中考数学二轮复习难题突破：与切线有关的证明与计算（解析版）

这是一份中考数学二轮复习难题突破：与切线有关的证明与计算（解析版），共5页。
与切线有关的证明与计算 例1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．【分析】：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．【答案】：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝＝3，则DE＝BF＝例2、如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝，DF＝2BF，求AH的值．【分析】：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得＝，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.【答案】：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴＝，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝＝4，∴CG＝CF＋FG＝5，在Rt△BFG中，BG＝＝3，∵BG·BA＝48，∴BA＝8，∴AG＝5，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4，∵△ABC∽△CBG，∴＝，∴AC＝＝，∴AH＝AC－CH＝例3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．【答案】：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝2x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(2x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，则DC＝＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2 例4、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．【答案】：(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切　(2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝，∴AC＝.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝＝，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(－r)2＝r2＋3，解得r＝　　　　　　　　　　　　　　　　 例5、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD(2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2，设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2＋x)2，解得x＝，∴⊙O的半径为 例6、如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．【答案】：(1)连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线(2)设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴＝，∴＝，∴DE＝，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴＝，∴＝，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝＝，∵＝，∴BE＝   例7、如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8.(1)求⊙O的半径；(2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【答案】：(1)连接AO，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝3∶5，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k＝1或k＝－1(舍去)，∴5k＝5，即⊙O的半径是5(2)将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO·sin60°＝5×＝，∴S阴影＝S扇形OMC－S△OMC＝－×5×＝－，即图中阴影部分的面积是－ 例8、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.(1)求证：AE＝BF；(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．【答案】：(1)连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF(2)连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF(3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝＝，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝＝，∵EF＝，∴DE＝×＝，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴＝，即GE·ED＝AE·EB，∴·GE＝2，∴GE＝，则GD＝GE＋ED＝