2022届新高考数学人教版一轮课件：第七章 第七节　立体几何中的向量方法

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知识点　空间角的求法1．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则(1)线线平行：；线面平行：；面面平行：.
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R
l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0
α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R
(2)线线垂直：；线面垂直：；面面垂直：.
l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R
α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0
2．空间角的求法(1)异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
②如图b，c，n1，n2分别是二面角α­l­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝ ，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．　
|cs〈n1，n2〉|
• 温馨提醒 •利用空间向量法求二面角时易忽视判断二面角大小，从而致误．解题时注意结合图形判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而在下结论时作出正确判断．
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．答案：45°或135°2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为________．
题型一　异面直线所成的角　　合作探究[例]　(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
[解析]　(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以l∥AD，因此l⊥平面PDC.
向量法求异面直线所成角的两种方法及一个注意点(1)两种方法：①基向量法：利用线性运算．②坐标法：利用坐标运算．(2)一个注意点：注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．
[对点训练](2020·高考北京卷)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BB1的中点．(1)求证：BC1∥平面AD1E；(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
[解析]　(1)证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE，因为四边形BB1C1C是矩形，所以点E是BC1的中点，又点D为AB的中点，所以DE是△ABC1的中位线，所以DE∥AC1.因为DE⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.
(2)由AB＝2，AC＝1，∠ABC＝30°，可得AC⊥BC，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz，
　利用平面的法向量求线面角的两个注意点(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cs2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值即为所求．
题型三　二面角　　合作探究
利用法向量求二面角时的两个注意点(1)对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着，不用单独求．(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行判断，以防结论失误．
(2)由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz.
数学运算——利用空间向量求距离
[对点训练]如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．