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物理必修 第二册1 圆周运动学案设计
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这是一份物理必修 第二册1 圆周运动学案设计，共20页。学案主要包含了线速度，角速度，周期，线速度与角速度的关系等内容，欢迎下载使用。
第六章 圆周运动
1.圆 周 运 动
一、线速度
1．圆周运动：运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。
2．线速度：
(1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。
(2)表达式：v＝ eq \f(Δs,Δt) ，单位为米/秒，符号是m/s。
(3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。
(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt很小时，其物理意义与瞬时速度相同。
3．匀速圆周运动：
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。
(2)性质：变速(选填“匀速”或“变速”)曲线运动。
假设芭蕾舞演员保持如图姿势做匀速圆周运动，她的右手上的某个位置速度变化吗？
提示：因速度的方向变化，故速度变化。
二、角速度
1．定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。
2．表达式：ω＝ eq \f(Δθ,Δt) 。
3．国际单位：弧度每秒，符号rad/s。
4．物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
提醒：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
从上午8：00到晚上20：00钟表上的时针和分针各转多少圈？
提示：时针转1圈，分针转12圈。
三、周期
1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T表示，单位为秒(s)。
2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
3．物理意义：周期和转速都描述物体做圆周运动的快慢。
四、线速度与角速度的关系
1．两者的关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
2．表达式：v＝ωr。
3．公式推导：
某同学学习圆周运动后，总结出以下结论：
①匀速圆周运动是一种匀速运动。
②做匀速圆周运动的物体，相等时间内通过的位移相同。
③线速度越大，角速度一定越大。
④线速度是矢量，周期、转速是标量。
⑤做圆周运动的物体转过的角度越大，其角速度就越大。
⑥当半径一定时，线速度和角速度成正比。
你的判断：正确的结论有④⑥。
1．最近有一款健跑车如图所示，车子没有座垫，骑行者骑行时宛如腾空踏步，既可以短途代步，又可以锻炼。
思考：若骑行者直线骑行时，车轮与地不打滑，前、后轮接触地的边缘部分线速度大小关系如何？
提示：大小相等。
2．如图是一种叫作“指尖陀螺”的玩具，当将陀螺绕中心的轴旋转时，陀螺上的任意两点角速度如何？转速如何？
提示：角速度相等；转速相等。
P25【例题】
如果旋转木马的角速度确定，则其线速度、周期和转速是否确定？
提示：线速度不确定，周期确定，转速确定。
一、描述圆周运动的物理量(物理观念——运动观念)
如图是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时： a、b、c三点角速度有什么关系？a、b、c三点做圆周运动的线速度大小关系如何？
提示：ωa＝ωb＝ωc；va＝vc>vb。
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系：
提醒：弄清哪些物理量不变，运用v＝rω，ω＝ eq \f(2π,T) ，T＝ eq \f(1,f) 等关系式解决问题。
2．各物理量之间关系的分析技巧：
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝ eq \f(2π,T) ＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝ eq \f(1,r) ；ω一定时，v∝r。
说明：在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法。
【典例】某学校开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是( )
A．圆盘转动的转速约为2π r/min
B．圆盘转动的角速度大小约为 eq \f(π,30) rad/s
C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 eq \f(π,3) m/s
D．圆盘转动的频率约为 eq \f(1,4) Hz
【解析】选B。由题意可知，圆盘转一周所需的时间为15×4 s＝60 s，因此周期为60 s，转速为1 r/min，故A错误；由角速度与周期的关系可得ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(2π,60) rad/s＝ eq \f(π,30) rad/s，故B正确；蛋糕边缘的奶油的线速度大小为v＝ωr＝ eq \f(π,300) m/s，故C错误；根据周期和频率的关系可得圆盘转动的频率为f＝ eq \f(1,T) ＝ eq \f(1,60) Hz，故D错误。
1．(多选) 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法中正确的是( )
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．运动轨迹的半径约为1.27 m
D．频率为0.5 Hz
【解析】选B、C、D。由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝ eq \f(2π,T) ＝π rad/s≈3.14 rad/s，故A错误；由线速度与角速度的关系v＝ωr得r＝ eq \f(v,ω) ＝ eq \f(4,π) m≈1.27 m，故C正确；由v＝2πnr得转速n＝ eq \f(v,2πr) ＝ eq \f(4,2π·\f(4,π)) r/s＝0.5 r/s，故B正确；又由频率与周期的关系得f＝ eq \f(1,T) ＝0.5 Hz，故D正确。
2．英国著名科幻作家Arthur C．Clarke在小说《天堂之泉》中，首次向主流科学社会和公众介绍了“太空天梯”的设想。“太空天梯”的主体结构为一根缆绳：一端连接地球赤道，另一端连接地球同步卫星，且缆绳的延长线通过地心。当两货物分别停在天梯的a、b两个位置时，以地心为参考系，下面说法正确的是( )
A.a处的线速度较小 B．b处的线速度较小
C．a处的角速度较大 D．b处的角速度较大
【解析】选A。根据描述，a、b的运转周期相等，所以角速度一样，故C、D错误；因为a处的转动半径小于b处的转动半径，根据v＝ωr，可知a处的线速度小于b处线速度，故B错误，A正确。
【补偿训练】
做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
【解析】(1)依据线速度的定义式v＝ eq \f(Δs,Δt) 可得
v＝ eq \f(Δs,Δt) ＝ eq \f(100,10) m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr可得，ω＝ eq \f(v,r) ＝ eq \f(10,20) rad/s＝0.5 rad/s。
(3)T＝ eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(2π,0.5) s＝4π s。
答案：(1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
二、三种传动方式(科学思维——科学推理)
科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置，在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。
若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮匀速转动时，则小齿轮的角速度与大齿轮角速度的关系如何？
提示：大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，线速度相等，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍。
1．三种传动装置：
2.求解传动问题的思路：
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝ eq \f(1,r) 分析；若角速度大小相等，则根据v∝r分析。
【典例】(多选)如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( )
A.角速度之比为1∶2∶2
B．角速度之比为1∶1∶2
C．线速度大小之比为1∶2∶2
D．线速度大小之比为1∶1∶2
【解析】选A、D。 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等。a、b比较：va＝vb，由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2，b、c比较：ωb＝ωc，所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，故A正确，B错误；由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2，va∶vb∶vc＝1∶1∶2，故D正确，C错误。
解决传动问题需注意
(1)共轴传送的两点间要用含ω的公式来联系，比如：v＝ωr，T＝ eq \f(2π,ω) 等；
(2)皮带、齿轮传动的两点要用含v的公式来联系，比如：ω＝ eq \f(v,r) ，T＝ eq \f(2πr,v) 等。
1.(2021·深圳高一检测)如图所示，地球可以看作一个球体，O点为地球球心，位于长沙的物体A和位于赤道上的物体B，都随地球自转做匀速圆周运动，则( )
A．物体的周期TA＝TB
B．物体的周期TA＞TB
C．物体的线速度大小vA＞vB
D．物体的角速度大小ωA＜ωB
【解析】选A。物体A和B分别静置地面上，共轴转动，周期相同，即TA＝TB，故A正确，B错误；根据v＝rω，B物体的轨道半径较大，因此B物体的线速度较大，即有：vB＞vA，故C错误；由ω＝ eq \f(2π,T) 知角速度相同，即ωA＝ωB，故D错误。
2．如图，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )
A．ω B． eq \f(1,8) ω C． eq \f(9,8) ω D．9ω
【解析】选D。手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，以轮椅主体为参考系，大车轮与小车轮轮缘处的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，故D正确。
三、圆周运动的周期性和多解问题
(科学思维——科学推理)
如图，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动。
为什么观察者感觉扇叶不动？
提示：每经过特定的时间扇叶上每一点就会回到初始位置，所以观察者感觉扇叶不动。
【典例】如图，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。
【解析】小球做平抛运动，在竖直方向上h＝ eq \f(1,2) gt2，则运动时间t＝ eq \r(\f(2h,g)) 。又因为水平位移为R，所以小球的初速度v＝ eq \f(R,t) ＝R· eq \r(\f(g,2h)) ，
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1，2，3…)，其中n为圆盘转动的圈数，
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度ω＝ eq \f(n·2π,t) ＝2nπ eq \r(\f(g,2h)) (n＝1，2，3…)。
答案：R eq \r(\f(g,2h)) 2nπ eq \r(\f(g,2h)) (n＝1，2，3…)
1.如图，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘的距离为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0，(n＝0，1，2，3…)
C．v0＝ω eq \f(d,2)
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2，(n＝0，1，2，3，…)
【解析】选B。依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点时被击中，则A点转动的时间t＝ eq \f(（2n＋1）π,ω) ，平抛的时间t＝ eq \f(L,v0) ，则有 eq \f(L,v0) ＝ eq \f(（2n＋1）π,ω) (n＝0，1，2，3…)，故B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝ eq \f(1,2) gt2，联立有dω2＝
eq \f(1,2) gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3…)，dv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(1,2) L2g，故A、D错误。
2．如图，半径R＝0.4 m的圆盘水平放置，绕竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方h＝0.8 m高处固定一水平轨道PQ，转轴和水平轨道交于O′点。一质量m＝1 kg的小车(可视为质点)，在F＝4 N的水平恒力作用下，从O′左侧x0＝2 m处由静止开始沿轨道向右运动，当小车运动到O′点时，从小车上自由释放一小球，此时圆盘半径OA与x轴重合。规定经过O点水平向右为x轴正方向，小车与轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2。
(1)若小球刚好落到A点(球与盘只碰撞一次)，求小车运动到O′点的速度。
(2)为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大。
【解析】(1)小球离开小车后，由于惯性，将以离开小车时的速度做平抛运动，
h＝ eq \f(1,2) gt2
R＝vt
小车运动到O′点的速度v＝ eq \f(R,t) ＝1 m/s
(2)为使小球刚好落在A点，则小球下落的时间为圆盘转动周期的整数倍，有t＝kT＝ eq \f(2kπ,ω)
其中k＝1，2，3…
即ω＝2kπ eq \r(\f(g,2h)) ＝5kπ rad/s
其中k＝1，2，3…
答案：(1)1 m/s (2)5kπ rad/s，其中k＝1，2，3…
【补偿训练】
水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO′匀速转动，转动的角速度ω＝2.5π rad/s，筒壁上P处有一小圆孔，筒壁很薄，筒的半径R＝2 m；如图所示，当圆孔正上方某高度h处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径，试通过计算求小球恰好落入圆筒小孔时，释放小球的高度h。(空气阻力不计，g取10 m/s2)
【解析】设小球做自由落体运动下落h高度历时为t，则：h＝ eq \f(1,2) gt2
要使小球恰好落入小孔，对于圆筒的运动需满足：2kπ＝ωt，(k＝1、2、3…)
联立以上二式并代入数据，解得释放小球的高度h为：h＝ eq \f(16,5) k2，(k＝1、2、3…)。
答案：h＝ eq \f(16,5) k2，(k＝1、2、3…)
【拓展例题】考查内容：生活中的圆周运动
【典例】如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，脱水筒旋转稳定前，转动越来越快，则在这过程中，下列物理量变小的是( )
A.线速度 B．角速度
C．转速 D．周期
【解析】选D。由题可知，脱水筒转动越来越快，则转速越来越大；由ω＝2πn可知脱水筒的角速度增大；由v＝ωr可知，脱水筒的线速度也增大，故A、B、C项错误；根据T＝ eq \f(2π,ω) ，可知脱水筒的角速度增大，则脱水筒的周期减小，故D项正确。
钟表
钟表是一种计时的装置，也是计量和指示时间的精密仪器。
钟表通常是以内机的大小来区别的。按国际惯例，机芯直径超过80毫米、厚度超过30毫米的为钟；直径37～50毫米、厚度4～6毫米者，称为怀表；直径37毫米以下为手表；直径不大于20毫米或机心面积不大于314平方毫米的，称为女表。
现代钟表的原动力有机械力和电力两种。机械钟表是一种用重锤或弹簧释放的能量为动力，推动一系列齿轮运转，借擒纵调速器调节轮系转速，以指针指示时刻和计量时间的计时器。电子钟表是现代出现的一种用电能为动力，液晶显示数字式和石英指针式的计时器。
1．(水平1)如图，跷跷板转动时，跷跷板上的P、Q两点的角速度大小分别为ωP和ωQ，则( )
A.ωP<ωQ B．ωP>ωQ
C．ωP＝ωQ D．无法比较
【解析】选C。点P、Q绕着同一个点转动，故相同时间转过的角度相等，故角速度大小相等，即ωP＝ωQ，故C正确。
2．(水平2)如图，静止汽车的雨刮器在转动时，雨刮器上的A、B两点绕O点转动的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A.vA＝vB B．vAC．ωA＝ωB D．ωA>ωB
【解析】选C。雨刮器上的A、B两点绕同一点O转动，可知两点的角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝ωr，由rA>rB可知vA>vB，故C正确，A、B、D错误。
3．(水平2)如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为( )
A. eq \f(π,4) rad/s B． eq \f(3π,4) rad/s
C． eq \f(π,6) rad/s D． eq \f(π,12) rad/s
【解析】选D。由题意可知，在3.3 s－0.3 s＝3.0 s的时间内，横杆距离O点0.6 m的点至少要抬高1.6 m－1.0 m＝0.6 m，即横杆至少转过 eq \f(π,4) ，则角速度ω＝ eq \f(θ,t) ＝ eq \f(π,12) rad/s，故选项D正确。
4．(水平2)家用台式计算机上的硬磁盘的磁道和扇区如图所示，某台计算机上的硬磁盘共有9 216个磁道(即9 216个不同半径的同心圆)，每个磁道分成N1＝8 192个扇区(每个扇区为 eq \f(1,8 192) 圆周)，每个扇区可以记录512个字节，电动机使磁盘以n＝7 200 r/min转速匀速转动。磁头在读、写数据时是不动的，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道。求：
(1)磁盘的角速度为多大？(结果可以用π表示)
(2)一个扇区通过磁头所用的时间是多少？(结果保留一位有效数字)
(3)不计磁头转移磁道的时间，计算机1 s内最多可以从一个硬盘面上读取多少个字节？(结果保留三位有效数字)
【解析】(1)电动机使磁盘以n＝7 200 r/min＝120 r/s的转速匀速转动，角速度为ω＝2πn＝2π×120 rad/s＝240π rad/s。
(2)经过一个扇区转过的圆心角为θ＝ eq \f(2π,8 192) ，故经过一个扇区用时为t＝ eq \f(θ,ω) ＝ eq \f(\f(2π,8 192),240π) s≈1×10－6 s。
(3)转速为n＝7 200 r/min＝120 r/s，计算机在1 s内从磁盘面上读取的字节数N＝120×8 192×512(字节)≈5.03×108(字节)。
答案：(1)240π rad/s (2)1×10－6 s (3)5.03×108
【补偿训练】
(多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )
A.P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
【解析】选B、C。由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由图可知，P、Q两点的线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以线速度v＝ωr＝2nπr＝2× eq \f(100,60) ×π× eq \f(0.3,2) m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度vc＝ω·rc＝2× eq \f(100,60) ×π×0.02 m/s＝ eq \f(1,15) π m/s，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝ eq \f(ωz,2π) ＝ eq \f(\f(vz,rz),2π) ＝ eq \f(\f(1,15)π,2π×0.08) r/s＝25 r/min，故D错误。
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装
置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特
点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
转
向
相同
相同
相反
规
律
线速度与半径成正比： eq \f(vA,vB) ＝ eq \f(r,R)
角速度与半径成反比： eq \f(ωA,ωB) ＝ eq \f(r,R) 。周期与半径成正比： eq \f(TA,TB) ＝ eq \f(R,r)
角速度与半径成反比： eq \f(ωA,ωB) ＝ eq \f(r2,r1) 。周期与半径成正比： eq \f(TA,TB) ＝ eq \f(r1,r2)
第六章 圆周运动
1.圆 周 运 动
一、线速度
1．圆周运动：运动轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，称为圆周运动。
2．线速度：
(1)定义：做圆周运动的物体，通过的弧长与所用时间的比值叫作线速度的大小。
(2)表达式：v＝ eq \f(Δs,Δt) ，单位为米/秒，符号是m/s。
(3)方向：线速度是矢量，物体经过圆周上某点时的线速度方向就是圆周上该点的切线方向。
(4)物理意义：线速度是描述物体做圆周运动快慢的物理量，当Δt很小时，其物理意义与瞬时速度相同。
3．匀速圆周运动：
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。
(2)性质：变速(选填“匀速”或“变速”)曲线运动。
假设芭蕾舞演员保持如图姿势做匀速圆周运动，她的右手上的某个位置速度变化吗？
提示：因速度的方向变化，故速度变化。
二、角速度
1．定义：如图所示，物体在Δt时间内由A运动到B。半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度，用符号ω表示。
2．表达式：ω＝ eq \f(Δθ,Δt) 。
3．国际单位：弧度每秒，符号rad/s。
4．物理意义：角速度是描述物体绕圆心转动快慢的物理量。
提醒：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
从上午8：00到晚上20：00钟表上的时针和分针各转多少圈？
提示：时针转1圈，分针转12圈。
三、周期
1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，用T表示，单位为秒(s)。
2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，叫作转速。通常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
3．物理意义：周期和转速都描述物体做圆周运动的快慢。
四、线速度与角速度的关系
1．两者的关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
2．表达式：v＝ωr。
3．公式推导：
某同学学习圆周运动后，总结出以下结论：
①匀速圆周运动是一种匀速运动。
②做匀速圆周运动的物体，相等时间内通过的位移相同。
③线速度越大，角速度一定越大。
④线速度是矢量，周期、转速是标量。
⑤做圆周运动的物体转过的角度越大，其角速度就越大。
⑥当半径一定时，线速度和角速度成正比。
你的判断：正确的结论有④⑥。
1．最近有一款健跑车如图所示，车子没有座垫，骑行者骑行时宛如腾空踏步，既可以短途代步，又可以锻炼。
思考：若骑行者直线骑行时，车轮与地不打滑，前、后轮接触地的边缘部分线速度大小关系如何？
提示：大小相等。
2．如图是一种叫作“指尖陀螺”的玩具，当将陀螺绕中心的轴旋转时，陀螺上的任意两点角速度如何？转速如何？
提示：角速度相等；转速相等。
P25【例题】
如果旋转木马的角速度确定，则其线速度、周期和转速是否确定？
提示：线速度不确定，周期确定，转速确定。
一、描述圆周运动的物理量(物理观念——运动观念)
如图是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时： a、b、c三点角速度有什么关系？a、b、c三点做圆周运动的线速度大小关系如何？
提示：ωa＝ωb＝ωc；va＝vc>vb。
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系：
提醒：弄清哪些物理量不变，运用v＝rω，ω＝ eq \f(2π,T) ，T＝ eq \f(1,f) 等关系式解决问题。
2．各物理量之间关系的分析技巧：
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝ eq \f(2π,T) ＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝ eq \f(1,r) ；ω一定时，v∝r。
说明：在讨论v、ω、r三者的关系时，应采用控制变量法。
【典例】某学校开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是( )
A．圆盘转动的转速约为2π r/min
B．圆盘转动的角速度大小约为 eq \f(π,30) rad/s
C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 eq \f(π,3) m/s
D．圆盘转动的频率约为 eq \f(1,4) Hz
【解析】选B。由题意可知，圆盘转一周所需的时间为15×4 s＝60 s，因此周期为60 s，转速为1 r/min，故A错误；由角速度与周期的关系可得ω＝ eq \f(2π,T) ＝ eq \f(2π,60) rad/s＝ eq \f(π,30) rad/s，故B正确；蛋糕边缘的奶油的线速度大小为v＝ωr＝ eq \f(π,300) m/s，故C错误；根据周期和频率的关系可得圆盘转动的频率为f＝ eq \f(1,T) ＝ eq \f(1,60) Hz，故D错误。
1．(多选) 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，下列说法中正确的是( )
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．运动轨迹的半径约为1.27 m
D．频率为0.5 Hz
【解析】选B、C、D。由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝ eq \f(2π,T) ＝π rad/s≈3.14 rad/s，故A错误；由线速度与角速度的关系v＝ωr得r＝ eq \f(v,ω) ＝ eq \f(4,π) m≈1.27 m，故C正确；由v＝2πnr得转速n＝ eq \f(v,2πr) ＝ eq \f(4,2π·\f(4,π)) r/s＝0.5 r/s，故B正确；又由频率与周期的关系得f＝ eq \f(1,T) ＝0.5 Hz，故D正确。
2．英国著名科幻作家Arthur C．Clarke在小说《天堂之泉》中，首次向主流科学社会和公众介绍了“太空天梯”的设想。“太空天梯”的主体结构为一根缆绳：一端连接地球赤道，另一端连接地球同步卫星，且缆绳的延长线通过地心。当两货物分别停在天梯的a、b两个位置时，以地心为参考系，下面说法正确的是( )
A.a处的线速度较小 B．b处的线速度较小
C．a处的角速度较大 D．b处的角速度较大
【解析】选A。根据描述，a、b的运转周期相等，所以角速度一样，故C、D错误；因为a处的转动半径小于b处的转动半径，根据v＝ωr，可知a处的线速度小于b处线速度，故B错误，A正确。
【补偿训练】
做匀速圆周运动的物体，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)角速度的大小；
(3)周期的大小。
【解析】(1)依据线速度的定义式v＝ eq \f(Δs,Δt) 可得
v＝ eq \f(Δs,Δt) ＝ eq \f(100,10) m/s＝10 m/s。
(2)依据v＝ωr可得，ω＝ eq \f(v,r) ＝ eq \f(10,20) rad/s＝0.5 rad/s。
(3)T＝ eq \f(2π,ω) ＝ eq \f(2π,0.5) s＝4π s。
答案：(1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s
二、三种传动方式(科学思维——科学推理)
科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置，在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。
若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮匀速转动时，则小齿轮的角速度与大齿轮角速度的关系如何？
提示：大齿轮和小齿轮的线速度大小相等，根据v＝ωr可知，线速度相等，大齿轮半径(内径)是小齿轮半径的3倍时，小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍。
1．三种传动装置：
2.求解传动问题的思路：
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝ eq \f(1,r) 分析；若角速度大小相等，则根据v∝r分析。
【典例】(多选)如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB。若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( )
A.角速度之比为1∶2∶2
B．角速度之比为1∶1∶2
C．线速度大小之比为1∶2∶2
D．线速度大小之比为1∶1∶2
【解析】选A、D。 A、B两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B两轮边缘的线速度大小相等，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C两轮的角速度相等。a、b比较：va＝vb，由v＝ωr得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2，b、c比较：ωb＝ωc，所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，故A正确，B错误；由v＝ωr得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2，va∶vb∶vc＝1∶1∶2，故D正确，C错误。
解决传动问题需注意
(1)共轴传送的两点间要用含ω的公式来联系，比如：v＝ωr，T＝ eq \f(2π,ω) 等；
(2)皮带、齿轮传动的两点要用含v的公式来联系，比如：ω＝ eq \f(v,r) ，T＝ eq \f(2πr,v) 等。
1.(2021·深圳高一检测)如图所示，地球可以看作一个球体，O点为地球球心，位于长沙的物体A和位于赤道上的物体B，都随地球自转做匀速圆周运动，则( )
A．物体的周期TA＝TB
B．物体的周期TA＞TB
C．物体的线速度大小vA＞vB
D．物体的角速度大小ωA＜ωB
【解析】选A。物体A和B分别静置地面上，共轴转动，周期相同，即TA＝TB，故A正确，B错误；根据v＝rω，B物体的轨道半径较大，因此B物体的线速度较大，即有：vB＞vA，故C错误；由ω＝ eq \f(2π,T) 知角速度相同，即ωA＝ωB，故D错误。
2．如图，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )
A．ω B． eq \f(1,8) ω C． eq \f(9,8) ω D．9ω
【解析】选D。手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，以轮椅主体为参考系，大车轮与小车轮轮缘处的线速度相等，若小车轮的半径是r，则有v＝ω·9r＝ω′·r，小车轮的角速度为ω′＝9ω，故D正确。
三、圆周运动的周期性和多解问题
(科学思维——科学推理)
如图，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次，风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角。当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动。
为什么观察者感觉扇叶不动？
提示：每经过特定的时间扇叶上每一点就会回到初始位置，所以观察者感觉扇叶不动。
【典例】如图，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω。
【解析】小球做平抛运动，在竖直方向上h＝ eq \f(1,2) gt2，则运动时间t＝ eq \r(\f(2h,g)) 。又因为水平位移为R，所以小球的初速度v＝ eq \f(R,t) ＝R· eq \r(\f(g,2h)) ，
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1，2，3…)，其中n为圆盘转动的圈数，
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度ω＝ eq \f(n·2π,t) ＝2nπ eq \r(\f(g,2h)) (n＝1，2，3…)。
答案：R eq \r(\f(g,2h)) 2nπ eq \r(\f(g,2h)) (n＝1，2，3…)
1.如图，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘的距离为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0，(n＝0，1，2，3…)
C．v0＝ω eq \f(d,2)
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2，(n＝0，1，2，3，…)
【解析】选B。依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点时被击中，则A点转动的时间t＝ eq \f(（2n＋1）π,ω) ，平抛的时间t＝ eq \f(L,v0) ，则有 eq \f(L,v0) ＝ eq \f(（2n＋1）π,ω) (n＝0，1，2，3…)，故B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝ eq \f(1,2) gt2，联立有dω2＝
eq \f(1,2) gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，3…)，dv eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝ eq \f(1,2) L2g，故A、D错误。
2．如图，半径R＝0.4 m的圆盘水平放置，绕竖直轴OO′匀速转动，在圆心O正上方h＝0.8 m高处固定一水平轨道PQ，转轴和水平轨道交于O′点。一质量m＝1 kg的小车(可视为质点)，在F＝4 N的水平恒力作用下，从O′左侧x0＝2 m处由静止开始沿轨道向右运动，当小车运动到O′点时，从小车上自由释放一小球，此时圆盘半径OA与x轴重合。规定经过O点水平向右为x轴正方向，小车与轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2。
(1)若小球刚好落到A点(球与盘只碰撞一次)，求小车运动到O′点的速度。
(2)为使小球刚好落在A点，圆盘转动的角速度应为多大。
【解析】(1)小球离开小车后，由于惯性，将以离开小车时的速度做平抛运动，
h＝ eq \f(1,2) gt2
R＝vt
小车运动到O′点的速度v＝ eq \f(R,t) ＝1 m/s
(2)为使小球刚好落在A点，则小球下落的时间为圆盘转动周期的整数倍，有t＝kT＝ eq \f(2kπ,ω)
其中k＝1，2，3…
即ω＝2kπ eq \r(\f(g,2h)) ＝5kπ rad/s
其中k＝1，2，3…
答案：(1)1 m/s (2)5kπ rad/s，其中k＝1，2，3…
【补偿训练】
水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO′匀速转动，转动的角速度ω＝2.5π rad/s，筒壁上P处有一小圆孔，筒壁很薄，筒的半径R＝2 m；如图所示，当圆孔正上方某高度h处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径，试通过计算求小球恰好落入圆筒小孔时，释放小球的高度h。(空气阻力不计，g取10 m/s2)
【解析】设小球做自由落体运动下落h高度历时为t，则：h＝ eq \f(1,2) gt2
要使小球恰好落入小孔，对于圆筒的运动需满足：2kπ＝ωt，(k＝1、2、3…)
联立以上二式并代入数据，解得释放小球的高度h为：h＝ eq \f(16,5) k2，(k＝1、2、3…)。
答案：h＝ eq \f(16,5) k2，(k＝1、2、3…)
【拓展例题】考查内容：生活中的圆周运动
【典例】如图所示，洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，脱水筒旋转稳定前，转动越来越快，则在这过程中，下列物理量变小的是( )
A.线速度 B．角速度
C．转速 D．周期
【解析】选D。由题可知，脱水筒转动越来越快，则转速越来越大；由ω＝2πn可知脱水筒的角速度增大；由v＝ωr可知，脱水筒的线速度也增大，故A、B、C项错误；根据T＝ eq \f(2π,ω) ，可知脱水筒的角速度增大，则脱水筒的周期减小，故D项正确。
钟表
钟表是一种计时的装置，也是计量和指示时间的精密仪器。
钟表通常是以内机的大小来区别的。按国际惯例，机芯直径超过80毫米、厚度超过30毫米的为钟；直径37～50毫米、厚度4～6毫米者，称为怀表；直径37毫米以下为手表；直径不大于20毫米或机心面积不大于314平方毫米的，称为女表。
现代钟表的原动力有机械力和电力两种。机械钟表是一种用重锤或弹簧释放的能量为动力，推动一系列齿轮运转，借擒纵调速器调节轮系转速，以指针指示时刻和计量时间的计时器。电子钟表是现代出现的一种用电能为动力，液晶显示数字式和石英指针式的计时器。
1．(水平1)如图，跷跷板转动时，跷跷板上的P、Q两点的角速度大小分别为ωP和ωQ，则( )
A.ωP<ωQ B．ωP>ωQ
C．ωP＝ωQ D．无法比较
【解析】选C。点P、Q绕着同一个点转动，故相同时间转过的角度相等，故角速度大小相等，即ωP＝ωQ，故C正确。
2．(水平2)如图，静止汽车的雨刮器在转动时，雨刮器上的A、B两点绕O点转动的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
A.vA＝vB B．vA
【解析】选C。雨刮器上的A、B两点绕同一点O转动，可知两点的角速度相等，即ωA＝ωB，根据v＝ωr，由rA>rB可知vA>vB，故C正确，A、B、D错误。
3．(水平2)如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为( )
A. eq \f(π,4) rad/s B． eq \f(3π,4) rad/s
C． eq \f(π,6) rad/s D． eq \f(π,12) rad/s
【解析】选D。由题意可知，在3.3 s－0.3 s＝3.0 s的时间内，横杆距离O点0.6 m的点至少要抬高1.6 m－1.0 m＝0.6 m，即横杆至少转过 eq \f(π,4) ，则角速度ω＝ eq \f(θ,t) ＝ eq \f(π,12) rad/s，故选项D正确。
4．(水平2)家用台式计算机上的硬磁盘的磁道和扇区如图所示，某台计算机上的硬磁盘共有9 216个磁道(即9 216个不同半径的同心圆)，每个磁道分成N1＝8 192个扇区(每个扇区为 eq \f(1,8 192) 圆周)，每个扇区可以记录512个字节，电动机使磁盘以n＝7 200 r/min转速匀速转动。磁头在读、写数据时是不动的，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道。求：
(1)磁盘的角速度为多大？(结果可以用π表示)
(2)一个扇区通过磁头所用的时间是多少？(结果保留一位有效数字)
(3)不计磁头转移磁道的时间，计算机1 s内最多可以从一个硬盘面上读取多少个字节？(结果保留三位有效数字)
【解析】(1)电动机使磁盘以n＝7 200 r/min＝120 r/s的转速匀速转动，角速度为ω＝2πn＝2π×120 rad/s＝240π rad/s。
(2)经过一个扇区转过的圆心角为θ＝ eq \f(2π,8 192) ，故经过一个扇区用时为t＝ eq \f(θ,ω) ＝ eq \f(\f(2π,8 192),240π) s≈1×10－6 s。
(3)转速为n＝7 200 r/min＝120 r/s，计算机在1 s内从磁盘面上读取的字节数N＝120×8 192×512(字节)≈5.03×108(字节)。
答案：(1)240π rad/s (2)1×10－6 s (3)5.03×108
【补偿训练】
(多选)如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘起电的，其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接如图乙所示，现玻璃盘以100 r/min的转速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是( )
A.P、Q的线速度相同
B．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反
C．P点的线速度大小约为1.6 m/s
D．摇把的转速约为400 r/min
【解析】选B、C。由于线速度的方向沿曲线的切线方向，由图可知，P、Q两点的线速度的方向一定不同，故A错误；若主动轮做顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，所以玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相反，故B正确；玻璃盘的直径是30 cm，转速是100 r/min，所以线速度v＝ωr＝2nπr＝2× eq \f(100,60) ×π× eq \f(0.3,2) m/s＝0.5π m/s≈1.6 m/s，故C正确；从动轮边缘的线速度vc＝ω·rc＝2× eq \f(100,60) ×π×0.02 m/s＝ eq \f(1,15) π m/s，由于主动轮的边缘各点的线速度与从动轮边缘各点的线速度的大小相等，即vz＝vc，所以主动轮的转速nz＝ eq \f(ωz,2π) ＝ eq \f(\f(vz,rz),2π) ＝ eq \f(\f(1,15)π,2π×0.08) r/s＝25 r/min，故D错误。
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
装
置
A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特
点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
转
向
相同
相同
相反
规
律
线速度与半径成正比： eq \f(vA,vB) ＝ eq \f(r,R)
角速度与半径成反比： eq \f(ωA,ωB) ＝ eq \f(r,R) 。周期与半径成正比： eq \f(TA,TB) ＝ eq \f(R,r)
角速度与半径成反比： eq \f(ωA,ωB) ＝ eq \f(r2,r1) 。周期与半径成正比： eq \f(TA,TB) ＝ eq \f(r1,r2)
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