八年级上册13.3 全等三角形的判定习题

13.3全等三角形的判定同步练习冀教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，已知，，点A、D、B、F在同一直线上，要利用“SSS”判定，还需添加的一个条件是   

A.
B.
C.
D. 以上都不对

2. 下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧全等的是

A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙

3. 一定能确定≌的条件是

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

4. 如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是

A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等

5. 要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，，且点A、O、D与点B、O、C分别共线，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

6. 下列关于全等三角形的说法正确的是

A. 全等三角形是指面积相等的两个三角形
B. 全等三角形是指形状相同的两个三角形
C. 所有周长相等的三角形都是全等三角形
D. 全等三角形的对应边和对应角都相等

7. 根据下列已知条件，能唯一画出的是

A. ，，
B. ，
C. ，，
D. ，，

8. 如图，在中，，，E，F，D分别是AB，AC，BC上的点，且，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，，，，结论：；；；≌其中正确的是

A.
B.
C.
D.

10. 利用基本作图，不能作出唯一三角形的是   

A. 已知两边及夹角 B. 已知两角及夹边
C. 已知两边及一边的对角 D. 已知三边

11. 根据下列已知条件，能唯一画出的是

A. ，，
B. ，，
C. ，
D. ，，

12. 如图，，，，则的面积为   

A.  B.  C. 6 D. 8

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，在中，，D，E，F分别在BC，AC，AB上的点，且，，，则的度数是______度．用含的代数式表示
     

14. 如图，点P是的角平分线OC上一点，分别连接AP、BP，添加一个条件就可以判定≌，这个条件是______．
     

15. 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，晓明同学在探究筝形的性质时，得到如下结论：≌；；；其中，正确的结论有______个．
     

16. 如图，已知，，AE的延长线交BC于D，则图中全等的三角形共有______对．
    
    
     

17. 已知：如图，在长方形ABCD中，，延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，和全等．
18. 如图，，，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使与全等，则AG的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，点O为AB的中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆点P为小半圆上任一点不与点A，B重合，连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．
    
    求证：
    写出，和三者间的数量关系，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，与中，AC与BD交于点E，且，．
    求证：．

21. 如图所示，在中，于D，于E，AD与CE交于点F，且．
    求证：≌；
    已知，，求AF的长．
    
     

22. 已知，如图，，，，，求证：≌．

23. 如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在AD、BC上，，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．
    求证：≌；
    连接AF、CE，线段AF与CE是否相等？请说明理由．

24. 如图，点D在AB上，点E在AC上，，，求证：．
    
    
     

25. 如图所示，在和中，，，，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．
    易得：线段BE与CD的数量关系是______；
    的形状是______．
    在图的基础上，将绕点A按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图所小的图形．则中的两个结论是否仍然成立，若成立，请证明；否则，说明理由．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】已知，，要利用“SSS”判定，只需要满足即可，
而当时可得到，故选A．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：在和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和全等；
在和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和全等；
不能判定甲与全等；
故选：B．
根据三角形全等的判定方法，即可得解．
本题考查了三角形全等的判定方法，属于基础题．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：A、根据，，不能推出两三角形全等，故本选项错误；
B、和对应，和对应，即根据，，不能推出两三角形全等，故本选项错误；
C、在和中
，
≌，故本选项正确；
D、根据，，不能推出两三角形全等，故本选项错误；
故选C．
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，4种，看看给出的条件是否符合即可．
本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而符合条件SSA、AAA都不能推出两三角形全等．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：第一种情况，当两个三角形全等时，是相等关系，
第二种情况，如图，，高，
，
在和中，
，
≌，
，
此时，，
是互补关系，
综上所述，这两个三角形的第三条边所对的角的关系是“相等或互补”．
故选：D．
第三边所对的角即为前两边的夹角．分两种情况，一种是两个锐角或两个钝角三角形，另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形．
本题考查全等三角形的判定，应注意的是，两边相等不一定角相等，解题时要多方面考虑．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
连接AB、CD，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】
解：如图，连接AB、CD，

在和中，，
≌，
．
故选：B．  

6.【答案】D
 

【解析】解：A、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，本说法错误；
B、全等三角形是指形状相同、大小相等的两个三角形；本说法错误；
C、所有周长相等的三角形不一定都是全等三角形，本说法错误；
D、全等三角形的对应边和对应角都相等，本说法正确；
故选：D．
根据全等三角形的概念、性质定理和判定定理判断即可．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的概念和判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：A、，
根据，，不能画出三角形，故本选项错误；
B、根据，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
C、根据，，，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；
D、根据，，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
故选：C．
根据三角形的三边关系定理，先看看能否组成三角形，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
故选：B．
由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由“SAS”可证≌，可得，，由外角的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，三角形外角的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：在和中，
，，，
≌，
，，
，即，故选项正确；
在和中，
，，，
≌，
，故选项正确；
在和中，
，，，
≌，故选项正确；
若，则，而不一定为，故错误，
则正确的选项有：，
故选：B．
由，，，利用“AAS”得到与全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到与相等，AB与AC相等，然后在等式两边都减去，得到与相等，然后再由，，，利用“ASA”得到与全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项和正确；然后再，，，利用“ASA”得到与全等，故选项正确；若选项正确，得到与相等，且都为，而不一定为，故错误．
此题考查了全等三角形的性质与判定，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定即可解决问题．
【解答】
解：A、已知两边及其夹角，SAS可以确定三角形，本选项不符合题意．
B、已知两角及夹边，ASA可以确定三角形，本选项不符合题意．
C、已知两边及一边的对角，SSA不能确定三角形，本选项符合题意．
D、已知三边，SSS可以确定三角形，本选项不符合题意．
故选C．  

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
根据三角形的三边关系定理，先看看能否组成三角形，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】 
解：A、， 
根据三角形三边关系，，，不能画出三角形，故本选项错误； 
B、，，不能画出唯一三角形，故本选项错误； 
C、根据，不能画出唯一三角形，故本选项错误； 
D、根据，，，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；  
故选：D．  

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
过D作交BC的延长线于E，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据面积公式即可得到结论．
【解答】

解：过D作交BC的延长线于E，
，
，
，
，
在与中，

≌，
，
．
故选A．  

13.【答案】
 

【解析】解：，
，
在和中，
，
≌

，
，
，
故答案为：
根据已知条件可推出BDF≌，从而可知，则．
本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质及三角形内角和定理；此题能够发现全等三角形，再根据平角的定义和三角形的内角和定理发现再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质进行推导．
 

14.【答案】
 

【解析】解：点P是的角平分线OC上一点，
，
添加，再加上公共边可利用AAS判定≌；
添加，再加上公共边可利用ASA判定≌；
添加可得，再加上公共边可利用ASA判定≌；
添加，再加上公共边不能判定≌；
添加，再加上公共边可利用SAS判定≌；
故答案为：
根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

15.【答案】3
 

【解析】解：在与中，
，
≌，
故正确；
，
在与中，
，
≌，
，，
，
故正确．
故答案是：3．
先证明与全等，再证明与全等即可判断．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明与全等和利用SAS证明与全等．
 

16.【答案】3
 

【解析】解：≌
，，
≌；
≌
≌
，
，

≌；
≌
≌，≌

，


≌
图中全等的三角形共有3对．
在线段AD的两旁猜想所有全等三角形，再利用全等三角形的判断方法进行判定，三对全等三角形是≌，≌，
≌．
本题考查学生观察，猜想全等三角形的能力，同时，也要求会运用全等三角形的几种判断方法进行判断．
 

17.【答案】1或7
 

【解析】解：因为，若，，
根据SAS证得≌，
由题意得：，
所以，
因为，若，，根据SAS证得≌，
由题意得：，
解得．
所以，当t的值为1或7秒时．和全等．
故答案为：1或7．
分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
 

18.【答案】18或70
 

【解析】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况：
情况一：当，时，
，，
，
解得：，
；

情况二：当，时，
，，
，
解得：，
，
综上所述，或．
故答案为：18或70．
设，则，使与全等，由可知，分两种情况：
情况一：当，时，列方程解得t，可得AG；
情况二：当，时，列方程解得t，可得AG．
本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：证明：在和中，

．

理由：

，

，

，

【解析】略
 

20.【答案】解：证明在和中，

，
．
 

【解析】见答案
 

21.【答案】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
≌，

≌，
，
，，
，
．


 

【解析】由ASA证明≌即可；
根据全等三角形的性质即可解决问题；
此题考查了全等三角形的判定与性质的应用，证明三角形全等是解决问题的关键，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
≌．
 

【解析】本题是全等三角形证明的基础题型，在有些条件还需要证明时，应先把它们证出来，再把条件用大括号列出来，根据全等三角形证明的方法判定即可．
由得，再由，证得，再结合已知条件，可利用AAS证得≌．
 

23.【答案】证明：，，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：线段GH与AC互相平分，理由如下：
连接AH、CG，如图所示：

由得：≌，
，
，
四边形AHCG是平行四边形，
线段GH与AC互相平分．
 

【解析】由垂线的性质得出，，根据平行线的性质和对顶角相等得出，由AAS即可证明≌；
连接AH、CG，由全等三角形的性质得出，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；解题的关键是熟练运用全等三角形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定与性质．
 

24.【答案】证明：，，
，即，
在和中，

．
C.
 

【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得对应角相等．由，知，再利用“SAS”证明即可得．
 

25.【答案】  等腰三角形
 

【解析】证明：，
，即，
在和中，
，
≌，
．
≌，
，
，M、N分别为BE、CD的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形．
故答案为，等腰三角形．

解：中的两个结论仍然成立；
理由如下：在和中，
，
≌，
，，
，M、N分别为BE、CD的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形．
证明≌，根据全等三角形的性质得到；
根据全等三角形的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质证明；
仿照的解法证明即可．
本题属于几何变换综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．