数学七年级上册1.2 有理数综合与测试课后练习题

这是一份数学七年级上册1.2 有理数综合与测试课后练习题，文件包含专题08有理数压轴题型汇总-2021-2022学年七年级《新题速递·数学》人教版原卷版docx、专题08有理数压轴题型汇总-2021-2022学年七年级《新题速递·数学》人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。

专题08 有理数压轴题型汇总
一、单选题
1．（2021·浦江县教育研究和教师培训中心七年级期末）现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设6种商品最初的价格为，则天后商品的价格为，然后分别表示出6中商品的价格，然后根据题意列式计算．
【详解】
解：设6种商品最初的价格为，过了n天后，这n天中假设有m天是降价的，剩余的（n－m）天是涨价的，（其中m为自然数，且0≤m≤n），
则天后商品的价格为，
∴6种商品的价格可以表示为：
①，②，③，④，⑤，⑥，其中m为不超过n的自然数，
设最高价格和最低价格的比值为，
的最小值为，
故选：．
【点睛】
本题考查有理数乘方的应用，理解题意能够列出六种商品的价格是解题关键．
2．（2020·灌南县新知双语学校七年级月考）将7张扑克牌，全部背面朝上，每次翻三张且必须翻三张，最少翻多少次可翻成全部背面朝下（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
根据每次翻三张进行实验，得出结论即可．
【详解】
解：第一次翻：下，下，下，上，上，上，上；
第二次翻：下，下，上，下，下，上，上；
第三次翻：下，下，下，下，下，下，下；
即这7张扑克牌，全部背面朝下．
故选A．
【点睛】
本题考查了扑克牌的翻转问题，明确每次翻三张进行实验是解题关键.
3．（2020·全国七年级专题练习）计算（）2017•（﹣1.5）2020的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
==．故选B．
4．（2020·西安市铁一中学七年级月考）在数轴上，点M、N分别表示数m，n． 则点M，N 之间的距离为|m-n|．已知点A，B，C，D在数轴上分别表示的数为a，b，c，d．且|a-c|=|b-c|=|d-a|=1 (a≠b)，则线段BD的长度为（ ）
A．3.5 B．0.5 C．3.5或0.5 D．4.5或0.5
【答案】D
【分析】
运用两点之间的距离公式，画出数轴解答即可．
【详解】
解：∵|a﹣c|=|b﹣c|=1，
∴点C在点A和点B之间，点A与点C之间的距离为1，点B与点C之间的距离为1，
∵|d﹣a|=1，
∴|d﹣a|=2.5，
∴点D与点A之间的距离为2.5，
如图：

线段BD的长度为DA+AC+CB=2.5+1+1=4.5
如图：线段BD的长度为DA -AB=2.5-1-1=0.5

故答案为D．
【点睛】
本题考查了数轴和线段的和差，根据题意画出数轴并结合数轴进行解答是解决本题的关键．
5．（2020·银川九中英才学校七年级期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为 （ ）
A．2020，－2020 B．1009，－1010 C．－2020，2020 D．－1009，1009
【答案】B
【分析】
先找到特殊点，根据特殊点的下标与数值的关系找到规律，数较大时，利用规律解答．
【详解】
解:根据题意分析可得:点A₁, A₂，A₃， .. An表示的数为-1，1，-2，2,-3，3,...
依照上述规律，可得出结论:点的下标为奇数时，点在原点的左侧，且为下标加1除以2的相反数;点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2;
即:当n为奇数时，An=
当n为偶数时，An=
所以点A2020表示的数为: 2020÷2= 1009,
A2020表示的数为:- (2020+1) ÷2=-1010
故选: B
【点睛】
这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,然后找到规律．
6．（2020·浙江七年级期末）已知，，的积为负数，和为正数，且，则的值为(　　)
A． B．，2 C．，， D．，，，
【答案】A
【分析】
先判断出的符号，再化简绝对值运算即可得．
【详解】
的积为负数
的符号为三负或两正一负
的和为正数
的符号为两正一负
因此，分以下三种情况：
（1）当时



（2）当时



（3）当时



综上，的值为0
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简，依据已知条件，判断出的符号是解题关键．
7．（2020·广州大学附属中学七年级期中）2020减去它的，再减去余下的，再减去余下的，…以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意列出式子，先计算括号内的，再计算乘法即可解答．
【详解】
解：由题意得：
=
=
=1
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，并发现算式的特征．
8．（2020·浙江七年级期末）已知a，b，c为有理数，且，，则的值为（ ）
A．1 B．或 C．1或 D．或3
【答案】A
【分析】
先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．
【详解】
∵
∴a，b，c中应有奇数个负数
∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负
∵
∴a，b，c的符号为1负2正
令，，
∴，，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．
9．（2021·江苏七年级专题练习）如果 a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列式子中可能成立的是（ ）
A．c＞0，a＜0 B．c＜0，b＞0
C．b＞0，c＜0 D．b=0
【答案】A
【分析】
根据有理数的加法，一对相反数的和为0，可得a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又|a|＞|b|＞|c|，那么|a|=|b|+|c|，进而得出可能存在的情况．
【详解】
解：∵a+b+c=0，
∴a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，
∵|a|＞|b|＞|c|，
∴|a|=|b|+|c|，
∴可能c、b为正数，a为负数；也可能c、b为负数，a为正数．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
10．（2020·河南七年级期末）数轴上:原点左边有一点，从对应着数，有如下说法:
①表示的数一定是正数:
②若，则；
③在中，最大的数是或；
④式子的最小值为．
其中正确的个数是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
先求出m的取值范围，即可判断①；根据求出m的值，再结合m的取值范围即可判断②；分情况进行讨论，分别求出每种情况下的最大值即可判断③；根据即可判断④.
【详解】
∵点M在原点的左边
∴m＜0
∴-m＞0，故①正确；
若，则
又m＜0，则m=-8，故②正确；
在中
当m＜-1时，最大值为；
当-1 当m=-1时，最大值为或，故③正确；
∵
∴，故④正确；
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是点在数轴上的表示、绝对值以及数的比较大小，难度较高，需要熟练掌握基础知识.
11．（2020·德阳成都外国语学校）已知整数、、、、…满足下列条件：，，，，…，（为正整数）依此类推，则的值为（）
A．－1009 B．－2020 C．－1010 D．－2020
【答案】C
【分析】
依次计算、、、、…，得到规律性答案，即可得到的值.
【详解】
，
=-1，
=-2，
=-2，
，
，
，
由此可得：每两个数的答案是相同的，结果为-（n为偶数），
∴，
∴的值为－1010，
故选：C.
【点睛】
此题考查代数式规律探究，计算此类题的关键是依次计算得出答案的规律并总结出答案与序数间的关系式，由此来解答问题.
12．（2021·全国七年级专题练习）将1，2，3，...，30，这30个整数，任意分为15组，每组2个数.现将每组数中的一个数记为，另一个数记为，计算代数式的值，15组数代入后可得到15个值，则这15个值之和的最小值为（ ）
A． B．120 C．225 D．240
【答案】D
【分析】
先分别讨论x和y的大小关系，分别得出代数式的值，进而得出规律，然后以此规律可得出符合题意的组合，求解即可．
【详解】
①若x>y，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
∴代数式等于x，
②若y＞x则绝对值内符号相反，
∴代数式等于y，
由此可知，原式等于一组中较大的那个数，当相邻2个数为一组时，这样求出的和最小= 2+4+6+…+30=240．
故选：D．
【点睛】
本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，通过假设，把所给代数式化简，然后把满足条件的字母的值代入计算．

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题
13．（2020·浙江七年级期末）已知整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足，则的值为_______．
【答案】±4
【分析】
根据个位数为1可大致确定出d＝±1或±3，再分别讨论d＝±1时，d＝±3时，c，b，a的可能值，由此即可求得答案．
【详解】
解：∵整数a，b，c，d的绝对值均小于5，且满足，
∴个位上的1一定是由产生的，
∵绝对值小于5的整数中，只有，，
∴d＝±1或±3，
当d＝±1时，
，
，
∴此时个位上的2一定是由产生的，
∴＝2或－8，
∵绝对值小于5的整数中，只有，
∴c＝－2，
∴，
即：，
∴，
∴此时个位上的1一定是由产生的，
∵绝对值小于5的整数中，只有，
∴b＝±1，
将b＝±1代入，得：a＝2，
∴a＝2，b＝±1，c＝－2，d＝±1，
∴，
∴；
当d＝±3时，，
∴，
即：，
∵绝对值小于5的整数中，只有，
∴c＝4，
∴，
即：，
∵绝对值小于5的整数中，不存在某个数的平方的个位是3或7，
∴d＝±3不符合题意，故舍去，
综上所述，的值为±4，
故答案为：±4．
【点睛】
本题考查了乘方的意义以及乘法法则，熟练掌握常见的整数的乘方以及学会运用分类讨论思想是解决本题的关键．
14．（2021·西安市铁一中学七年级月考）若|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，且|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），则x+y﹣z＝_____．
【答案】45或23
【分析】
先根据绝对值的意义确定x、y、z的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵|x|＝11，|y|＝14，|z|＝20，
∴x＝±11，y＝±14，z＝±20．
∵|x+y|＝x+y，|y+z|＝﹣（y+z），
∴x+y≥0，y+z≤0．
∵x+y≥0．
∴x＝±11，y＝14．
∵y+z≤0，
∴z＝﹣20
当x＝11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝11+14+20＝45；
当x＝﹣11，y＝14，z＝﹣20时，
x+y﹣z＝﹣11+14+20＝23．
故答案为：45或23．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的意义及有理数的加减混合运算，掌握绝对值的意义和性质及有理数加减的法则是解决本题的关键．
15．（2021·南师附中树人学校七年级月考）观察下列等式：
第1层1+2＝3
第2层4+5+6＝7+8
第3层9+10+11+12＝13+14+15
第4层16+17+18+19+20＝21+22+23+24
…
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2020在第_____层．
【答案】44．
【分析】
根据题目中每层最大数字的特点，发现数字变化的特点，从而解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
第1层最大数是22-1，
第2层最大数是32-1，
第3层最大数是42-1，
第4层最大数是52-1，
……
∵442-1＜2020＜452-1，
∴2020在第44层，
故答案为：44．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的层数．
16．（2020·四川）已知、、是有理数，且，则的值是______．
【答案】
【分析】
由a+b+c=0和abc为负数可知这三个数中只能有一个负数，另两个为正数；然后把a+b+c=0变形，最后代入代数式计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，，中只能有一个负数，另两个为正数，
不妨设，，，
∵
∴，，，
∴原式

．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是有理数的混合运算．根据题意得到这三个数中只能有一个负数成为解答本题的关键．
17．（2020·甘肃兰州·七年级期中）某公园划船项目收费标准如下：
船型
两人（限乘两人）
四人船（限乘四人）
六人船（限乘六人）
八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时）

90
100
130
150
某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为______元．
【答案】380
【分析】
先算出船坐满情况下租每种船平均每人需多少钱，尽量租人均费用少的船．再分五种情况，分别计算即可得出结论．
【详解】
解：∵共有18人，
当租两人船时，∴（艘），
∵每小时90元，∴租船费用为元，
当租四人船时，∵余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，
∵四人船每小时100元，∴租船费用为元，
当租六人船时，∵（艘），
∵每小时130元，∴租船费用为元，
当租八人船时，∵余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，
∵8人船每小时150元，∴租船费用元
当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船，
∴租船费用为元，而，
∴当租1艘四人船，1艘6人船，1艘8人船费用最低是380元，
故答案是：380．
【点睛】
此题主要考查了有理数的混合运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
18．（2020·四川省内江市第六中学）用表示，例1995！=，那么的个位数字是_____________．
【答案】3
【分析】
先分别求出，，，，，的值，再归纳类推出规律，由此即可得．
【详解】
，
，
，
，
，
，
由此可知，的个位数字都是0（其中，且为整数），
则的个位数字与的个位数字相同，
因为，其个位数字是3，
所以的个位数字是3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了有理数乘法的应用，正确发现运算的规律是解题关键．
19．（2020·广东七年级期中）数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a和b，若计算a+b，a-b，ab，的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求_____________
【答案】
【分析】
先根据分数的分母不能为0可得，从而可得，由此根据题意可得和两种情况，再根据可求出b的值，然后代入求出相应的a的值，最后将a、b的值代入即可得．
【详解】
由题意得：，
，
有三个结果恰好相同，
或，
因此，分以下两种情况：
（1）当时，
由可得，解得，
①当时，则，无解，即不存在这样的有理数，
②当时，则，解得，
此时；
（2）当时，
由可得，解得，
①当时，则，无解，即不存在这样的有理数，
②当时，则，解得，
此时；
综上，，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方运算的应用，依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
20．（2020·运城市景胜中学七年级月考）点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．
所以式子的几何意义是数轴上表示的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和的两点之间的距离是________．
②数轴上表示和的两点之间的距离表示为________．
③数轴上表示的点到表示1的点的距离与它到表示的点的距离之和可表示为：．则的最小值是________．
④若，则________

【答案】3 4 4 或5
【分析】
①根据题目中公式求解即可；
②根据题目中公式求解即可；
③根据题目中公式求解即可；
④分为三种情况讨论，第一种，第二种，第三种 ，分别求解即可；
⑤方法一：根据④求解方法，可得原方程等号左侧最小值为4，而目前值为8，因此将3和-1同时向左或向右移动个单位即可；方法二：根据题意，参考④的方法，分三种情况套路即可．
【详解】
①|2-5|=3，所以2和5之间的距离为3；
②|-3-1|=4，所以-3和1之间的距离为4；
③，所以x和-2之间的距离为|x+2|；
④当第一种情况时，原式=，无最小值
当第二种情况时，原式= ，所以最小值为4
当第三种情况时，原式=，无最小值
所以原式的最小值为4；
⑤方法一：根据④得到|x−3|+|x+1|当时，最小值为4
因为|x−3|+|x+1|=8，所以将3向右移动2个单位或-1向左移动两个单位，此时x到两点的距离和为8，此时x= -1-2= -3，或x=3+2=5
因此x=−3 或5
方法二：当时，得，解得x= -3
当时，得，此时无解
当时，得，解得x=5
故原方程的解为-3或5
故答案为①3；②4；③ |x+2| ；④4；⑤ −3 或5．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，绝对值返程，熟练掌握绝对值的含义是本题的关键，绝对值的几何意义表示两点间的距离．

三、解答题
21．（2020·安徽七年级期中）如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，可以看到终点表示是，已知是数轴上的点，请参照下图并思考，完成下列各题．

（1）如果点表示的数是，将点向右移动个单位长度到点，那么点表示的数是 ；两点间的距离是 ；
（2）如果点表示的数是，将点向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度到点，那么点表示的数是_ _；两点间的距离是 ；
（3）如果点表示的数是m，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到点，那么请你猜想点表示的数是 ；两点间的距离是
【答案】（1）3；4；（2）1；3；（3）；
【分析】
（1）先根据向右移为加，表示出点B，再根据两点间的距离公式列式计算即可；
（2）先根据向右移为加，向左移为减，表示出点B，再根据两点间的距离公式列式计算即可；
（3）①根据向右移为加，向左移为减，表示出点B；
②根据两点间的距离公式列式计算即可；
【详解】
解：（1）如果点A表示的数是-1，将点A向右移动4个单位长度，
那么终点B表示的数是：1+4=3，
B两点间的距离是：|3（1）|=4．
故答案为：3，4；
如果点A表示的数是2，将点A向左移动6个单位长度，再向右移动3个单位长度，
那么终点B表示的数是：26+3=1，
A、B两点间的距离是：2（1）=3．
故答案为：1，3；
（3）①如果点A表示的数m，将点A向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，
那么点B所表示的数是：．
故答案为：；
②A，B两点之间的距离是：．
故答案为：；
【点睛】
本题考查的是列代数式，数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题中的规律是解本题的关键．
22．（2020·江苏七年级月考）如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为24；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为6（单位：cm），由此可得到木棒长为　　　　　 　cm．
（2）图中A点表示的数是 ，B点表示的数是 ．
（3）由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：
问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我已经118岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
【答案】（1）6；（2）12，18；（3）66岁
【分析】
（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），则此木棒长为6cm；
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，计算即可；
（3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看做木棒AB，类似爷爷比小红大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为-38，小红比爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为118，可知爷爷的年龄；
【详解】
解：（1）由数轴观察知三根木棒长是24-6=18（cm），
18÷3=6（cm）
故答案为：6．
（2）根据数轴可知，A点表示的数比6大6，B点表示的数比24小6，
6＋6＝12，24－6＝18．
故答案为12，18．
（3）

如图A表示小红现在的年龄，B表示爷爷现在的年龄，那么两人的年龄差就是
[118-（-38）]÷3=156÷3=52，
则爷爷现在的年龄为118-52=66岁．
【点睛】
此题考查了数轴表示数和有理数混合计算．解题的关键是树立数形结合思想，把爷爷与小红的年龄差看做一个整体（木棒AB），而后把此转化为上一题中的问题，难度适中．
23．（2021·沙坪坝·重庆八中八年级开学考试）阅读下列材料，回答问题：
材料一：在大于1的整数中，除了能被1和本身整除外，还能被其它数（0除外）整除的数，称为合数．
材料二：若一个各个数位上的数字都不为零的四位数，其千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字与十位上的数字相等，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，则称该数为“对称合数”，如2552，6886都是“对称合数”．
（1）最小的“对称合数”为_________，最大的“对称合数”为_________；
（2）若“对称合数”的前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数，求满足条件的所有“对称合数”的个数，并把它们写出来．
【答案】（1）1221，9999；（2）5665、6556．
【分析】
（1）根据“对称合数”的定义即可求解；
（2）根据前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和的范围可得满足条件的完全平方数的范围，再根据规律两位数之和，依此可得是完全平方数的只有121，进一步即可求解．
【详解】
解：（1）∵各个数位上的数字都不为零，且该数前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数都是合数，
∴最小的“对称合数”为1221，最大的“对称合数”为9999．
故答案为：1221，9999；
（2）∵前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和最小为12+21＝33，最大为99+99＝198，
∴满足条件的完全平方数有：36、49、64、81、100、121、144、169、196，
由规律可得两位数之和有33、44、55、66、77、88、99、110、121、132、143、154、165、176、187，是完全平方数的只有121，
而满足前两位数字组成的两位数和后两位数字组成的两位数之和是完全平方数121的只有5665、6556．
【点睛】
本题主要考查质数与合数，理解新定义，得到满足条件的完全平方数只有121是解题的关键．
24．（2020·浙江七年级期末）（阅读理解）求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如：，等，类比有理数的乘方，我们把记作5③，读作“5的圈3次方”， 记作（－8）④，读作“的圈4次方”一般的把记作aⓝ，读作“的圈次方”．
（1）直接写出计算结果：（－6）④＝__________；
[类比探究]有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式：
（2）（）ⓝ_________；（）ⓝ=____________．（且为正整数）；
[实践应用]
（3）计算
①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ（其中）
【答案】（1）；（2）7n-2；an-2；（3）①；②
【分析】
（1）根据所给定义计算即可；
（2）根据所给定义计算即可；
（3）①②根据前两问得到除方的规律，从而分别计算．
【详解】
解：（1）由题意可得：
（－6）÷（－6）÷（－6）÷（－6）
=（－6）×（－）×（－）×（－）
=；
（2）（）ⓝ=÷÷÷... ÷
=×7×7×...×7
=7n-2；
（）ⓝ=÷÷÷...÷
=×a×a×...×a
=an-2；
（3）由题意可得：
有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式等于，
①（－）④×（－4）⑤－（）④÷
=
=
=
=；
②（）②+（）③+（）④+（）⑤+……+（）ⓝ
=
设S=，
则5S=，
5S-S
=4S
=
=
∴S=，
∴原式=．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．
25．（2020·河南七年级期中）（概念学习）
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）④＝　 　；
（2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1ⓝ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为aⓝ＝　 　．
（5）算一算：＝　 　．
【答案】（1），4；（2）C；（3）（﹣）3， 54；（4）（）n﹣2；（5）-2．
【分析】
（1）根据规定运算，直接计算即可；
（2）根据圈n次方的意义，计算判断得结论；
（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；
（4）根据圈n次方的规定和（3）的结果，综合可得结论；
（5）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
【详解】
解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝，
（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2＝4；
故答案为：，4；
（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，
∴3④≠4③．
故选：C．
（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，
（）⑥＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1×5×5×5×5＝54；
故答案为：（﹣）3，54；
（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×××…×＝（）n﹣2．
故答案为：（）n﹣2．
（5）原式＝122÷32×（）4﹣34÷33
＝24×32÷32×（）4﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】
本题考查了新定义运算，综合性较强，认真阅读题目，理解“除方”的意义并结合乘法的意义、有理数的乘除运算进行探究是解题关键．
26．（2021·重庆北碚·七年级期末）阅读下面材料，回答问题
距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：
“世界上最遥远的距离
不是瞬间便无处寻觅
而是尚未相遇
便注定无法相聚”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．
（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB=OB=|b|-|a|=b-a=|a-b|．
（2）当A，B两点都不在原点时，
①如图2，点A，B都在原点的右边，AB=OB-OA=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图3，点A，B都在原点的左边，AB=OB-OA=|b|-|a|=-b-（-a）=a-b=|a-b|；
③如图4，点A，B在原点的两边，AB=OA+OB=|a|+|b|=a+（-b）=a-b=|a-b|．
综上，数轴上A，B两点的距离AB=|a-b|，如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是5．

利用上述结论，回答以下三个问题：
（1）若表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么a=______；
（2）若数轴上表示数a的点位于-5与2之间，则|a+5|+|a-2|的值为_____；
（3）若x表示一个有理数，且|x-1|+|x+3|＞4，求有理数x的取值范围；
（4）若未知数x，y满足（|x-1|+|x+3|）（|y+1|+|y-2|）=12，求代数式x+y的最小值和最大值．
【答案】（1）1或-5；（2）7；（3）x＞1或x＜-3；（4）最大值是5，最小值是0．
【分析】
（1）根据题意得绝对值方程，求解即可；
（2）由题意可得a+5＞0，a-2＜0，去绝对值化简可得结果
（3）分类讨论当x＞1、x＜-3、3≤x≤1，再去绝对值，化简求解即可；
（4）分别得出|x﹣1|+|x﹣3|的最小值为2和|y﹣2|+|y+1|的最小值为3，从而得出x和y的范围，则问题得解．
【详解】
解：（1）|a-（-2）|=3，
所以，a+2=3或a+2=-3，
解得：a=1或a=-5．
故答案为：1或-5；
（2）∵表示数a的点位于-5与2之间，
∴a+5＞0，a-2＜0，
∴|a+5|+|a-2|=（a+5）+[-（a-2）]=a+5-a+2=7．
故答案为：7；
（3）当x＞1时，原式=x-1+x+3=2x+2＞4，解得：x＞1；
当x＜-3时，原式=-x+1-x-3=-2x-2＞4，解得：x＜-3；
当-3≤x≤1时，原式=-x+1+x+3=4，不符合题意，故舍去；
∴有理数x的取值范围是：x＞1或x＜-3；
（4）∵（|x-1|+|x-3|）（|y-2|+|y+1|）=6
又∵|x-1|+|x-3|的最小值为2，|y-2|+|y+1|的最小值为3，
∴1≤x≤3，-1≤y≤2，
∴代数式x+y的最大值是5，最小值是0．
【点睛】
本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键．
27．（2021·渝中·重庆巴蜀中学八年级期末）对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，例如：四位正整数3975，百位数字与十位数字之和是16，个位数字与千位数字之和8，而16是8的两倍，则称四位正整数3975为“希望数”，类似的，四位正整数2934也是“希望数”．
根据题中所给材料，解答以下问题：
（1）请写出最小的“希望数”是________；最大的“希望数”是_______；
（2）对一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，设，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，定义：，求的最大值．
【答案】（1）1020，9990；（2）7．
【分析】
（1）根据题意可知，最小的“希望数”要使千位和百位最小，最大的“希望数”要使千位和百位最大，据此写出答案；
（2）根据题意直接列出满足条件的“希望数m，再根据定义求出即可得出最大值．
【详解】
解：（1）千位数最小为1，最大为9，百位数最小为0，最大为9；根据对于一个四位正整数，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字与千位数字之和的两倍，则称该四位正整数为“希望数”，
可得：出最小的“希望数”是1020；最大的“希望数”是9990；
（2）一个各个数位数字均不超过6的“希望数m，若个位数字是千位数字的2倍，且十位数字和百位数字均是2的倍数，“希望数m”可能是1062；1602；1242；1422；2664．
当=1602时，；
当=1062时，；
当=1242时，；
当=1422时，；
当=2664时，；
故的最大值为7．
【点睛】
本题主要考查阅读材料类题目，属于创新题，同时又包含了大量计算，做此类型题目时，应注意从材料中获取解题方法、掌握定义的本质，同时本题考查了数的大小与数位的关系．