2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习演练：第二章 第8讲　函数与方程

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[A级 基础练]
1．函数f(x)＝(x2－1)·eq \r(x2－4)的零点个数是( )
A．1B．2
C．3 D．4
解析：选B．要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B．
2．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－eq \f(1,5)x的零点位于区间( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B．函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线．
因为f(1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,5)＝eq \f(3,10)>0，f(2)＝eq \f(1,4)－eq \f(2,5)＝－eq \f(3,20)<0，
所以f(1)·f(2)<0，所以由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1，2)．故选B．
3．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(1－x2)，|x|≤1，,|x|，|x|>1，))若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足( )
A．a＝1 B．a>1
C．0≤a<1 D．a<0
解析：选A．方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点，故选A．
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，x≤0，,\f(1,x)，x>0，))则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：选D．当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)＝m，即x＋eq \f(1,x)＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D．
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(e(x＋1)2，x≤0，,x＋\f(4,x)－3，x>0，))函数y＝f(x)－a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则－x1x2＋x3＋x4的取值范围为( )
A．(3，3＋e) B．[3，3＋e)
C．(3，＋∞) D．(3，3＋e]
解析：选D．函数y＝f(x)－a有四个不同的零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个不同的交点，大致图象如图所示．
由图象可知，1＜a≤e，x1，x2是方程e(x＋1)2＝a的两根，即x2＋2x＋1－ln a＝0的两根，所以x1x2＝1－ln a．x3，x4是方程x＋eq \f(4,x)－3＝a的两根，即x2－(3＋a)x＋4＝0的两根，所以x3＋x4＝3＋a，所以－x1x2＋x3＋x4＝a＋ln a＋2，又h(a)＝a＋ln a＋2单调递增，所以当1＜a≤e时，h(a)∈(3，3＋e]．故选D．
6．已知函数f(x)＝eq \f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为________．
解析：由已知得f(1)＝0，即eq \f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
7．函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ln x－x2＋2x，x>0，,4x＋1，x≤0))的零点个数是________．
解析：当x>0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x>0时，f(x)有2个零点；
当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－eq \f(1,4).
综上，f(x)有3个零点．
答案：3
8．若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－a，x≤0，,ln x，x>0))有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，
则当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．
令f(x)＝0，得a＝2x.
因为0<2x≤20＝1，所以0所以实数a的取值范围是(0，1]．
答案：(0，1]
9．设函数f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x)))(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．
(2)由函数f(x)的图象可知，当0[B级 综合练]
10．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,8)
C．－eq \f(7,8) D．－eq \f(3,8)
解析：选C．因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq \f(7,8).故选C项．
11．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋\f(1,2)，0≤x≤2，,lg4x，x>2，))如果关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋1＝0恰好有7个不同的实数根，则m－n的值为________．
解析：画出函数f(x)的图象如图所示，
令f(x)＝t，则原方程可化为mt2＋nt＋1＝0，由图象可知，要使原方程有7个不同的实数根，应使方程mt2＋nt＋1＝0有2个不同的实数根，且分别是eq \f(1,2)和eq \f(3,2).由根与系数的关系可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(3,2)＝－\f(n,m)，,\f(1,2)×\f(3,2)＝\f(1,m)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(4,3)，,n＝－\f(8,3)，))于是m－n＝4.
答案：4
12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．
解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＝2，,a＋b＝－1，))解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g(－1)>0，,g(2)<0，,g(4)>0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5＋m>0，,2－2m<0，,10－4m>0，))解得113．已知函数f(x)＝－x2－2x，
g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a[C级 提升练]
14．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a－b≤1，,b，a－b>1.))设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)∪(2，3)
C．(0，2) D．(0，eq \r(3)－1)∪(eq \r(3)－1，2)
解析：选A．若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2×2x－3≤0，即2x≤1，解得x≤0；若2x＋1－(2－4x)>1，则(2x)2＋2×2x－3>0，解得2x>1或2x<－3(舍去)，即x>0.所以f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,2－4x，x>0.))作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示．因为y＝f(x)－c有两个零点，所以f(x)＝c有两个解，所以015．设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)且f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cs πx|－f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的所有零点的和为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．由f(－x)＝f(x)，知函数f(x)是偶函数，由f(x)＝f(2－x)，可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1.由于函数f(x)与函数y＝|cs πx|均为偶函数，所以在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上g(x)的零点之和为0，只需求g(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))上的零点和．在同一个直角坐标系中画出函数y＝|cs πx|，y＝f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))上的图象如图，
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))上，(1，1)为两函数图象的交点，另外两个交点关于x＝1对称，所以在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))上，g(x)的零点和为3，故所有零点的和为3.