2020-2021学年江西省赣州市高三（上）10月月考数学（理）_试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）10月月考数学（理）_试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={x|lg2x≤1}，B={x|x2+5x−6≤0}，则A∩B=( )
A.0,1B.(0,1]C.−6,1D.−6,2

2. 命题“∀x∈R ，|x|>0”的否定是( )
A.∀x∈R，|x|≤0B.∀x∈R，|x|<0C.∃x∈R，|x|<0D.∃x∈R，|x|≤0

3. 已知a=lg72，b=lg0.70.3，c=0.70.3，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
4. 已知平面向量a→=2,m，b→=1,−2，且|2a→−b→|=|2a→+b→|，则|a→+b→|=( )
A.1B.2C.3D.4

5. 若动点A，B分别在直线l1:x+y−6=0和l2:x+y−2=0上，则AB的中点M到坐标原点的距离的最小值为( )
A.2B.22C.32D.42

6. “关于x的不等式mx2−4mx+2m+8>0的解集为R”是“0≤m<4”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7. 函数fx=2x+2−xlnx2+1−x的图象大致为( )
A.B.
C.D.

8. 若x>0，y>0，且x+4y=7，则1x+1+1y的最小值为( )
A.2B.98C.94D.32

9. 已知函数fx=sinωxcsωx−3sin2ωx+32ω>0，若将函数fx的图象平移后能与函数y=sin2x的图象完全重合，则下列说法不正确的是( )
A.函数fx的最小正周期为π
B.将函数fx的图象向左平移π12个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称
C.当x∈−π4,π4时，函数fx的值域为(12,1]
D.当函数fx取得最值时，x=π12+kπ2k∈Z

10. 如图，为测量一座古塔的高度，工作人员从与塔底同一水平面的A点测得塔顶C的仰角为15∘，然后从A出发朝古塔方向走了30米后到达B处，并测得此时的仰角为45∘，则此古塔的高度为( )

A.153米B.153−1米C.153−3米D.153−1米

11. 在△ABC中，点P满足BP→=4PC→，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N．若AM→=λAB→，AN→=μAC→λ>0,μ>0，则λμ的最小值为( )

A.1625B.1825C.2516D.2518

12. 设函数fx=ex−e−x2+sinx，不等式fa−xex+flnx+x+1≤0对x>0恒成立，则实数a的最大值为( )
A.e−1B.1C.e−2D.0
二、填空题

若x，y满足约束条件x−y+3≥0,x−2≤0,x+y−1≥0,则z=−2x+y的最大值为________.

若sinα+π6=23，则sin2α−π6=________.

若函数fx=1x−3x+alnx在0,+∞上单调递减，则实数a的取值范围是________.

若P为直线x−y+4=0上一个动点，从点P引圆C:x2+y2−4x=0的两条切线PM，PN（切点为M，N），则|MN|的最小值是________.
三、解答题

设数列an的前n项和为Sn，且an=Sn+12.
(1)求数列an的通项公式；

(2)设2an=bnn+1，求数列bn的前n项和Tn.

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且csB=2a−b2c.
(1)求C；

(2)若2c+b=2a，b=4，求△ABC的面积．

已知向量a→=csx,csx+sinx，b→=3sinx,12csx−12sinx，且fx=a→⋅b→.
(1)求函数fx的解析式及单调递增区间；

(2)若α为锐角，且fα=13，求cs2α的值．

已知函数fx是定义在R上的偶函数，且fx−2+f−x=0.
(1)证明：函数fx是周期函数；

(2)当x∈0,2时，fx=1−x.若gx=fx−a|x|恰有14个零点，求实数a的取值范围．

已知函数fx=x3+mx2+m−1x+1在x=−1处取得极值．
(1)求m的值；

(2)若过1,t可作曲线y=fx的三条切线，求实数t的取值范围．

已知函数fx=alnx+12x2+bx.
(1)当b=0时，讨论函数fx的单调性；

(2)若函数fx的极大值小于−b，证明：a+b≤e42.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）10月月考数学（理） 试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：因为集合A={x|lg2x≤1}=x|0集合B={x|x2+5x−6≤0}=x|−6≤x≤1，
所以A∩B=x|0故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
无
【解答】
解：因为全称命题的否定是特定命题，
所以“∀x∈R ，|x|>0”的否定是
∃x∈R，|x|≤0.
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：∵a=lg72b=lg0.70.3>，
0.71∴ a故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
向量的模
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】

【解答】
解：因为|2a→−b→|=|2a→+b→|，
所以a→⋅b→=2−2m=0，
则m=2．
因为a→+b→=(3,0)，
所以|a→+b→|=32+02=3．
故选C．
5.
【答案】
B
【考点】
两条平行直线间的距离
点到直线的距离公式
【解析】
无
【解答】
解：依题意知，M的集合为与直线l1和l2距离都相等的直线，
则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
设点M所在直线的方程为l：x+y+m=0，
由|m+6|2|=|m+2|2，得|m+6|=|m+2|，
所以m=−4，
即l：x+y−4=0，
所以M到原点的距离的最小值为|4|2=22．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】

【解答】
解：当m=0时，8>0恒成立，符合题意；
当m≠0时，由m>0,Δ=−4m2−4m2m+8<0,
解得0综上可知，“关于x的不等式mx2−4mx+2m+8>0的解集为R”的充要条件为“0≤m<4”．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：因为fx的定义域为R，
且f−x=2−x+2xlnx2+1+x=−2x+2−xlnx2+1−x，
所以fx为奇函数，故排除选项B，D．
因为 f1=52ln2−1<0 ，
所以排除选项A.
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】

【解答】
解：由x+4y=7，可知x+1+4y=8，
所以1x+1+1y
=181x+1+1y(x+1)+4y
=184yx+1+x+1y+5
≥1824yx+1⋅x+1y+5=98，
当且仅当x+4y=7,4yx+1=x+1y,即x=53,y=43时，等号成立．
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的定义域和值域
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
由题意得，fx=sinωxcsωx−3sin2ωx+32=12sin2ωx+3(1−2sin2ωx)2=12sin2ωx+32cs2ωxsin2ωx+π3．因为函数fx的图象平移后能与函数y=sin2x的图象完全重合，所以ω=1 .
因为f(x)=sin2+π3．所以函数f(x)的最小止周期T=2π2=π，故A正确 .
将fx的图象向左平移π12个单位长度，得到曲线y=sin2x+π2+π3=sin2x+π2=cs2x，其图象关于y轴对际，故 B正确．当x∈−π4,π4时，2x+π3∈−π6,5π6,sin2x+π3∈12,1，即f(x)的值域为12,1，故C错误．令2x+π3−π2+kπk∈Z，解得x=π2+kπ2(k∈Z)．所以当fx取得最值时，x=π12+kπ2(k∈Z)，故D正确．
故选：C .
【解答】
解：由题意得，fx=sinωxcsωx−3sin2ωx+32
=12sin2ωx+3(1−2sin2ωx)2
=12sin2ωx+32cs2ωx
=sin2ωx+π3．
因为函数fx的图象平移后能与函数y=sin2x的图象完全重合，
所以ω=1 ，
即f(x)=sin2x+π3，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，故A正确；
将fx的图象向左平移π12个单位长度，
得到曲线y=sin2x+π12+π3=sin2x+π2=cs2x，
其图象关于y轴对称，故 B正确；
当x∈−π4,π4时，2x+π3∈−π6,5π6，
则sin2x+π3∈−12,1，
即f(x)的值域为−12,1，故C错误；
令2x+π3=π2+kπk∈Z，
解得x=π12+kπ2(k∈Z)，
所以当fx取得最值时，x=π12+kπ2(k∈Z)，故D正确．
故选C .
10.
【答案】
D
【考点】
解三角形的实际应用
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：设古塔高度为ℎ米.
由题意可得，∠ACB=30∘，BC=2ℎ.
又AB=30，
由正弦定理得ABsin30∘=BCsin15∘，
∴ ℎ=302⋅sin15∘．
∵ sin15∘=sin45∘−30∘=6−24，
∴ ℎ=153−1米．
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ BP→=4PC→，
∴ AP→−AB→=4AC→−AP→，
即AP→=15AB→+45AC→．
∵ AM→=λAB→，AN→=μAC→（λ>0，μ>0），
∴ AB→=1λAM→，AC→=1μAN→，
∴ AP→=15λAM→+45μAN→．
∵ M，P，N三点共线，
∴ 15λ+45μ=1≥215λ⋅45μ，即λμ≥1625，
当且仅当15λ=45μ，即μ=85，λ=25时，等号成立．
故选A．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为f−x=e−x−ex2−sinx，
所以−fx=f−x，
所以fx为R上的奇函数．
因为f′x=ex+e−x2+csx
≥12×2ex⋅e−x+csx=1+csx≥0，
所以fx在R上单调递增．
因为不等式fa−xex+flnx+x+1≤0
可转化为flnx+x+1≤fxex−a，
所以lnx+x+1≤xex−a，
即a≤xex−lnx−x−1对x>0恒成立．
令gx=xex−lnx−x−1，
则gx=elnxex−lnx−x−1=elnx+x−lnx+x−1.
设lnx+x=t，
令ℎt=et−t−1，则ℎ′t=et−1．
当t>0时，ℎ′t>0，ℎt在0,+∞上单调递增；
当t<0时，ℎ′t<0，ℎt在−∞,0上单调递减，
所以当t=0时，ℎtmin=ℎ0=e0−0−1=0，
即ℎt≥0，所以gx≥0，
且当lnx+x=0时，gx取最小值0，
故a≤0，即实数a的最大值为0．
故选D．
二、填空题
【答案】
4
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】
解：作出可行域如图所示：
联立x+y−1=0，x−y+3=0，
解得A(−1, 2)，
化z=−2x+y为y=2x+z，
由图可知，当直线y=2x+z过A(−1, 2)时，直线在y轴上的截距最大，
所以z有最大值为−2×(−1)+2=4．
故答案为：4．
【答案】
−19
【考点】
二倍角的余弦公式
诱导公式
【解析】
无
【解答】
解：∵ sinα+π6=23 ，
∴ cs2α+π3=1−2sin2α+π6=19．
∵ 2a+π3=π2+2α−π6，
∴ sin(2α−π6)=sin(2α+π3)−π2
=−cs(2α+π3)=−19.
故答案为：−19．
【答案】
(−∞,23]
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数的单调性及单调区间
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】

【解答】
解：因为fx在0,+∞上单调递减，
所以f′x=−3−1x2+ax≤0在0,+∞上恒成立，
即a≤3x+1x在0,+∞上恒成立．
因为3x+1x≥23（当且仅当x=33时等号成立），
所以a≤23．
故答案为：(−∞,23].
【答案】
473
【考点】
二倍角的余弦公式
余弦定理
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，
由题可知圆C的圆心为C2,0，半径r=2，
要使|MN|的长度最小，
即要使∠MCN最小，则∠MCP最小.
因为tan∠MCP=|PM|r=|PM|2，
所以当|PM|最小时，|MN|最小．
因为|PM|=|PC|2−4，
所以当|PC|最小时，|MN|最小．
因为|PC|min=61+1=32，
所以cs∠MCP=232=23，
cs∠MCN=2cs2∠MCP−1=−59，
所以|MN|min=22+22−2×2×2×−59=473．
故答案为：473.
三、解答题
【答案】
解：(1)当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1.
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an−1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 .
(2)由题知，bn=(n+1)2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=−n⋅2n+1 ，
所以Tn=n⋅2n+1 .
【考点】
数列的求和
数列递推式
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
等比数列
【解析】
（1）当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1，
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an+1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an+1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为an=2n−1 .
（2）由题知，bn=(n+1))2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=−2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1，
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=n⋅2n+1 .
所以Tn=−n⋅2n+1 .
【解答】
解：(1)当n=1时，a1=S1+12，解得a1=1.
因为Sn=2an−1，①
所以当n≥2时，Sn−1=2an−1−1，②
①−②得，Sn−Sn−1=2an−2an−1 ，
所以an=2an−1，
故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
其通项公式为an=2n−1 .
(2)由题知，bn=(n+1)2n，
所以Tn= 2×21+3×22+4×23+⋯+n+12n，③
2Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n+12n+1，④
③−④得，−Tn=2+(21+22+23+⋯+2n)−(n+1)2n+1
=2+2×(1−2n)1−2−(n+1)2n+1
=−n⋅2n+1 ，
所以Tn=n⋅2n+1 .
【答案】
解：(1)由余弦定理及csB=2a−b2c，
得a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12.
因为0所以C=π3．
(2)由正弦定理及2c+b=2a，
可得2sinC+sinB=2sinA，
即2sinπ3+sinπ3+A=2sinA，
展开得32sinA−32csA=62，
整理得sinA−π6=22．
因为0则−π6所以A−π6=π4，即A=5π12．
因为C=π3，所以B=π4．
因为b=4，
所以c=bsinCsinB=26 ．
因为sinA=sinπ6+π4=6+24，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=6+23．
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)由余弦定理及csB=2a−b2c，
得a2+b2−c2=ab，
所以csC=a2+b2−c22ab=12.
因为0所以C=π3．
(2)由正弦定理及2c+b=2a，
可得2sinC+sinB=2sinA，
即2sinπ3+sinπ3+A=2sinA，
展开得32sinA−32csA=62，
整理得sinA−π6=22．
因为0则−π6所以A−π6=π4，即A=5π12．
因为C=π3，所以B=π4．
因为b=4，
所以c=bsinCsinB=26 ．
因为sinA=sinπ6+π4=6+24，
所以△ABC的面积S=12bcsinA=6+23．
【答案】
解 ：(1)fx=a→⋅b→
=3csxsinx+12csx+sinxcsx−sinx
=32sin2x+12cs2x=sin2x+π6．
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以函数fx的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπk∈Z．
(2)因为α为锐角，
所以2α+π6∈π6,7π6．
又因为0所以2α+π6∈π2,π，
所以cs2α+π6=−223，
所以cs2α=cs2α+π6−π6
=cs2α+π6csπ6+sin2α+π6sinπ6
=−223×32+13×12=1−266.
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
两角和与差的余弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
平面向量数量积的运算
正弦函数的单调性
【解析】
无
【解答】
解 ：(1)fx=a→⋅b→
=3csxsinx+12csx+sinxcsx−sinx
=32sin2x+12cs2x=sin2x+π6．
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
所以函数fx的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπk∈Z．
(2)因为α为锐角，
所以2α+π6∈π6,7π6．
又因为0所以2α+π6∈π2,π，
所以cs2α+π6=−223，
所以cs2α=cs2α+π6−π6
=cs2α+π6csπ6+sin2α+π6sinπ6
=−223×32+13×12=1−266.
【答案】
(1)证明：因为f(x)是R上的偶函数，
所以f(−x)=f(x).
因为f(x−2)+f(−x)=0，
所以f(−x)=f(x)=−f(x−2)，
则f(x+2)=−f(x)，
所以f(x+2)=f(x−2)，
所以f(x)=f(x+4)，
故函数f(x)是周期函数，且周期为4．
(2)解：当x∈[−2,0]时，x+2∈[0,2]，
则f(x+2)=1−(x+2)=−1−x，
由(1)知f(x)=−f(x+2)，
所以f(x)=x+1，
即当x∈[−2,0]时，f(x)=x+1.
因为函数g(x)的零点个数就是函数f(x)的图象与函数y=a|x|的图象交点的个数，
且函数f(x)与函数y=a|x|均为偶函数，
所以当x>0时，g(x)恰有7个零点，
即当x>0时，函数f(x)的图象与函数y=ax的图象有7个交点，
结合图象可知，
当a>0时，12a<1<16a，解得116当a<0时，14a=−1，解得a=−114，
综上可知，实数a的取值范围是(116,112)∪{−114}．
【考点】
函数的周期性
函数的零点与方程根的关系
【解析】


【解答】
(1)证明：因为f(x)是R上的偶函数，
所以f(−x)=f(x).
因为f(x−2)+f(−x)=0，
所以f(−x)=f(x)=−f(x−2)，
则f(x+2)=−f(x)，
所以f(x+2)=f(x−2)，
所以f(x)=f(x+4)，
故函数f(x)是周期函数，且周期为4．
(2)解：当x∈[−2,0]时，x+2∈[0,2]，
则f(x+2)=1−(x+2)=−1−x，
由(1)知f(x)=−f(x+2)，
所以f(x)=x+1，
即当x∈[−2,0]时，f(x)=x+1.
因为函数g(x)的零点个数就是函数f(x)的图象与函数y=a|x|的图象交点的个数，
且函数f(x)与函数y=a|x|均为偶函数，
所以当x>0时，g(x)恰有7个零点，
即当x>0时，函数f(x)的图象与函数y=ax的图象有7个交点，
结合图象可知，
当a>0时，12a<1<16a，解得116当a<0时，14a=−1，解得a=−114，
综上可知，实数a的取值范围是(116,112)∪{−114}．
【答案】
解：(1)因为f′x=3x2+2mx+m−1，
所以f′−1=3−2m+m−1=0，
解得m=2，经检验，符合题意．
(2)由(1)知fx=x3+2x2+x+1，
则f′x=3x2+4x+1．
设切点为x0,fx0，
则切线方程为y−x03+2x02+x0+1=3x02+4x0+1x−x0．
因为切线过点1,t，
所以t−x03+2x02+x0+1=3x02+4x0+11−x0，
整理，得t=−2x03+x02+4x0+2．
令gx=−2x3+x2+4x+2，
则g′x=−6x2+2x+4=−23x+2x−1．
当x<−23或x>1时，g′x<0；
当−230，
所以gx的单调递增区间为−23,1；
单调递减区间为−∞,−23和1,+∞，
所以gx极大值=g1=5，gx极小值=g−23=1027．
因为过1,t可作曲线y=f(x)的3条切线，
所以直线y=t与gx=−2x3+x2+4x+2的图象有3个交点，
所以g−23即实数t的取值范围为1027,5．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为f′x=3x2+2mx+m−1，
所以f′−1=3−2m+m−1=0，
解得m=2，经检验，符合题意．
(2)由(1)知fx=x3+2x2+x+1，
则f′x=3x2+4x+1．
设切点为x0,fx0，
则切线方程为y−x03+2x02+x0+1=3x02+4x0+1x−x0．
因为切线过点1,t，
所以t−x03+2x02+x0+1=3x02+4x0+11−x0，
整理，得t=−2x03+x02+4x0+2．
令gx=−2x3+x2+4x+2，
则g′x=−6x2+2x+4=−23x+2x−1．
当x<−23或x>1时，g′x<0；
当−230，
所以gx的单调递增区间为−23,1；
单调递减区间为−∞,−23和1,+∞，
所以gx极大值=g1=5，gx极小值=g−23=1027．
因为过1,t可作曲线y=f(x)的3条切线，
所以直线y=t与gx=−2x3+x2+4x+2的图象有3个交点，
所以g−23即实数t的取值范围为1027,5．
【答案】
(1)解：当b=0时，f(x)=alnx+12x2(x>0)，
则f′x=ax+x=a+x2x，
当a≥0时，f′x>0恒成立，故函数fx在0,+∞上单调递增；
当a<0时，令f′x>0，得x>−a；
令f′x<0，得0故函数fx在−a,+∞上单调递增，在0,−a上单调递减．
综上所述，当a≥0时，fx在0,+∞上单调递增；
当a<0时，函数fx在−a,+∞上单调递增，在0,−a上单调递减．
(2)证明：f′x=ax+x+b=x2+bx+ax(x>0)．
因为fx存在极大值，
所以关于x的方程x2+bx+a=0有两个不等的正根x1，x2．
设0因为00，且0设px=x2+bx+a，列表如下：
所以fx极大值=fx1=alnx1+12x12+bx1．
因为bx1=−x12+a，
所以fx极大值=alnx1−12x12−a<−b对0设gx=alnx−12x2−a+b，x∈0,a，
则g′x=a−x2x>0，
所以gx在0,a上单调递增，
所以gx即b≤−alna+3a2，
所以a+b≤−alna+5a2=−a2lna+5a2．
设t=a2(t>0)，则φt=−tln2t+5t，
所以φ′t=4−ln2t．
当t∈0,e42时，φ′t>0，φt单调递增；
当t∈e42,+∞时，φ′(t)<0，φt单调递减．
所以φt≤φe42=e42，即a+b≤e42 ．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】


【解答】
(1)解：当b=0时，f(x)=alnx+12x2(x>0)，
则f′x=ax+x=a+x2x，
当a≥0时，f′x>0恒成立，故函数fx在0,+∞上单调递增；
当a<0时，令f′x>0，得x>−a；
令f′x<0，得0故函数fx在−a,+∞上单调递增，在0,−a上单调递减．
综上所述，当a≥0时，fx在0,+∞上单调递增；
当a<0时，函数fx在−a,+∞上单调递增，在0,−a上单调递减．
(2)证明：f′x=ax+x+b=x2+bx+ax(x>0)．
因为fx存在极大值，
所以关于x的方程x2+bx+a=0有两个不等的正根x1，x2．
设0因为00，且0设px=x2+bx+a，列表如下：
所以fx极大值=fx1=alnx1+12x12+bx1．
因为bx1=−x12+a，
所以fx极大值=alnx1−12x12−a<−b对0设gx=alnx−12x2−a+b，x∈0,a，
则g′x=a−x2x>0，
所以gx在0,a上单调递增，
所以gx即b≤−alna+3a2，
所以a+b≤−alna+5a2=−a2lna+5a2．
设t=a2(t>0)，则φt=−tln2t+5t，
所以φ′t=4−ln2t．
当t∈0,e42时，φ′t>0，φt单调递增；
当t∈e42,+∞时，φ′(t)<0，φt单调递减．
所以φt≤φe42=e42，即a+b≤e42 ．x
0,x1
x1
x1,x2
x2
x2,+∞
px
+
0
−
0
+
f′x
+
0
−
0
+
fx
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
x
0,x1
x1
x1,x2
x2
x2,+∞
px
+
0
−
0
+
f′x
+
0
−
0
+
fx
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增