初中3 垂径定理精品同步训练题

3.3垂径定理同步练习北师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，的三个顶点都在上，，，则弦BC的长为   

A.
B. 3
C.
D. 4

2. 如图，已知AB、AC都是的弦，，，垂足分别为M，N，若，则BC等于   

A. 5
B.
C.
D.

3. 如图，P为内的一个定点，A为上的一个动点，射线AP、AO分别与交于B、C两点若的半径为3，，则弦BC的最大值为   

A.
B. 3
C.
D.

4. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作半径为3的，交直线于A、B两点，且弦，则a的值是     

A. 4 B.  C.  D.

5. 如图，AD是的直径，以A为圆心，弦AB为半径画弧交于点C，连结BC交AD于点E，若，，则的半径为     

A.
B. 5
C.
D.

6. 如图，点O为圆心，点C是优弧ACB的中点，弦，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒的速度沿AB方向向点B匀速运动，若，动点F的运动时间为秒，则y与x之间的函数关系式为     

A.
B.
C.
D.

7. 如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，，的中点分别是P，Q，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是以AC，BC为直径的半圆弧的中点，若，，则AB的长是     

A. 17 B. 18 C. 19 D. 20

8. 如图，已知A，B，C，D四点都在上，，，下列四个说法：，其中正确的有    

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

9. 如图，的半径为5，OC垂直弦AB于点C，，则弦AB的长为    

A. 4
B. 5
C. 6
D. 8

10. 已知AB，CD是的两条平行弦，，，的半径为5，则弦AB与CD的距离为    

A. 1 B. 7 C. 4或3 D. 7或1

11. 如图，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则    

A. 5
B. 7
C. 9
D. 11

12. 如图，的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为    

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，AB是的直径，点C是上的一点若，，于点D，则OD的长为          ．
    
     

14. 如图，AB是的弦，已知，，则的半径为          ．
    
     

15. 如图，的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM长的取值范围是          ．
    
     

16. 已知的直径为，AB，CD是的两条弦，，，，则AB与CD之间的距离为          cm．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．

18. 如图，MB，MD是的两条弦，点A，C分别在，上，且，M是的中点．
    求证：；
    过O作于点E，当，时，求的半径．
     

19. 如图1是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，直线型支架的上端A，B与台面下方相连，与圆弧形底座支架EF在C，D处相连接，支架AC与BD所在的直线过的圆心，若，，，AB平行于地面EF，最顶端与AB的距离为2cm．
    求的半径；
    若台面AB与地面EF之间的距离为72cm，求E，F两点之间的距离．
    精确到1cm，参考数据：，

20. 如图，两个圆都是以O为圆心．
    求证：；
    若，，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．
    
     

21. 如图，在中，，于点D，于点E．
    求证：；
    若，，求四边形DOEC的面积．
     

22. 如图，在中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知，．

求证：；

如果的直径为10，，求AE的长．

23. 在中，直径，BC是弦，，点P在BC上，点Q在上，且．
    如图1，当时，求PQ的长度；
    如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

24. 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
    

求拱桥的半径；

有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由；






 

25. 一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB．
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】略
 

2.【答案】C
 

【解析】，，垂足分别为M、N，
、N分别是AB、AC的中点，
是的中位线，
故选C．
 

3.【答案】A
 

【解析】 如图，过点O作于E，
为圆心，，
为的中位线，即．
，，
当E、P重合，即OP垂直于AB时，BC取得最大值，
弦BC的最大值为故选 A．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形的性质、正比例函数图象上点的坐标的特征、勾股定理、垂径定理以及等腰直角三角形的性质作轴于C，交AB于D，作于E，连结先求出D点的坐标为，由垂径定理得出，再由勾股定理求出PE、PD，即可根据求解．
【解答】
解：作轴于C，交AB于D，作于E，连结PB，如图，
 

的圆心坐标是，
，，

把代入，得，
点的坐标为，

，为等腰直角三角形，

易知也为等腰直角三角形，

，
，

在中，，
，

，
，
．
故选B．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理知识点，掌握垂径定理是解题关键．
连结AC、OC，由，得，，再由勾股定理解答即可．
【解答】
解：连结AC、OC，由题意可知，
，
，，
，，
设，
，，
在中，由勾股定理，得，
解得，
故选A．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数关系式、勾股定理以及垂径定理等知识．
由垂径定理可得，，再根据勾股定理可得函数关系式．
【解答】
解：延长CO交AB于G，点C是优弧ACB的中点，
，，
，，
当时，，，
．
故选C．

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了中位线定理、垂径定理的知识，解题的关键是正确作出辅助线连接OP，OQ，根据M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，得到，，从而得到H、I是AC、BC的中点，利用中位线定理得到和，从而利用求解．
【解答】
解：连结OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，

，N分别是以AC，BC为直径的半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
，，H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
，I分别是AC，BC的中点，
又为AB的中点，
，
，，

，

．
故选C．

8.【答案】C
 

【解析】略
 

9.【答案】D
 

【解析】略
 

10.【答案】D
 

【解析】略
 

11.【答案】A
 

【解析】略
 

12.【答案】B
 

【解析】略
 

13.【答案】4
 

【解析】略
 

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】略
 

16.【答案】1或7
 

【解析】略
 

17.【答案】解：过O点作半径于E，如图，
，
在中，，
，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．
 

【解析】过O点作半径于E，如图，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

18.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
，
．

解：如图，连接OM．

，，
，
，，
，
的半径为．
 

【解析】想办法证明即可解决问题．
连接OM，利用勾股定理垂径定理解决问题即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：延长AC交BD于O，作于M交于N，利用EF交OM于K．

，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
的半径为168cm．

连接在中，，
，
，，
，
，
，
 

【解析】延长AC交BD于O，作于M交于N，利用EF交OM于只要证明是等边三角形，即可解决问题；
利用垂径定理，求出FK即可解决问题；
本题考查解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：过O作于H，
，，
，
；
连接OD，OB，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】过O作于H，根据垂径定理即可得到结论；
连接OD，OB，根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．
本题考查了垂径定理．勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】证明：连接OC，
，
，又，，
；
解：，
，
，
，
，
，
的面积，
同理可得，的面积，
四边形DOEC的面积．
 

【解析】连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到，根据角平分线的性质定理证明结论；
根据直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出CD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、勾股定理、直角三角形的性质，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
 

22.【答案】证明见解析；．
 

【解析】分析

欲证明，只需证得．

如图，过O作于点F，作于点G，连接OA、构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．

详解

证明：如图，，

，

，即，

；

如图，过O作于点F，作于点G，连接OA、OC．

则，．

，

．

在与中，

≌，

，

四边形OFEG是正方形，

．

设，则，

在直角中．由勾股定理得到：，解得．

则，即．

点睛

本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系注意中辅助线的作法．

23.【答案】解：连结OQ，如图1，

，，

，
在中，，
，
在中，，，
；
连结OQ，如图2，

在中，，
当OP的长最小时，PQ的长最大，
此时，则，
长的最大值为．

【解析】本题考查了勾股定理，也考查了解直角三角形．
连结OQ，如图1，由，得到，在中，利用正切定义可计算出，然后在中利用勾股定理可计算出；
连结OQ，如图2，在中，根据勾股定理得到，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到，则，所以PQ长的最大值．
 

24.【答案】解：连接OA，如图，

根据题意可得：米，米，

则米，

设这座拱桥所在圆的半径为x米，

则米，米，

在中，

，

则，

解得：

故这座拱桥所在圆的半径为米．
 

货船能顺利通过这座拱桥，理由：

连接OM，如图，

设米，

，

米，

在中，

米，

米，

米米，

货船能顺利通过这座拱桥．

【解析】本题考查的是垂径定理及勾股定理有关知识．

首先连接OA，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理得AD，根据勾股定理易得方程，解方程即可；

连接OM，设米，可求得此时OH高，即可求得的长，比较米，即可得到此时货船能否顺利通过这座拱桥．

25.【答案】解：连接OA，过点O作于点D，

则，
钢珠的直径是10mm，
钢珠的半径是5mm，
钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
，在中，
，
．
 

【解析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作于点D，则，在中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．