2021年黑龙江省绥化市八年级上学期数学期中试卷

这是一份2021年黑龙江省绥化市八年级上学期数学期中试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 八年级上学期数学期中试卷
一、单选题
1.下列二次根式中，最简二次根式是（  ）
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
2.在Rt△ABC中， ，则AB的长是（  ）
A.                                          B. 2                                         C. 1                                         D. 
3.下列计算正确的是（  ）
A. - ＝                                                    B. ÷ ＝
C. 3 +2 ＝5                                                 D. ＝ ×
4.下列说法中，错误的是（  ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 菱形的对角线互相垂直平分
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 正方形的对角线相等
5.如图，▱ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝5，AD＝3，OF＝1.2，则四边形BCEF的周长为（  ）

A. 9.2                                      B. 9.4                                      C. 10.4                                      D. 13.4
6.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中错误的是（  ）
A. 如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B. 如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C. 如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D. 如果 a2＝b2﹣c2 ， 那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（　　）


A. 60°                                      B. 45°                                      C. 30°                                        D. 75°
8.平行四边形 中，若 ，则 的度数为（   ）．
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
9.如图，▱ABCD的对角线 交于点 ，且AC： ：3，那么AC的长为（   ）

A.                                          B.                                          C. 3                                         D. 4
10.如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，则正方形ABCD的面积是（  ）

A. 36                                         B. 45                                         C. 54                                         D. 64
二、填空题
11.把 化为最简二次根式，结果是________.
12.最简二次根式 与 是同类二次根式，则b= ________ ．
13.若a、b、c满足(a-5)2+ + =0，则以a，b，c为边的三角形面积是________.
14.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝7，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是________．

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（ ，0），B（1，1）.若平移点B到点D，使四边形OADB是平行四边形，则点D的坐标是________.

16.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝54°，则∠AEG＝________．

17.实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为________．

18.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则 的周长为________．
19.如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE⊥AC，PF⊥BD，足分别为E，F．若AC＝10，则PE+PF＝________．

20.如图，在矩形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点P是AC上一个动点（点P与点A，C不重合），过点P分别作PE⊥BC于点E，PF∥BC交AB于点F，连接EF，则EF的最小值为________．

21.如图，平行四边形纸片 中， ，将平行四边形纸片 折叠，使点A与点C重合，则下列结论正确的是________.
① ；② ；③ ；④

三、解答题
22.计算：
（1）﹣4 + ÷ ；
（2）（1﹣ ）（1+ ）+（1+ ）2 ．
23.如图，在平行四边形ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

24.如图是一块地，已知AD=4，CD=3，AB=13，BC=12，且CD⊥AD，求这块地的面积.

25.阅读理解：把分母中的根号化去叫做分母有理化，例如：① ＝ ＝ ；② ＝ ＝ ＝ .等运算都是分母有理化，根据上述材料，
（1）化简： ；
（2）+ + +…+ .
26.如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．求证：OM＝ON．

27.如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．求证：四边形ABEF是菱形；

28.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）.求证：CE=CF；
（2）.若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
29.已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．
（1）问题发现：如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；

（2）拓展探究：如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；

（3）解决问题：如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，请你直接写出线段EF的长．


答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、 ，则 不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、 =2，则 不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，本选项符合题意；
D、 ，则 不是最简二次根式，本选项不符合题意.
【分析】最简二次根式满足两个条件：①被开方数中不含分母，②被开方数中不能含有开方开的尽的因数或因式；据此逐一判断即可.
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝2，∠B＝90°，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】直接利用勾股定理计算即可.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：A． 与 ，不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B． ，符合题意；
C． ，故不符合题意；
D． ，故不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减法则、二次根式的乘除法则分别进行计算，然后判断即可.
4.【答案】 C
【解析】【解答】A、平行四边形的对角线互相平分，A不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直平分，B不符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，C符合题意；
D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线相等且互相平分，正方形的对角线相等且互相垂直平分，据此逐一判断即可.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，AD＝BC＝3，
∴∠DCO＝∠BAC；
在△AFO和△CEO中， ，
∴△AFO≌△CEO（ASA），
∴OF＝OE，CE＝AF，
∴四边形BCEF的周长为：BC＋EC＋OE＋OF＋BF＝BC＋AF＋2OF＋BF＝BC＋AB＋2OF＝3＋5＋2×1.2＝10.4；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质得出OA＝OC，AB∥CD，AD＝BC＝3，利用平行线的性质得出∠DCO＝∠BAC，根据ASA可证△AFO≌△CEO，可得OF＝OE，CE＝AF，由四边形BCEF的周长为BC＋EC＋OE＋OF＋BF＝BC＋AF＋2OF＋BF＝BC＋AB＋2OF，据此计算即可.
6.【答案】 D
【解析】【解答】A.如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项不符合题意；
B.如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项不符合题意；
C.如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2 ， 那么△ABC 是直角三角形，选项不符合题意；
D.如果 a2＝b2﹣c2 ， 那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形内角和定理求出最大角，利用直角三角形的定义来验证最大角是否为90°即可，据此判断A、B；根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可，据此判断C、D.
 
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，

∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，
∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CED=60°，
∴∠B=∠CED=30°．
故选：C．
【分析】根据轴对称的性质可知∠CED=∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED=60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
8.【答案】 B
【解析】【解答】在平行四边形 中，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质:邻角互补,对角线相等即可解答
9.【答案】 D
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AC:BD=2:3，
∴OA:OB=2:3，设OA=2m，BO=3m，
∵AC⊥BD，
∴∠BAO=90°，
∴OB2=AB2+OA2 ，
∴9m2=5+2m2 ，
∴m=±1，
∵m>0，
∴m=1，
∴AC=2OA=4.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，由AC： ：3 ，可设OA=2m，BO=3m，根据勾股定理列出方程，解方程求出m的值，即可求出AC的长 .
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图：过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，

则∠AMD＝∠DNC＝90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△AMD和△CND中
，
∴△AMD≌△CND（AAS），
∴AM＝CN，
∵a与b之间的距离是3，b与c之间的距离是6，
∴AM＝CN＝3，DN＝6，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2＝DN2+CN2＝32+62＝45，
即正方形ABCD的面积为45，
故答案为：B．
【分析】如图：过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，根据AAS可证△AMD≌△CND，从而得出AM＝CN＝3，DN＝6，在Rt△DNC中，由勾股定理得DC2＝DN2+CN2＝32+62＝45，根据正方形的面积公式即可求出结论.
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】 .
故答案为： .

【分析】把被开方数的分子与分母同时乘以3，利用二次根式的性质化为最简二次根式即可.
12.【答案】 2
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得： ，
故答案为：2.
【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案．
13.【答案】 30
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132 ，
∴△ABC是直角三角形，.
∴以a，b，c为三边的三角形的面积= .

【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、算术平方根的非负性即已知条件可知a-5=0，b-12=0，c-13=0，分别求出a、b、c的值，利用勾股定理的逆定理判断以a，b，c为边的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积计算公式求出即可.
14.【答案】 24
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE．
∵AD∥BC，
∴∠CED＝∠ADE＝∠CDE，
∴CD＝CE＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝2×（7＋5）＝24．
故答案为：24．
【分析】利用平行四边形的性质，可得AD＝BC＝7，AB＝CD，AD∥BC，由角平分线的定义及平行线的性质得出∠ADE＝∠CDE，∠CED＝∠ADE，由等量代换可得∠CED＝∠CDE，利用等角对等边可得CD＝CE，由于CE＝BC﹣BE＝5，即得CD=5，利用平行四边形ABCD的周长＝2（AD＋CD）即可求出结论.
15.【答案】 （ +1，1）
【解析】【解答】解：∵A（ ，0），
∴OA＝ ，
∵四边形OADB是平行四边形，
∴BD＝OA＝ ，BD∥OA，
∵B（1，1），
∴D（ +1，1），
故答案为：（ +1，1）.
【分析】先确定OA的长，再根据四边形OADB是平行四边形得出BD的长，且BD∥OA，从而根据点B的坐标可得出点D的坐标.
16.【答案】 72°
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE＝54°，
由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝54°，
∴∠DEG＝108°，
∴∠AEG＝180°﹣108°＝72°．
故答案为：72°．
【分析】利用平行线的性质得出∠DEF＝∠GFE＝54°，由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝54°，即得∠DEG＝108°，利用∠AEG＝180°﹣∠DEG计算即得结论.
17.【答案】 -2b
【解析】【解答】解：如图所示： ， ， ，
∴
．
故答案为： ．
【分析】观察数轴可得， ， ， 根据二次根式的性质进行化简，再去括号、合并即得.
18.【答案】 32或42
【解析】【解答】解：当△ABC是钝角三角形时，
∵∠D=90°，AC=13，AD=12，
∴ ,
∵∠D=90°，AB=15，AD=12，
∴ ,
∴BC=BD-CD=9-5=4，
∴△ABC的周长=4+15+13=32；

当△ABC是锐角三角形时，
∵∠ADC=90°，AC=13，AD=12，
∴ ，
∵∠ADB=90°，AB=15，AD=12，
∴ ，
∴BC=BD-CD=9+5=14，
∴△ABC的周长=14+15+13=42；

综上，△ABC的周长是32或42，
故答案为：32或42.
【分析】根据题意画出图形，分两种情况：△ABC是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案
19.【答案】 4
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，连接PO，

∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO=5=BO=DO，
∴S△DCO= S矩形ABCD=10，
∵S△DCO=S△DPO+S△PCO ，
∴10= ×DO×PF+ ×OC×PE
∴20=5PF+5PE
∴PE+PF=4
故答案为：4
【分析】由矩形的性质可得AO=CO=5=BO=DO，由S△DCO=S△DPO+S△PCO ， 可得PE+PF的值．
20.【答案】
【解析】【解答】证明：如图，连接BP．
∵∠B＝∠D＝90°，AD＝3，CD＝4，
∴AC＝5，
∵PE⊥BC于点E，PF∥BC，∠B＝90°，
∴四边形PEBF是矩形；
∴EF＝BP，
由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，
此时，S△ABC＝ BC•AB＝ AC•CP，
即 ×4×3＝ ×5•CP，
解得CP＝ ．
故答案为： ．

【分析】连接BP，利用勾股定理列式求出AC，判断出四边形BFPE是矩形；根据矩形的对角线相等可得EF＝BP，再根据垂线段最短可得BP⊥AC时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
21.【答案】 ②④
【解析】【解答】解：∵将平行四边形纸片 折叠，使点A与点C重合
∴根据翻折的性质可知，
∴ ， ，
∴在 和 中，
∴ ，
∴
∴ （故②正确）
∴ （故③错误）
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ （故④正确）
∵折痕 与对角线 没有重合，
∴对角线 和 不垂直
∴ 不是菱形
∴
∴
∴ （故①错误）.
故答案是：②④
【分析】根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解.
三、解答题
22.【答案】 （1）解：原式＝3 ﹣2 +
＝3 ﹣2 +2
＝3 ；

（2）解：原式＝1﹣3+1+2 +3
＝2+2 ．
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的除法，再将每个二次根式化为最简二次根式，最后合并即可；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式计算，再去括号、合并即可.
23.【答案】 解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD
∵AE=CF
∴DF=EB
∵DF=EB，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形。
【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可进行证明。
24.【答案】 解：连接AC，

∵CD⊥AD
∴∠ADC=90°，
∵AD=4，CD=3，
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，
又∵AC＞0，
∴AC=5，
又∵BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=169，
又∵AB2=169，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴∠ACB=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=30-6=
【解析】【分析】连接AC，利用勾股定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积.
25.【答案】 （1）解：



（2）解： + + +…+
 
＝ .
【解析】【分析】（1）分母有理化即可；（2）先分母有理化，然后合并即可.
26.【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
在△OAM和△OBN中，

∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；
【解析】【分析】利用正方形的性质得出OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，从而得出∠OAM＝∠OBN＝135°， 由∠EOF＝∠AOB＝90°，可得∠AOM＝∠BON，根据ASA可证△OAM≌△OBN，可得  OM＝ON .
27.【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴∠EBF＝∠AFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∵BO⊥AE，
∴∠AOB＝∠EOB＝90°，
∵BO＝BO，
∴△BOA≌△BOE（ASA），
∴AB＝BE，
∴BE＝AF， ，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形；
【解析】【分析】根据平行四边形的性质及BF平分∠ABC，可求出∠ABF＝∠AFB，由等角对等边即得AB＝AF， 然后根据ASA可证△BOA≌△BOE，可得AB＝BE，从而得出BE＝AF，由BE∥AF，利用一组对边平行且相等可证四边形ABEF是平行四边形， 由AB＝AF，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形即证结论.
28.【答案】 （1）证明：在正方形ABCD中，
∵ ，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE=CF

（2）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵ ，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【解析】【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
29.【答案】 （1）EF⊥BC；EF＝ BC
（2）解：如图2，连接AH，

∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC，OH＝HF，
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，
∴AH＝BH＝HC，
∵AE＝OA，OH＝HF，
∴AH∥EF，EF＝2AH，
∵AH∥EF，AH⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵AH＝BH，BC＝2BH，
∴BC＝2AH，
∵EF＝2AH，
∴EF＝BC

（3）解：如图3，连接AH，

∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC＝3，OH＝HF，
又∵AB＝AC＝5，
∴AH⊥BC，
∴根据勾股定理得，AH＝ ＝4，
∵OH＝HF，AE＝AO，
∴EF＝2AH＝8．
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接AH，

∵四边形OBFC是平行四边形，
∴BH＝HC＝ BC，OH＝HF，
又∵△ABC是等边三角形，
∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，
∴AH＝ BH，
∵AE＝OA，OH＝HF，
∴AH∥EF，EF＝2AH，
∵AH∥EF，AH⊥BC，
∴EF⊥BC，
∵EF＝2AH，AH＝ BH，BC＝2BH，
∴EF＝ BC，
故答案为：EF⊥BC，EF＝ BC；
【分析】（1）由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等边三角形的性质可得AH＝ BH，根据三角形中位线定理得出AH∥EF，EF＝2AH，由AH∥EF，AH⊥BC，得出EF⊥BC，由BC＝2BH，从而得出EF＝ BC;
（2）如图2，连接AH，由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等腰直角三角形的性质得出AH＝BH＝HC，根据三角形中位线定理得出AH∥EF，EF＝2AH，由AH∥EF，AH⊥BC，
可得EF⊥BC，继而求出结论即可；
（3） 如图3，连接AH，由平行四边形的性质得出BH＝HC＝ BC，OH＝HF，由等边三角形的性质可得AH⊥BC，由勾股定理求出AH的长，由三角形中位线定理可得EF＝2AH，从而得出结论.