2022高考数学人教版（浙江专用）一轮总复习演练：第二章 第1讲　函数及其表示

[A级　基础练]

1．函数y＝的定义域为(　　)

A．(1，＋∞)　 B．[1，＋∞)

C．(1，2)∪(2，＋∞)  D．(1，2)∪[3，＋∞)

解析：选C．由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．

2．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a＝(　　)

A．－  B．

C．  D．－

解析：选B．令t＝x－1，则x＝2t＋2，

所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，

所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.

3．已知f(x)＝则f＋f的值＝　(　　)

A．－2  B．4

C．2  D．－4

解析：选B．由题意得f＝2×＝.

f＝f＝f＝2×＝.

所以f＋f＝4.

4．已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝2x＋3  B．f(x)＝3x＋2

C．f(x)＝3x－2  D．f(x)＝2x－3

解析：选C．因为f(x)是一次函数，所以设f(x)＝kx＋b，k≠0，

则f(2)＝2k＋b，f(1)＝k＋b，f(0)＝b，f(－1)＝－k＋b，

因为

所以

解得k＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x－2，故选C．

5．已知函数f(x)＝则下列结论中不正确的是(　　)

A．f(－2)＝4  B．若f(m)＝9，则m＝±3

C．f(x)是奇函数  D．f(x)在R上单调递减

解析：选B．由于－2<0，所以f(－2)＝(－2)2＝4，故A选项正确；由f(m)＝9>0知m≤0且m2＝9，因此m＝－3，故B选项错误；由f(x)的图象(图略)可知f(x)是奇函数，且在R上单调递减，故C选项正确，D选项正确．故选B．

6．函数f(x)＝2＋(－2<x≤2)的值域为(　　)

A．(2，4)  B．[2，4)

C．[2，4]  D．(2，4]

解析：选B．因为f(x)＝2＋(－2<x≤2)，所以f(x)＝函数f(x)的图象如图所示，由图象得，函数f(x)的值域为[2，4)．

7．已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(　　)

A．(－2，0)  B．(－2，2)

C．(0，2)  D．

解析：选C．由题意得

所以

所以0<x<2，

所以函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域为(0，2)．

8．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)的值域为(－∞，2]，则实数a的取值范围为(　　)

A．[，1)  B．(1，2]

C．[2，＋∞)  D．(1，＋∞)

解析：选C．易知当x≥－1时，f(x)＝－x2＋2≤2恒成立，当且仅当x＝0时取等号．由题意可知，当x<－1时，f(x)＝＋ax≤2，因此a>1，且＋a－1≤2，因此a≥2，故选C．

9．若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．

解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，

所以f(x)＝

答案：f(x)＝

10．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝3·f＋1，则f(x)＝________．

解析：在f(x)＝3·f＋1中，将x换成，则换成x，得f＝3·f(x)＋1，将该方程代入已知方程消去f，得f(x)＝－－(x>0)．

答案：－－(x>0)

11．设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．

解析：因为f(2)＝，

所以f(f(2))＝f＝－－2＝－.

当x>1时，f(x)∈(0，1)，

当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，

所以f(x)∈[－3，＋∞)．

答案：－　[－3，＋∞)

12．若函数f(x)＝则f(f())＝________；不等式f(x＋1)≥f(x)的解集为________．

解析：由题意得f＝f＝f＝＝.

作出函数y＝f(x＋1)，y＝f(x)的大致图象如图所示，其中粗线部分为y＝f(x＋1)的图象，细线部分为y＝f(x)的图象．设两图象在(－∞，0)上交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，

①当x2＋2x＝－(x＋1)2－2(x＋1)时，2x2＋6x＋3＝0，得x1＝－；

②当－x2－2x＝－(x＋1)2－2(x＋1)时，得x2＝－.

所以不等式f(x＋1)≥f(x)的解集为{x|－≤x≤－或x≥0}．

答案：　∪[0，＋∞)

[B级　综合练]

13.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

解析：选A．观察可知阴影部分的面积y的变化情况为(1)当0<x≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快．(2)当1<x<2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个答案中的图象，只有选项A符合条件．

14．已知f(x)＝则f[f(x)]≥1的解集是(　　)

A．(－∞，－]

B．[4，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)

D．(－∞，－]∪[4，＋∞)

解析：选D．当x≥0时，f(x)＝≥0，

所以f[f(x)]＝f＝≥1，解得x≥4；

当x<0时，f(x)＝x2>0，

所以f[f(x)]＝f(x2)＝≥1，解得x≥(舍去)或x≤－.

综上，x≥4或x≤－.故选D．

[C级　提升练]

15．已知函数f(x)＝若f(a)≤1，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－4]∪[2，＋∞) B．[－1，2]

C．[－4，0)∪(0，2] D．[－4，2]

解析：选D．通解：由f(a)≤1，得或解得－4≤a≤0或0＜a≤2，所以实数a的取值范围是[－4，2]，故选D．

优解：当a＝0时，f(a)＝2－1＝1，不等式成立，故排除A，C；当a＝－2时，f(a)＝0－1＝－1，不等式成立，故排除B，故选D．

16．(创新型)设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：

①f(x)＝x2；②f(x)＝；

③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.

其中是“美丽函数”的序号有________．

解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．

①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；

②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；

③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；

④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.

答案：②③