江西省2022届高考数学一轮复习8.6.1立体几何中的向量方法课件

这是一份江西省2022届高考数学一轮复习8.6.1立体几何中的向量方法课件，共45页。PPT课件主要包含了因为a·c＝4，所以b·c＝－18，所以θ＝30°，求二面角的大小，1两点间的距离，2点到平面的距离，因此l⊥平面PDC，由已知得l∥AD，ABD等内容，欢迎下载使用。

2．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为(　　)A．45° B．135°C．45°或135° D．90°
如图建立空间直角坐标系D－xyz，
设异面直线DE与AC所成的角为θ，
4．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
所以两直线的夹角为60°.
(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10，
即2a·c＋b·c＝－10.
所以〈b，c〉＝120°，
设l与α所成的角为θ，
1．两条异面直线所成角的求法
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cs β|＝_________．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α-­l-­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cs θ|＝|cs〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
4．利用空间向量求距离(供选用)
1．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角．2．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cs〈a，n〉|，不要误记为cs θ＝|cs〈a，n〉|.
所以直线AB1与CD1所成的角为60°.故选C.
以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设直线AB1与CD1所成的角为θ，
又0°＜θ≤90°，所以θ＝60°，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC＝CA＝CC1＝2，则可得A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，
以D为原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0)，
(1)用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的．
[例1] (2020·新高考卷Ⅰ)如图，四棱锥P­-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD. 设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
(1)证明：l⊥平面PDC；
证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.
又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
因此AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，所以AD∥平面PBC.
可取n＝(－1，0，a)．
设PB与平面QCD所成角为θ，
①作，在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；
②证，证明所作的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念；
③求，构造角所在的三角形，利用解三角形的知识求角．
(2021·石家庄模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°.
解：(1)证明：取AD的中点为O，连接PO，BO，BD，如图，因为底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是等边三角形，所以BO⊥AD.又PA＝PD，即△PAD是等腰三角形，所以PO⊥AD.又PO∩BO＝O，所以AD⊥平面PBO，又PB⊂平面PBO，所以AD⊥PB.
设直线PB与平面PDC所成的角为θ，则
[例2] (2020·大同调研)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．
(1)求证：AB∥平面DEG；(2)求二面角C-­DF­-E的余弦值．
因为EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，所以EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥EB，所以EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则E(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)．
(2021·贵阳市适应性考试)如图是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体，平面ABC与半圆柱的下底面共面，且AC⊥BC，P为弧A1B1上(不与A1，B1重合)的动点．
解：(1)证明：在半圆柱中，BB1⊥平面PA1B1，所以BB1⊥PA1.因为A1B1是直径，所以PA1⊥PB1.因为PB1∩BB1＝B1，PB1⊂平面PBB1，BB1⊂平面PBB1，所以PA1⊥平面PBB1.
(2)以C为坐标原点，分别以CB，CA所在直线为x轴，y轴，过C与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系C-­xyz，如图所示．
5.如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.(1)求证：BD⊥平面ACFE；(2)当直线FO与平面BED所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．
解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥AE.又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACFE.所以BD⊥平面ACFE.
本讲内容以几何体为载体，重点考查有关空间的线线角、线面角、二面角与空间的距离的计算问题，这仍会是高考的热点，题型多为解答题的第2问.