2020-2021学年第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示教案设计

1.3.2　空间向量运算的坐标表示

【学习目标】

1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两点间的距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．

【导入】

前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来．那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？

1、空间向量运算的坐标表示

【知识梳理】

设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么

注意点：

(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．

(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．

(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.

(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．

例1　(1)已知a＝(－1,2,1)，b＝(2,0,1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________.

(2)在△ABC中，A(2，－5,3)，＝(4,1,2)，＝(3，－2,5)．

①求顶点B，C的坐标；

②求·；

③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标．

巩固训练1　已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则a＝________，b＝________，a·b＝________.

2、空间向量平行、垂直的坐标表示及应用

【知识梳理】

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有

平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.

注意点：

(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．

(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则＝＝成立的条件是x2y2z2≠0.

例2　(1)已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设＝a，＝b.

①设向量c＝，试判断2a－b与c是否平行？

②若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．

巩固训练2　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.

(1)求证：AF∥平面BDE；

(2)求证：CF⊥平面BDE.

3、夹角和距离的计算

问题　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？

提示　如图，建立空间直角坐标系Oxyz，

设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，

于是||＝

＝

所以P1P2＝||＝，

因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝||＝.

【知识梳理】

设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝.

注意点：

(1)空间两点间的距离公式类似于平面中的两点之间的距离公式，可以类比记忆．

(2)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则||＝.

例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点．

(1)求BM，BN的长．

(2)求△BMN的面积．

巩固训练3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．

(1)求证：EF⊥B1C；

(2)求FH的长；

(3)求EF与C1G所成角的余弦值．

【课堂练习】

1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O为坐标原点，若＝，则点B的坐标应为(　　)

A．(－1,3，－3)   B．(9,1,1)

C．(1，－3,3)   D．(－9，－1，－1)

2．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　)

A．5      B．4      C．3     D．2

3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A．1      B.      C.       D.

4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为________．

【巩固练习】

夯基础

1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b等于(　　)

A．(2，－4,2)   B．(－2,4，－2)

C．(－2,0，－2)   D．(2,1，－3)

2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　)

A.   B.

C.   D.

3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于(　　)

A．3  B．2  C.  D．5

4．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是(　　)

A．等腰三角形   B．等边三角形

C．直角三角形   D．等腰直角三角形

5．空间中点A(3,3,1)关于平面Oxy的对称点A′与B(－1，1,5)的长度为(　　)

6．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)

A．30°  B．60°  C．120°  D．150°

7．如图，将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，的长为，的长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为________．

8．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若＝2，则点P的坐标是________．

9．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求||取最小值时，A，B两点的坐标，并求此时的||.

10．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

(1)求AC与PB所成角的余弦值；

(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．

夯素养

11．已知点A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为(　　)

A.  B.  C.  D.

12．(多选)从点P(1,2,3)出发，沿着向量v＝(－4，－1,8)方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为(　　)

A．(－1，－2,3)   B．(9,4，－13)

C．(－7,0,19)   D．(1，－2，－3)

13．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．

14．已知棱长为a的正四面体ABCD，如图，建立空间直角坐标系，O为A在底面上的射影，M，N分别为线段AB，AD的中点，则M的坐标是________，CN与DM所成角的余弦值为________．

拓展提升

15.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是________，若D1E⊥EC，则AE＝________.

16．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC和△A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°？