2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习演练：第二章 第2讲　函数的单调性与最值

[A级　基础练]

1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．f(x)＝3－x　 B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝－  D．f(x)＝－|x|

解析：选C．当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；

当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，

当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．

2．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)

A．  B．－

C．－2  D．2

解析：选A．函数f(x)＝－x＋的导数为f′(x)＝－1－，则f′(x)<0，可得f(x)在上单调递减，即f(－2)为最大值，且为2－＝.

3．若函数y＝，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是(　　)

A．(1，2)  B．(－1，2)

C．[1，2)  D．[－1，2)

解析：选D．由题意可得，m＞－1因为函数y＝＝＝－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，所以n＝2.根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.所以m的取值范围是[－1，2)．

4．已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有(　　)

A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)

B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)

C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)

D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)

解析：选A．因为a＋b>0，所以a>－b，b>－a.所以f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，结合选项，可知选A．

5．定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，且f(a2－a)＞f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)

A．[－1，2)  B．[0，2)

C．[0，1)  D．[－1，1)

解析：选C．因为函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，x1≠x2，

所以函数f(x)在[－2，2]上单调递增，

所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1，故选C．

6．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．

解析：由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调递减区间是[1，2]．

答案：[1，2]

7．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.

综上，实数a的取值范围是.

答案：

8．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________．

解析：因为f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，

所以解得0<a<.

答案：

9．定义max{a，b}为a，b中的最大值，函数f(x)＝max{log2(x＋1)，2－x}(x＞－1)的最小值为c，如果函数g(x)＝在R上单调递减，则实数m的取值范围为________．

解析：根据题意，f(x)＝max{log2(x＋1)，2－x}(x＞－1)，

则f(x)＝，分析可得，当x＝1时，

f(x)取得最小值1，则有c＝1，

则g(x)＝，

若g(x)为减函数，必有

解得0＜m≤，即m的取值范围为.

答案：

[B级　综合练]

10．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0

C．f(x1)>0，f(x2)<0  D．f(x1)>0，f(x2)>0

解析：选B．因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)<f(2)＝0；

当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，

即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B．

11．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)∪(0，1]  B．(－1，0)∪(0，1]

C．(0，＋∞)  D．(0，1]

解析：选D．函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是(0，1]．　

12．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________．

解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，所以实数a的取值范围是0≤a≤2.

答案：[0，2]

[C级　提升练]

13．设函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足下面两个条件：①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f(x)为闭函数．如果f(x)＝＋k为闭函数，那么实数k的取值范围是(　　)

A．  B．(－1，＋∞)

C．(－∞，1)  D．

解析：选A．因为f(x)＝＋k为上的增函数，在[a，b]上的值域为[a，b]，所以即方程f(x)＝x在上有两个不相等的实数根，即＝x－k在上有两个不相等的实数根．化简方程＝x－k得x2－(2k＋2)x＋k2－1＝0.令g(x)＝x2－(2k＋2)x＋k2－1，则由根的分布可得即解得k>－1.

又＝x－k≥0，所以x≥k，所以k≤－.

综上，－1<k≤－.故选A．

14．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫作“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为________．

解析：因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，

由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1， ]上递减，故“缓增区间”I为[1， ]．

答案：[1， ]