2020-2021学年江西省赣州市高三（上）第五次联考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）第五次联考数学（理）试卷北师大版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设Z=1+i1−i+aa∈R，且|Z|=2，则a=( )
A.±3B.±2C.±1D.±2

2. 据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级．现对甲、乙、丙、丁4人进行封侯，若甲的等级比乙的等级高1级，乙的等级比丙的等级高2级，且在4人中甲的等级不是最高的，则被封为伯的人为( )
A.甲B.乙C.丙D.丁

3. 设Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S1+3S2−S3=0，且a1=1，则a4=( )
A.9B.18C.21D.27

4. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若acsB+bcsA=53ccsC，则sinC−π4的值为( )
A.210B.25C.7210D.225

5. 已知a→，b→为平面向量，条件p：a→⋅2b→−a→=b→⋅2a→−b→，条件q：|a→|=|b→|，则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 已知函数fx=x2+2x−ln11+e|x+1|，则不等式f3x−1>f2的解集为( )
A.−1,1B.−4,2
C.−∞,−1∪1,+∞D.−∞,−4∪2,+∞

7. 将函数y=sin2x−π6的图像向右平移π12个单位，得到函数gx的图像，则下列说法不正确的是( )
A.g5π12=1
B.gx在区间5π12,3π4上单调递减
C.x=−π12是g(x)图像的一条对称轴
D.π8,0是g(x)图像的一个对称中心

8. 下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是( )

A.①②B.③④C.①③D.①④

9. 若实数x，y满足 x+2y−2≤0，x−y+2≥0，x−2y−2≤0， 则Z=2x+3y 的最大值与最小值之和为（ ）
A.12B.−12C.20D.−20

10. 定义在R上的函数y=f(x)满足f(3−x)=f(x)，(x−32)f′(x)<0，若x13，则下列关系正确的是( )
A.f(x1)f(x2)
C.f(x1)=f(x2)D.f(x1)，f(x2)的大小关系不确定

11. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E是AA1的中点，点F是AD上一点， AB=AA1=2，BC=3，AF=1．动点P在上底面A1B1C1D1上，且满足三棱锥P−BEF的体积等于1，则过P且与平面BEF平行的平面截长方体所得的多边形的面积为( )

A.92B.5C.112D.6

12. 已知fx是定义在0,+∞ 上的单调函数，若对任意的x∈0,+∞都有ffx−2x−x=4，且方程fx−a+|ax−a|=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A.[2,+∞）B.4,+∞C.[4,+∞)D.2,4
二、填空题

已知向量a→=1,−1，b→=(λ,12) ，若|a→−2b→|=2 ，则λ=________.

若曲线y=csωx−π3ω>0，关于点π6,0对称，则ω的最小值是________.

已知正项数列an的前n项和为Sn，且an+12−an2−2an+1−2an=0，则S9−9a1的值为________.

如图，在直角梯形ABCD中， AD//BC，∠D=90∘,AC=BC=AB=3，将△ABC沿AC折起，连接BD，得到四面体DABC，若二面角D−AC−B的大小为120∘，则四面体DABC的外接球的表面积为________

三、解答题

已知各项均不为0的数列an的前n项和为Sn,a1=1,a2=13，Sn=Sn−1+an+1+2anan+1,n∈N∗且n≥2.
(1)求数列an的通项公式；

(2)设数列anan+1的前n项和为Tn，求证： Tn<12.

如图，AB→=(6, 1)，BC→=(x, y)，CD→=(−2, −3)，且 BC→ // AD→．

(1)求x与y间的关系；

(2)若 AC→⊥BD→，求x与y的值及四边形ABCD的面积．

已知函数fx=sinx+2π3+3csx+2π3.
(1)判断函数fx的奇偶性；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c， a=tanBtanA=f−π2，求△ABC面积的最大值．

已知f(x)=ex+mex是偶函数．
(1)解不等式f(2x)≥f(x+1)；

(2)记g(x)=ln{(3−a)[f(x)−e−x]+1}−ln3a−2x，若g(x)≤0对任意的x∈[0, +∞)成立，求实数a的取值范围．

如图，在四棱锥P−ABCD中， PD⊥AD,∠BAD=∠ADC=90∘,CD⊥PA，CD=2AB=22,AD=2，E是BC上一点，且BC=3BE.

(1)求证：平面PDE⊥平面PBC；

(2)F是PA的中点，若异面直线DF与PC所成角的余弦值为66，求直线PC与平面PEF所成角的正弦值．

设函数f(x)=e2x−kx−1,k∈R.
1讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性；

2当k>0时，若存在正实数m，使得对∀x∈(0,m)，都有|f(x)|>2x，求实数k的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）第五次联考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
先化简复数，再利用复数的模求解即可.
【解答】
解：∵ Z=1+i1−i+a
=1+i21−i1+i+a
=a+i，
∴ Z=a2+12=2，
解得a=±3.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
由题意进行简单的推理即可得到答案.
【解答】
解：由题意可得：①甲的等级比乙的等级高1级；
②乙的等级比丙的等级高2级；
③甲的等级不是最高的，
可知甲的等级大于乙的等级，乙的等级大于丙的等级，
由③可知，丁的等级最高，
∴ 丁的等级为公，甲的等级为候，乙的等级为伯，丙的等级为男，
∴ 被封为伯的人为乙.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
【解析】
设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，由已知列式求得q，再由等比数列的通项公式求a4．
【解答】
解：设正项等比数列{an}的公比为q(q>0)，
由S1+3S2−S3=0，且a1=1，
得1+3(1+q)−(1+q+q2)=0，
则得q2−2q−3=0，解得q=3，
即a4=a1q3=27．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
利用正弦定理求得csC=35，进而得到sinC=45，再利用两角和与差的三角函数求解即可.
【解答】
解：由题意结合正弦定理可得：
sinAcsB+sinBcsA=53sinCcsC，
即sinA+B=sinC=53sinCcsC，
∵ C∈0,π，sinC≠0，
∴ csC=35，
∴ sinC=45，
∴ sinC−π4=sinCcsπ4−csCsinπ4=210.
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
利用向量的基本运算容易得到p⇔q.
【解答】
解：由a→⋅2b→−a→=b→⋅2a→−b→
⇔2a→⋅b→−a→2=2a→⋅b→−b→2⇔a→2=b→2，
因此p⇔q，所以p是q的充要条件.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
不等式恒成立问题
函数单调性的性质
【解析】
根据二次函数，指数函数，对数函数和复合函数的单调性可判定函数的单调性，从而得得3x−1≥−13x−1>2或3x−1<−13x−1<−4，可得解.
【解答】
解：当x≥−1时，y=x2+2x，y=−ln11+e|x+1|=ln1+ex+1均为增函数，
所以fx在[−1,+∞)为增函数，
当x<−1时，y=x2+2x，y=−ln11+e|x+1|=ln1+ex+1均为减函数，
所以fx在(−∞,−1]为减函数，
所以fx关于x=−1对称，f−4=f(2)，
由f3x−1>f(2)，
得3x−1≥−1，3x−1>2或3x−1<−1，3x−1<−4，
解得：x<−1或x>1.
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的单调性
正弦函数的对称性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将函数 y=sin(2x−π6) 的图像向右平移 π12 个单位，
得到函数g(x)=sin(2x−π3)的图像.
g(x)的单调递减区间是：π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得：5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z，
且区间 [5π12,3π4] 在该范围内，故B正确；
函数g(x)的对称轴为2x−π3=kπ+π2，k∈Z，
解得x=kπ2+5π12，k∈Z，
则x=−π12是g(x)图像的一条对称轴，故C正确；
将x=−5π12代入函数g(x)，得g(5π12)=1 ，故A正确；
函数g(x)的对称中心横坐标为2x−π3=kπ，k∈Z，
解得x=kπ2+π6，k∈Z，
则π8,0不是g(x)图象的一个对称中心，故D错误.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
函数的单调性与导数的关系
【解析】
①中函数的图象从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；
②中函数的图象也是从左向右先减后增再减，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0；所以①②可能正确．
而③中函数的图象从左向右先减后增，对应的导函数是小于0，大于0，再小于0，大于0；
④中函数的图象从左向右先增后减后，对应的导函数也是小于0，大于0，再小于0，大于0；所以③④可能错误．
故选：B．
利用导数与函数之间的关系，函数的递增区间即导函数为正的区间，函数的递减区间即导函数为负的区间，确定出正确答案．
【解答】
解：根据f′(x)>0时，f(x)单调递增；f′(x)<0时，f(x)单调递减可得：
在图①，②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的，即单调性增区间导数大于零，单调减区间的导数小于零；
在③中显示在大于零某个区间两个函数的导数值为负为正，则该区间上的函数图象显示不单调，二者不一致，则③错误；
在④图象上显示在某段区间的导数值总为正数，而相应区间的函数图象却显示减函数，二者矛盾，则④不正确.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
画出约束条件表示的平面区域，利用数形结合，结合目标函数的几何意义，找出最优解是代入目标函数求出最大值和最小值．
【解答】
解：如图，作出可行域
目标函数Z=2x+3y过2,0时达到最大值4，
Z=2x+3y过−6,−4时达到最小值−24，
因此最大值与最小值之和为4−24=−20.
故选D .
10.
【答案】
B
【考点】
函数的单调性与导数的关系
【解析】
由“f(3−x)=f(x)”，知函数图象关于直线x=32对称，再由“(x−32)f′(x)<0”可知：当x>32时，函数是减函数，当x<32时，函数是增函数，最后由“x13”，得知3−x2【解答】
解：∵ f(3−x)=f(x)，
∴ 函数图象关于直线x=32对称，
又∵ (x−32)f′(x)<0，
∴ 当x>32时，函数是减函数；
当x<32时，函数是增函数.
∵ x13，
∴ 3−x2观察图象得：f(x1)>f(x2).
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
【解答】
解：底面ABCD上取一点H，使得三棱锥H−BEF的体积等于1，
即E−BFH的体积等于1，
由已知条件得S△BHF=3=12S下底面，
则得H与C重合，
过C作CM//EF交B1C1于M，
则B1M=13B1C1，
过M作MN//BF交A1D1于N，
则D1N=13A1D1，
连接CN，
则平面CMN//平面BEF，
当点P在MN上运动时，满足三棱锥P−BEF的体积等于1，
取DD1中点T，连CT，NT，
则CN//BE，NT//FF，从而平面CMN截长方体的截面为CMNT，
CM=22，NH=2，MN=CT=5，
四边形CMNT为等腰梯形，面积为92．
故选A．
12.
【答案】
B
【考点】
根的存在性及根的个数判断
【解析】
无
【解答】
解：设fx−2x−x=μ，则fx=2x+x+μ，
由题知fμ=4，得2μ+μ+μ=4，
即μ+2μ−1=0，解得μ=1，
即fx=2x+x+1.
将方程fx−a+|ax−a|=0转化为fx=a−|ax−a|，
令x=t，则x=t2，
有2t+t2+1=a−|at2−a|，t>0．
显然a>0，又a−|at2−a|=2a−at2,t>1，at2,0由y=2t+t2+1，
y=a−|at2−a|(t>0)的图像知2+1+1即a>4．
故选B．
二、填空题
【答案】
12
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
向量模长的计算
【解析】
利用向量的基本运算求得a→−2b→=1−2λ,−2，再根据向量模长的定义列得方程1−2λ2+−22=22，解方程即可.
【解答】
解：因为a→=1,−1，b→=λ,12，
所以a→−2b→=1−2λ,−2，
又因为a→−2b→=2，
所以1−2λ2+−22=22，
解得λ=12.
故答案为：12.
【答案】
5
【考点】
余弦函数的对称性
【解析】
利用余弦函数的对称性得ωπ6−π3=kπ+π2,k∈Z，可得解.
【解答】
解：由题设得csωπ6−π3=0，
解得：ωπ6−π3=kπ+π2，k∈Z，
得：ω=6k+5，k∈Z，ω>0,
当k=0时，ωmin=5.
故答案为：5.
【答案】
72
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
本题为等差数列问题，先求出通项公式，在求出前n项和。
【解答】
解：因为an+12−an2−2an+1−2an=0，
所以an+1+anan+1−an−2=0.
又因为数列an的各项均正数，
所以an+1−an=2，数列an是公差为2的等差数列，
则S9−9a1=9(a1+a9)2−9a1=9(a1+a9)2−18a12
=9×8×22=72.
故答案为：72.
【答案】
13π
【考点】
球的表面积和体积
与二面角有关的立体几何综合题
球内接多面体
【解析】
∵ABCD为直角梯形，AD//BC, ∠D=90∘且AC=BC=AB=3，
∴可知∠ACD=90∘−60∘=30∘，
∴知∠CAD=90∘−30∘=60∘，
∠CAB=60∘，CA=3，
又∵二面角D−AC−B的大小为120∘，
∴四面体DABC的外接球半径即为R=32sin120∘⋅1sin60∘⋅1sin60∘2−1tan60∘⋅1tan60∘+cs120∘2
=3232×132×1322−13×13+−122
=3⋅169−136
=212，
∴ 四面体DABC外接球的表面积为：
S=4πR2=4π⋅214=21π．
故答案为：21π．
【解答】
解：∵ABCD为直角梯形，AD//BC, ∠D=90∘且AC=BC=AB=3，
∴可知∠ACD=90∘−60∘=30∘，
又∵二面角D−AC−B的大小为120∘，
∴四面体DABC的外接球半径为
R=32sin120∘⋅1sin60∘⋅1sin90∘2−ct60∘⋅ct90∘+cs120∘2
=132，
∴ 四面体DABC外接球的表面积为：
S=4πR2=4π⋅134=13π．
故答案为：13π．
三、解答题
【答案】
(1)解：因为Sn=Sn−1+an+1+2anan+1，
所以an=Sn−Sn−1=an+1+2anan+1，
所以an=Sn−Sn−1=an+1+2anan+1，即an−an+1=2anan+1，
等式两边同时除以anan+1，得1an+1−1an=2(n≥2)，
则有1an=1a2+n−2×2=3+n−2×2=2n−1(n≥2)，
又当n=1时，1a1=1也满足上式，
所以1an=2n−1(n∈N∗)，故an=12n−1(n∈N∗)．
(2)证明：Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=11×13+13×15+…+12n−1×12n+1
=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1<12．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：因为Sn=Sn−1+an+1+2anan+1，
所以an=Sn−Sn−1=an+1+2anan+1，
所以an=Sn−Sn−1=an+1+2anan+1，即an−an+1=2anan+1，
等式两边同时除以anan+1，得1an+1−1an=2(n≥2)，
则有1an=1a2+n−2×2=3+n−2×2=2n−1(n≥2)，
又当n=1时，1a1=1也满足上式，
所以1an=2n−1(n∈N∗)，故an=12n−1(n∈N∗)．
(2)证明：Tn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=11×13+13×15+…+12n−1×12n+1
=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1<12．
【答案】
解：(1)∵ AD→=AB→+BC→+CD→=(4+x, y−2)，
∴ 由 BC→ // AD→，得x(y−2)=y(4+x)，
故x+2y=0．
(2)由 AC→=AB→+BC→=(6+x, 1+y)，BD→=(x−2, y−3)．
∵ AC→⊥BD→，∴ (6+x)(x−2)+(1+y)(y−3)=0，又x+2y=0，
∴ x=−6，y=3或 x=2，y=−1，
∴ 当 BC→=(−6, 3)时，AD→=(−2, 1)，
当 BC→=(2, −1)时，AD→=(6, −3)．
故 BC→与AD→同向，
四边形ABCD的面积=12×|AC→|×|DB→|=16.
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
（1）根据向量的加法法则得到AD→=AB→+BC→+CD→=(4+x, y−2)，再根据向量共线的充要条件，即可得出x与y间的关系；
（2）先表示出 AC→=AB→+BC→=(6+x, 1+y)，BD→=(x−2, y−3)．再根据向量垂直的充要条件，即可得出 BC→和AD→的坐标，从而求得四边形ABCD的面积．
【解答】
解：(1)∵ AD→=AB→+BC→+CD→=(4+x, y−2)，
∴ 由 BC→ // AD→，得x(y−2)=y(4+x)，
故x+2y=0．
(2)由 AC→=AB→+BC→=(6+x, 1+y)，BD→=(x−2, y−3)．
∵ AC→⊥BD→，∴ (6+x)(x−2)+(1+y)(y−3)=0，又x+2y=0，
∴ x=−6，y=3或 x=2，y=−1，
∴ 当 BC→=(−6, 3)时，AD→=(−2, 1)，
当 BC→=(2, −1)时，AD→=(6, −3)．
故 BC→与AD→同向，
四边形ABCD的面积=12×|AC→|×|DB→|=16.
【答案】
解：(1)∵ fx=2sinx+2π3+π3=−2sinx，
定义域为R， f−x=−2sin−x=2sinx=−fx,
所以fx是奇函数.
(2)a=tanBtanA=f−π2=2，
∴ csAsinB=2sinAcsB，
ba=sinBsinA,b=2sinBsinA，
sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=3sinAcsB，
S△ABC=12absinC
=12×2×2sinBsinA×3sinAcsB
=6sinBcsB=3sin2B，
故当B=π4时，△ABC的面积最大值为3．
【考点】
函数奇偶性的判断
两角和与差的正弦公式
正弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ fx=2sinx+2π3+π3=−2sinx，
定义域为R， f−x=−2sin−x=2sinx=−fx,
所以fx是奇函数.
(2)a=tanBtanA=f−π2=2，
∴ csAsinB=2sinAcsB，
ba=sinBsinA,b=2sinBsinA，
sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=3sinAcsB，
S△ABC=12absinC
=12×2×2sinBsinA×3sinAcsB
=6sinBcsB=3sin2B，
故当B=π4时，△ABC的面积最大值为3．
【答案】
解：(1)因为f(x)=ex+mex为偶函数，则f(x)=f(−x)对任意实数x恒成立，
即ex+mex=e−x+me−x，可得(m−1)[ex−(1e)x]=0，
对任意实数x均成立，则m=1；
f(x)=ex+1ex，f′(x)=ex−e−x，
当x>0时，f′(x)>0，f(x)在[0, +∞)增函数，
又因为f(x)为偶函数，
所以f(2x)≥f(x+1)⇔f(|2x|)
≥f(|x+1|)⇔|2x|≥|x+1|，
两边平方可得3x2−2x−1≥0，解得x≥1或x≤−13，
故原不等式的解集为(−∞, −13]∪[1, +∞).
(2)g(x)=ln[(3−a)ex+1]−ln3a−2x，问题即为ln[(3−a)ex+1]≤ln3a+2x恒成立，显然a>0，
首先(3−a)ex+1>0，对任意的x∈[0, +∞)成立，
即a<1ex+3，a>0，
因为x∈[0, +∞)，则3<1ex+3≤4，
所以0其次，ln[(3−a)ex+1]≤ln3a+2x，即为(3−a)ex+1≤eln3a+2x，
3ae2x+(a−3)ex−1≥0成立，即(3ex+1)(aex−1)≥0，
因为3ex+1>0，所以aex−1≥0，对于任意x∈[0, +∞)恒成立，
即a≥(1ex)max，而1ex≤1，则a≥1，
综上可得，a的取值范围是[1, 3].
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为f(x)=ex+mex为偶函数，则f(x)=f(−x)对任意实数x恒成立，
即ex+mex=e−x+me−x，可得(m−1)[ex−(1e)x]=0，
对任意实数x均成立，则m=1；
f(x)=ex+1ex，f′(x)=ex−e−x，
当x>0时，f′(x)>0，f(x)在[0, +∞)增函数，
又因为f(x)为偶函数，
所以f(2x)≥f(x+1)⇔f(|2x|)
≥f(|x+1|)⇔|2x|≥|x+1|，
两边平方可得3x2−2x−1≥0，解得x≥1或x≤−13，
故原不等式的解集为(−∞, −13]∪[1, +∞).
(2)g(x)=ln[(3−a)ex+1]−ln3a−2x，问题即为ln[(3−a)ex+1]≤ln3a+2x恒成立，显然a>0，
首先(3−a)ex+1>0，对任意的x∈[0, +∞)成立，
即a<1ex+3，a>0，
因为x∈[0, +∞)，则3<1ex+3≤4，
所以0其次，ln[(3−a)ex+1]≤ln3a+2x，即为(3−a)ex+1≤eln3a+2x，
3ae2x+(a−3)ex−1≥0成立，即(3ex+1)(aex−1)≥0，
因为3ex+1>0，所以aex−1≥0，对于任意x∈[0, +∞)恒成立，
即a≥(1ex)max，而1ex≤1，则a≥1，
综上可得，a的取值范围是[1, 3].
【答案】
(1)证明：∵ ∠ADC=90∘，
∴ CD⊥AD.
∵ CD⊥PA，PA∩AD=A，
∴ CD⊥平面PAD，
∴ CD⊥PD．
∵ PD⊥AD，CD∩AD=D，
∴ PD⊥底面ABCD，
∴ PD⊥BC，
过E作EG⊥CD于G，
∵ CD=2AB=22，AD=2，BC=3BE，
∴ EG=23AD=43，DG=423，CG=223，
∴ DE2+CE2=2EG2+DG2+CG2=8=CD2，
即CE⊥DE.
∵ PD∩DE=D，
∴ BC⊥平面PDE.
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PDE⊥平面PBC．
(2)解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A2,0,0，B2,2,0，C0,22,0，E43,423,0，设P0,0,a，
则F1,0,a2，
∴ DF→=1,0,a2，PC→=0,22,−a，
∵异面直线DF与PC所成角的余弦值为66，
|cs⟨DF→,PC→⟩|=12a21+a4⋅8+a2=66，
解得a2=4，即a=2，
PF→=(1,0,1)，PE→=(43,423,−2)，FC→=(−1,22,−1)
设平面PEF的法向量为n→=x,y,z，
则PE→⋅n→=0，PF→⋅n→=0，
∴ 43x+423y−2z=0，x−z=0，令x=1，则n→=1,24,1，
∴ |cs⟨n→,FC→⟩|=110⋅2+18=28585，
∴直线CF与平面PEF所成角的正弦值为28585．
【考点】
平面与平面垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：∵ ∠ADC=90∘，
∴ CD⊥AD.
∵ CD⊥PA，PA∩AD=A，
∴ CD⊥平面PAD，
∴ CD⊥PD．
∵ PD⊥AD，CD∩AD=D，
∴ PD⊥底面ABCD，
∴ PD⊥BC，
过E作EG⊥CD于G，
∵ CD=2AB=22，AD=2，BC=3BE，
∴ EG=23AD=43，DG=423，CG=223，
∴ DE2+CE2=2EG2+DG2+CG2=8=CD2，
即CE⊥DE.
∵ PD∩DE=D，
∴ BC⊥平面PDE.
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PDE⊥平面PBC．
(2)解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A2,0,0，B2,2,0，C0,22,0，E43,423,0，设P0,0,a，
则F1,0,a2，
∴ DF→=1,0,a2，PC→=0,22,−a，
∵异面直线DF与PC所成角的余弦值为66，
|cs⟨DF→,PC→⟩|=12a21+a4⋅8+a2=66，
解得a2=4，即a=2，
PF→=(1,0,1)，PE→=(43,423,−2)，FC→=(−1,22,−1)
设平面PEF的法向量为n→=x,y,z，
则PE→⋅n→=0，PF→⋅n→=0，
∴ 43x+423y−2z=0，x−z=0，令x=1，则n→=1,24,1，
∴ |cs⟨n→,FC→⟩|=110⋅2+18=28585，
∴直线CF与平面PEF所成角的正弦值为28585．
【答案】
1解：由f(x)=e2x−kx−1，
得f′(x)=2e2x−k，
因为x∈(0,+∞)，
所以2e2x>2，
当k>2时，
由f′(x)=2e2x−k>0，
得x>12lnk2，
即函数f(x)在12lnk2,+∞上单调递增，
由f′(x)<0，
得0即函数f(x)在0,12lnk2上单调递减；
当k≤2，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)①当k>2时，由(1)结合函数f(x)图象知，
∃x0>0，使得对任意x∈0,x0都有f(x)<0，
则由|f(x)|>2x得(k−2)x+1−e2x>0.
设t(x)=(k−2)x+1−e2x，t′(x)=k−2−2e2x，
令t′(x)>0得x<12lnk−22
令t′(x)<0得x>12lnk−22
若2∵0,x0⊆12lnk−22,+∞，
∴t(x)在0,x0上单调递减，注意到t(0)=0，
∴ 对任意x∈0,x0,t(x)<0，不符合题意.
若k>4，则12lnk−22>0，
(0, 12lnk−22)⊆(−∞, 12lnk−22)，
∴ t(x)在(0, 12lnk−22)上单调递增，
∵ t(0)=0，即对任意x∈(0, 12lnk−22)，t(x)>0符合题意，
此时取0可得对任意x∈(0, m)，都有|f(x)|>2x.
②当0则f(x)>f(0)=0，
由|f(x)|>2x得e2x−(k+2)x−1>0，
设φ(x)=e2x−(k+2)x−1，则φ′(x)=2e2x−(k+2)，
由φ′(x)>0得x>12lnk+22>0，
φ′(x)<0得x<12lnk+22
∴φ(x)在0,12lnk+22上单调递减，
注意到φ(0)=0，
∴ 对任意x∈0,12lnk+22，φ(x)<0，不符合题设.
综上所述，k的取值范围为k∈(4,+∞).
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
1解：由f(x)=e2x−kx−1，
得f′(x)=2e2x−k，
因为x∈(0,+∞)，
所以2e2x>2，
当k>2时，
由f′(x)=2e2x−k>0，
得x>12lnk2，
即函数f(x)在12lnk2,+∞上单调递增，
由f′(x)<0，
得0即函数f(x)在0,12lnk2上单调递减；
当k≤2，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)①当k>2时，由(1)结合函数f(x)图象知，
∃x0>0，使得对任意x∈0,x0都有f(x)<0，
则由|f(x)|>2x得(k−2)x+1−e2x>0.
设t(x)=(k−2)x+1−e2x，t′(x)=k−2−2e2x，
令t′(x)>0得x<12lnk−22
令t′(x)<0得x>12lnk−22
若2∵0,x0⊆12lnk−22,+∞，
∴t(x)在0,x0上单调递减，注意到t(0)=0，
∴ 对任意x∈0,x0,t(x)<0，不符合题意.
若k>4，则12lnk−22>0，
(0, 12lnk−22)⊆(−∞, 12lnk−22)，
∴ t(x)在(0, 12lnk−22)上单调递增，
∵ t(0)=0，即对任意x∈(0, 12lnk−22)，t(x)>0符合题意，
此时取0可得对任意x∈(0, m)，都有|f(x)|>2x.
②当0则f(x)>f(0)=0，
由|f(x)|>2x得e2x−(k+2)x−1>0，
设φ(x)=e2x−(k+2)x−1，则φ′(x)=2e2x−(k+2)，
由φ′(x)>0得x>12lnk+22>0，
φ′(x)<0得x<12lnk+22
∴φ(x)在0,12lnk+22上单调递减，
注意到φ(0)=0，
∴ 对任意x∈0,12lnk+22，φ(x)<0，不符合题设.
综上所述，k的取值范围为k∈(4,+∞).