高考数学必刷压轴小题（选择+填空） 专题06 超越不等式（方程） （新高考地区专用）

高考二轮数学复习策略

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。

2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。

3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。

4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。

5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。

6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

专题06   超越不等式（方程）

【方法点拨】

含有指对运算的方程(或不等式)称之为超越方程(或超越不等式),实现解这类方程、不等式，一般是构造函数，利用函数的单调性来解决.

【典型题示例】

例1   （2021·江苏无锡天一·12月八省联考热身卷·7）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】考虑从“形”的角度切入，与已知圆同心且与相切的圆的半径与已知圆的半径之差即为所求

如下图

设该圆与相切的切点为

则由导数的几何意义、圆的切线性质得

即，此为超越方程，应先猜根，易知为其中一个根

设，则，单调递减

故为其唯一的一个根，此时切点为

所以的长度的最小值为，故选A.

例2    已知函数(aR)，其中e为自然对数的底数，若函数的定义域为R，且，求a的取值范围．

【答案】(2，4)

【解析】由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，

所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4．

方法1（讨论单调性）

由f(x)＝，得f'(x)＝．

 ①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．

 ②当0＜a＜2时，

因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，

    所以f(a)＞f(2)，不符题意．

  ③当2＜a＜4时，

因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，

    所以f(a)＜f(2)，满足题意．

  综上，a的取值范围为(2，4)．

       方法2（转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性）

由f(2)＞f(a)，得＞．

 因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞(4－a)．

 设函数g(x)＝(4－x)－e2， 0＜x＜4．

因为g'(x)＝ex·≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．

又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．

所以，a的取值范围为(2，4)．

例3   已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)＜0的x的取值范围为       ．

【答案】

【解析】易得f(1)＝f(e)=0

∵

∴当时，，在单减；当时，，在单增

∴的解集是

令，得，故f(ex)＜0的x的取值范围为．

【巩固训练】

1.已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A.  B.

C.  D.

2. 关于的不等式的解集为___________.

3. 方程的根是___________.

4.已知、分别是方程、的根，则＋的值是          .

5.已知实数x、y满足，则的值是          .

6.不等式的解集是        .

7.方程的根是          .

【答案与提示】

1. 【答案】D

【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

2.【答案】

【提示】设，则，，单增.

3. 【答案】

【解析】设，则，所以单调递增，

因为，所以.

4.【答案】－1

【提示】设，则，单增.

由，得

代入得，即，得＋＝－1.

5.【答案】2020

【提示】两边取自然对数得

设，则易得其为上的单增奇函数

所以，

故.

6.【答案】

【解法一】显然是方程一个根

令，则

故在单增，且

所以不等式的解集是.

【解法二】变形为

设，

而在单减，在单增，且图象均过（1,0）

所以不等式的解集是.

7.【答案】

【分析】利用“同构”构造函数，再利用函数的单调性.

【解析】原方程可化为

设，易得其为上的单增奇函数

所以，即为所求.