　(4)20　0.05　(5)比值是否相等
(6)8　(7)6　(8)1∶4500000　(9)760
2.(1)✕　(2)?　(3)✕　(4)?　(5)?　(6)✕
3.(1)C　(2)C　(3)C　(4)C　B
4.x=125 　x=8　x=2.43
5.(1)解:设需要x分钟。
　　　(3-1)∶12=(5-1)∶x
　　　　　　　2x=12×4
　　　　　　 　x=24
(2)40∶8=5∶1　(3)5×500000=2500000(厘米)=25(千米)
(4)(12×200÷100)×(8×200÷100)=384(平方米)
(5)75×40÷(75+5)=37.5(天)
B类:
6∶30000000=1∶5000000　4×5000000=20000000(厘米)=200(千米)
教材第26页“练习二”
1.(答案不唯一)5∶2.5=4∶2　4∶2=3∶1.5　3∶1.5=5∶2.5
2.不能　不能　38∶14=12∶13
3.x=22.5　x=8　x=0.36
4.解:设调制这杯糖水用水x克。
　　　2∶25=10∶x
　　 　　2x=250
　　　　　x=125
5~6.略
7.(1)1∶5000000表示图上1厘米代表实际距离5000000厘米,即50千米。
(2)略　(3)略
8.略




本单元教学内容包括图形的旋转(一)、图形的旋转(二)、图形的运动和欣赏与设计四部分内容。在第一学段的学习中,学生初步感受了生活中的平移、旋转和轴对称现象,能在方格纸上作简单图形平移后的图形。本单元内容在上述基础上进一步发展,通过具体实例的展示,使学生进一步体会旋转的知识和综合运用平移、旋转和轴对称设计美丽的图案。

学生已经初步感受了生活中的平移与旋转现象,并能在方格纸上画出一个沿水平、垂直方向平移后的图形,对旋转也有了初步的认识,具有一定的变换思想。同时,六年级学生普遍具有求知欲高、模仿能力强、思维多依赖于具体直观形象等特点,这使得学生的数学学习活动是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程。



　　1.通过实例观察,使学生发现一个简单基本图形在旋转过程中的变化规律,并能自己动手将简单的基本图形围绕一点按一定的方向旋转一定的角度,培养学生的观察能力及审美意识。
2.了解一个简单图形经过旋转制作复杂图形的过程,知道图形旋转的三要素(中心点、方向、度数)。
3.通过观察实例,认识图形的平移和旋转,能在方格纸上将简单图形进行平移或旋转。
4.欣赏生活中的图案,灵活运用平移、轴对称和旋转在方格纸上设计图案,感知美、创造美,体验成功的喜悦。

在教学本单元内容时,需要注意以下几点。
1.在图形的变换中,提倡不同的方法。
一个图形经过变换后,可以得出新的图形,用不同的操作方法,得到的新图形也可能不同。因此,可以先让学生想一想,再在方格纸上试一试,最后全班来说一说。在教学过程中,教师要深入到学生的活动中去,从中发现学生有特色的操作方法,并给予鼓励和肯定,为学生互相学习与交流提供条件。
2.在欣赏图案的过程中,鼓励学生设计美丽的图案。
学生在前面的学习中已经欣赏了正方形旋转的过程,并进行了制作,本单元把这一内容进一步拓展,可以是任意的简单图形。在教学中,先请学生欣赏,然后每个学生用硬纸片剪一个任意的简单图形,接着进行变换。对学生设计的图案,只要基本符合要求,教师就应给予肯定。对一些设计特别优秀的学生,也可以让他们再演示一遍,以带动动手能力较弱的学生。
3.创设良好的课堂学习氛围。
虽然教材为学生提供了大量的直观形象的素材,以便于学生积极参与课堂的学习活动,但毕竟随着学生年级的升高,教材中所揭示的数学知识的难度在逐步加深。因此,创设良好的课堂学习氛围,让每个学生感受学习的乐趣,树立学好数学的信心是十分重要的。如教材第32页的情境题,这是一个综合性的问题,要回答教材中的问题需要学生对平移和旋转的知识有相当程度的理解,有些学生面对类似问题常常会有不知从何着手的感觉,也有些学生心里明白,然而表述上有困难。这些现象的出现是课堂教学中的正常现象,关键是如何来帮助学生、引导学生。可以在课堂上多组织学生动手操作,让学生在操作的过程中,借助模型说一说图形的变换过程,再鼓励他们进行想象。

1　图形的旋转(一) 1课时
2　图形的旋转(二) 1课时
3　图形的运动 1课时
4　欣赏与设计 1课时
5　练习三 1课时




图形的旋转(一)。(教材第28~29页)

1.进一步认识图形的旋转变换,探索它的特征和性质。
2.能在方格纸上将简单的图形旋转90°。
3.感受旋转在生活中的应用,体会数学与实际生活的联系。

重点:理解图形旋转变换的含义。
难点:在方格纸上将线段按顺时针或逆时针旋转90°,并能画出旋转后的线段。

课件、钟表模型等。



师:在2005年的春节联欢晚会上,有一台特殊的舞蹈,这个舞蹈中的有些动作还用到了我们学过的数学知识呢?请大家再次欣赏《千手观音》。(多媒体播放视频)
生:数学中的旋转!
师:生活中,你还见过哪些旋转现象?
生:风扇、陀螺、旋转木马、钟表、车轮、收费站的横杆……
(动画出示几种旋转现象)
师:生活中像这样的旋转现象还有很多,你想学习吗?这节课我们来学习图形的旋转。〔板书课题:图形的旋转(一)〕

1.认识运动方向。
师:我们就从与我们关系最密切的钟表开始研究吧!首先我们来认识顺时针方向和逆时针方向。
(出示钟表,先把分针指向“12”,然后顺次指向1、2、3……12)
师:刚才分针旋动的方向就是顺时针方向。(板书:顺时针方向)谁来说一说逆时针方向是如何旋转的?
生:与分针旋转方向相反的方向就是逆时针方向。(板书:逆时针方向)
2.认识按角度旋转。
(老师分别演示,让学生观察后回答)
(动画出示:指针从12指向1)
师:谁能用一句话完整地描述一下刚才的这个旋转过程?
生:指针从“12”绕点O顺时针旋转30°到“1”。
(板书:指针从“12”绕点O顺时针旋转30°到“1”)
(动画出示:指针从1指向3 )
师:这次指针又是如何旋转的?
生:指针从“1”绕点O顺时针旋转60°到“3”。
(动画出示:指针从3指向6)
师:同桌互相说一说。
师:如果指针从“6”继续绕点O顺时针旋转180°,会指向几呢?
生:12。
(动画出示:指针从6指向12 )
3.从生活中认识图形的旋转。
师:刚才同学们提到收费站的横杆(出示主题图),请同学们仔细观察下图,说一说横杆是怎样旋转的?

生1:当横杆升起时,横杆是沿逆时针方向旋转的,旋转了90°。
生2:当横杆落下时,横杆是沿顺时针方向旋转的,旋转了90°。
师:我们描述了这么多旋转现象,想想看,要想把一个旋转现象描述清楚,应该说哪些方面?
生:旋转物体、起止位置、旋转点、旋转方向、旋转角度。
(板书:点　方向　角度)
师:对!要把一个旋转现象描述清楚,不仅要说清楚是什么在旋转,它的起止位置在哪里,更重要的是要说清楚旋转点、旋转方向和旋转角度。
4.线段的旋转。
师:我们能够清楚地描述指针的旋转了,如果把指针看作一条线段,用AB来表示,想想看,线段能旋转吗?可以怎么旋转?
出示教材第28页“画一画”方格图。
学生在方格纸上完成。
师:谁愿意来展示一下你的作品?说说你是怎么画的?(实物投影出示)

生1:第一幅图首先要确定它围绕点B旋转,然后把线段AB绕着点B顺时针旋转90°,画出线段A'B即可。
生2:第二幅图要先确定它围绕点A旋转,然后把线段AB绕着点A逆时针旋转90°,画出线段AB'即可。

师:通过动手操作与练习,掌握了图形的旋转方法,并能根据要求进行旋转,大家来总结一下吧。
生1:认识了顺时针方向与逆时针方向。
生2:图形进行旋转时,首先要确定旋转点,然后确定旋转方向和旋转角度。



图形的旋转(一)
顺时针方向
逆时针方向
指针从“12”绕点O顺时针旋转30°到“1”。
点　　方向　　角度



线段的旋转是本节课的教学重点,这时已经由生活中的旋转现象上升到图形的旋转。在方格纸上画图是一种特殊的操作活动,它在图形变换初步认识的教学过程中,具有不可或缺的作用。因为学会画图是学生必须达成的学习目标,同时它又是反映学生是否理解有关概念,掌握有关特征的表现形式与检测手段。
教师在方格纸上画出线段旋转90°后的图形,让学生先模拟“转”再“画”。通过操作,看清楚旋转后图形的位置,再讨论怎样画,由此可以找到画图的方法。线段的旋转既承载了对旋转要素的深化理解,又为后继学习面的旋转打下了坚实基础。


A 类

1.如右图所示,指针从12开始,　　　　旋转　　　　会转到3;指针从6开始,　　　　旋转　　　　会转到9;指针从3开始,逆时针旋转90°会转到　　　　;指针从9 开始,逆时针旋转90°会转到　　　　。 
2.钟面上指针从“12”绕点O顺时针旋转90度到“　　　　”,接着绕点O逆时针旋转　　　　到“9”。 
(考查知识点:理解图形旋转的含义;能力要求:明确顺时针旋转和逆时针旋转,会确定旋转的度数)
B 类
画出将线段AB绕点B顺时针旋转90°后的线段;画出将线段MN绕点M逆时针旋转90°后的线段。
AB　　　　MN
(考查知识点: 图形的旋转;能力要求:能在方格纸上画出将线段按顺时针或逆时针旋转90°后的线段)


课堂作业新设计
A 类:
1.顺时针　90°　顺时针　90°　12　6
2.3　180°
B类:

教材第29页“练一练”
1.(1)2时到4时　3时到6时　第2个钟面上的时针旋转角度大　(2)90°　120°
2.顺时针　90°
3、4.略





图形的旋转(二)。(教材第30~31页)

1.使学生进一步认识图形的旋转,理解按顺时针或逆时针旋转90°的含义,能在方格纸上画出将简单的图形旋转90°后的图形。
2.让学生进一步积累旋转的学习经验,更充分地感受观察、操作、实验、探索等活动本身的独特价值,增强空间观念,发展形象思维。
3.让学生在认识旋转的过程中,产生对图形与变换的兴趣,并进一步地感受旋转在生活中的应用。

重点:理解图形旋转变换的含义,掌握图形旋转的三要素:旋转点、旋转方向、旋转角度。
难点:在方格纸上画出将图形按顺时针或逆时针旋转90°后的图形。

方格纸、课件、风车、装有小红旗和长方形纸片的信封、水彩笔、可旋转三角形纸片等。



师:在我们的生活中,有各种各样的美丽图案,它们有的是由简单的图形经过旋转得来的,大家想知道其中的奥秘吗?(出示课件)

看到这些图案你有什么想法? (提问学生)
师:你想知道这些图案是怎样设计的吗?要想知道这些图案是怎样设计的,我们就要进一步研究——图形的旋转(二)。

师:通过上一节的学习,我们已经初步掌握了一个图形旋转的过程,想不想自己试着画一画呢?
1.小旗的旋转。
出示教材第30页第1个问题。
师:这个问题告诉了我们什么?
生:图中的小旗绕点M顺时针旋转90°。
师:要我们做什么?
生:画出旋转后的图形。
学生在方格纸上完成。
师:谁愿意来展示一下你的作品?说说你是怎么画的?
生1:在画一个旋转图形时,首先要确定它的旋转点M。
生2:根据前面学习的线段的旋转方法,找到旗杆,在旗杆绕点M顺时针旋转90°后的位置画出这条线段。
生3:最后根据小旗中旗杆与旗面的位置关系画出旋转后的图形。
2.三角形的旋转。
课件出示教材第36页第2个问题。(画出三角形ABC旋转90°后的图形)
师:你能画出三角形绕点A顺时针旋转90°后的图形吗?剪一个三角形标上各点转一转。
学生操作后小组交流,老师巡视、指导。
师:谁能说说你是怎样画三角形绕点A顺时针旋转90°后的图形的?
生1:先画线段AB的对应线段AB'。以旋转点A为垂足,在线段AB的右侧作线段AB的垂线。因为点B到点A的距离为2小格,所以以点A为起点,在线段AB的垂线上数出2小格,此点即为点B的对应点B',线段A B'就是线段AB的对应线段。
生2:再画线段AC的对应线段AC'。以旋转点A为垂足,在线段AC的下侧作线段AC的垂线。因为点C到点A的距离为3小格,所以以点A为起点,在线段AC的垂线上数出3小格,此点即为点C的对应点C',线段AC'就是线段AC的对应线段。
生3:最后连接BC,三角形A B'C'就是三角形ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形。
师:如果三角形ABC绕B点逆时针旋转90°,你能画出它的图形吗?
独立完成,小组交流、汇报。
生1:先画线段BA的对应线段BA'。以旋转点B为垂足,在BA的右侧作线段BA的垂线。因为点A到点B的距离为2小格,所以以点B为起点,在线段BA的垂线上数出2小格,此点即为点A的对应点A',线段BA'就是线段BA的对应线段。
生2:再画线段BC的对应线段BC'。以旋转点B为垂足,在BC的上侧借助直角三角板作线段BC的垂线(让三角板的一条直角边和线段BC重合,直角顶点和点B重合,沿着另一条直角边画一条直线,即为线段BC的垂线)。在线段BC的垂线上量出与线段BC相等长度,找到点C的对应点C'。
生3:最后画AC的对应线段A'C'。连接A'C',三角形B A'C'就是三角形ABC绕点B逆时针旋转90°后的图形。
师:旋转后的图形发生了什么变化?
生1:图形的位置发生了变化。
生2:图形的形状、大小没有变。
生3:旋转点的位置没有变。
生4:对应线段的长度没有变。

师:通过动手操作,掌握了图形的旋转方法,并能根据要求进行旋转,大家来总结一下吧。
生1:掌握了在方格纸上将简单图形旋转90°后的画法,并能正确画出。
生2:基本图形旋转后的形状、大小没有变。



图形的旋转(二)
绕点A顺时针旋转90°　　绕点B逆时针旋转90°



图形的旋转有方向、角度、中心三个要素,从这三个要素又可引申很多知识。例如,顺时针旋转90度等于逆时针旋转270度;一个图形可以有不同的旋转中心,只要一点固定不动就可以定为旋转中心等。在开始我将这些都设计了进去,因为我的理解是应该将教材进行拓展,后来的实践我发现不应该把学生看成是万能的,应考虑他们的接受能力,所以在本节课中,我将知识目标定位在90度的旋转上,而旋转180度、270度准备放到单元复习课上进行,这样灵活地处理学生接受起来就容易多了。
考虑到学生的好奇心,教学时既不能脱离教材,又不能拘泥于教材,只有这样才能使知识变幻无穷,使学生思维灵活。在掌握图形旋转90°后得到图案的基础上,进一步拓展知识,激发了学生探索数学知识的欲望,也使每一位同学都能从中获得成功的喜悦。

A 类
1.看图填空。

(1)图形B可以看作图形A绕点(　　)按顺时针方向旋转90°得到的。
(2)图形C可以看作图形B绕点O按顺时针方向旋转(　　)得到的。
(3)图形B绕点O按顺时针方向旋转180°得到图形(　　)。
(4)图形D可以看作图形A按逆时针旋转(　　)得到的。
2.图形旋转后,(　　)、(　　)没有发生变化,只是(　　)变了。
(考查知识点:图形的旋转变换;能力要求:掌握图形旋转的方法)
B 类
画出图中三角形A绕点M顺时针旋转90°后的图形,再画出三角形B绕点N逆时针旋转90°后的图形。

(考查知识点:在方格纸上将图形按顺时针或逆时针旋转90°;能力要求:能画出将图形旋转90°后的图形)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)O　(2)90°　(3)D　(4)90°
2.形状　大小　位置
B类:
略
教材第31页“练一练”
1.顺　90　顺　90　顺　90
2.略
3.60°　45°




图形的运动。(教材第32~34页)

1.通过观察实例,了解一个图形经过平移、旋转得到新图形的过程。
2.能按要求在方格纸上画出将简单图形平移和旋转后得到的图形。
3.通过学生之间的合作和交流,培养学生的集体观念,经历“观察、思考、探究、实践、创作”过程,培养学生认识美、欣赏美、创造美的能力。

重点:经历用简单图形经过旋转制作复杂图形的过程,建立空间观念。
难点:能在方格纸上画出将简单图形平移和旋转后得到的图形。

课件、七巧板等。



师:我去了北京博物馆参观了一次民族绘画展览,欣赏到了许多美丽的图案,当时我用数码相机拍摄了下来,你们想看吗?(课件出示由图形的平移、旋转而形成的精美图案)
师:这些图案美吗?
生齐:美!
师:你们知道吗?在这些美丽的图案中还隐藏着数学的奥秘,请同学们仔细观察,看看谁能发现?
生:这些图都是由几个一样的图案组成的。
师:你们很善于观察,但更准确点说,它们是由一个图形经过平移、旋转而形成的。这也正是我们这节课要研究的问题——图形的运动。(板书:图形的运动)

1.课件出示教材第32页七巧板图。
师:同学们,在这个七巧板中有两个图形移动了位置,谁能通过平移将图①移入七巧板相应的位置?
小组讨论,交流、汇报。
生:可将图①先向上平移4格,再向左平移10格。
师:那么如何通过平移和旋转将图②移入七巧板相应的位置呢?
生1:先绕直角顶点逆时针旋转90°,再向左平移9格。
生2:也可先向左平移9格,再绕直角顶点逆时针旋转90°。
2.课件出示教材第32页第2个问题。
师:这道题告诉了我们什么?
生:将图形A绕点O顺时针旋转90°,然后再将得到的图形向右平移5格。
师:要我们做什么?
生:画出旋转和平移后的图形。
同桌讨论,合作完成、汇报,说出自己的画法。

生1:将图形A绕点O顺时针旋转90°,得到图形B。
生2:将图形B向右平移5格。
师:平移的关键是什么?
生:平移的方向和距离。
师:一个图形通过平移或旋转后有什么变化?
生:图形的位置发生了变化,形状和大小不变。
学生独立完成教材第33页“试一试”,教师巡视、辅导。

师:通过动手操作,掌握了图形的平移与旋转,并能根据要求把一个图形进行平移、旋转,大家来总结一下吧。
生1:旋转时要先确定旋转点,再确定旋转的方向与旋转角度。
生2:平移时要数清格子数,明确平移的方向。



图形的运动
平移:对应点、方向、几格。　　旋转:点、方向、角度。
旋转:形状、大小不改变,只是位置发生了变化。




学生在叙述旋转现象时,语言不够完整,教师应及时给予指导,并投入精力让学生尽量叙述完整。
教学观念还要不断更新,使数学教育面向全体学生,实现人人学有价值的数学,人人都能获得必需的数学知识,不同的人在数学上得到不同的发展。

A 类
填空。
(1)下图中三角形分别向　　　　平移了　　　　格。 
(2)梯形先绕点O沿　　　　方向旋转了　　　　度,然后向　　　　平移了　　　　格,最后向　　　　平移了　　　　格。  

(考查知识点:简单图形的运动;能力要求:能够正确叙述平移与旋转现象)
B 类
把字母“B”以点O为中心逆时针旋转90°,连续旋转3次,并把得到的图形向右平移4格。

(考查知识点:在方格纸上将图形按顺时针或逆时针旋转;能力要求:能画出将图形绕固定点按顺时针或逆时针旋转90°后的图形,并能将平移后的图形画出来)

课堂作业新设计
A 类:
(1)下　5　(2)顺时针　90　下　4　右　2
B类:
略
教材第33页“练一练”
1.(1)向右平移5格　(2)以点O'为旋转点顺时针旋转90°
(3)(答案不唯一)以点O为旋转点顺时针旋转90°,再向右平移5格。
2~4.略
5.(1)先以点Q为旋转点顺时针旋转90°,然后向下平移2格。
(2)图形A先以点Q为旋转点顺时针旋转180°,然后向下平移2格,再向左平移2格,即可得到图形C。
图形B先以点O为旋转点顺时针旋转90°,然后向左平移2格,即可得到图形C。
图形D先以点I为旋转点逆时针旋转90°,然后向右平移2格,即可得到图形C。




欣赏与设计。(教材第35~36页)

1.通过欣赏与设计图案,使学生进一步熟悉已学过的轴对称、平移、旋转等现象;学会应用轴对称、平移或旋转设计图案。
2.经历图案的欣赏与设计过程,体验变换的数学思想,培养操作实践的动手能力。
3.在学习活动中,感受图形变换创造的美,体验数学与生活的密切联系,激发学生学习的兴趣。

重点:学会运用轴对称、平移或旋转设计美丽的图案。
难点:能利用轴对称、平移、旋转等变换设计美丽的图案。

幻灯片、课件。



1.在优美的旋律中,教师一一展示各种美丽的图案,学生在愉悦的气氛中欣赏。
师:欣赏了这么多的图案,你有什么感受?
生1:好美!
生2:它们都是通过平移和旋转得到的图案。
师:真聪明,不但欣赏了它的形,还观察到了它的质。现在就让我们一起去设计图案吧!(板书课题:欣赏与设计)

1.出示教材第35页主题图。
师:我们再来看看这些美丽的图案是怎样设计出来的。
将每一幅图案放大后,让学生逐一进行观察,同时组织学生在小组中讨论、交流。
2.出示教材第35页第1个问题。
师:这些图案是由哪个图形经过怎样的变换设计出来的?
然后逐一进行交流,让学生发表自己的见解。
生1:第一幅可将图形A绕点O顺时针旋转90°,得到图形B,再绕点O顺时针旋转90°,得到图形C;再绕点O顺时针旋转90°,得到图形D。
生2:还可以画出图形A关于虚线轴对称的图形,再分别画出图形A和图形B的轴对称图形。
生3:第二幅是由通过平移和旋转得到的。
生4:第三幅是通过平移和旋转得到的。
学生欣赏这些美丽的图案,交流看完后的感想。
3.设计图案,创造美。
师:要设计一幅美丽的图案,我们应该按照怎样的步骤来操作呢?
小组合作探讨,引导学生确定设计的步骤。
生1:先选择一个喜欢的图形。
生2:再确定你选用的变换方法,如轴对称、平移和旋转。
生3:动手设计图案。
师:以小组为单位,展开想象,设计图案。
学生分小组合作,设计图案。

师:通过这节课的学习活动,你学到了什么本领?
生:掌握了设计图案的基本方法。



欣赏与设计
设计步骤:
　　确定要设计的图案
　　确定基本图形
　　确定变换方法
　　将要设计的图案在方格纸上画出来




课前布置学生整理轴对称、平移和旋转的相关知识,课堂上展示、讲解自己整理的结果,在学习的过程中完善自己的作品,主动建构知识网络。在系统整理知识的过程中获得梳理知识的方法和策略。
掌握知识、构建网络是学习的最终目的,但更重要的是应用,通过应用帮助学生形成对知识的深层理解,提高学生灵活应用知识解决实际问题的能力,促进学生的发展。

A 类
1.填空。
(1)连续平移只改变了图形的(　　),没有改变图形的(　　)和(　　)。

(2)图形A绕点O按(　　)方向旋转(　　)度得到图形B。
(3)图形A绕点O按(　　)方向旋转(　　)度得到图形C。
(4)图形C绕点O按(　　)方向旋转(　　)度得到图形B。
2.说出下列图案各是由哪个基本图案经过什么变换得到的?

　　　　　　　　　　(1)　　　　　(2)　　　　　　　(3)
(考查知识点:进一步熟悉已学过的轴对称、平移、旋转等现象;能力要求:利用轴对称、平移或旋转设计图案)
B 类
想一想下列图案是由哪个基本图案经过什么变换得到的。利用这些变换在方格纸上设计一幅美丽的图案。

(考查知识点:经历图案的欣赏与设计过程;能力要求:能利用轴对称、平移和旋转设计图案)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)位置　大小　形状　(2)逆时针(或顺时针)　90(或270)　(3)顺时针(或逆时针)　180(4)顺时针(或逆时针)　90(或270)
2.图案(1)的基本图案是小菱形,经过旋转得到;图案(2)的基本图案是一只小老鼠,经过轴对称得到;图案(3)的基本图案是一对小红果,经过平移得到。
B类:
略
教材第36页“练一练”
略





练习三。(教材第37~38页)

1.对有关图形的运动进行回顾与整理,加强知识的对比分析,提高学生的作图能力。
2.通过欣赏图案,发展学生的审美意识和空间观念。
3.经历创作实践的整个过程,感受创作的乐趣,进一步培养学生的审美情趣。

重点:通过对比分析,得出图形的旋转与平移变化之间的联系与区别。
难点:如何有序整理知识。

课件。



师:通过这一单元的学习,我们发现了生活中很多美丽的图案,并且明白了这些美丽的图案是怎么得到的。下面我们来回忆一下这单元主要学习了什么内容?
小组讨论、交流。
师:这一单元我们主要学习了什么?
根据学生的回答形成以下网络图。
知识结构:
图形的运动旋转方向顺时针方向逆时针方向特征形状(不变)大小(不变)位置(变)平移格数对应点方向欣赏与设计平移选好基本图案确定平移的方向确定平移的距离画出平移后的图形旋转选好基本图案确定旋转点确定旋转方向确定旋转角度画出旋转后的图形

师:通过今天的复习,同学们都掌握了哪些知识?
生1:明确了旋转的意义、方法以及旋转后图形的特征。
生2:掌握了设计图形的基本方法。



练　习　三
图形的运动旋转方向顺时针方向逆时针方向特征形状(不变)大小(不变)位置(变)平移格数对应点方向欣赏与设计平移选好基本图案确定平移的方向确定平移的距离画出平移后的图形旋转选好基本图案确定旋转点确定旋转方向确定旋转角度画出旋转后的图形




本节课把平移、旋转等图形的运动方式作为复习的主要内容,从运动的角度去探索和认识空间与图形。因此,在教学中我尽可能结合学生的生活实际来创设情境,让课堂与生活结合,实现学生学习有价值的数学。
1.引导学生对所学知识进行系统的归纳,感受生活中的数学现象。
2.通过在方格纸上画出平移后的图形或旋转后的图形,使学生加深对图形变换的认识,提高动手能力,而且为学生独特的创意和丰富的想象提供了平台。
3.让学生尝试设计图案,鼓励学生创造美、展示美,同时使学生认识到美丽的图案其实可以用一个简单的图形经过平移或旋转得到,这样可以愉悦学生的心情,提高学生学习数学的兴趣。

A 类
1.先观察右图,再填空。
(1)图1绕点“O”逆时针旋转90° 到达图(　　　)的位置。
(2)图1绕点“O”逆时针旋转180°到达图(　　　)的位置。
(3)图1绕点“O”顺时针旋转(　　　　)到达图4的位置。
(4)图2绕点“O”顺时针旋转(　　　　)到达图4的位置。 　　　　
(5)图2绕点“O”顺时针旋转90°到达图(　　　)的位置。
(6)图4绕点“O”逆时针旋转90°到达图(　　　)的位置。
2.移一移,说一说。

图(1)向(　　)平移了(　　)格,图(2)向(　　)平移了(　　)格,图(3)向(　　)平移了(　　)格。
(考查知识点:图形的平移和旋转;能力要求:会利用图形的平移和旋转解决问题,会描述图形的平移和旋转)
B 类
利用平移和旋转设计美丽的图案。

(考查知识点: 设计图案的基本方法,平移和旋转的意义;能力要求:会根据图形的平移和旋转设计图案)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)2　(2)3　(3)90°　(4)180°　(5)1　(6)1
2.上　2　左　4　右　6
B 类:
略
教材第37页“练习三”
1.(1)90　(2)顺时针　90　逆时针　90
2.略
3.图形A向右平移7格得到图形B;作图形B关于直线MN的轴对称图形得到图形C 。
4~6.略

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


本单元在学生具有比和比例的知识、认识常见数量关系的基础上编排的,通过对两个数量保持商一定或积一定的变化,理解正、反比例关系,渗透初步的函数思想。正比例和反比例是刻画变量之间关系的两个重要模型,是小学阶段学习的两个重要的“关系”(即函数),是以后学习函数的相关知识的基础。在回顾和反思的教学过程中,鼓励学生独立进行整理。教材编排了寻找实例、列表、画图等丰富的学习活动,帮助学生体会两个变量之间的相互关系,加深学生对正、反比例关系的认识。

学生在之前已经对比和比例有了较深的认识,为本单元内容的学习奠定了基础,所以在教学上要十分重视从旧知识引申出新知识,在这个过程中,蕴含了抽象概括的方法,运用这个概括对新的实际问题进行判断,是数学学习所特有的能力。



　　1.通过具体问题使同学们加深对正、反比例意义的理解,初步建立函数思想。
2.能找出生活中成正比例和反比例量的实例,并进行交流。培养学生的讨论意识和合作能力,使学生在合作学习中获得学习乐趣。
3.能根据有关正比例关系的数据在方格纸上的坐标系中画图,并根据其中一个变量的值得出另一个变量。

1.创设情境,培养数学情感。
本单元的教学内容是正比例和反比例,教学中通过丰富的情境,让学生从具体情境中抽象出正、反比例这一数学模型。
2.联系生活实际创设数学活动。
让学生通过寻找生活中成正、反比例的量,并运用表格、图、关系式等方式来描述正、反比例关系,使学生进一步感知正、反比例在生活中的广泛应用,并让学生学习用多种形式来理解变量之间的关系。

1　变化的量 1课时
2　正比例 1课时
3　画一画 1课时
4　反比例 1课时
5　练习四 1课时




变化的量。(教材第39~40页)

1.结合具体情境,体会生活中存在着大量相关联的变量。鼓励学生观察表格、图像、关系式,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系。
2.提高学生的识图能力和分析问题的能力。
3.培养学生认真观察的良好习惯,感受生活中处处有数学。

重点:充分感受相关联的变量, 根据图表说明两种量的变化情况。
难点: 体会变量之间的关系,并能用自己的语言描述两个变量之间的关系。

课件。



引导学生用手势表示出自己从出生到现在身高和体重的变化。
师:同学们,在我们的生活中有很多事物都在不断地发生变化。例如,人的年龄、身高、体重在变化,我国的人均收入、生产总值等也都在变化,像这样会变化的量,我们都称为变量。而且往往一些量的改变会引起另外一些量的改变。例如,购物时,单价或数量的改变,会引起总价的改变。这节课就让我们一起来学习“变化的量”。(板书课题:变化的量)

观察表格,感知变量。
1.出示淘气用表格表示妙想的体重变化情况表。
年龄
出生时
2岁
4岁
6岁
体重/千克
3.5
14.0
18.0
21.0
　　师:这是妙想的体重变化情况表,从表中你知道了什么信息?
生:妙想在不同年龄时的体重情况。
师:上表中哪些量在发生变化?
生:年龄增长,体重也在增加。
师:说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。
生:随着年龄的增长,体重也在增加。
2.出示教材第39页妙想的体重变化情况折线统计图。
师:人的年龄和体重是相关联的两个量,人的体重随着年龄的变化而变化。
通过读图,感受变量。
3.出示教材第39页主题图。
师:骆驼被称为“沙漠之舟”,它的体温随时间的变化而发生较大的变化。
读懂统计图。
师:从图中你知道了什么信息?
生:骆驼一天中的体温是在不断变化的。
师:一天中,骆驼体温最高是多少?最低是多少?
生1:骆驼体温最高是40℃。
生2:最低是35℃。
感受量的周期变化。
师:一天中,什么时间范围内骆驼的体温在上升?
生:从4时到16时骆驼的体温在上升。
师:什么时间范围内骆驼的体温在下降?
生:从0时到4时、从16时到24时骆驼的体温在下降。
师:第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系?
生:体温相同,都是37℃。
师:每天骆驼的体温总是怎样变化的?
生:每天都是从前一天的16时开始下降、4时开始上升、16时开始下降、第二天的4时开始上升。
学生谈体会,教师小结。
师:在大自然和日常生活中有很多像这样相关联的两个变量,一个量随着另一个量的变化而变化。谁还能举出这样的例子?与同伴交流。
生1:购买铅笔的支数与总价。
生2:时间与路程。
……
师:通过举例我们可以发现一个量随另一个量变化而变化,这些量就是变化的量。

师:通过本节课的学习你都掌握了哪些知识?
生1:明确了两个量之间的关系。
生2:我知道什么是变量。
生3:一个量随着另一个量的变化而发生变化。



变 化 的 量
两个变量
其中一个量随着另一个量的变化而变化



读懂图很重要,应引导学生从整体的视角观察图中所反映出来的变化情况。
尽量引导学生自己去思考,鼓励学生利用自己所学的知识和生活经验,举出一个量随另一个量的变化而变化的例子。教师应引导学生从生活中寻找相关联的变量的例子,教学时,只要学生说得合理,教师就应给予肯定,让学生有机会表达自己的想法,提高学生的表达能力。

A 类
1.根据下表回答问题。
已看的页数/页
100
110
120
……
200
250
未看的页数/页
200
190
180
……
100
50
　　(1)上表中哪些量在发生变化?
(2)说一说已看的页数和未看的页数是如何变化的。
2.下图反映的是小明骑车行驶的路程和所用时间的情况。

图中两种量是不是相关联的量?它们是如何变化的?
(考查知识点:感受相关联的变量, 根据图表说明两种量的变化情况;能力要求:能用自己的语言描述两个变量之间关系)
B 类
小明乘车去旅游,汽车行驶的里程和票价如下表。
里程/千米
1~20
21~30
31~40
41~50
51~60
61~70
票价/元
10
15
20
25
30
35
　　(1)上表中哪些量在发生变化?
(2)说一说票价是如何随里程的变化而变化的。
(考查知识点: 提高学生读表的能力和分析问题的能力;能力要求:能用自己的语言描述两个变量之间的关系)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)已看的页数和未看的页数在发生变化。
(2)随着已看的页数的增加,未看的页数逐渐减少,总页数不变。
2.图中两种量是相关联的量。随着时间的增加,行驶的路程也在增加,且行驶的路程与时间的比值是一定的。
B类:
(1)里程和票价在发生变化。
(2)从20千米开始,每增加10千米就增加5元。
教材第40页“练一练”
1.圆柱的高增加,它的体积也增加,体积与高的比值一定,都是10。
2.(1)18米　3米　(2)0~6分　6~12分　(3)12分
3.n÷7+3=t





正比例。(教材第41~43页)

1.结合丰富的实例认识正比例。能根据正比例的含义,判断两个相关联的量是不是成正比例。
2.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动,发现成正比例的量的特征,并尝试概括出正比例的含义。提高分析比较、归纳概括、判断推理的能力,同时渗透初步的函数思想。
3.在参与数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,并乐于与人交流。

重点:能初步运用正比例的意义判断两个相关联的量是否成正比例。
难点:通过实例认识成正比例的量,掌握成正比例的量的变化规律及其特征。

课件、弹簧秤、钩码。



教师做实验,向弹簧秤上加钩码。
(1)这其中有哪两种变化的量?
(2)弹簧的长度为什么会发生变化?
师:弹簧的长度是随着钩码数量的变化而变化的,像这样的两种量叫作相关联的量。
追问:现在知道什么叫作相关联的量了吗?你能举例说明吗?两种相关联的量还有什么特殊的关系呢?今天我们就一起来研究一下。

1.学习成正比例的量。
课件出示教材第41页第一个问题及表格。
边长/厘米
1
2
3

周长/厘米
4



边长/厘米
1
2
3

面积/平方厘米
1



　　根据正方形的周长与边长、面积与边长之间的变化情况,把表格填完整,并根据问题观察表中填好的数据,思考应该怎样解答?
学生填表,相互交流、讨论。
师:表中有哪两种量?
生1:周长和边长。
生2:面积和边长。
师:你发现它们是怎样变化的?
生1:正方形的周长随着边长的增加而增加。
生2:正方形的面积也是随着边长的增加而增加。
生1:周长总是边长的4倍,而面积与边长的商在发生变化。
生2:41=4,82=4,周长与边长的比值不变。
生3:11=1,42=2,面积与边长的比值不相等。
生4:可用周长边长=4表示,也就是说在变化过程中,周长与边长的比值是一个定值4,是不变的。
师:周长和边长、面积和边长之间的变化规律相同吗?什么不变?
生:在变化过程中,正方形的周长总是边长的4倍,也就是说比值一定;而正方形的面积与边长的比值不同,与正方形的周长与边长的变化规律不同。
小组讨论交流汇报。
【设计意图:通过观察、比较、讨论使学生进一步感知两种变化的量的关系,为认识正比例的意义奠定基础】
2.课件出示教材第41页第二个问题及表格。

时间/时
1
2
3
4
5
6
7

路程/千米
90
180
270
360




　　师:你能把表格填写完整吗?
学生独立完成。
师:说一说你是根据什么来填的?(小组交流)
生:路程÷时间=90。
师:观察路程与时间这两种量,你发现了什么规律?
(小组讨论、交流)
生1:路程随着时间的变化而变化。
生2:路程÷时间=90(一定),即路程与时间的比值(也就是速度)一定。
师:从上面两个例题中,你发现它们有什么共同特征?
生:它们都是两个相关联的量,一个量随着另一个量的变化而变化。
师:好!像路程和时间这两个量,时间变化,所行驶的路程也随着变化,且路程与时间的比值(速度)一定,我们就可以说路程和时间成正比例。(板书:正比例)
师:第一个问题中,正方形的周长与边长成正比例吗?
生1:正方形的周长随边长的变化而变化,并且周长与边长的比值都是4,所以正方形的周长与边长成正比例。
生2:正方形的面积虽然也随边长的变化而变化,但面积与边长的比值是一个变化的值,所以正方形的面积和边长不成正比例。
师:很好,接下来大家在小组内说一说生活中还有哪些量成正比例。
学生交流、讨论。

师:如果两个量成正比例,那么它们需要符合哪些条件呢?
生1:两种量必须是相关联的量。
生2:一种量变化另一种量也要随着变化,并且这两个量的比值(商)一定。



正　比　例
正方形的周长和边长的比值一定
正方形的面积和边长的比值不一定
路程和时间的比值一定
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量的比值一定,我们就说这两种量成正比例。


1.学生理解正比例的意义往往比较困难,引导学生了解正比例在生活中的广泛存在十分重要。
2.正比例关系是非常重要的一种数量关系,学好正比例关系,不仅可以加深对比例知识的理解,解决一些实际问题,而且还渗透了函数思想,为学生今后的学习奠定了基础。

A 类
填空。(填“成”或“不成”)
(1)工作效率一定,工作时间和工作总量(　　)正比例。
(2)三角形的底一定,它的面积和高(　　)正比例。
(3)食堂买回150吨煤,烧了的煤与剩下的煤(　　)正比例。
(4)出勤率一定,出勤的人数与应出勤的人数(　　)正比例。
(考查知识点:理解正比例的含义;能力要求:能正确判断两个相关联的量是否成正比例)
B 类
下面是一些有关圆的数据,你能说出哪两种量成正比例吗?说明理由。
半径/米
1
2
3
4
直径/米
2
4
6
8
周长/米
6.28
12.56
18.84
25.12
面积/平方米
3.14
12.56
28.26
50.24
　　(考查知识点: 成正比例的量的变化规律及其特征;能力要求:会根据正比例的意义解决实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
(1)成　(2)成　(3)不成　(4)成
B类:
在同一个圆中,直径和半径成正比例,周长和直径成正比例,周长和半径成正比例。
教材第42页“练一练”
1.(1)竿影的长随着竹竿的高的增加而增长。(2)0.4∶1=0.8∶2=1.2∶3=2.4∶6=3.2∶8=0.4　比值都相等。
(3)成正比例　因为竿影的长与竹竿的高度的比值都是0.4 (一定),所以成正比例。
2.平行四边形的面积和高成正比例,因为面积与高的比值是6(一定)。
3.原因略　(1)成正比例　(2)不成正比例　(3)不成正比例
4.2.4　3.2　4.0　4.8　5.6　6.4　发现邮票的数量增加,应付的钱数也随着增加。
应付金额与所买邮票的数量成正比例。




画一画。(教材第44~45页)

1.在具体情境中,通过“画一画”的活动初步认识正比例图像。
2.会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值得到它所对应另一个变量的值,提高学生分析问题的能力。
3.利用正比例关系解决生活中的一些简单问题,培养学生善于思考和积极参与的良好习惯。

重点:会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,理解用图像认识正比例关系,并能根据其中一个量的值得出另一个变量的值。
难点:能在图中根据一个变量的值得出它所对应的另一个变量的值。

课件。



师:前面我们已经学习了有关正比例的知识,请同学们判断下面各题中的两个量是否成正比例?
(1)每行人数一定,总人数和行数。
(2)长方形的长一定,宽和面积。
(3)长方体的底面积一定,体积和高。
(4)分子一定,分母和分数值。
(5)长方形的周长一定,长和宽。
(6)一个自然数和它的倒数。
师:今天老师要带你们去看一场电影,你们高兴吗?(生齐:高兴)那我来问你,假设每人的票价是2元,我们全班45人,一共需要带多少元钱呢?

师:请同学们打开教材第44页,填写表格。(课件出示教材第44页第1个问题)
学生填写,教师巡视,帮助有困难的学生。
师:观察表中的数据,你有什么发现?
生1:所付票费随着看电影人数的增加而增加,且人数扩大2倍,票费也扩大2倍。
生2:所付票费与看电影的人数的比值是2,所以它们成正比例。
师:你们说得很好,那么能不能用图来表示这种关系呢?(课件出示教材第44页第2个问题)你准备怎样观察?发现了什么?
生1:看看横轴表示什么,纵轴表示什么?
生2:横轴表示看电影的人数,纵轴表示所付的票费。
生3:我发现横轴上1格表示1人,纵轴上1格表示1元。
生4:每一个点都有对应的一组数。
师:下面我们分小组来观察,完成后面的问题。(课件出示教材第44页第3个问题)
要求:
①学生先独立完成,再在小组内交流。
②有困难的学生可以举手寻求帮助。
③每组要提出一个问题,挑战其他组。
④连接各点,你有什么发现?
小组开始交流,教师巡视。
小组汇报。
小组1:点A表示5人看电影所付票费是10元,也就是5的2倍是10。
师:哪个小组能根据表格说说其他各点的意思?
小组2:我们小组发现所描的点都在同一条直线上。
师:为什么会在同一条直线上呢?
生:因为纵轴上的数是横轴上的2倍,每次增加的都一样。
师:如果有一个点是(100,200),那么这个点是否也在这条直线上呢?
生:因为这个点表示100人看电影的票费是200元,纵轴上的数也是横轴上的2倍,所以这个点也在这条直线上。
师:当一个数按固定倍数随另一个数增长时,所绘出的图形是一条直线。
(课件出示:按顺序连接个点)

师:这节课你们学到了哪些知识?
生1:用图的形式可以直观地表示两个成正比例的量的变化关系。
生2:当两个变量成正比例时,所绘成的图像是一条直线。
生3:利用图可以进行估算,利用估算可以解决一些实际问题。



画　一　画
正比例图像是一条通过原点的直线。
图像上任意一点都能在横轴和纵轴上找到相对应的点,以此来解决实际问题。

本节课的教学主要是在具体情境中,通过“画一画”的活动,使学生初步认识正比例图像,会在方格纸上描出成正比例的量所对应的点,并能在图中根据一个变量的值得到它所对应的另一个变量的值,进而解决生活中的一些简单问题。 教学中,我主要让学生先读懂图的意思,如横轴、竖轴表示什么,各个点所表示的意义是什么,经过了解之后再让学生连接各点,谈谈自己的发现,学生会形象地看到所描的点都在同一条直线上。
在教学中给学生充分操作的空间,让学生谈谈自己的发现,鼓励学生利用图进行一些估计,进而解决一些实际问题。

A 类
下图表示的是一根水管不停地向水箱注水,水箱内水的体积的变化情况。

(1)看图说关系。
观察上图,图中哪些量是变化的?哪些量是不变的?
(2)根据图填写下表。
注水时间/分
5
8

13
……
水的体积/升
10

20

……
　　(考查知识点:认识正比例图像;能力要求:能在图中根据一个变量的值得出它所对应的另一个变量的值,利用正比例关系解决生活中的一些简单问题)
B 类
下面是小丽和同学们用自制的皮筋秤(最多可称2千克的质量)称物体质量的情况变化图。

(1)根据上图完成下表。
所称质量/克
0
200
400
600
800
900
1000
皮筋伸长的长度/厘米
0
2





　　(2)你发现表中哪两个量成正比例?
(3)小丽用这个皮筋秤称一本书的质量,皮筋伸长18厘米,这本书的质量是多少?
(考查知识点:综合运用正比例关系解决生活中的一些简单问题;能力要求:能运用正比例关系解决实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
(1)注水时间和水箱内水的体积是变化的;水箱内水的体积与注水时间的比值是不变的。
(2)16　10　26
B类:
(1)4　6　8　9　10
(2)皮筋伸长的长度与所称物体的质量成正比例。
(3)1800克
教材第45页“练一练”
1.(1)20　25　30　35　(2)成正比例　(3)(描点略)发现这些点在一条直线上。
(4)在这条直线上,表示8人要付船费40元。
2.成正比例,因为弹簧伸长的长度与所挂物体的质量的比值都是0.4(一定)。
3.(1)成正比例,因为圆的周长和直径的比值是π(一定)。
(2)①16　15.7　②47　47.1




反比例。(教材第46~48页)

1.使学生认识反比例关系的意义,理解并掌握成反比例量的变化规律及其特征。
2.进一步培养学生的观察、分析、综合、概括能力,使学生掌握判断两种相关联的量是否成反比例的方法。
3.渗透数学源于生活的观点。

重点:通过具体问题理解成反比例量的变化规律及其特征。
难点:会判断两种相关联的量能否成反比例。

课件。




师:我们已经学习了正比例,那么判断两种相关联量是否成正比例的关键是什么?
生:看这两种量之间的比值是否一定,如果比值一定,那么就成正比例,否则不成正比例。
师:下面哪两种量成正比例?为什么?
(1)时间一定,行驶的速度和路程。
(2)数量一定,单价和总价。
生1:因为路程速度=时间(一定),也就是速度和路程的比值一定,所以速度和路程成正比例。
生2:因为总价单价=数量(一定),也就是单价和总价的比值一定,所以单价和总价成正比例。
师:速度、时间和路程之间的数量关系,在什么条件下,其中两种量成正比例?(学生回答后老师板书)
生1:速度=路程时间,在速度一定的条件下,时间和路程成正比例。
生2:时间=路程速度,在时间一定的条件下,速度和路程成正比例。
师:如果路程一定,速度和时间之间会有怎样的关系呢?这就是我们今天要学习的反比例关系。(板书课题:反比例)

1.出示教材第46页第1个问题。
表1
x
1
2
3
4




y
24
12






表2
x
1
2
3
4




y
11
10






把表格补充完整。
师:同桌互相说一说上面两个表中各有哪两种量。一行一行地看,发现了什么?一列一列地看,又发现了什么?
生:长方形一条边的边长都随着邻边边长的增长而减少。
师:表1和表2 中,长方形相邻两边边长之间变化规律相同吗?用表中提供的数据说明一下。
生1:面积是24平方厘米的长方形,1×24=24=2×12=3×8……相邻两边的积都是24。
生2:周长是24厘米的长方形,1×11=11,2×10=20……积不相等,1+11=2+10……和相等。相邻两边的积不相等,但相邻两边的和相等。
师:早上,爸爸妈妈都乘坐哪些交通工具去上班?
生1:坐班车。
生2:开私家车。
生3:坐公交车。
生4:骑自行车。
……
师:无论上学还是上班,我们最担心的是迟到,所以很关注时间(教师用手指指手表),同时,还关注交通工具的快慢,也就是车的速度。那么,速度和时间是不是两种相关联的量?
生:是。
2.课件出示下面的表格。

自行车
大巴车
小轿车
速度/(千米/时)
10
60
80
时间/时
12
2
1.5
　　师:一行一行地看,发现了什么?一列一列地看,又发现了什么?
生1:速度不相同,时间也不相同。
生2:时间随着速度的变化而变化。
生3:10×12=60×2=80×1.5。
师:虽然速度和时间都在变化,但路程是不变的,速度×时间=路程,路程都是120(一定)。像这样,相关联的两个量(速度和时间),一个量(速度)变化,另一种量(所用的时间)也随着变化,如果这两种量(速度与时间)的乘积(也就是路程)一定,我们就说这两种量(速度和时间)成反比例。
师:第一个问题中,表1和表2中的长方形相邻两边的边长(长和宽)成反比例吗?
生1:表1中长方形相邻两边的边长的积一定(都是24),所以长和宽成反比例。
生2:表2中长方形相邻两边的边长的积是变化的,不是定值,所以长和宽不成反比例。
师:如果用x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的乘积,你能用关系式表示成反比例的两个量的关系吗?
生1:xy=k。
生2:不对,还要说明k是定值,即xy=k(一定)。
师:说得真棒。

师:通过本节课的学习,你掌握了哪些知识?
生1:明确了成反比例两个量之间的关系,以及两个量能否成反比例的判断方法。
生2:相关联的两种量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量的乘积一定,我们就说这两种量成反比例。
生3:反比例关系式可表示为xy=k(一定)。



反　比　例
面积是24平方厘米的长方形:
1×24=24=2×12=3×8……积相等
周长是24厘米的长方形:
1×11=11,2×10=20……积不相等
1+11=2+10……和相等
速度×时间=路程(一定)　10×12=60×2=80×1.5=120
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量的积一定,这两种量就叫作反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系。
如果用x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的乘积(一定),反比例关系式可表示为xy=k(一定)。

本节课的内容是在认识了相关联的量和正比例意义的基础上进行教学的,教材上内容紧密联系学生已有的生活和经验,让学生体会生活中存在大量相关联的量,它们之间的关系有着共同之处,从而引发学生的讨论和思考,并通过对具体问题的讨论,使学生认识成反比例量的特征。
通过教学,我有以下几点的体会:数学知识来源于生活,同时也服务于生活,在教学时我从实际引入,采用了大量的生活情境,为同学创造了探索知识的条件,将学生引导到获取新知识的过程中,将抽象的知识形象化,让学生在不知不觉中学习了新知识,在与旧知识的对比中掌握了新知识,在阶梯式的练习中巩固了新知识。
当然,这节课也存在着有待改进的地方。比如,在教学中,我觉得让学生动手、思考的时间还是不够,没有给足时间让学生去自己想、自己做、自己探索,一直都是我扶着走,感觉有点放不开。

A 类
1.判断下面每题中的两个量是否成比例,成什么比例?
(1)出油率一定,香油的质量与芝麻的质量。
(2)一捆100米长的电线,用去的长度与剩下的长度。
(3)三角形的面积一定,它的底和高。
(4)一个数和它的倒数。
(5)x∶y=6,x和y。
2.运一批货物,原计划每天运50吨,30天运完。实际每天运60吨,25天运完。
(1)原计划时间与实际时间的比为(　　)。
(2)原计划效率与实际效率的比为(　　)。
(3)当货物总量一定时,(　　)和(　　)成反比例。
(考查知识点:反比例关系的意义;能力要求:能依据反比例的意义判断两种量是否成反比例)
B 类
某车间有男工25人,女工20人。如果男工增加15人,要想使男、女工人数的比不发生变化,女工应该增加多少人?
(考查知识点: 成反比例的量的变化规律及其特征;能力要求:能运用反比例知识解决生活中的实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)正比例　(2)不成比例　(3)反比例　(4)反比例　(5)正比例
2.(1)6∶5　(2)5∶6　(3)工作效率　工作时间
B类:
增加12人
教材第47页“练一练”
1.(1)8　6　4　3　(2)平均每天看的页数增加所需天数反而减少,总页数不变。
(3)成反比例,平均每天看的页数与看完全书所需天数的乘积一定。
2.60　40　30　(1)总字数不变　(2)成反比例
(3)30×80÷24=100(个)
3.理由略　(1)成反比例　(2)不成反比例　(3)成反比例 　(4)不成反比例
4.我国煤炭年均开采量与可开采年数之间成反比例,因为它们的乘积一定。
5.(1)小齿轮快　小齿轮转的圈数多　(2)反比例
(3)40×90÷24=150(圈)





练习四。(教材第49~50页)

1.通过练习,加深对正比例、反比例含义的理解,能正确判断两种相关联的量是否成正、反比例,能运用正、反比例的知识解决实际问题。
2.提高学生分析问题、解决问题的能力。
3.感受正、反比例在生活中的广泛应用。

重点: 理解正、反比例的含义。
难点:运用正、反比例的知识解决实际问题。

实物投影。



师:说说成正、反比例的量的特征。
生1:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量的比值(也就是商)一定,那么这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系,关系式可表示为yx=k(一定)。
生2:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量的积一定,那么这两种量就叫作反比例的量,它们的关系叫作成反比例关系,关系式可表示为xy=k(一定)。

1.判断下面的两个量,哪些成正比例,哪些成反比例,哪些既不成正比例又不成反比例?
(1)正方形的周长与边长。
(2)小丽步行上学的平均速度与所花时间。
(3)每年体检,你们班视力正常的人数与患近视的人数。
同桌交流,说说理由,然后指名回答。
2.彩带每米售价2元,购买2米、3米……分别需要多少元?
(1)填一填。
长度/米
0
1
2
3
4
5
…
应付的钱数/元
0
2




…
　　(2)把上表中长度和应付的钱数所对应的点描在下面的方格纸上,再顺次连接。

(3)估计一下,买6.5米彩带大约要花多少元。
(4)小明买的彩带长度是小力的3倍,他花的钱是小力的几倍?
同桌交流,说说理由,然后指名回答。
3.给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需数量如下。
每块地砖的面积/平方米
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
…
所需地砖的数量/块
600
400
300


…
　　(1)每块地砖的面积和所需地砖的数量有什么关系?
(2)如果每块地砖的面积是0.5平方米,铺这一地面需要多少块地砖?
(3)铺这一地面用了500块地砖,所用的地砖每块面积是多大?
同桌交流,说说理由,然后指名回答。

师:通过今天的复习,你掌握了哪些知识?
生1:加深了对正、反比例含义的认识,能正确判断两种相关联的量是否成正、反比例。
生2:运用正、反比例的知识解决实际问题。



练　习　四
正比例:yx=k(一定)
反比例:xy=k(一定)




悟,应当是一个过程,我国传统文化中是很讲究“悟”的。如果我们的数学教学能让学生有充分的机会自己领悟,那么学生的数学学习将充满生机,学生对学习数学将心怀向往。
在设计本课教学过程中,我创设了一些具体生动的生活情境,设计了一些趣味题型,让学生在一种愉悦欢畅的氛围中展开复习。同时,我还充分发挥学生自主探索和小组合作探索的空间,尽可能以学生为主体,鼓励学生独立思考,引导学生合作交流,让学生体验探究的乐趣。

A 类
1.填空。
(1)工作效率一定,工作时间和工作总量成(　　)比例。
(2)被除数一定,除数和商成(　　)比例。
(3)圆的周长和直径成(　　)比例。
(4)年龄与身高(　　)比例。
(5)食堂买回150吨煤,已烧的煤的质量与剩下的煤的质量(　　)比例。
2.判断。(对的在括号里画“?”,错的画“✕”)
(1)平行四边形的面积一定,它的底和高成反比例。 (　　)
(2)分子一定,分母和分数值成反比例。 (　　)
(3)正方体的体积一定,它的底面积和高不成比例。 (　　)
(4)正方体的表面积与它的一个面的面积成正比例。 (　　)
(考查知识点:对正、反比例含义的理解;能力要求:能正确判断两种相关联的量是否成正、反比例)
B 类
把一段木料锯成4段要用24分钟。照这个速度,如果将这根木料锯成7段,要用多长时间?
(考查知识点: 运用正、反比例的知识分析问题、解决问题;能力要求:会运用正、反比例的知识解决实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)正　(2)反　(3)正　(4)不成　(5)不成
2.(1)?　(2)?　(3)✕　(4)?
B类:
48分钟
教材第49页“练习四”
1.(1)4　6　8　10　12　(2)成正比例,因为应付金额与彩带的长度的比值是2(一定)。
(3)略　(4)6.5×2=13(元)　(5)3倍
2.(1)成正比例　(2)成反比例　(3)既不成正比例,也不成反比例。
3.(1)成反比例　(2)0.2×600÷0.5=240(块)　(3)0.2×600÷500=0.24(平方米)
4.(1)2小时　30千米　(2)30÷2×1.5=22.5(千米)　(3)2小时　(4)30÷2=15(千米/时)
5.
长/厘米
36
18
12
9
6
宽/厘米
1
2
3
4
6
　　　面积一定时,长和宽的乘积不变,长和宽成反比例。







绘制校园平面图。(教材第51~53页)

1.在实践活动中巩固比例知识,同时能灵活运用比例知识解决简单的实际问题。
2.通过“测一测”“问一问”等活动,引导学生探索解决简单实际问题的方法,培养学生的实际操作能力和实践活动能力。
3.在活动中培养学生的团结协作精神,鼓励学生观察和认识周围事物中所包含的数学知识,使学生感受到数学与现实生活的密切联系,从而认识数学知识的价值,激发学习数学的兴趣。

重点:综合利用方向与位置、长度单位、常见平面图形、对称、比例尺等知识,体验绘制校园平面图的过程。
难点:会确定参照方向,能以确定的参照方向为标准画出某个场所的简单示意图。

记录本、卷尺、课件。


1. 明确活动任务。
绘制校园平面图。
2. 设计方案。
师:观察教材第51页两张平面图,说说这些平面图有什么共同的地方。
生1:我发现它们都是按照一定的比例将实物和距离同时缩小。
生2:方位都是以“上北、下南、左西、右东”设置的。
生3:各类建筑都是根据其外形画简单的平面图形来代替。
生4:平面图上方都标有所画区域的具体名称。
师:想一想,绘制校园平面图前,要先做哪些方面的准备?(教师和学生一起总结)
生1:首先确定需要绘制哪些主要建筑,由2人完成。
生2:绘制校园围墙的形状,由3人完成。
生3:通过询问学校相关工作人员、实地测量、估测等方式来收集各建筑的占地面积和形状、各建筑间距离及在校园内的分布情况,组员分工完成。
生4:根据纸张大小和校园围墙的形状、大小确定平面图的外围大小,即平面图上围墙各边的长度(各边等比例缩小),数据不需要十分精确,组员一起完成。
生5:根据平面图上围墙各边的长度与其实际长度算出比例尺,组员一起完成。
生6:依据比例尺和各建筑的形状、实际大小,确定各建筑在平面图上的大小、形状,组员分工完成。
生7:根据各建筑间的距离及在校园内的分布情况绘制出各建筑在平面图上的位置,最后添加图名,组员一起完成。
生8:实地验证平面图是否符合实际,并与学校展出的校园平面图作比较,看看有何不同,为何不同,组员寻找原因,然后进一步完善平面图,组员一起完成。
3. 交流反思。
师:全班交流一下,观察各小组绘制的平面图,每张图是否画得准确、合理?哪几个小组的平面图有自己的特色?
生1:在我们组绘制的平面图上写好了组员名字及口号。
生2:大家都放在一起展览吧,然后全班同学投票评选出最好的三幅。
师:把你们喜欢的别的小组的平面图画下来。
生:我喜欢……
师:在上面的活动中,运用了哪些知识?采用了哪些收集数据的方法?
生1:方向与位置的确定。
生2:长度的测量。
生3:比例尺的确定。
生4:平面图形的画法、图形的对称。
生5:采用了询问法、测量法等收集数据。
生6:还采用了调查法、估测法等收集数据。
师:利用所绘制的校园平面图,可以帮助人们解决什么问题?
生1:可以帮助我们直观地了解校园的格局分布。
生2:能快速地知道各建筑的分布位置及最佳前往路线。



绘制校园平面图
绘制校园平面图的主要步骤:
①确定主要建筑。
②绘制校园围墙的形状。
③各建筑的平面大小和形状、各建筑间的距离及在校园内的分布情况。
④确定平面图的外围大小。
⑤算出比例尺。
⑥确定各建筑在平面图上的大小、形状。
⑦绘制出各建筑在平面图上的位置,添加图名。
⑧实地验证、完善平面图。
⑨绘制正确的校园平面图。



通过上面的活动,学生复习了方向与位置、长度单位、常见平面图形、对称、比例尺等知识,经历了绘制校园平面图的过程,激发了学习数学的兴趣。

绘制自己校园的平面图。
(考查知识点:位置关系、比例等知识的应用;能力要求:会运用所学知识解决实际问题)

课堂作业新设计
略




神奇的莫比乌斯带。(教材第54~55页)

1.引导学生在对比探究中认识莫比乌斯带,使学生会将长方形纸条制成莫比乌斯带。
2.引导学生通过思考、操作发现并验证莫比乌斯带的特征,体验“猜想、验证、探究”的数学思想方法,培养学生大胆猜测、勇于探究的求索精神。
3.让学生经历猜想与现实的冲突,感受“神奇的纸环”的神奇变化,在莫比乌斯带魔术般的变化中感受数学的神奇魅力,进一步激发学生学习数学的兴趣,培养学生良好的数学情感。

重点:用长方形纸条制作莫比乌斯带。
难点:沿莫比乌斯带的中线剪开后得到的形状。

剪刀、水彩笔和若干长方形纸条。



师:同学们,你们喜欢看魔术吗?我们在电视中经常会看到魔术师表演魔术,对他们的表演会感到特别神奇。其实老师也是一个魔术爱好者,今天老师就带来了一个魔术,想看吗?(板书课题:神奇的莫比乌斯带)

课件出示教材第54页主题图。
师:在一个纸环的内侧有一点面包屑,外面有一只蚂蚁。如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘,它能吃到面包屑吗?
学生观察、讨论、思考。
生:面包屑在里面,蚂蚁在外面,应该是吃不到吧。
师:你有什么办法,不爬过纸环的边缘,让蚂蚁吃到面包屑吗?
……
师:如果我把这个纸环剪开,只要稍做变化就能让蚂蚁吃到面包屑,你们信吗?我们一起试一试。
活动一:认识莫比乌斯带。
1.制作圆环纸带。
师:一张普通长方形纸片,它有几条边?
生答完后,请同学们用手指沿长方形纸的边划一划。
师:几个面?
生答完后,请同学们用手指沿长方形纸的面摸一摸。
师:你能把它变成两条边、两个面吗?
学生动手操作将长方形纸条制作成圆形纸环。
(学情预设,学生能把这两边粘起来,形成一个纸环,纸环有两条边、两个面)
验证:用手摸一摸感受两条边、两个面。
师:同学们可真聪明,短短几秒钟就想到解决的办法。既然你们这么聪明,老师想再来考考你们。谁能把它变成一条边、一个面呢?
(设计意图:有趣的魔术激起学生的兴趣,有趣的问题促使学生思考和探究,在探究过程中使问题层层深入,大大激发了学生的学习兴趣)
2.制作莫比乌斯带。
学生动手操作,尝试制作只有一条边、一个面的纸环。
(学情预设,可能个别学生能把纸带旋转180°,制作成莫比乌斯带)
师:我能不看纸带,就变出来,信不信?(师在背后做)
想知道我是怎样做的吗?
师:做的时候,纸带的一端不动,另一端扭转180°,然后再用固体胶把两头粘贴好。
师:通过我们的努力已经做出了这个形状的纸环,现在老师告诉你它只有一条边、一个面,你们相信吗?
学生质疑。
师:这个纸环是不是只有一条边、一个面呢?有什么方法来验证呢?
教师指导验证方法,学生动手验证。
学生每人用彩笔在纸环中间划一划,生用笔画完后发现的确是一个环绕的面。
交流验证结果。
生:真的只有一条边、一个面。
动态展示,加深认识。
师:用手摸一摸纸环的面,感受一下。
师:像这样,只有一条边、一个面的“怪圈”是数学家莫比乌斯在1858年研究四色定理时发现的,所以就以他的姓命名为“ 莫比乌斯带”,也有人叫它“莫比乌斯圈”。(板书:莫比乌斯带)
【设计意图:从纸条到普通纸环再到莫比乌斯带,学生经历了一个从熟悉到陌生、从普通到神奇的体验过程,使学生初步感受到莫比乌斯带的神奇】
3.揭示莫比乌斯带只有一条边、一个面的原因。
师:大家想一想为什么这样一个四条边、两个面的长方形纸旋转180°后变成了一条边、一个面呢?
生:旋转后正面和反面连起来了。
教师出示一张两面颜色不一样的长方形纸,通过制作成莫比乌斯带引导学生观察、发现,纸环上下两个面连接起来了,上下两条边也连接起来了。
师:现在明白小蚂蚁从点A出发,为什么不爬过圆环的边缘,就能吃到面包屑了吧!
【设计意图:不仅感受到莫比乌斯带的神奇,还要知道神奇的原因,了解它在生活中的应用,就更能让学生体会到数学就在我们身边】
活动二:研究莫比乌斯带。
1.剪莫比乌斯带12。
师:刚才我们只是初步见识到了莫比乌斯带的神奇之一,还想继续验证它的其他奇迹吗?
生:想。
师:如果沿着莫比乌斯带的中间剪下去,剪的结果会怎样?
【学情预设:①一分为二成两个环。②断开成两段】
师:下面就请大家用剪刀剪一剪,去验证自己的猜想。
学生动手,沿着莫比乌斯带中间剪。(验证猜测)
生:沿着纸带中间剪下去,会变成一个两倍长的环。
师:为什么没有一分为二变成两个圈?而是变成一个两倍长的环?这个大圈还是莫比乌斯带吗?
学生动手验证。
2.剪莫比乌斯带13。
师:如果我们沿着三等分线剪,剪的结果又会是怎样呢?
【学情预设:①变成一个大环。②两个套在一起的环】
学生动手剪一剪:取长方形纸条,再做一个莫比乌斯带,学生动手,验证猜测。
小组交流:发现变成一个大圈套着一个小圈。
师:为什么会变成一个大环套着一个小环呢?
【设计意图:学生动手,沿着莫比乌斯带的中线和三等分线剪,学生好奇而兴奋地经历了“猜测、验证、探究”的过程,这也潜移默化地渗透了数学的思想方法和数学的美】
活动三:自由剪莫比乌斯带。
如果不是旋转180°而是更多的度数,或者沿14、15的宽度剪开莫比乌斯带又会有什么新的发现呢?大家不妨先猜猜,再动手试试,最后验证你们的猜测!


师:同学们,今天我们认识了一个特殊的纸环,你还记得它的名字吗?
生:莫比乌斯带。
师:神奇吗?
生:神奇。
师:今天,一个莫比乌斯带给了我们无限的遐想,希望这节课能给同学们有所启发,平时多留心观察生活,多问为什么,相信会有更多伟大的发现会在同学们身上诞生。



神奇的莫比乌斯带

沿莫比乌斯带的中线剪开




本课设计为操作性实验活动,通过“猜测、验证、探究”来组织新课,以问题为载体,由易到难步步推进,让学生感受到数学神奇魅力的同时,也感受到自主探索数学知识的快乐。
首先,我从一张普通的纸入手,一步一步把学生的思维引到神奇的莫比乌斯带中。通过探讨线与面的关系,培养学生的空间观念;其次,我从创设悬念入手,通过沿着莫比乌斯带的中线和三等分线剪,变幻出神奇的结果;最后,通过欣赏莫比乌斯带的一些应用,让学生感受莫比乌斯带的实用性,感受到数学的神奇魅力。

试着自己做一个莫比乌斯带,再沿着纸条的二等分线、三等分线、四等分线……剪开,你发现了什么?说一说莫比乌斯带在实际生活中的应用。
(考查知识点: 用长方形纸条制作莫比乌斯带;能力要求:会将长方形纸条制成莫比乌斯带)


课堂作业新设计
略





可爱的小猫。(教材第56~57页)

1.通过操作活动,体会图形的相似,感受数对中的两个数都扩大相同的倍数,所形成的图形与原来的图形才相似。
2.提高学生观察、分析问题及动手操作的能力。

　　3.激发学生学习数学的兴趣,培养学生的逻辑思维能力。

重点:能在方格纸上按一定的比将简单图形进行放大或缩小。
难点:体会图形的相似。

课件。



课件出示教材第56页主题图及问题。
师:你是怎么想的?
生1:小猫乐乐是由各点及它们之间的连线组成的。
生2:我们先看A点,发现A点所在行对应的数字是0,所在列对应的数字是2,所以可用数对(2,0)来表示A点。
生3:B点对应的数对是(4,0),C点对应的数对是(6,2),D点对应的数对是(6,6)。
生4:其他点对应的数对分别是E(5,8),F(4,6),G(2,6),H(1,8),I(0,6),J(0,2)。
师:小猫家族中还有三只小猫,组成它们轮廓的点如下表。(课件出示教材第56页表格)
生1:将其与乐乐比,发现表示天天轮廓的点的数对中的第一个数是乐乐的2倍,第二个数与乐乐相同,所以表示天天轮廓的点的数对分别是A(4,0),B(8,0),C(12,2),D(12,6),E(10,8),F(8,6),G(4,6),H(2,8),I(0,6),J(0,2)。
生2:表示晶晶轮廓的点的数对的第一个数与乐乐一样,第二个数是乐乐的2倍,所以表示晶晶轮廓的点的数对分别是A(2,0), B(4,0), C(6,4), D(6,12), E(5,16), F(4,12), G(2,12),H(1,16),I(0,12),J(0,4)。
生3:表示欢欢轮廓的点的数对的第一个数是乐乐的2倍,第二个数也是乐乐的2倍,所以表示欢欢轮廓的点的数对分别是A(4,0), B(8,0), C(12,4), D(12,12), E(10,16), F(8,12), G(4,12),H(2,16), I(0,12), J(0,4)。
师:大家说得真好,我们一起把教材第56页的表格补全。(教师出示课件)
师:根据上表,在下面的方格纸中分别画出三只小猫的轮廓。我们应该怎么样画呢?
课件出示教材第57页方格图。
生1:根据上表中表示每只小猫轮廓的点的数对,在方格中描出各数对。
生2:再按照字母顺序依次连接起来。
生3:还要画上眼睛、鼻子和嘴巴。
生4:欢欢和乐乐最像,因为欢欢数对中的数是按乐乐的数对的2倍来画的。
师:小组完成教材第57页将“M”变形的图案设计。想一想,画一画,与同伴交流。
学生独立尝试探索,小组交流,汇报结果。

师:通过描绘不同小猫的轮廓并进行比较,我们学到了什么?
生1:图形相似。
生2:数对中的两个数都扩大或缩小相同的倍数,得到的新图形与原来的图形相似。



可爱的小猫
由数对表示的图中,两个数都扩大或缩小相同的倍数,得到的新图形与原图形相似。
x2,y2(x,y)(2x,2y)



可能有的同学在方格纸上按一定的比将简单图形放大或缩小时,出现描点错误,此时教师一定要引导有困难的学生完成学习过程。

A 类
将下面的长方形按3∶1的比放大。先画出放大后的图,再求出放大后图形的周长。

(考查知识点:通过计算感受数对中的两个数都扩大相同的倍数后,所形成的新图形与原来的图形才相似;能力要求:会按一定的比将简单图形放大或缩小)
B 类
小丽有60张邮票,小华有40张邮票,小丽要给小华多少张邮票,才能使两人的邮票数之比为1∶4?
(考查知识点:运用所学知识综合解决实际问题;能力要求:会运用所学知识解决实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
18厘米(画图略)
B类:
40张





复习圆柱与圆锥、图形的运动。(教材第58~62页)

1.通过整理与复习,加深对圆柱和圆锥、图形的运动相关知识的理解与掌握。结合学生的实际情况,引导学生自主地将所学的知识进行整理、归纳和反思。
2.提高学生整理知识的能力,发展学生提出问题和解决问题的能力。
3.培养学生良好的学习习惯。

重点:进一步培养学生利用所学知识解决实际问题的能力。
难点:教会学生自己总结和整理以前学过的知识。

课件。



对所学知识进行简单的整理,完成教材第58页的内容。
(以作业的形式提前布置给学生,学生完成后,再交流汇报)

1. 圆柱和圆锥。
师:圆柱和圆锥是重点知识,同学们现在小组内讨论一下,想一想有关圆柱和圆锥的知识,然后整理出来。
学生组内讨论,完成知识的整理,教师巡视、辅导,然后点名汇报讨论结果。
生1:圆柱和圆锥的特点如下表。

顶点
高
面
由什么面旋转而成
圆柱
无
无数条
1个侧面
2个底面
长方形
圆锥
1个顶点
1条
1个侧面
1个底面
直角三角形
　　生2:我知道圆锥侧面积的计算方法。
圆柱的侧面积=底面周长×高　　S侧=Ch
生3:我知道圆柱表面积的计算方法。
圆柱的表面积=侧面积+底面积×2　　S表=Ch+2πr2
生4:我知道圆柱体积的计算方法。
　　　　　　长方体的体积=底面积× 高
　　　　　　　　↓　　　　　↓　　↓
　　　　　　　圆柱的体积=底面积× 高
　　　　　　　　　　↓　　　↓　　↓
　　　　　　　　　　V　= 　S　×　h
　　　V=πr2h　　　　　V=πd22h　　　　　V=πC2π2h
生5:我知道圆锥体积的计算方法,即圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的13。
生6:我们组整理出来的结果如下表所示。
名称
图形
特征
表面积公式
体积公式
圆柱

两个相同的圆形底面,侧面沿高展开是一个的长方形(正方形),长方形的长等于圆柱底面的周长,宽等于圆柱的高
S侧=Ch
S表=Ch+2πr2
V=Sh=πr2h
圆锥

底面是一个圆,侧面是一个曲面,顶点到底面圆心的距离是高,只有一条高
S底=πr2
V=13Sh
　　2. 图形的运动。
师:我们学习了图形的运动,大家还记得吗?同学们在小组内讨论,想一想和图形的运动有关的知识,然后整理出来。
学生组内讨论,完成知识的整理,教师巡视、辅导,然后点名汇报讨论结果。
生1:我知道与指针旋转方向相同的方向叫顺时针方向,与指针旋转方向相反的方向叫逆时针方向。
生2:图形旋转的关键是旋转中心、旋转的方向和旋转的角度。
生3:平移的关键是对应点、平移的方向和平移的距离。
师:在旋转的过程中,基本图形的形状、大小、位置有没有变化?
生1:基本图形的形状、大小没有变,位置变了。
生2:旋转时,旋转点的位置没有变。
生3:对应线段的长度没有变。
生4:对应线段的夹角没有变。
师:我们还学习了设计美丽的图案,谁能告诉我设计图案的方法呢?
生:我知道设计图案的步骤,即确定要设计的内容、确定基本图形、确定变换的方法、把要设计的图案在方格纸上画出来。
师:我们还学习了有关圆柱和圆锥、图形运动的其他知识吗?
以小组为单位,在组内进行交流,全班交流汇报。

师:通过今天的复习,你掌握了哪些知识?
生1:进一步加深了对圆柱和圆锥特征的理解与认识。
生2:能够正确运用计算公式解决生活中的一些实际问题。



圆柱和圆锥
圆柱和圆锥圆柱和圆锥的认识圆柱的侧面积和表面积圆柱和圆锥的体积圆柱和圆锥的容积　　　　　　在旋转的过程中:
基本图形的形状、大小没有变
旋转时,旋转点的位置没有变
对应线段的长度没有变
对应线段的夹角没有变


在本册教材中安排的“你学到了什么”,主要是让学生从两个方面思考、整理已学的内容:一方面是将前面两个单元所涉及的重要概念、公式和解决问题的方法进行梳理,并与同学交流;另一方面是根据已学知识,提出数学问题并尝试解答。这两个方面的思考是学生后续学习中需要经常进行反思的内容,也是很重要的学习方法和学习习惯。

A 类
1.把一根长20厘米的圆木棒截成相同的两段,表面积增加了56.52平方厘米。
(1)这根圆木棒的底面半径是多少厘米?
(2)原来的圆木棒的表面积是多少平方厘米?
2.一台压路机前轮的底面半径是1米,长是1.2米,每分钟可以滚动40周,这台压路机5分钟可压路面多少平方米?
(考查知识点:圆柱和圆锥的特征;能力要求:能解决生活中的一些简单问题)
B 类
一个圆柱的底面周长和高相等,如果这个圆柱的高缩短2厘米,表面积就减少12.56平方厘米,求原来这个圆柱的表面积。
(考查知识点:运用所学知识解决生活中的一些实际问题;能力要求:能运用所学知识解决生活中的实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)3厘米　(2)433.32平方厘米　2.1507.2平方米
B 类:
底面周长:12.56÷2=6.28(厘米)　侧面积:6.28×6.28=39.4384(平方厘米)
两个底面积:2×3.14×(6.28÷3.14÷2)2=6.28(平方厘米)
表面积:39.4384+6.28=45.7184(平方厘米)



比例。(教材第58~62页)

1.通过复习,使学生掌握有关正比例和反比例的知识,能运用所学知识解决问题。
2.提高学生解决问题的能力。
3.使学生感受数学在生活中的作用,增强应用意识。

重点:理解正比例和反比例的含义。
难点:运用所学知识解决实际问题。

课件。



对所学知识进行简单的整理,完成教材第58页的内容。
(以作业的形式提前布置给学生,学生完成后,再交流汇报)

1.比例的意义及应用。
师:说一说什么是比例,并说出它和比的区别。
学生独立思考,指名回答。
2.比例尺的意义。
师:怎样根据比例尺求图上距离或实际距离呢?
生:图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。
图上距离∶实际距离=比例尺
图上距离÷比例尺=实际距离
实际距离×比例尺=图上距离
3.图形的放大和缩小。
师:怎么把图形进行放大或缩小呢?
生1:图形按比放大时,对应线段长的比相等。
生2:图形按比缩小时,对应线段长的比相等。
生3:图形的各边按相同的比放大或缩小后,只是大小发生了变化,形状没变。
4.正比例和反比例。
师:说一说正、反比例的联系与区别。
独立思考,指名回答。

不同点
相同点
意义
用字母表示
变化规律
正比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。如果这两种量的比值(也就是商)一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系
yx=k (一定)
比值(商)
一定
有三种量,其中一种量是一定的,另外两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化
反比例
两种相关联的量,一种量变化。另一种量也随着变化,如果这两种量的积一定,这两种量就叫作成反比例的量,它们的关系叫作反比例关系
xy=k (一定)
积一定

师:通过今天的复习,你掌握了哪些知识?
生1:进一步加深了对正比例和反比例的理解与认识。
生2:能运用所学知识解决实际问题。



比　　例
比例意义正比例正比例关系正比例图像反比例图形的放大和缩小比例尺


教学时,教师既要关注学生整理的内容及其联系,又要关注学生整理的方法。要让学生回顾学习了哪些内容,与前面几册学过的相关内容有什么联系。可以与学生共同回忆知识,讨论知识的整理过程和方法。
对于学生做好的总结,教师应加以评析并请学生介绍整理总结的方法,以培养学生整理知识的能力。在整理与复习阶段,应重视引导学生提出问题。
教师还可以引导学生从报纸、杂志等媒体中收集有关信息,结合所学知识提出问题并尝试解决。对于学生在整理知识和提出、解决问题过程中暴露出来的问题,教师应鼓励学生之间展开讨论与互相帮助,并进行有针对性的指导。

A 类
1.从甲地到乙地的实际距离是180千米,画在一幅比例尺是1∶6000000的地图上,应画多少厘米?
2.配制一种农药,药粉和水的比是1∶500。
(1)现有水6000千克,配制这种农药需要药粉多少千克?
(2)现有药粉3.6千克,配制这种农药需要水多少千克?
(考查知识点:掌握有关正比例和反比例的知识;能力要求:能运用正、反比例解决问题)
B 类
园林绿化队要栽一批树苗,第一天栽了总数的15,第二天栽了136棵,这时剩下的与已栽的棵数比是3∶5。这批树苗一共有多少棵?
(考查知识点:正、反比例的应用;能力要求:能运用所学知识解决生活中的实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.3厘米　2.(1)12千克　(2)1800千克
B 类:
320棵
教材第60页“巩固应用”
1.略
2.188.4　213.52　188.4　62.8　753.6　979.68　2260.8　753.6
3.(1)13×3.14×(6÷2)2×1.2=11.304(立方米)　(2)700×11.304=7912.8(千克)
4.3.14×5×2×80×20=50240(平方厘米)
5.(1)3×2=6(分米)　3.14×32×2+3.14×3×2×6=169.56(平方分米)
(2)3.14×32×6=169.56(立方分米)=169.56(升)
6.(1)2÷2=1(厘米)　13×3.14×12×3=3.14(立方厘米)
(2)13×3.14×(32×9-1.52×4.5)=74.1825(立方厘米)
7.x=8　y=27
8.x=0.48　x=35　x=9.6
9.(1)长:12÷1200=2400(厘米)=24(米)　宽:10÷1200=2000(厘米)=20(米)
深:2÷1200=400(厘米)=4(米) 　(2)24×20=480(平方米)
10.(1)成反比例　(2)成正比例　(3)不成比例
11.3　4　2　12　8　24　成反比例
12.(1)8　16　24　32　40　(2)略　(3)0.8x　成正比例,因为比值相等。
13.略
14.(1)图形A先向右平移3格,再向下平移2格或先向下平移2格,再向右平移3格。
(2)先绕最下面方格的右下顶点顺时针旋转90°,再向下平移1格。



本部分包括数与代数、图形与几何、统计与概率、解决问题的策略四部分。第一部分是复习、巩固小学阶段有关数与代数的知识,包括数的认识、数的运算和代数初步。第二部分是复习、巩固小学阶段有关图形与几何的知识,包括图形的认识、图形与测量、图形与变换和图形与位置。第三部分是复习、巩固小学阶段有关统计与概率的知识,包括统计和事件发生的可能性。第四部分是复习、巩固有关解决问题的策略的知识,主要是梳理小学阶段学过的一些解决问题的方法,如列表法、画图法、猜想与尝试等。

在学生完成所有小学阶段学习的基础上,进行一次系统的、完整的复习,使学生对整个小学数学有一个整体的把握,帮助学生查缺补漏。教师要根据学生的实际情况,提高学生的整理能力,激发学生的学习兴趣。



　　1.比较系统地整理知识,牢固地掌握有关整数、小数、分数、比例、简易方程等基础知识,具有进行整数、小数、分数四则运算的能力,会使用学过的简便算法,灵活地进行计算,会解简易方程,养成检查和验算的习惯。
2.整理常见的量以及量的单位,体会其实际意义,巩固对一些计量单位的大小的认识,牢固地掌握所学单位间的进率,能够比较熟练地进行名数的简单改写。
3.牢固地掌握所学的几何形体的特征,能够比较熟练地计算一些几何形体的周长、面积和体积,巩固所学的画图、测量等技能。
4.掌握所学的统计初步知识,会观察和绘制简单的统计图表,并且能够计算平均数。
5.牢固地掌握所学的一些常见的数量关系和应用题的解答方法,能够比较灵活地运用所学知识独立地解答应用题和生活中一些简单的实际问题。

1.在开展总复习时,教师首先要了解本班学生的实际情况,有针对性地制定复习计划;其次应根据学生的反馈及时调整复习内容,以加强复习的针对性;最后根据不同学生的需要提出不同的要求,设计不同层次的题目。在这个过程中,还要注意提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.在实际教学中,教师要为学生提供自主梳理知识的时间和空间。学生良好的认知结构是在个人思考中初步建立的,在小组合作中逐步形成的,在班级交流和老师的指导下不断提升的。
3.在复习时,不仅要复习相应的知识和技能,还要把相应的知识与解决问题的方法结合起来。这样既可以帮助学生回忆、整理相关知识,同时还可以帮助学生提高综合运用数学知识解决实际问题的能力。
4.由于学生的知识基础、生活经验各不相同,在每个班级中都会存在一些对数学学习有困难的学生。对于这些学生,要帮助他们树立学好数学的信心,让他们在复习的过程中都有新收获和新提高,在自身的基础上都有新发展。
5.总复习除了需要对所学内容进行回顾、整理、巩固和应用外,还有一个重要目标,就是帮助学生再次经历重要概念和方法的形成过程,经历综合应用所学知识解决问题的过程,使学生不断地积累活动经验,体会一些重要的数学思想。

数与代数 10课时
图形与几何 8课时
统计与概率 2课时
解决问题的策略 3课时

数　与　代　数

1.在具体的情境中,回顾整理小学阶段所学习的数,构建数与代数的知识网络,进一步理解自然数、小数、分数、负数的意义及表示方法,总结比较整数、小数、分数大小的方法。
2.在解决实际问题的过程中体会数的扩充过程,进一步体会数在日常生活中的应用,会用数来表示事物的数量并进行交流;在估计大数、比较数之间的相对大小关系等活动中,发展数感。
3.在具体情境中,整理常见的量以及计量单位,体会各个计量单位的实际含义,复习计量单位之间的换算。
4.回顾四则运算的意义,进一步理解四则运算在现实生活中的应用;复习整数运算、小数运算、分数运算的法则和混合运算的顺序,提高运用数的运算解决实际问题的能力。
5.在回顾交流中,进一步体会估算的作用,总结估算的方法,并能灵活应用。
6.再次经历运用多种方式验证运算律的过程,加深对运算律的理解。
7.在运用方程解决问题的过程中,再次体会列方程解决问题的优越性,巩固解简单方程的方法。
8.回顾正比例、反比例的含义,在正比例、反比例、看图找关系的回顾与反思中,渗透函数的思想。

1.在安排复习时,要注重寻找知识的内在联系,把平时相对独立的知识以分类、归纳、转化等方法联系起来,使相关内容条理化、结构化,形成整体框架,以加深学生对所学内容的理解。
2.复习时应关注数学内容的整理及其内容之间的联系,在教学过程中渗透整理和反思的方法,通过设计问题和实践活动引入不同的复习方法,培养学生良好的学习习惯。同时,引导学生用表格或网络图等形式来整理所学内容。
3.复习时注重把以前分散学习的知识进行系统整理,强调知识之间的联系。

1　数的认识 2课时
2　数的运算 4课时
3　式与方程 1课时
4　正比例与反比例 1课时
5　常见的量 1课时
6　探索规律 1课时




整数。(教材第65~67页)

1.使学生进一步掌握数的改写,能正确熟练地把一个较大数改写成用“万”或“亿”作单位的数和求近似数。
2.能正确地比较两个多位数的大小,能对因数、倍数、质数、合数进行系统整理。
3.通过小组合作与交流的方式培养学生学习数学的兴趣,增强学生的主观能动性。

重点:进一步巩固数的读、写、改写的方法,会比较数的大小。
难点:系统地整理因数、倍数、质数、合数等相关知识。

课件。



课件出示教材第65页第1题。
师:上面的信息中有哪些数?你能说出它们的具体意义吗?今天我们重点对整数的知识进行复习。(板书:整数)

师:你能用尽可能多的方式表示1243吗?
学生先独立思考,再小组交流。
生:1243=1×1000+2×100+4×10+3。
师:请把1243改写成以“万”为单位的数。
生:0.1243万。
师:大家还记得整数数位顺序表吗?先在小组内与同伴说一说,再举例说明怎样比较两个多位数的大小。
小组内讨论。
课件出示练习。
1.0,1,76,-12,8400,-305中,自然数有(　　),负数有(　　),它们都是(　　)数。
2.把一根8米长的铁丝平均分成10段,每段是这根铁丝的(　　),每段长(　　)米。
3.分数单位是119的最大真分数是(　　),它至少再添上(　　)个这样的分数单位就成了假分数。
学生分组完成。
师:你能整理一下倍数和因数的相关知识吗?
学生合作整理,并汇报。
生:自然数根据是不是2的倍数,可分为偶数和奇数;非0自然数根据所含因数的个数,可分为1、质数和合数。

学生独立完成教材第66~67页“巩固与应用”,小组内交流,教师巡视、辅导。

师:通过今天的复习,你掌握了哪些知识?
生1:更加明确了数的改写与比较两个多位数的大小的方法。
生2:数的改写就是把一个较大数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
生3:我会比较两个多位数的大小。
生4:对因数、倍数、质数、合数有了更深的认识。



整　　数
整数正整数0负整数　　因数和倍数2,5,3的倍数的特征奇数和偶数质数和合数分解质因数



教学时鼓励学生阅读教材提供的信息,体会其中数的意义,让学生充分交流,也可以鼓励学生自己收集一些包含整数的信息,进一步理解这些数的意义。
在学生举例比较大小时,教师应注意引导举例的普遍性。

A 类
1.填空。
(1)40.04整数部分的4在(　　)位上,表示(　　),小数部分的4在(　　)位上,表示(　　)。
(2)最高位是百万位的整数是(　　)位数;最低位是百分位的小数是(　　)位小数。
(3)780056370读作(　　　　　　　　　　　　)。
2.选择。(将正确答案的序号填在括号里)
(1)十万位上是5的数是(　　)。
A.25043　　　B.5002367　　　C.2563123　　　D.12543
(2)5.78的计数单位是(　　)。
A.个位　　 B.十分位　　 C.0.01　　 D.0.001
(考查知识点:数的读、写、组成、改写;能力要求:会读、写、改写大数,知道大数的组成)
B 类
1.京津塘高速公路全长十四万二千六百九十米,写作(　　)米,改写成以“万”为单位的数是(　　)万米,四舍五入到万位约是(　　)万米。
2.一个小数,如果把它的小数点向左移动一位,就比原来少66.915,原来这个数是(　　)。
(考查知识点:改写成用“万”作单位的数和求近似数;能力要求:会将大数进行改写,理解小数点的移动对小数大小的影响)

课堂作业新设计
A 类:
1.(1)十　4个十　百分　4个0.01
(2)七　两　(3)七亿八千零五万六千三百七十
2.(1)C　(2)C
B 类:
1.142690　14.269　14　2.74.35
教材第66页“巩固与应用”
1.12064　3010块　408
2.二千三百零八万五千一百　2308.51　22053300　2205.33　二千四百五十四万八千二百
2454.82　50668000　5066.8　九千九百二十六万三千七百　9926.37
3.略
4.大约有120只。
5.(1)千万　9　43010万　(2)10000　9999　1000　(3)2,3,5,7　4,6,8,9,10　(4)5　35
6.(1)52,72　27,72,57,75　25,75　(2)75　(3)752,257
7、8.略



小数、分数、百分数。(教材第68~69页)

1.能结合具体情境理解分数和小数的含义,认识百分数,掌握分数和除法之间的关系,并能正确进行转化。
2.培养学生的观察能力和知识间的转化能力。
3.在感受数学与生活的密切联系的过程中,培养创新意识和全员参与的意识。

重点:理解分数、小数、百分数的含义,并能正确进行转化。
难点:建立转化思想,理解知识间的联系。

课件。



课件出示教材第68页主题图。
师:每人分不到一个苹果时可以怎样表示?
生1:可以用小数表示。
生2:也可以用分数表示。
师:这节课我们一起来复习有关小数、分数、百分数的知识。(板书课题:小数、分数、百分数)

师:用圆或正方形表示一个苹果。
出示34,请学生用多种方式解释这个分数的含义。
生1:表示把单位1平均分成4份,其中的3份是它的34。
生2:我用画图的方式来表示。
生3:我用除法算式来表示,即34=3÷4。
生4:我用比来表示,即34=3∶4。
小组内讨论:(课件出示讨论内容)
(1)小数、分数、百分数之间的转化关系。(可以用网络图表示)
(2)分数、除法之间的转化关系。(可以用网络图表示)
(3)商不变的规律和分数基本性质的关系。(可以举例说明)
小组交流、合作。
师:前面复习了整数数位顺序表,你能与小数数位顺序表结合起来填一填吗?
课件出示:

整数部分
小数点
小数部分
……
亿级
万级
个级
数位
……
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
·
十分位
百分位
千分位
万分位
……
计数单位
……













十分之一
百分之一
千分之一
万分之一
……

师:通过今天的复习,你掌握了哪些知识?
生1:进一步认识了百分数。
生2:掌握了分数和除法之间的关系,并能正确进行转化。



小数、分数、百分数

整数部分

小数部分
……
亿级
万级
个级
数位
……
千亿位
百亿位
十亿位
亿位
千万位
百万位
十万位
万位
千位
百位
十位
个位
·
十分位
百分位
千分位
万分位
……
计数单位
……













十分之一
百分之一
千分之一
万分之一
……


教学时教师要注意挖掘学生已有的经验,让学生在独立思考、交流的过程中,体会分数、除法和比的意义及联系。
在说各种数表示的意义时,可以让学生在其他图书中找一些分数、小数和百分数。
学生在总结小数、分数、百分数、比和除法之间的关系时有一定的困难,部分学生总结得不够全面,语言表述不够准确,需要教师适当引导。

A 类
1.把下表中的数互化。
小数
分数
百分数
成数
0.75




58

—


120%
—



三成五
　　2.把下面各组数按从小到大的顺序排列起来。
(1)23 　0.66　66.6%　　(2)45　0.87　78　0.8777……
(考查知识点:分数、小数、百分数的转化;能力要求:会互化分数、小数和百分数)
B 类
A超市一盒牛奶要1.75元,B超市一盒牛奶要114元,你认为在哪家超市买比较合适?
(考查知识点: 分数、小数、百分数的转化和大小比较;能力要求:会运用分数、小数、百分数解决生活中的实际问题)

课堂作业新设计
A 类:
1.34　75%　七成五　0.625　62.5%　1.2　115　0.35　720　35%
2.(1)0.66