2020-2021学年江西省赣州市高三（上）开学考试数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省赣州市高三（上）开学考试数学（理）试卷北师大版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|x2−x−6≤0，B=x|x<1，则A∩B=( )
A.−2,3B.−2,1C.[−2,1)D.(1,3]

2. 已知命题p:∀x∈R, x2−x+1<0；命题q:∃x∈R，x2>x3，则下列命题中为真命题的是（ ）
A.p∧qB.¬p∧qC.p∧¬qD.¬p∧¬q

3. “关于x的方程ax2−2x+1=0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是( )
A.a<−1B.a≤1C.a>1D.a∈R

4. 下列命题中，真命题是( )
A.∃x0∈R，使得2x0≤0
B.sin2x+2sinx≥3(x≠kπ, k∈Z)
C.∀x∈R，2x>x3
D.a>2，b>2是ab>4的充分不必要条件

5. 函数fx=2ln|x+1|x+12的大致图象为( )
A.B.
C.D.

6. 已知a=e−2(e≈2.718)，b=ln3，c=lg23，则( )
A.ac>bC.b
7. 已知f(x)=lgax(x>1),(10−a)x−4a(x≤1)是R上的增函数，则实数a的取值范围是( )
A.a|2≤a<10B.a|1
8. 若函数fx=lg0.5x2+2ax+5a在区间−∞,−2上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A.(−∞,2]B.(−4,2]C.−4,2D.−4,2

9. 设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈2,3时，fx=x，则x∈−2,0时，fx的解析式为( )
A.fx=2+|x+1|B.fx=3−|x+1|C.fx=2−xD.fx=x+4

10. 已知函数f(x)=1{x}−x，其中{x}为不小于x的最小整数，如{3.5}=4，{3}=3，则关于f(x)性质的表述，正确的是( )
A.定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)B.在定义域内为增函数
C.函数为周期函数D.函数为奇函数

11. 已知定义在R上的函数fx=21−x−2x−121−x+2x−1−x−13，则不等式f(2x+3)+f(x−2)≥0的解集为( )
A.(−∞,13]B.(0,13]C.(−∞,3]D.(0,3]

12. 若函数fx=alnx+ex+a有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A.e,+∞B.−∞,−2eC.−∞,−eD.2e,+∞
二、填空题

数列an中，a1=1，a2=12，2an=1an+1+1an−1n≥2，则an⋅an+1的前n项和Sn=________.
三、解答题

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b+4csAacsC+ccsA=0.
(1)求csA的值；

(2)若a=4，AB→⋅AC→=−32，求△ABC的周长．

如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED//PA，且PA=2ED=2，∠ABC=60∘．

(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；

(2)求二面角C−PE−D的余弦值．

甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N，在点N处投中一球得3分，不中得0分．已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p，在N点投中的概率都为q，且在M，N两点处投中与否互不影响．设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分．已知在一次比赛中甲得2分的概率为12，乙得5分的概率为16．
(1)求p，q的值；

(2)求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率．

设椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，右顶点是A2,0，离心率为22．
(1)求椭圆C的方程；

(2)设C与y轴的正半轴交于点D，直线l:y=kx+m与C交于M，N两点(l不经过D点)，且MD⊥ND，证明：直线l经过定点，并写出该定点的坐标．

已知函数f(x)=ex−1−ax(x>0)，x=1是f(x)的极值点（其中e是自然对数的底数）．
(1)求a的值；

(2)讨论函数ℎ(x)=f(x)−sinx在(0, π)的零点个数（参考数据：eπ2−1≈1.77），并说明理由．

在直角坐标系xOy中，已知P0,−2，曲线C的参数方程为x=2+4csα,y=4sinα（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcsθ−π6+1=0．
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求||PA|−|PB||．

已知fx=|2x−a|+2|x+3|a>0．
(1)当a=2时，求不等式fx≤9的解集；

(2)当fx取得最小值为9时，求a的值，并求出此时x的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）开学考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：∵ 集合A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x<1}，
∴ A∩B={x|−2≤x<1}=[−2,1)．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
复合命题及其真假判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于命题p，因为Δ=(−1)2−4=−3<0，
而二次项系数为1>0，故x2−x+1>0恒成立，
所以命题p为假命题；
对于命题q，当x<0时，x2>x3，
故命题q为真命题，
则p∧q，¬p∧q，¬p∧¬q都为假命题，¬p∧q为真命题.
故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
无
【解答】
解：∵ 关于x的方程ax2−2x+1=0至少有一个负数根，
∴ ①当a=0时，−2x+1=0，解得x=12，不符合题意；
②当a≠0时，
Δ=4−4a≥0，x1x2=1a<0,或Δ=4−4a≥0,x1+x2=2a<0,x1x2=1a>0,
解得a<0，
∴ “关于x的方程ax2−2x+1=0至少有一个负数根”的一个充分不必要条件是a<−1.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
全称命题与特称命题
必要条件、充分条件与充要条件的判断
命题的真假判断与应用
【解析】
根据指数函数的值域为(0, +∞)，可判断A；举出反例，sinx＝−1可判断B；举出反例x＝3，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．
【解答】
解：∵ 对于∀x∈R，2x>0恒成立，故A错误；
当sinx=−1时，sin2x+2sinx=−1，故B错误；
当x=3时，23<33，故C错误；
当a>2，b>2时，ab>4成立.
反之，当ab>4时，a>2，b>2不一定成立，
故a>2，b>2是ab>4的充分不必要条件，故D正确.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的判断
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：要使函数有意义，则x+1≠0，得x≠−1.
fx−1=2ln|x|x2是偶函数，则fx−1关于y轴对称，则fx关于x=−1对称，排除AD；
当x→+∞时，fx>0，排除C．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
对数值大小的比较
【解析】
可以得出e−2<12，121，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：∵ e​−2=1e2<1e<12，
ln3=12ln3>12且ln3lg23>lg22=1，
∴ a故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】

【解答】
解：∵fx在R上为增函数，
∴a>1,10−a>0,10−a−4a≤lga1,
∴a>1,a<10,a≥2,
∴2≤a<10，
∴ 实数a的取值范围是a|2≤a<10．
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
复合函数的单调性
函数的单调性及单调区间
【解析】
无
【解答】
解：∵ 函数 fx=lg0.5x2+2ax+5a在区间(−∞,−2)上单调递增，
∴ 函数y=x2+2ax+5a在区间−∞,−2上单调递减，且满足y>0．
∴ −a≥−2,4−4a+5a≥0,求得−4≤a≤2．
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
①当x∈−2,−1时，则x+4∈2,3，由题意可得：fx+4=x+4.再根据函数的周期性可得fx=fx+4=x+4；②当x∈−1,0时，则2−x∈2,3，由题意可得：f2−x=2−x．再根据函数的周期性与函数的奇偶性可得函数的解析式．
【解答】
解：①当x∈−2,−1时，则x+4∈2,3.
因为当x∈2,3时，fx=x，
所以fx+4=x+4.
又因为f(x)是周期为2的周期函数，
所以fx=fx+4=x+4，
所以当x∈−2,−1时，fx=x+4；
②当x∈−1,0时，则2−x∈2,3.
因为当x∈2,3时，fx=x，
所以f2−x=2−x.
又因为f(x)是周期为2的周期函数，
所以f−x=f2−x=2−x.
因为函数f(x)是定义在实数R上的偶函数，
所以fx=f−x=f2−x=2−x，
所以由①②可得当x∈−2,0时，fx=3−|x+1|.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
函数的周期性
函数奇偶性的判断
【解析】
只需要研究分母对应的函数g(x)＝{x}−x即可．求出定义域排除A选项；
利用周期函数的定义得g(x+1)＝{x+1}−(x+1)＝{x}+1−x−1＝{x}−x＝g(x)，故函数是周期函数，由此排除B选项，C选项正确．
利用奇函数定义容易得到D选项错误．
【解答】
解：易知{x}−x≠0，故定义域为{x|x≠Z}，故A选项错误；
令g(x)={x}−x，
易知g(x+1)={x+1}−(x+1)
={x}+1−x−1={x}−x=g(x)，
故f{x}是以1为周期的函数，故C选项正确，B选项错误；
因为f(−x)≠−f(x)，故D选项错误．
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
函数奇偶性的判断
函数单调性的性质
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：令t=x−1，
则ft+1=2−t−2t2−t+2t−t3，
则ft+1是奇函数.
当t∈R时，y=2−t−2t2−t+2t−t3=1−22t1+22t−t3
=1−4t1+4t−t3=−(1+4t)+21+4t−t3=21+4t−1−t3，此时为减函数．
令gx=fx+1，则g(x)是奇函数，且在R上单调递减，
f2x+3+fx−2≥0等价为f2x+2+1+fx−3+1≥0，
即g2x+2+gx−3≥0，
则g2x+2≥−gx−3=g3−x，
则2x+2≤3−x，得3x≤1，x≤13，
即原不等式的解集为−∞,13.
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
函数的零点与方程根的关系
【解析】
无
【解答】
解：由f(x)=aln x+ex+a得定义域为(0,+∞).
令fx=0，即有a(ln x+1)=−ex，
则函数fx有两个零点等价于函数gx=aln x+1与ℎx=−ex图象有两个交点，
当a≥0时，如图，
此时两函数图象最多一个交点，不符合条件；
故a<0，如图，
考虑gx=aln x+1与ℎx=−ex相切时的情况，
不妨设切点为P(x0,−ex0)，
则−ex0=a(ln x0+1) ，
且g′(x0)=ax0=ℎ′x0=−ex0，解得x0=1，则此时a=−e，
若要函数gx=aln x+1与ℎx=−ex图象有两个交点，
由图可得a<−e．
故选C．
二、填空题
【答案】
nn+1
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为数列an中，a1=1，a2=12，
2an=1an+1+1an−1n≥2，
所以数列{1an}是以1a1=1为首项，公差为d=1a2−1a1=2−1=1的等差数列，
所以1an=1+n−1=n，所以an=1n，
则an+1=1n+1，
所以anan+1=1nn+1=1n−1n+1，
所以Sn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1.
故答案为： nn+1.
三、解答题
【答案】
解：(1)由正弦定理可得：
sinB+4csA(sinAcsC+sinCcsA)=0，
可得sinB+4csAsin(A+C)=0，
可得sinB+4csAsinB=0.
又因为sinB≠0，
所以1+4csA=0，
所以csA=−14．
(2)因为a=4，AB→⋅AC→=bccsA=bc×−14=−32，
所以解得bc=6.
由余弦定理可得
a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc(1+csA)，
即16=(b+c)2−32bc
=(b+c)2−32×6，
解得b+c=5，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+5=9．
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
平面向量数量积的运算
运用诱导公式化简求值
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：(1)由正弦定理可得：
sinB+4csA(sinAcsC+sinCcsA)=0，
可得sinB+4csAsin(A+C)=0，
可得sinB+4csAsinB=0.
又因为sinB≠0，
所以1+4csA=0，
所以csA=−14．
(2)因为a=4，AB→⋅AC→=bccsA=bc×−14=−32，
所以解得bc=6.
由余弦定理可得
a2=b2+c2−2bccsA=(b+c)2−2bc(1+csA)，
即16=(b+c)2−32bc
=(b+c)2−32×6，
解得b+c=5，
所以△ABC的周长为a+b+c=4+5=9．
【答案】
(1)证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．
∵ O，F分别为AC，PC的中点，
∴ OF//PA，且 OF=12PA.
∵ DE//PA，且 DE=12PA，
∴ OF//DE，且OF=DE，
∴ 四边形OFED为平行四边形，
∴ OD//EF，即BD//EF.
∵ PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴ PA⊥BD．
∵ ABCD是菱形，
∴ BD⊥AC．
又∵ PA∩AC=A，
∴ BD⊥平面PAC.
∵ BD//EF，
∴ EF⊥平面PAC．
∵ EF⊂平面PCE，
∴ 平面PAC⊥平面PCE．
(2)解：∵ ∠ABC=60∘，BC=AB，故△ABC为等边三角形．
设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC．
以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，如图：
则P0,0,2，C3,1,0，E0,2,1，D0,2,0，
PC→=3,1,−2，CE→=−3,1,1，
设平面PCE的法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅PC→=0,n→⋅CE→=0,即3x1+y1−2z1=0,−3x1+y1+z1=0,
令y1=1，得n→=3,1,2．
平面PDE的一个法向量为m→=1,0,0，
设二面角C−PE−D的大小为θ．
由于θ为锐角，
∴ csθ=cs⟨n→，m→⟩=n→⋅m→|n→||m→|=322×1=64，
故二面角C−PE−D的余弦值为64．
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
直线与平面所成的角
平面与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．
∵ O，F分别为AC，PC的中点，
∴ OF//PA，且 OF=12PA.
∵ DE//PA，且 DE=12PA，
∴ OF//DE，且OF=DE，
∴ 四边形OFED为平行四边形，
∴ OD//EF，即BD//EF.
∵ PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴ PA⊥BD．
∵ ABCD是菱形，
∴ BD⊥AC．
又∵ PA∩AC=A，
∴ BD⊥平面PAC.
∵ BD//EF，
∴ EF⊥平面PAC．
∵ EF⊂平面PCE，
∴ 平面PAC⊥平面PCE．
(2)解：∵ ∠ABC=60∘，BC=AB，故△ABC为等边三角形．
设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC．
以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，如图：
则P0,0,2，C3,1,0，E0,2,1，D0,2,0，
PC→=3,1,−2，CE→=−3,1,1，
设平面PCE的法向量为n→=x1,y1,z1，
则n→⋅PC→=0,n→⋅CE→=0,即3x1+y1−2z1=0,−3x1+y1+z1=0,
令y1=1，得n→=3,1,2．
平面PDE的一个法向量为m→=1,0,0，
设二面角C−PE−D的大小为θ．
由于θ为锐角，
∴ csθ=cs⟨n→，m→⟩=n→⋅m→|n→||m→|=322×1=64，
故二面角C−PE−D的余弦值为64．
【答案】
解：(1)设A0，A2，A3，A5分别表示在一次比赛中甲得0分，2分，3分，5分的事件，
B0，B2，B3，B5分别表示在一次比赛中乙得0分，2分，3分，5分的事件.
根据题意可得：PA2=p1−q=12,PB5=pq=16,
解得p=23，q=14.
(2)由已知得PA0=PB0=1−23×(1− 14)=14，
PA2=PB2=23×1−14=12，
PA3=PB3=1−23×14=112，
PA5=PB5=23×14=16.
设C=“‘星队’在一次比赛中的总得分为5分”，
则C=A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0，
则P(C)=P(A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0)
=PA0PB5+PA2PB3+PA3PB2+PA5PB0
=14×16+12×112+112×12+16×14
=16 ，
则“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率为16 .
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设A0，A2，A3，A5分别表示在一次比赛中甲得0分，2分，3分，5分的事件，
B0，B2，B3，B5分别表示在一次比赛中乙得0分，2分，3分，5分的事件.
根据题意可得：PA2=p1−q=12,PB5=pq=16,
解得p=23，q=14.
(2)由已知得PA0=PB0=1−23×(1− 14)=14，
PA2=PB2=23×1−14=12，
PA3=PB3=1−23×14=112，
PA5=PB5=23×14=16.
设C=“‘星队’在一次比赛中的总得分为5分”，
则C=A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0，
则P(C)=P(A0B5∪A2B3∪A3B2∪A5B0)
=PA0PB5+PA2PB3+PA3PB2+PA5PB0
=14×16+12×112+112×12+16×14
=16 ，
则“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率为16 .
【答案】
(1)解：∵ 右顶点是A2,0，离心率为22，
∴ a=2，ca=22，
∴ c=1，则b=1，
∴ 椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(2)证明：由已知得D(0,1)，
由y=kx+m,x22+y2=1, 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
当Δ>0时，设Mx1,y1，Nx2,y2，
则x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2−2k21+2k2.
DM→=(x1,y1−1)，DN→=(x2,y2−1)，
由MD⊥ND得DM→⋅DN→=x1x2+(y1−1)(y2−1)=0，
∴x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=0，
可得3m2−2m−11+2k2=0，
∴3m2−2m−1=0，
解得m=1或m=−13.
①当m=1时，直线l经过点D，不符合题意， 舍去，
②当m=−13时，显然有Δ>0，直线l经过定点0,−13．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
椭圆的离心率
直线与椭圆结合的最值问题
椭圆的标准方程
平面向量的坐标运算
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：∵ 右顶点是A2,0，离心率为22，
∴ a=2，ca=22，
∴ c=1，则b=1，
∴ 椭圆的标准方程为x22+y2=1．
(2)证明：由已知得D(0,1)，
由y=kx+m,x22+y2=1, 得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−2=0，
当Δ>0时，设Mx1,y1，Nx2,y2，
则x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−21+2k2，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2−2k21+2k2.
DM→=(x1,y1−1)，DN→=(x2,y2−1)，
由MD⊥ND得DM→⋅DN→=x1x2+(y1−1)(y2−1)=0，
∴x1x2+y1y2−(y1+y2)+1=0，
可得3m2−2m−11+2k2=0，
∴3m2−2m−1=0，
解得m=1或m=−13.
①当m=1时，直线l经过点D，不符合题意， 舍去，
②当m=−13时，显然有Δ>0，直线l经过定点0,−13．
【答案】
解：(1)∵ f(x)=ex−1−ax(x>0)，
∴ f′(x)=ex−1−a(a>0).
∵ x=1是f(x)的极值点，
∴ f′(1)=e0−a=0，解得a=1．
(2)由(1)知，ℎ(x)=f(x)−sinx=ex−1−x−sinx(0∴ ℎ′(x)=ex−1−1−csx(0令H(x)=ℎ′(x)=ex−1−1−csx(0则H′(x)=ex−1+sinx>0在x∈(0, π)上恒成立，
∴ H(x)在(0, π)上单调递增．
又H(0)=e−1−2<0，H(π2)=eπ2−1−1>0，
∴ ∃x0∈(0, π2)，使得H(x0)=0，即ex0−1−1−csx0=0.
当0当x00，即ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
∴ ℎ(x)min=ℎ(x0)=ex0−1−x0−sinx0=1+csx0−x0−sinx0．
令g(x)=1+csx−x−sinx，x∈(0, π2)，
则g′(x)=−sinx−1−csx<0恒成立，
∴ g(x)在(0, π2)上单调递减.
又g(0)=1+1=2>0，g(π2)=1−π2−1<0，
∴ ∃x1∈(0, π2)，使得g(x1)=0，
当x∈(x1, π2)时，g(x)<0，即ℎ(x)min<0成立．
∵ ℎ(0)=e−1>0，ℎ(π)=eπ−1−π>0，
故ℎ(x)在(0, π)上有2个零点．
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
(Ⅰ)求导得f′(x)＝ex−1−a，易知f′(1)＝0，从而求得a的值．
(Ⅱ)ℎ(x)＝ex−1−x−sinx(00，故∃x0∈(0, π2)，使得H(x0)＝0，且可推出ℎ(x)在(0, π)上的单调性，从而得ℎ(x)min＝ℎ(x0)；第二次构造函数g(x)＝1+csx−x−sinx，x∈(0, π2)，再次借助导数和隐零点的思维，证明g(x)<0即ℎ(x)min<0在(0, π2)上成立，进而确定函数ℎ(x)的零点个数．
【解答】
解：(1)∵ f(x)=ex−1−ax(x>0)，
∴ f′(x)=ex−1−a(a>0).
∵ x=1是f(x)的极值点，
∴ f′(1)=e0−a=0，解得a=1．
(2)由(1)知，ℎ(x)=f(x)−sinx=ex−1−x−sinx(0∴ ℎ′(x)=ex−1−1−csx(0令H(x)=ℎ′(x)=ex−1−1−csx(0则H′(x)=ex−1+sinx>0在x∈(0, π)上恒成立，
∴ H(x)在(0, π)上单调递增．
又H(0)=e−1−2<0，H(π2)=eπ2−1−1>0，
∴ ∃x0∈(0, π2)，使得H(x0)=0，即ex0−1−1−csx0=0.
当0当x00，即ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，
∴ ℎ(x)min=ℎ(x0)=ex0−1−x0−sinx0=1+csx0−x0−sinx0．
令g(x)=1+csx−x−sinx，x∈(0, π2)，
则g′(x)=−sinx−1−csx<0恒成立，
∴ g(x)在(0, π2)上单调递减.
又g(0)=1+1=2>0，g(π2)=1−π2−1<0，
∴ ∃x1∈(0, π2)，使得g(x1)=0，
当x∈(x1, π2)时，g(x)<0，即ℎ(x)min<0成立．
∵ ℎ(0)=e−1>0，ℎ(π)=eπ−1−π>0，
故ℎ(x)在(0, π)上有2个零点．
【答案】
解：(1)曲线C的参数方程为x=2+4csα,y=4sinα（α为参数），
转换为直角坐标方程为(x−2)2+y2=16.
直线l的极坐标方程为ρcsθ−π6+1=0，
整理得32ρcsθ+12ρsinθ+1=0，
根据x=ρcsθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,
转换为直角坐标方程为3x+y+2=0．
(2)直线l直角坐标方程为3x+y+2=0，
转换为参数方程为x=−12t,y=−2+32t（t为参数）.
把直线的参数方程x=−12t,y=−2+32t代入(x−2)2+y2=16，
得到t2+(2−23)t−8=0（t1和t2为A，B对应的参数），
所以t1+t2=23−2，
所以||PA|−|PB||=|t1+t2|=23−2．
【考点】
直线一般参数方程化为标准参数方程
圆的参数方程
直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)曲线C的参数方程为x=2+4csα,y=4sinα（α为参数），
转换为直角坐标方程为(x−2)2+y2=16.
直线l的极坐标方程为ρcsθ−π6+1=0，
整理得32ρcsθ+12ρsinθ+1=0，
根据x=ρcsθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2,
转换为直角坐标方程为3x+y+2=0．
(2)直线l直角坐标方程为3x+y+2=0，
转换为参数方程为x=−12t,y=−2+32t（t为参数）.
把直线的参数方程x=−12t,y=−2+32t代入(x−2)2+y2=16，
得到t2+(2−23)t−8=0（t1和t2为A，B对应的参数），
所以t1+t2=23−2，
所以||PA|−|PB||=|t1+t2|=23−2．
【答案】
解：(1)当a=2时，
fx=|2x−2|+2|x+3|=4x+4，x≥1,8，−3当x≥1时，不等式fx≤9化为4x+4≤9，解得1≤x≤54；
当−3当x≤−3时，不等式fx≤9化为−4x−4≤9，解得−134≤x≤3，
所以不等式fx≤9的解集为[−134,54].
(2)函数f(x)=|2x−a|+2|x+3|
=|2x−a|+|2x+6|≥|(2x−a)−(2x+6)|=|a+6|=9，
由a>0，解得a=3，
所以fx取最小值为9时，a=3.
令(2x−3)(2x+6)≤0，解得−3≤x≤32，
所以fx取最小值为9时，x的取值范围是[−3,32]．
【考点】
绝对值不等式
绝对值不等式的解法与证明
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=2时，
fx=|2x−2|+2|x+3|=4x+4，x≥1,8，−3当x≥1时，不等式fx≤9化为4x+4≤9，解得1≤x≤54；
当−3当x≤−3时，不等式fx≤9化为−4x−4≤9，解得−134≤x≤3，
所以不等式fx≤9的解集为[−134,54].
(2)函数f(x)=|2x−a|+2|x+3|
=|2x−a|+|2x+6|≥|(2x−a)−(2x+6)|=|a+6|=9，
由a>0，解得a=3，
所以fx取最小值为9时，a=3.
令(2x−3)(2x+6)≤0，解得−3≤x≤32，
所以fx取最小值为9时，x的取值范围是[−3,32]．