人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式精品课后作业题
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2.3.2两点间的距离公式同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 已知点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为
A. 2 B. C. 1 D.
- 两直线和分别过定点A，B，则的值为
A. B. C. D.
- 点到直线的距离的最大值为
A. 1 B. C. D. 2
- 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离，结合上述观点，可得的最小值为
A. B. C. 8 D. 6
- 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
- 直线l经过点，倾斜角为，且交直线于点M，则等于
A. B. C. D.
- 点到直线距离的最大值为
A. 1 B. C. D. 2
- 若点与，则线段OA的长度为
A. B. C. 37 D. 13
- 的最小值为
A. B. C. 4 D. 8
- 已知空间直角坐标系中有一点，点B 是平面xOy内的直线上的动点，则A，B两点间的最短距离是
A. B. C. 3 D.
- 已知空间两点，则间的距离是
A. B. 8 C. 9 D.
- 设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离最大值为
A. B. 4 C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 两直线：和：分别过定点A、B，则 ．
- 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为根据以上性质，函数的最小值为 ．
- 若直线过定点A，直线过定点B，则两点间的距离是 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 若直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点 ，与的距离的最大值是 ．
- 已知，为函数图象上两点，其中已知直线AB的斜率等于2，且，则 ； ．
- 直线l：恒过定点 ，点到直线l的距离的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 入射光线从点射到直线上发生反射，反射光线过点，求：
入射光线与反射光线所在直线的方程．
这条光线从点A到点B所经过的路程．
- 已知三角形ABC的顶点坐标为、、，M是BC边上的中点．
求AB边所在的直线方程；
求中线的长．
- 已知点．
在x轴上求一点P，使得
一条光线从点A射入，经过x轴上点P反射后，反射线通过点B，求点P的坐标．
- 已知直线和直线相交于点A，O是坐标原点，直线经过点A且与OA垂直．
Ⅰ求直线的方程；
Ⅱ若点B在直线上，且，求点B的坐标．
- 如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合．若A轮的直径为，B轮的直径为，C轮的直径为，且试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离精确到．
|
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查恒过定点的直线方程，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，动点轨迹和最值问题．
直线恒过，再由点在动直线的射影为M，得到PM与QM垂直，得到M在以PQ为直径的圆上，由P和Q的坐标，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段MN长度的最小值即为M与圆心A的距离与半径的差，求出即可．
【解答】
解：由于直线恒过，
又点在动直线上的射影为M，
，
在以PQ为直径的圆上，
此圆的圆心A坐标为，即，
半径，
又，，
则．
故选D．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了直线过定点问题，以及两点之间距离公式，属于基础题．
根据直线方程，求出定点坐标，利用两点之间的距离公式求解距离即可．
【解答】
解：直线过定点，
直线可化简为，
，解得：
所以B点坐标为，
所以，
故选C．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线过定点问题以及两点间的距离公式，属于基础题．
求出直线经过的定点A，利用两点之间的距离公式即可得出．
【解答】
解：由得，
直线l是过的一条直线除外．
要想直线l到点的距离最大，直线l与PA直线垂直，垂足为，
，
故选B．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查利用函数的几何意义求函数的最值，考查两点之间的距离公式的运用，属于中档题．
设，由题意得到的几何意义为点到两定点与的距离，求出点关于x轴的对称点为，即要求的最小值，可转化为求的最小值，利用对称思想可知，即可求解．
【解答】
解：设，
则，
的几何意义为点到两定点与的距离之和．
设点关于x轴的对称点为，则的坐标为．
要求的最小值，可转化为求的最小值，
利用对称思想可知，
即的最小值为．
也即的最小值为．
故选B．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有，再利用基本不等式即可得出的最大值．
【解答】
解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有，．
故当且仅当时取“”
故选：B．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线的点斜式方程与两点间的距离公式，小知识点比较多，注意熟记公式，属于中档题．
根据倾斜角求出斜率，列出直线l的点斜式方程，与直线联立求出交点M的坐标，结合两点距离公式求解即可．
【解答】
解：因为直线l倾斜角为，
所以斜率，
因为经过点，
所以直线l方程为：，
即．
与直线交于M，
所以联立方程得：，
所以，
故选B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查定点到过定点的直线的最大距离问题，属于基础题．
根据两点间的距离公式，即可求解．
【解答】
解：因为直线恒过点，
可知：点到直线的最大距离，即为点与两点的距离，
则点到直线距离的最大值为．
故选B．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查两点间的距离公式，属基础题．
根据两点间的距离公式，把点与坐标代入计算即可．
【解答】
解：由两点间的距离公式可得线段OA的长度为：
．
故选D．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了两点的距离公式，函数的最值问题，考查转化求解问题，属于中档题．
将的最小值转化为点，与点，的距离之和，然后进行求解即可得．
【解答】
解：
，
表示平面上点，与点，的距离之和，
所以的最小值是，
故选B．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间中两点间的距离公式、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，属于中档题．
根据空间中两点间的距离公式，将两点间距离的最小值，转化为二次函数的最小值问题；
【解答】
解：点B是平面xOy内的直线上的动点，
可设点，由空间两点之间的距离公式，
得，
令，
当时，t的最小值为，
所以当时，的最小值为，即两点的最短距离是，
故选：B．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了空间中两点间距离的求法，两点间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用两点间的距离公式即可得出．
【解答】
解：．
故选：C．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查两条直线的交点坐标、直线过定点问题、两点间距离公式等，属于中档题．
依题意，联立方程组解出交点，又过定点，P到直线l的距离最大值为，根据两点间距离公式求解即可．
【解答】
解：由得，即，
又，即过定点
P到直线的距离最大值为，
故选A．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线过定点问题，两点间的距离公式，属于基础题．
根据题意，求出两直线所过的定点分别为及，从而得出结果．
【解答】
解：由题意，直线：可化为，
可得直线：过定点，
直线：可化为，
由，解得
所以直线：过定点，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点的距离公式的运用，以及运算能力，属于中档题．
由两点距离公式可得表示点到点，，的距离之和，由新定义可得的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小值．
【解答】
解：由两点间的距离公式得
为点到点，，的距离之和，
即求点到点，，的距离之和的最小值，
取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，
如图，
在等腰三角形AMB中，，
可得，，
容易求得最小值为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线系方程及其应用和两点间的距离公式，属于基础题．
利用直线系方程得点A与B的坐标，再利用两点间的距离公式，计算得结论．
【解答】
解：因为直线过定点，
而直线可变为，
令，解得
因此直线过定点，
所以两点间的距离是．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线过定点问题、两点间的距离公式及点、直线间的对称问题，属于中档题．
直线：经过定点，而点M关于点对称点为，则点在直线上，由此得到答案，再当与同时与MN垂直时，与的距离最大，求解即可．
【解答】
解：直线：经过定点，而点M关于点对称点为，
又直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点，
当与同时与MN垂直时，与的距离最大，
此时与的距离即为MN的距离，
所以
故答案为；．
17.【答案】1
4
【解析】
【分析】
本题考查了过两点的斜率公式、两点间的距离公式等知识，属中档题．
根据题干，设，，代入函数，直线斜率公式以及两点间距离公式，解方程即可求得的值，进而求解．
【解答】
解：，为函数图象上两点，其中．
直线AB的斜率等于2，且，
解得，，，，
，．
故答案为：1，4．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点问题，点到直线距离公式，属于基础题．
直线可化为令可得直线l恒过定点易知当时，点到直线l的距离最大，且最大值为．
【解答】
解：可化为．
令解得
直线l恒过定点．
易知当时，点到直线l的距离最大，
且最大值为．
故答案为，．
19.【答案】解：设点关于直线的对称点，
解得
则，
设直线的解析式为，
则，解得
反射光线所在直线的解析式为，
联立，解得
入射光线所在直线为：，即，
综上可知，入射光线所在直线的方程为，反射光线所在的直线方程为．
，
这条光线从点A到点B经过的路程为．
【解析】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连线被对称轴垂直平分，属于中档题．
先求出点A关于直线l的对称点，可知在反射光线上，利用与B即可求出反射光线所在直线，联立，可求得交点坐标，即可得到入射光线所在直线的方程；
可求光线从A到B所走过的路线长为
20.【答案】解：由题意可得直线AB的斜率，
故直线AB的方程为：，
化为一般式可得：；
由中点坐标公式可得BC的中点，
故A．
【解析】本题考查直线的一般式方程，涉及两点间的距离公式，属基础题．
由题意可得直线AB的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得；
由中点坐标公式可得BC的中点，代入距离公式可得．
21.【答案】解：设，
则有，
，
由，可得，
解得，从而得．
设，
由已知得：，
将代入，
解得：，
．
【解析】本题考查了直线的倾斜角与斜率和两点间的距离公式．
设，由，可得，解出x，即可得出结果；
设，由已知得：，将代入，解出x，即可得出结果．
22.【答案】解：Ⅰ ，
，
所以，
得直线的斜率是，
所以直线的方程：，
即；
Ⅱ设，
由，
得：，
得：或0 ，
所以或．
【解析】本题考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，考查两点间距离公式的应用，是基础题．
Ⅰ联立两直线方程求出交点坐标，由OA的斜率得出直线的斜率，利用点斜式得出直线方程；
Ⅱ设B点坐标，由，求出m，得到B点坐标．
23.【答案】解：根据题意，以A为原点，AB为x轴，建立坐标系，如图：
，则，，
又由，则C在直线上，设，
又由，
则有，
解得：，
则，
即A，C两齿轮的中心距离约为260cm．
【解析】本题考查圆与圆的位置关系，两点间的距离公式相关知识，注意建立合适的坐标系，属于中档题．
根据题意，以A为原点，AB为x轴，分析可得A、B的坐标，进而设，列方程解得t的值，又由，计算即可求得结果．
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