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专题1.6 二元一次方程组章末重难点题型（举一反三）（北师大版）（解析版）学案
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这是一份北师大版八年级上册本册综合导学案，共32页。学案主要包含了北师大版，方法点拨，变式1-1，变式1-2，变式1-3，变式2-1，变式2-2，变式2-3等内容，欢迎下载使用。
【考点1 二元一次方程的概念】
【方法点拨】含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).
【例1】（2019春•西湖区校级月考）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A．x﹣yB．2x＝4y﹣3C．x＝+1D．x2+y＝0
【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．
【答案】解：A．是整式，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A项不合题意，
B．符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即B项符合题意，
C．是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C项不合题意，
D．是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即D项不合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，正确掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）有下列方程：①xy＝2；②3x＝4y；③x+＝2；④y2＝4x；⑤＝3y﹣1；⑥x+y﹣z＝1．其中二元一次方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二元一次方程的定义作答．
【答案】解：①xy＝2属于二元二次方程，故不符合题意；
②3x＝4y符合二元一次方程的定义，故符合题意；
③x+＝2不是整式方程，故不符合题意；
④y2＝4x属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤＝3y﹣1符合二元一次方程的定义，故符合题意；
⑥x+y﹣z＝1属于三元一次方程，故不符合题意．
故其中二元一次方程有2个．
故选：B．
【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-2】（2019春•西湖区校级月考）若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3B．±2C．±3D．3
【分析】依据二元一次方程的定义求解即可．
【答案】解：∵方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，
∴a+3≠0，|a|﹣2＝1，
解得a＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2019春•西湖区校级月考）方程（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A．m＝±1009；n＝±3B．m＝1009，n＝3
C．m＝﹣1009，n＝﹣3D．m＝﹣1009，n＝3
【分析】依据二元一次方程的定义得到m﹣1009≠0，n+3≠0，|m|﹣1008＝1，|n|﹣2＝1，依此求解即可．
【答案】解：∵（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，
∴m﹣1009≠0，n+3≠0，|m|﹣1008＝1，|n|﹣2＝1，
解得：m＝﹣1009，n＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．
【考点2 二元一次方程的整数解】
【方法点拨】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.
【例2】（2019春•宜宾期末）二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【答案】解：方程2x+3y＝11，
解得：y＝，
当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，
则方程的正整数解有2组，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
【变式2-1】（2019春•西湖区校级月考）二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】要求二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解，可先从y＝0开始，分别把y＝0，1，2，3，4，5代入方程，求出对应的x的值，然后进行判断．
【答案】解：当y＝0，x＝7.5，
当y＝1，x＝6，
当y＝2，x＝4.5，
当y＝3，x＝3，
当y＝4，x＝1.5，
当y＝5，x＝0，
所以二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解，但可求出它的有限的某些特殊的解．
【变式2-2】（2019春•西湖区校级月考）如果x，y取0，1，2，…9中的数，且3x﹣2y＝11，则10x+y的值可以有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】要求10x+y的值，就必须先求出x，y的值，所以首先要用方程表示其中一个未知数，然后根据式子分析x，y的取值，再代入10x+y求值．
【答案】解：由题意，得．
∵x和y的值取0到9的正整数，
∴2y+11＞0，且是3的倍数．
根据以上条件可假设当y＝0时，2y+11＝11，
当y＝9时，2y+11＝29，
∴2y+11的值就是11到29之间的所有3的倍数，即是12，15，18，21，24，27，
再解这个方程取整数值．
得y的整数值只能是y＝2，5，8，相应的x值为x＝5，7，9．
把分别代入10x+y，则有52，75，98三个值．
故选：C．
【点睛】解题关键是把方程3x﹣2y＝11的符合条件的x和y的值求出，再分别计算代入10x+y后的值．
【变式2-3】（2019•武汉模拟）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（ ）
A．34B．35C．36D．37
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝10的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【答案】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝10的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝9）
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝9的正整数解有8组，
∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+8＝36
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
【考点3 解二元一次方程组】
【方法点拨】掌握①代入消元法；②加减消元法是解题的关键.
【例3】（2019秋•九龙坡区校级月考）计算
（1）
（2）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【答案】解：（1），
①+②×2得：7x＝21，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
②﹣①×3得：14y＝﹣42，
解得：y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①得：x＝﹣6，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3-1】（2019春•西湖区校级月考）解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）先将原方程组化简，再根据消元法解方程组或者运用整体思想解方程组即可求解．
【答案】解：（1）
①﹣②，得：9t＝3，
解得t＝，
把t＝代入①，得x＝，
∴原方程组的解是．
故原方程组的解为
（2）方法一：
由，
化简，得：
①﹣②×7，可得：﹣32x＝﹣32，
解得x＝1③，
把③代入①，解得y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
方法二：
由①得 5（x﹣y）﹣2（x+y）＝10③
②+③，得 8（x﹣y）＝16，∴x﹣y＝2④
④代入②，得x+y＝0⑤
④+⑤，得x＝1，∴y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
故原方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组的方法，解题关键是熟练掌握消元法解方程组．
【变式3-2】（2019秋•福田区校级月考）解下列方程组：
（1）
（2）
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【答案】解：（1），
把①代入②得：5x+4（2x﹣2）＝57，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝8，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②得：10x＝60，
解得：x＝6，
①﹣②得：16y＝﹣64，
解得：y＝﹣4，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式3-3】（2019春•越秀区校级期中）解方程组
（1）
（2）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【答案】解：（1），
①+②×4得：7x＝35，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝1，
则方程组的解为；
（2），
①﹣②得：7m＝5，
解得：m＝，
把m＝代入①得：n＝，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点4 二元一次方程组的解】
【方法点拨】使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.理解二元一次方程组的解是关键.
【例4】（2019春•文登区期中）关于x和y的二元一次方程组和具有相同的解，求a，b的值.
【分析】首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一个关于a，b的方程组求解即可．
【答案】解：∵关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，
∴可得新方程组
解这个方程组得．
把x＝2，y＝2代入2ax﹣by＝1，ax+2by＝2，
得，
解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
【变式4-1】（2019春•嘉禾县期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来．
【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值，即可得出答案．
【答案】解：设被滴上墨水的方程组为，
由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程ax+by＝2的解，
则有，
解之，得．
又因方程组的解是，
所以3m+14＝8，
m＝﹣2．
故所求方程组为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，先设方程组，再根据给出条件求出方程组中待定的系数即可．
【变式4-2】（2019春•侯马市期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，求关于a、b的二元一次方程组的解．
【分析】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝1，同理：a﹣b＝2，可得方程组解出即可．
【答案】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴关于a．b的二元一次方程组满足，
解得．
故关于a．b的二元一次方程组的解是．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．
【变式4-3】（2019春•汨罗市期中）已知方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为；若按正确的a、b计算，求原方程组的解．
【分析】由于甲看错了方程①中的a，故可将代入②，求出b的值；由于乙看错了方程组②中的b，故可将代入①，求出a的值，然后得到方程组，解方程组即可．
【答案】解：将代入②得，﹣12+b＝﹣2，b＝10；
将代入①得，5a+20＝15，a＝﹣1．
故原方程组为，
解得．
【点睛】此题考查了方程组解的理解：方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数．
【考点5 二元一次方程组的应用之配套问题】
【例5】（2019春•浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
【分析】设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，根据共用去132m这种布料，每2m的布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，衣身和衣袖恰好配套，据此列方程组求解．
【答案】解：设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，
由题意得，
解得：．
答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖恰好配套．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
【变式5-1】（2019春•海州区校级月考）某车间有33名工人生产甲乙两种零件，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个，而2个甲种零件与3个乙种零件配成一套，问如何分配工作才能使生产出的两种零件刚好配套？每天生产多少套？
【分析】设应分配x名工人生产甲种零件，分配y名工人生产乙种零件才能使生产出的两种零件刚好配套，根据共33名工人生产零件且2个甲种零件与3个乙种零件配成一套，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【答案】解：设应分配x名工人生产甲种零件，分配y名工人生产乙种零件才能使生产出的两种零件刚好配套，
依题意，得：，
解得：，
∴＝90．
答：应分配15名工人生产甲种零件，分配18名工人生产乙种零件才能使生产出的两种零件刚好配套，每天生产90套．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-2】（2019•开远市一模）某工厂加工螺栓、螺帽，已知每1块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺帽（说明：每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺帽），已知1个螺栓和2个螺帽组成一个零件，为了加工更多的零件，要求螺栓和螺帽恰好配套．若把26块相同的金属原料全部加工完，问加工的螺栓和螺帽是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺帽各需要的金属原料块数，若不存在恰好配套，请说明理由．
【分析】设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺帽正好配套，根据共26块相同的金属原料且加工的螺帽数量是螺栓的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，结合x，y为整数可得出加工的螺栓和螺帽不存在恰好配套．
【答案】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺帽正好配套，
依题意，得：，
解得：，
∵x，y均为整数，
∴加工的螺栓和螺帽不存在恰好配套．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-3】（2019春•南安市期中）（用方程或方程组解答本题）
根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？
【分析】设安排x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，根据题意的等量关系列出方程组即可．
【答案】解：设安排x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，依题意得：
解得：
答：应安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
【考点6 二元一次方程组的应用之九章算术】
【例6】（2019•永春县模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？
【分析】设有x人，物品价值y元，根据题意可得，8×人数﹣3＝物品价值，7×人数+4＝物品价值，据此列方程组求解．
【答案】解：设共有x人，每件物品的价格为y元，依题意得：
解得
答：共有7人，每件物品的价格为53元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【变式6-1】（2019•瑶海区校级一模）列方程或方程组解应用题：
《九章算术》中有这样一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问；每只燕、雀的重量各为多少？”
译文如下：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，如果互换其中的一只，重量恰好相等．则每只麻雀、燕子的平均重量分别为多少两？
【分析】可以设每只雀、燕的重量各为x两，y两，根据总重为16两，互换一只重量相等，可列出两个方程，求方程组的解即可．
【答案】解：设每只雀、燕的重量各为x两，y两，由题意得：．
解方程组得：．
答：每只雀、燕的重量各为两，两．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式6-2】（2019春•石景山区期末）请根据下面古文列方程组解应用题：
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．二百一十五只碗，看看用尽不差争．两人共食一碗饭，三人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧．大意为“山中古寺，不知有多少僧人．若两人共用一碗饭，三人共用一碗羹，恰好用尽215只碗．请求出寺中僧人人数”．
【分析】设用于盛饭的碗x只，用于盛羹的碗y只．读懂题中的诗句，找出条件，可以列出方程组．
【答案】解：设用于盛饭的碗x只，用于盛羹的碗y只．
依题意列方程组，得：
解得：
2x＝3y＝258．
答：寺内僧人共258人．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用．解决本题的关键是找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案．
【变式6-3】（2019•蜀山区校级三模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱四十得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱，普通酒一斗的价格是10钱，现在买两种酒2斗共付40钱，问买美酒、普通酒各多少斗？
【分析】设买美酒x斗，普通酒y斗，由题意列出方程组，解方程组即可．
【答案】解：设买美酒x斗，普通酒y斗，
由题意得：，
解得：，
答：买美酒0.5斗，普通酒1.5斗．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
【考点7 二元一次方程组的应用之几何问题】
【例7】（2019春•南岗区校级月考）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，BC＝11，DE＝7，
（1）设每个小长方形的较长的一边为x，较短的一边为y，求x，y的值．
（2）求图中阴影部分面积．
【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值；
（2）根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6个小长方形的面积，即可求出结论．
【答案】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得：，
解得：，
（2）S阴影＝11×（8+1×1）﹣6×1×8＝51（cm2）．
答：图中阴影部分面积是51cm2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-1】（2019春•襄汾县期末）张师傅在铺地板时发现：用8个大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形（如图①），然后，他用这8块瓷砖七拼八凑，又拼出了一个正方形，中间还留下一个边长为3的小正方形（阴影部分），请你根据提供的信息求出这些小长方形的长和宽．
【分析】仔细观察图形，发现本题中2个等量关系为：小长方形的长×3＝小长方形的宽×5，（小长方形的长+小长方形的宽×2）2＝小长方形的长×小长方形的宽×8+3×3．根据这两个等量关系可列出方程组．
【答案】解：设这8个大小一样的小长方形的长为x，宽为y．
由题意，得，
解得．
答：这些长方形的长和宽分别为15，9．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的对边相等及正方形的面积＝8个小长方形的面积+边长为3的小正方形的面积是关键．
【变式7-2】（2019春•西湖区校级月考）工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图①），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图②），裁剪后边角料不再利用．
（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？
（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？
【分析】（1）设甲种规格的纸板有x个，乙种规格的纸板有y个，根据两种纸板共2600张且3个侧面和2个底面做一个巧克力包装盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据可以生产巧克力包装盒的数量＝乙种纸板的数量×3÷2，即可求出结论．
【答案】解：（1）设甲种规格的纸板有x个，乙种规格的纸板有y个，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种规格的纸板有1000个，乙种规格的纸板有1600个．
（2）1600×3÷2＝2400（个）．
答：一共能生产2400个巧克力包装盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-3】（2019春•西湖区校级月考）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方形形状的无盖纸盒．
（1）现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，则可制作横式、竖式两种纸盒个多少个？
（2）若有正方形纸板32张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，已知70＜a＜75．求a的值．
【分析】（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个．根据生产竖式纸盒用的正方形纸板+生产横式纸盒用的正方形纸板＝150张；生产竖式纸盒用的长方形纸板+生产横式纸盒用的长方形纸板＝300张．列方程组即可得到结论；
（2）设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出y的取值范围即可．
【答案】解：（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个．由题意得，
解得：．
答：可制作横式纸盒60个、竖式纸盒30个；
（2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个．由题意得，
解得y＝
∵70＜a＜75，
∴53＜128﹣a＜58，
∵y是整数，
∴128﹣a＝55，
∴a＝73．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
【考点8 二元一次方程组的应用之分段计费问题】
【例8】（2019春•西湖区校级月考）小明同学本周日上午先乘坐出租车到图书馆，乘坐了5千米，打车费14元．然后吃好中饭后乘坐出租车到电影院和同学一起看电影，乘坐了8千米，打车费18.5元．看完电影后再乘坐出租车回家．出租车费用为3千米以内为起步a元，超过3千米每千米b元．
（1）请求出a和b的值．
（2）小明家离电影院有7千米，他有15元，请问他的钱够吗？如果不够，还差多少．
【分析】（1）根据打车费＝起步价+（路程﹣3）×b，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据打车费＝起步价+1.5×（路程﹣3），可求出所需打车费，用其减去15即可求出结论．
【答案】解：（1）依题意，得：，
解得：．
答：a的值为11，b的值为1.5．
（2）11+（7﹣3）×1.5＝17（元），
17＞15，
17﹣15＝2（元）．
答：小明带的钱不够，还差2元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-1】（2019春•呼和浩特期末）为建设资源节约型、环境友好型社会，切实做好节能减排工作，某市决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”．电力公司规定居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时），1千瓦时俗称1度/时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时，超过部分实行“提高电价”．已知小张家2017年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；3月份用电120千瓦时，上缴电费88元．若7月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家7月份应上缴的电费．
【分析】设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据“小张家2017年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；3月份用电120千瓦时，上缴电费88元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用7月份应缴电费金额＝80ד基本电价”+（130﹣80）ד提高电价”即可求出结论．
【答案】解：设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，
依题意，得：，
解得：，
80×0.6+（130﹣80）×1＝98（元）．
答：预计小张家7月份应上缴的电费98元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-2】（2019春•西湖区校级月考）为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 元；（用a，b的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值．
（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列方程组，即可得到结论；
（3）根据题意列出二元一次方程，求出符合条件的所有可能情况即可．
【答案】解：（1）∵小王家今年3月份用水20吨，要交水费为15a+5b，
故答案为：（15a+5b）；
（2）根据题意得，，
解得：；
（3）设a上调了x元，b的值上调了y元，
根据题意得，15x+6y＝9.6，
∴5x+2y＝3.2，
∵x，y为整数角钱（没超过1元），
∴当x＝0.6元时，y＝0.1元，
当x＝0.4元时，y＝0.6元，
∴a的值上调了0.6元或0.4元，b的值上调了0.1元或0.6元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【变式8-3】（2019春•鄞州区期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表
（1）若小林乘车9千米，耗时30分钟，则车费是 元；
（2）小王与小林各自乘坐滴滴快车，行车里程共15千米，其中小王乘车里程少于7公里，乘车时间比小林多10分钟．如果下车时所付车费相同，两人共支付43.2元，求小王的乘车里程数和乘车时间．
【分析】（1）根据滴滴快车计算得到：车费＝里程费+时长费+运途费，列式计算求解即可；
（2）可设小王的乘车里程数为x千米，小王的乘车时间为y分钟．根据车费的等量关系列出方程求解即可．
【答案】解：（1）2×9+0.4×30+1×（9﹣7）＝32（元）．
答：车费是32元；
（2）设小王的乘车里程数为x千米，小王的乘车时间为y分钟，依题意有
，
解得．
故小王的乘车里程数为6.8千米，小王的乘车时间为20分钟．
故答案为：32．
【点睛】考查了二元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
【考点9 二元一次方程组的应用之方案设计问题】
【例9】（2019秋•南岗区校级月考）某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的面积；
（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？
（3）若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟，每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元，该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成，问人工费最低是多少？
【分析】（1）设每个房间需要粉刷的面积为xm2，每名徒弟一天粉刷ym2的墙面，则每名师傅一天粉刷（y+30）m2的墙面，根据“3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）可得出师傅和徒弟一天的粉刷量，用工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出结论；
（3）设聘请m名师傅和n名徒弟完成粉刷任务，根据这36个房间要在2天内粉刷完成，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数及m，n的取值范围，即可得出各聘请方案，分别求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设每个房间需要粉刷的面积为xm2，每名徒弟一天粉刷ym2的墙面，则每名师傅一天粉刷（y+30）m2的墙面，
依题意，得：，
解得：．
答：每个房间需要粉刷的面积为50m2．
（2）由（1）可知：每名徒弟一天粉刷90m2的墙面，每名师傅一天粉刷120m2的墙面，
∴50×36÷（120+90×2）＝6（天）．
答：需要6天完成．
（3）设聘请m名师傅和n名徒弟完成粉刷任务，
依题意，得：120m+90n＝36×50÷2，
∴n＝10﹣m．
∵m，n均为非负整数，且0≤m≤3，0≤n≤10，
∴，，
∴该公司共有两种聘请方案，方案1：聘请10名徒弟完成粉刷任务；方案2：聘请3名师傅和6名徒弟完成粉刷任务．
方案1所需人工费为200×10×2＝4000（元），
方案2所需人工费为（200×6+240×3）×2＝3840（元）．
∵4000＞3840，
∴方案2聘请3名师傅和6名徒弟完成粉刷任务所需人工费最低，最低人工费为3840元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键．
【变式9-1】（2019春•西湖区校级月考）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．
（1）已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多37%，求七年级教师与学生各有多少人；
（2）参现某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的1.5倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：
①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；
②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．
【分析】（1）设七年级教师有x人，学生有y人，根据七、八年级的师生数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有1.5m个座位，根据八年级乘坐B型船要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，根据每艘游船恰好全部坐满，即可得出关于a，b的二元一次方程，变形后可得出b＝13﹣a，再结合a，b均为非负整数，即可得出各租船方案．
【答案】解：（1）设七年级教师有x人，学生有y人，
依题意，得：，
解得：．
答：七年级教师有100人，学生有200人．
（2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有1.5m个座位，
依题意，得：﹣＝1，
解得：m＝40，
经检验，m＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.5m＝60．
答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位．
②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，
依题意，得：60a+40b＝300+220，
∴b＝13﹣a．
又∵a，b均为非负整数，
∴，，，，，
∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式9-2】（2019春•西湖区校级月考）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；
（3）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．
（2）依题意，得：3a+4b＝34，
∴a＝．
∵a，b均为非负整数，
∴，，，
∴该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用A型车10辆，B型车1辆；方案2：租用A型车6辆，B型车4辆；方案3：租用A型车2辆，B型车7辆．
（3）方案1所需租金：100×10+120×1＝1120（元），
方案2所需租金：100×6+120×4＝1080（元），
方案3所需租金：100×2+120×7＝1040（元）．
∵1120＞1080＞1040，
∴方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金．
【变式9-3】（2019春•西湖区校级月考）学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔都按零售价销售．
（1）如果一个小组共有10名同学，若每人各买1支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付50元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付70元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？
（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售．现要一次性购买A型毛笔a支，在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．
【分析】（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，根据题中的数量关系，列出方程组求解即可；
（2）在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少，这就要计算一下，按新的销售方法，需要出多少钱，然后比较．如果安原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元，则m＝10×2+（a﹣20）×（2﹣0.4）＝1.6a+8．如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则n＝a×2×90%＝1.8a，可根据a的取值范围分不同的情况进行讨论得解．
【答案】解：（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，由题意得：
，
解得：，
答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元；
（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元
则m＝20×2+（a﹣20）×（2﹣0.4）＝1.6a+8，
如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元．
则n＝a×2×90%＝1.8a，
于是n﹣m＝1.8a﹣（1.6a+8）＝0.2a﹣8，
①当a≤20时，显然按新的销售方法购买花钱少；
②∵20＜a＜40，
∴0.2a＜8，
∴n﹣m＜0，
∴当20＜a＜40时，按原来的销售方法购买花钱少；
③∵a＝40，
∴n﹣m＝0，
∴当a＝40时，两种销售方法购买花钱一样多；
④∵a＞40，
∴0.2a＞8，
∴n﹣m＞0，
∴当a＞40时，按新的销售方法购买花钱少．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
【考点10 二元一次方程组与一次函数】
【例10】（2019春•卢龙县期末）如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．
（1）方程组的解是 ；
（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 ；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线y1＝2x﹣2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组的解；
（2）利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；
（3）利用已知图象结合三角形面积求法得出答案；
（4）利用三角形面积求法得出P点横坐标，进而代入函数解析式得出P点坐标．
【答案】解：（1）如图所示：方程组的解为：；
故答案为：；
（2）如图所示：当y1＞0与y2＞0同时成立时，
x取何值范围是：1＜x＜3；
故答案为：1＜x＜3；
（3）∵令x＝0，则y1＝﹣2，y2＝6，∴A（0，﹣2），B（0，6）．
∴AB＝8．
∴S△ABC＝×8×2＝8；
（4）令P（x0，2x0﹣2），则S△ABP＝×8×|x0|＝8，
∴x0＝±2．
∵点P异于点C，
∴x0＝﹣2，2x0﹣2＝﹣6．
∴P（﹣2，﹣6）．
【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．
【变式10-1】（2019春•乐亭县期末）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4交于点C（m，2），直线l1经过点（4，6）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）直接写出方程组 的解；
（3）若点P（3，n）在直线l1的下方，直线l2的上方，写出n的取值范围．
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数关系式；
（2）根据方程组的解是相应图象的交点坐标，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【答案】解：（1）当y＝2时，﹣x+4＝2，解得x＝2，
即C点坐标为（2，2）；
由y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4交于点C（m，2），直线l1经过点（4，6），得
，
解得，
直线l1的函数表达式为y＝2x﹣2；
（2）由图象的交点坐标得
方程组 的解是；
（3）由点P（3，n）在直线l1的下方，直线l2的上方，得
y2＜n＜y1．
当x＝3时，y1＝2×3﹣2＝4，y2＝﹣3+4＝1，
n的取值范围是1＜n＜4．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象的交点坐标是方程组的解．
【变式10-2】（2019春•台山市期末）如图，在直角坐标系中，点C在直线AB上，点A、B的坐标分别是（﹣1，0），（1，2），点C的横坐标为2，过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，直线BE与y轴交于点F．
（1）若∠OFE＝α，∠ACE＝β，求∠ABE（用α，β表示）；
（2）已知直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x﹣y＝﹣1的解（同学们可以用点A、B的坐标进行检验），直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y＝4的解，求点C、F的坐标；
（3）解方程组，比较该方程组的解与两条直线的交点B的坐标，你得出什么结论？
【分析】（1）利用平行线的性质得∠DBE＝∠OFE＝α，∠ABD＝∠ACE＝β，所以∠ABE＝α+β；
（2）利用C点的横坐标和直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x﹣y＝﹣1的解和确定C点的纵坐标；利用点F的横坐标为0和直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y＝4的解可确定F点的纵坐标；
（3）可得到结论：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【答案】解：（1）∵BD⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BD∥CE，
∴∠DBE＝∠OFE＝α，∠ABD＝∠ACE＝β，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝α+β；
（2）∵点C的横坐标为2，把x＝2代入方程x﹣y＝﹣1，
解得y＝3，
∴点C的坐标为（2，3）；
∵点F在y轴上，
∴点F的横坐标为0，
把x＝0代入2x+y＝4，解得y＝4，
∴点F的坐标是（0，4）；
（3）方程组的解是，
∵点B的坐标是（1，2），
∴直线AB与直线BE的交点坐标就是方程组的解．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【变式10-3】（2019春•集美区校级期中）已知二元一次方程x+y＝3，通过列举将方程的解写成下列表格的形式，
如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点，例如：解的对应点是（2，1）．
（1）①表格中的m＝ ，n＝ ；
②根据以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的三个解依次转化为对应点A、B、C的坐标，并在所给的直角坐标系中画出这三个点．
（2）试着再多列举几组不同的x+y＝3的解，并在直角坐标系中画出对应点，根据结果猜想x+y＝3的解对应的点所组成的图形，写出它的两个特征．
（3）若点P（b，a﹣3），G（﹣a，b+3）恰好都落在x+y＝3的解对应的点组成的图象上，求a，b的值．
【分析】（1）①将x＝﹣1，y＝m代入x+y＝3得m的值；将x＝n，y＝代入x+y＝3得n的值；
②由①及原题表格可得A、B、C的坐标，在坐标系中标出即可；
（2）易得x＝﹣2，y＝5；x＝0，y＝3；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝3，y＝0都是方程x+y＝0的解，
在直角坐标系中画出对应点D、E、F、G、H，由图象易得x+y＝3的解对应的
点所组成的图形及其特征；
（3）将点P（b，a﹣3），G（﹣a，b+3）代入x+y＝3解方程组即可得a与b的值．
【答案】解：（1）①将x＝﹣1，y＝m代入x+y＝3得
﹣1+m＝3
∴m＝4
将x＝n，y＝代入x+y＝3得
n﹣＝3
∴n＝
故答案为：4，；
②由①及原题表格可知A、B、C的坐标分别为：
A（﹣3，6）、B（﹣1，4）、C（，）
画图如下：
（2）易得x＝﹣2，y＝5；x＝0，y＝3；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝3，y＝0都是
方程x+y＝0的解，在直角坐标系中画出对应点D、E、F、G、H
猜想x+y＝3的解对应的点所组成的图形为直线
它有这样两个特征：①图象经过一、二、四象限；
②图象从左向右呈下降趋势．
（3）由题意得：
解得：
∴a的值为3，b的值为3．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系及解二元一次方程组，数形结合是解答本题的关键．自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
a
超过15吨但不超过25吨的部分
b
超过25吨的部分
5
计费项目
里程费
时长费
运途费
单价
2元/千米
0.4元/分钟
1元/千米
注：
1．车费＝里程费+时长费+运途费
2．里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取标准为：行车7千米以内（含7千米）不收费，若超过7千米，则超出部分每千米加收1元．
x
﹣3
﹣1
n
备用
备用
备用
y
6
m
﹣
【考点1 二元一次方程的概念】
【方法点拨】含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).
【例1】（2019春•西湖区校级月考）下列各式是二元一次方程的是（ ）
A．x﹣yB．2x＝4y﹣3C．x＝+1D．x2+y＝0
【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可．
【答案】解：A．是整式，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即A项不合题意，
B．符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即B项符合题意，
C．是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即C项不合题意，
D．是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即D项不合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，正确掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）有下列方程：①xy＝2；②3x＝4y；③x+＝2；④y2＝4x；⑤＝3y﹣1；⑥x+y﹣z＝1．其中二元一次方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二元一次方程的定义作答．
【答案】解：①xy＝2属于二元二次方程，故不符合题意；
②3x＝4y符合二元一次方程的定义，故符合题意；
③x+＝2不是整式方程，故不符合题意；
④y2＝4x属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤＝3y﹣1符合二元一次方程的定义，故符合题意；
⑥x+y﹣z＝1属于三元一次方程，故不符合题意．
故其中二元一次方程有2个．
故选：B．
【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-2】（2019春•西湖区校级月考）若方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．﹣3B．±2C．±3D．3
【分析】依据二元一次方程的定义求解即可．
【答案】解：∵方程（a+3）x+3y|a|﹣2＝1是关于x，y的二元一次方程，
∴a+3≠0，|a|﹣2＝1，
解得a＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2019春•西湖区校级月考）方程（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，则（ ）
A．m＝±1009；n＝±3B．m＝1009，n＝3
C．m＝﹣1009，n＝﹣3D．m＝﹣1009，n＝3
【分析】依据二元一次方程的定义得到m﹣1009≠0，n+3≠0，|m|﹣1008＝1，|n|﹣2＝1，依此求解即可．
【答案】解：∵（m﹣1009）x|m|﹣1008+（n+3）y|n|﹣2＝2018是关于x、y的二元一次方程，
∴m﹣1009≠0，n+3≠0，|m|﹣1008＝1，|n|﹣2＝1，
解得：m＝﹣1009，n＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．
【考点2 二元一次方程的整数解】
【方法点拨】解决此类问题，通常用一个未知数来表示另外一个未知数，再将其符合条件的特殊值逐个代入，即可求解特殊解的个数.
【例2】（2019春•宜宾期末）二元一次方程2x+3y＝11的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【答案】解：方程2x+3y＝11，
解得：y＝，
当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，
则方程的正整数解有2组，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
【变式2-1】（2019春•西湖区校级月考）二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【分析】要求二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解，可先从y＝0开始，分别把y＝0，1，2，3，4，5代入方程，求出对应的x的值，然后进行判断．
【答案】解：当y＝0，x＝7.5，
当y＝1，x＝6，
当y＝2，x＝4.5，
当y＝3，x＝3，
当y＝4，x＝1.5，
当y＝5，x＝0，
所以二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程：二元一次方程有无数组解，但可求出它的有限的某些特殊的解．
【变式2-2】（2019春•西湖区校级月考）如果x，y取0，1，2，…9中的数，且3x﹣2y＝11，则10x+y的值可以有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】要求10x+y的值，就必须先求出x，y的值，所以首先要用方程表示其中一个未知数，然后根据式子分析x，y的取值，再代入10x+y求值．
【答案】解：由题意，得．
∵x和y的值取0到9的正整数，
∴2y+11＞0，且是3的倍数．
根据以上条件可假设当y＝0时，2y+11＝11，
当y＝9时，2y+11＝29，
∴2y+11的值就是11到29之间的所有3的倍数，即是12，15，18，21，24，27，
再解这个方程取整数值．
得y的整数值只能是y＝2，5，8，相应的x值为x＝5，7，9．
把分别代入10x+y，则有52，75，98三个值．
故选：C．
【点睛】解题关键是把方程3x﹣2y＝11的符合条件的x和y的值求出，再分别计算代入10x+y后的值．
【变式2-3】（2019•武汉模拟）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z＝10的正整数解得组数是（ ）
A．34B．35C．36D．37
【分析】先把x+y看作整体t，得到t+z＝10的正整数解有7组；再分析x+y分别等于2、3、4、……9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．
【答案】解：令x+y＝t（t≥2），则t+z＝10的正整数解有8组（t＝2，t＝3，t＝4，……t＝9）
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组，t＝x+y＝3的正整数解有2组，t＝x+y＝4的正整数解有3组，……t＝x+y＝9的正整数解有8组，
∴总的正整数解组数为：1+2+3+……+8＝36
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
【考点3 解二元一次方程组】
【方法点拨】掌握①代入消元法；②加减消元法是解题的关键.
【例3】（2019秋•九龙坡区校级月考）计算
（1）
（2）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【答案】解：（1），
①+②×2得：7x＝21，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
②﹣①×3得：14y＝﹣42，
解得：y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①得：x＝﹣6，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式3-1】（2019春•西湖区校级月考）解下列二元一次方程组：
（1）
（2）
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解；
（2）先将原方程组化简，再根据消元法解方程组或者运用整体思想解方程组即可求解．
【答案】解：（1）
①﹣②，得：9t＝3，
解得t＝，
把t＝代入①，得x＝，
∴原方程组的解是．
故原方程组的解为
（2）方法一：
由，
化简，得：
①﹣②×7，可得：﹣32x＝﹣32，
解得x＝1③，
把③代入①，解得y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
方法二：
由①得 5（x﹣y）﹣2（x+y）＝10③
②+③，得 8（x﹣y）＝16，∴x﹣y＝2④
④代入②，得x+y＝0⑤
④+⑤，得x＝1，∴y＝﹣1，
∴原方程组的解是．
故原方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组的方法，解题关键是熟练掌握消元法解方程组．
【变式3-2】（2019秋•福田区校级月考）解下列方程组：
（1）
（2）
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【答案】解：（1），
把①代入②得：5x+4（2x﹣2）＝57，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：y＝8，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②得：10x＝60，
解得：x＝6，
①﹣②得：16y＝﹣64，
解得：y＝﹣4，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式3-3】（2019春•越秀区校级期中）解方程组
（1）
（2）
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【答案】解：（1），
①+②×4得：7x＝35，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝1，
则方程组的解为；
（2），
①﹣②得：7m＝5，
解得：m＝，
把m＝代入①得：n＝，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点4 二元一次方程组的解】
【方法点拨】使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.理解二元一次方程组的解是关键.
【例4】（2019春•文登区期中）关于x和y的二元一次方程组和具有相同的解，求a，b的值.
【分析】首先联立两个方程组不含a、b的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组含a、b的两个方程从而得到一个关于a，b的方程组求解即可．
【答案】解：∵关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，
∴可得新方程组
解这个方程组得．
把x＝2，y＝2代入2ax﹣by＝1，ax+2by＝2，
得，
解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
【变式4-1】（2019春•嘉禾县期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来．
【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值，即可得出答案．
【答案】解：设被滴上墨水的方程组为，
由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程ax+by＝2的解，
则有，
解之，得．
又因方程组的解是，
所以3m+14＝8，
m＝﹣2．
故所求方程组为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，先设方程组，再根据给出条件求出方程组中待定的系数即可．
【变式4-2】（2019春•侯马市期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，求关于a、b的二元一次方程组的解．
【分析】对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b＝1，同理：a﹣b＝2，可得方程组解出即可．
【答案】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴关于a．b的二元一次方程组满足，
解得．
故关于a．b的二元一次方程组的解是．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．
【变式4-3】（2019春•汨罗市期中）已知方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为；若按正确的a、b计算，求原方程组的解．
【分析】由于甲看错了方程①中的a，故可将代入②，求出b的值；由于乙看错了方程组②中的b，故可将代入①，求出a的值，然后得到方程组，解方程组即可．
【答案】解：将代入②得，﹣12+b＝﹣2，b＝10；
将代入①得，5a+20＝15，a＝﹣1．
故原方程组为，
解得．
【点睛】此题考查了方程组解的理解：方程组的解符合方程组中的每个方程，将解代入方程即可求出未知系数．
【考点5 二元一次方程组的应用之配套问题】
【例5】（2019春•浦东新区期末）某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2m的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只．现计划用132m这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
【分析】设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，根据共用去132m这种布料，每2m的布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，衣身和衣袖恰好配套，据此列方程组求解．
【答案】解：设用xm布料做衣身，用ym布料做衣袖，
由题意得，
解得：．
答：用60m布料做衣身，用72m布料做衣袖恰好配套．
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
【变式5-1】（2019春•海州区校级月考）某车间有33名工人生产甲乙两种零件，每人每天能生产甲种零件12个或乙种零件15个，而2个甲种零件与3个乙种零件配成一套，问如何分配工作才能使生产出的两种零件刚好配套？每天生产多少套？
【分析】设应分配x名工人生产甲种零件，分配y名工人生产乙种零件才能使生产出的两种零件刚好配套，根据共33名工人生产零件且2个甲种零件与3个乙种零件配成一套，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【答案】解：设应分配x名工人生产甲种零件，分配y名工人生产乙种零件才能使生产出的两种零件刚好配套，
依题意，得：，
解得：，
∴＝90．
答：应分配15名工人生产甲种零件，分配18名工人生产乙种零件才能使生产出的两种零件刚好配套，每天生产90套．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-2】（2019•开远市一模）某工厂加工螺栓、螺帽，已知每1块金属原料可以加工成3个螺栓或4个螺帽（说明：每块金属原料无法同时既加工螺栓又加工螺帽），已知1个螺栓和2个螺帽组成一个零件，为了加工更多的零件，要求螺栓和螺帽恰好配套．若把26块相同的金属原料全部加工完，问加工的螺栓和螺帽是否存在恰好配套？若存在恰好配套，请求出加工螺栓和螺帽各需要的金属原料块数，若不存在恰好配套，请说明理由．
【分析】设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺帽正好配套，根据共26块相同的金属原料且加工的螺帽数量是螺栓的2倍，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，结合x，y为整数可得出加工的螺栓和螺帽不存在恰好配套．
【答案】解：设把x块金属原料加工成螺栓，y块金属原料加工成螺帽正好配套，
依题意，得：，
解得：，
∵x，y均为整数，
∴加工的螺栓和螺帽不存在恰好配套．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-3】（2019春•南安市期中）（用方程或方程组解答本题）
根据小敏、小聪、小东、小强四人的对话内容，请你设计一下，分别安排多少立方米木料做桌面，多少立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套？
【分析】设安排x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，根据题意的等量关系列出方程组即可．
【答案】解：设安排x立方米木料做桌面，y立方米木料做桌腿，依题意得：
解得：
答：应安排3.5立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿，才能使得生产出来的桌面和桌腿及库存的桌腿恰好全部配套．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
【考点6 二元一次方程组的应用之九章算术】
【例6】（2019•永春县模拟）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，该书中记载了一个问题，“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价格是多少？
【分析】设有x人，物品价值y元，根据题意可得，8×人数﹣3＝物品价值，7×人数+4＝物品价值，据此列方程组求解．
【答案】解：设共有x人，每件物品的价格为y元，依题意得：
解得
答：共有7人，每件物品的价格为53元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【变式6-1】（2019•瑶海区校级一模）列方程或方程组解应用题：
《九章算术》中有这样一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问；每只燕、雀的重量各为多少？”
译文如下：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，如果互换其中的一只，重量恰好相等．则每只麻雀、燕子的平均重量分别为多少两？
【分析】可以设每只雀、燕的重量各为x两，y两，根据总重为16两，互换一只重量相等，可列出两个方程，求方程组的解即可．
【答案】解：设每只雀、燕的重量各为x两，y两，由题意得：．
解方程组得：．
答：每只雀、燕的重量各为两，两．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
【变式6-2】（2019春•石景山区期末）请根据下面古文列方程组解应用题：
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．二百一十五只碗，看看用尽不差争．两人共食一碗饭，三人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧．大意为“山中古寺，不知有多少僧人．若两人共用一碗饭，三人共用一碗羹，恰好用尽215只碗．请求出寺中僧人人数”．
【分析】设用于盛饭的碗x只，用于盛羹的碗y只．读懂题中的诗句，找出条件，可以列出方程组．
【答案】解：设用于盛饭的碗x只，用于盛羹的碗y只．
依题意列方程组，得：
解得：
2x＝3y＝258．
答：寺内僧人共258人．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用．解决本题的关键是找出人数和碗数之间的关系，从而列出方程求出答案．
【变式6-3】（2019•蜀山区校级三模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程式是重要的数学成就．书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十，今将钱四十得酒二斗，问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗的价格是50钱，普通酒一斗的价格是10钱，现在买两种酒2斗共付40钱，问买美酒、普通酒各多少斗？
【分析】设买美酒x斗，普通酒y斗，由题意列出方程组，解方程组即可．
【答案】解：设买美酒x斗，普通酒y斗，
由题意得：，
解得：，
答：买美酒0.5斗，普通酒1.5斗．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
【考点7 二元一次方程组的应用之几何问题】
【例7】（2019春•南岗区校级月考）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，BC＝11，DE＝7，
（1）设每个小长方形的较长的一边为x，较短的一边为y，求x，y的值．
（2）求图中阴影部分面积．
【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值；
（2）根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6个小长方形的面积，即可求出结论．
【答案】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得：，
解得：，
（2）S阴影＝11×（8+1×1）﹣6×1×8＝51（cm2）．
答：图中阴影部分面积是51cm2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-1】（2019春•襄汾县期末）张师傅在铺地板时发现：用8个大小一样的长方形瓷砖恰好可以拼成一个大的长方形（如图①），然后，他用这8块瓷砖七拼八凑，又拼出了一个正方形，中间还留下一个边长为3的小正方形（阴影部分），请你根据提供的信息求出这些小长方形的长和宽．
【分析】仔细观察图形，发现本题中2个等量关系为：小长方形的长×3＝小长方形的宽×5，（小长方形的长+小长方形的宽×2）2＝小长方形的长×小长方形的宽×8+3×3．根据这两个等量关系可列出方程组．
【答案】解：设这8个大小一样的小长方形的长为x，宽为y．
由题意，得，
解得．
答：这些长方形的长和宽分别为15，9．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的对边相等及正方形的面积＝8个小长方形的面积+边长为3的小正方形的面积是关键．
【变式7-2】（2019春•西湖区校级月考）工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图①），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图②），裁剪后边角料不再利用．
（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？
（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？
【分析】（1）设甲种规格的纸板有x个，乙种规格的纸板有y个，根据两种纸板共2600张且3个侧面和2个底面做一个巧克力包装盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据可以生产巧克力包装盒的数量＝乙种纸板的数量×3÷2，即可求出结论．
【答案】解：（1）设甲种规格的纸板有x个，乙种规格的纸板有y个，
依题意，得：，
解得：．
答：甲种规格的纸板有1000个，乙种规格的纸板有1600个．
（2）1600×3÷2＝2400（个）．
答：一共能生产2400个巧克力包装盒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式7-3】（2019春•西湖区校级月考）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方形形状的无盖纸盒．
（1）现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，则可制作横式、竖式两种纸盒个多少个？
（2）若有正方形纸板32张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，已知70＜a＜75．求a的值．
【分析】（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个．根据生产竖式纸盒用的正方形纸板+生产横式纸盒用的正方形纸板＝150张；生产竖式纸盒用的长方形纸板+生产横式纸盒用的长方形纸板＝300张．列方程组即可得到结论；
（2）设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出y的取值范围即可．
【答案】解：（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个．由题意得，
解得：．
答：可制作横式纸盒60个、竖式纸盒30个；
（2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个．由题意得，
解得y＝
∵70＜a＜75，
∴53＜128﹣a＜58，
∵y是整数，
∴128﹣a＝55，
∴a＝73．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
【考点8 二元一次方程组的应用之分段计费问题】
【例8】（2019春•西湖区校级月考）小明同学本周日上午先乘坐出租车到图书馆，乘坐了5千米，打车费14元．然后吃好中饭后乘坐出租车到电影院和同学一起看电影，乘坐了8千米，打车费18.5元．看完电影后再乘坐出租车回家．出租车费用为3千米以内为起步a元，超过3千米每千米b元．
（1）请求出a和b的值．
（2）小明家离电影院有7千米，他有15元，请问他的钱够吗？如果不够，还差多少．
【分析】（1）根据打车费＝起步价+（路程﹣3）×b，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据打车费＝起步价+1.5×（路程﹣3），可求出所需打车费，用其减去15即可求出结论．
【答案】解：（1）依题意，得：，
解得：．
答：a的值为11，b的值为1.5．
（2）11+（7﹣3）×1.5＝17（元），
17＞15，
17﹣15＝2（元）．
答：小明带的钱不够，还差2元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-1】（2019春•呼和浩特期末）为建设资源节约型、环境友好型社会，切实做好节能减排工作，某市决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”．电力公司规定居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时），1千瓦时俗称1度/时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时，超过部分实行“提高电价”．已知小张家2017年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；3月份用电120千瓦时，上缴电费88元．若7月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家7月份应上缴的电费．
【分析】设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据“小张家2017年2月份用电100千瓦时，上缴电费68元；3月份用电120千瓦时，上缴电费88元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用7月份应缴电费金额＝80ד基本电价”+（130﹣80）ד提高电价”即可求出结论．
【答案】解：设“基本电价”为x元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，
依题意，得：，
解得：，
80×0.6+（130﹣80）×1＝98（元）．
答：预计小张家7月份应上缴的电费98元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式8-2】（2019春•西湖区校级月考）为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：
（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 元；（用a，b的代数式表示）
（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a，b的值．
（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a，b的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列方程组，即可得到结论；
（3）根据题意列出二元一次方程，求出符合条件的所有可能情况即可．
【答案】解：（1）∵小王家今年3月份用水20吨，要交水费为15a+5b，
故答案为：（15a+5b）；
（2）根据题意得，，
解得：；
（3）设a上调了x元，b的值上调了y元，
根据题意得，15x+6y＝9.6，
∴5x+2y＝3.2，
∵x，y为整数角钱（没超过1元），
∴当x＝0.6元时，y＝0.1元，
当x＝0.4元时，y＝0.6元，
∴a的值上调了0.6元或0.4元，b的值上调了0.1元或0.6元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【变式8-3】（2019春•鄞州区期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表
（1）若小林乘车9千米，耗时30分钟，则车费是 元；
（2）小王与小林各自乘坐滴滴快车，行车里程共15千米，其中小王乘车里程少于7公里，乘车时间比小林多10分钟．如果下车时所付车费相同，两人共支付43.2元，求小王的乘车里程数和乘车时间．
【分析】（1）根据滴滴快车计算得到：车费＝里程费+时长费+运途费，列式计算求解即可；
（2）可设小王的乘车里程数为x千米，小王的乘车时间为y分钟．根据车费的等量关系列出方程求解即可．
【答案】解：（1）2×9+0.4×30+1×（9﹣7）＝32（元）．
答：车费是32元；
（2）设小王的乘车里程数为x千米，小王的乘车时间为y分钟，依题意有
，
解得．
故小王的乘车里程数为6.8千米，小王的乘车时间为20分钟．
故答案为：32．
【点睛】考查了二元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
【考点9 二元一次方程组的应用之方案设计问题】
【例9】（2019秋•南岗区校级月考）某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷30m2的墙面．
（1）求每个房间需要粉刷的面积；
（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？
（3）若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟，每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元，该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成，问人工费最低是多少？
【分析】（1）设每个房间需要粉刷的面积为xm2，每名徒弟一天粉刷ym2的墙面，则每名师傅一天粉刷（y+30）m2的墙面，根据“3名师傅一天粉刷8个房间，还剩40m2刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）可得出师傅和徒弟一天的粉刷量，用工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求出结论；
（3）设聘请m名师傅和n名徒弟完成粉刷任务，根据这36个房间要在2天内粉刷完成，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数及m，n的取值范围，即可得出各聘请方案，分别求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设每个房间需要粉刷的面积为xm2，每名徒弟一天粉刷ym2的墙面，则每名师傅一天粉刷（y+30）m2的墙面，
依题意，得：，
解得：．
答：每个房间需要粉刷的面积为50m2．
（2）由（1）可知：每名徒弟一天粉刷90m2的墙面，每名师傅一天粉刷120m2的墙面，
∴50×36÷（120+90×2）＝6（天）．
答：需要6天完成．
（3）设聘请m名师傅和n名徒弟完成粉刷任务，
依题意，得：120m+90n＝36×50÷2，
∴n＝10﹣m．
∵m，n均为非负整数，且0≤m≤3，0≤n≤10，
∴，，
∴该公司共有两种聘请方案，方案1：聘请10名徒弟完成粉刷任务；方案2：聘请3名师傅和6名徒弟完成粉刷任务．
方案1所需人工费为200×10×2＝4000（元），
方案2所需人工费为（200×6+240×3）×2＝3840（元）．
∵4000＞3840，
∴方案2聘请3名师傅和6名徒弟完成粉刷任务所需人工费最低，最低人工费为3840元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（二元一次方程）是解题的关键．
【变式9-1】（2019春•西湖区校级月考）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人．
（1）已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多37%，求七年级教师与学生各有多少人；
（2）参现某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的1.5倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问：
①A、B两种游船每艘分别有多少个座位；
②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案．
【分析】（1）设七年级教师有x人，学生有y人，根据七、八年级的师生数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有1.5m个座位，根据八年级乘坐B型船要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，根据每艘游船恰好全部坐满，即可得出关于a，b的二元一次方程，变形后可得出b＝13﹣a，再结合a，b均为非负整数，即可得出各租船方案．
【答案】解：（1）设七年级教师有x人，学生有y人，
依题意，得：，
解得：．
答：七年级教师有100人，学生有200人．
（2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有1.5m个座位，
依题意，得：﹣＝1，
解得：m＝40，
经检验，m＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.5m＝60．
答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位．
②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，
依题意，得：60a+40b＝300+220，
∴b＝13﹣a．
又∵a，b均为非负整数，
∴，，，，，
∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【变式9-2】（2019春•西湖区校级月考）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；
（3）根据总租金＝每辆车的租金×租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论．
【答案】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．
（2）依题意，得：3a+4b＝34，
∴a＝．
∵a，b均为非负整数，
∴，，，
∴该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用A型车10辆，B型车1辆；方案2：租用A型车6辆，B型车4辆；方案3：租用A型车2辆，B型车7辆．
（3）方案1所需租金：100×10+120×1＝1120（元），
方案2所需租金：100×6+120×4＝1080（元），
方案3所需租金：100×2+120×7＝1040（元）．
∵1120＞1080＞1040，
∴方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总租金＝每辆车的租金×租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金．
【变式9-3】（2019春•西湖区校级月考）学校书法兴趣小组准备到文具店购买A，B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔都按零售价销售．
（1）如果一个小组共有10名同学，若每人各买1支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付50元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付70元．这家文具店的A，B两种类型毛笔的零售价各是多少？
（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）的90%出售．现要一次性购买A型毛笔a支，在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少？并说明理由．
【分析】（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，根据题中的数量关系，列出方程组求解即可；
（2）在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少，这就要计算一下，按新的销售方法，需要出多少钱，然后比较．如果安原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元，则m＝10×2+（a﹣20）×（2﹣0.4）＝1.6a+8．如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元，则n＝a×2×90%＝1.8a，可根据a的取值范围分不同的情况进行讨论得解．
【答案】解：（1）设这家文具店的A型毛笔零售价为每支x元，B型毛笔的零售价为每支y元，由题意得：
，
解得：，
答：这家文具店A型毛笔的零售价为每支2元，B型毛笔的零售价为每支3元；
（2）如果按原来的销售方法购买a支A型毛笔共需m元
则m＝20×2+（a﹣20）×（2﹣0.4）＝1.6a+8，
如果按新的销售方法购买a支A型毛笔共需n元．
则n＝a×2×90%＝1.8a，
于是n﹣m＝1.8a﹣（1.6a+8）＝0.2a﹣8，
①当a≤20时，显然按新的销售方法购买花钱少；
②∵20＜a＜40，
∴0.2a＜8，
∴n﹣m＜0，
∴当20＜a＜40时，按原来的销售方法购买花钱少；
③∵a＝40，
∴n﹣m＝0，
∴当a＝40时，两种销售方法购买花钱一样多；
④∵a＞40，
∴0.2a＞8，
∴n﹣m＞0，
∴当a＞40时，按新的销售方法购买花钱少．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
【考点10 二元一次方程组与一次函数】
【例10】（2019春•卢龙县期末）如图，直线y1＝2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2＝﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C．
（1）方程组的解是 ；
（2）当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范围为 ；
（3）求△ABC的面积；
（4）在直线y1＝2x﹣2的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标．
【分析】（1）根据题意画出图象，利用其交点坐标得出方程组的解；
（2）利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；
（3）利用已知图象结合三角形面积求法得出答案；
（4）利用三角形面积求法得出P点横坐标，进而代入函数解析式得出P点坐标．
【答案】解：（1）如图所示：方程组的解为：；
故答案为：；
（2）如图所示：当y1＞0与y2＞0同时成立时，
x取何值范围是：1＜x＜3；
故答案为：1＜x＜3；
（3）∵令x＝0，则y1＝﹣2，y2＝6，∴A（0，﹣2），B（0，6）．
∴AB＝8．
∴S△ABC＝×8×2＝8；
（4）令P（x0，2x0﹣2），则S△ABP＝×8×|x0|＝8，
∴x0＝±2．
∵点P异于点C，
∴x0＝﹣2，2x0﹣2＝﹣6．
∴P（﹣2，﹣6）．
【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．
【变式10-1】（2019春•乐亭县期末）如图，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4交于点C（m，2），直线l1经过点（4，6）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）直接写出方程组 的解；
（3）若点P（3，n）在直线l1的下方，直线l2的上方，写出n的取值范围．
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数关系式；
（2）根据方程组的解是相应图象的交点坐标，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【答案】解：（1）当y＝2时，﹣x+4＝2，解得x＝2，
即C点坐标为（2，2）；
由y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+4交于点C（m，2），直线l1经过点（4，6），得
，
解得，
直线l1的函数表达式为y＝2x﹣2；
（2）由图象的交点坐标得
方程组 的解是；
（3）由点P（3，n）在直线l1的下方，直线l2的上方，得
y2＜n＜y1．
当x＝3时，y1＝2×3﹣2＝4，y2＝﹣3+4＝1，
n的取值范围是1＜n＜4．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象的交点坐标是方程组的解．
【变式10-2】（2019春•台山市期末）如图，在直角坐标系中，点C在直线AB上，点A、B的坐标分别是（﹣1，0），（1，2），点C的横坐标为2，过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，直线BE与y轴交于点F．
（1）若∠OFE＝α，∠ACE＝β，求∠ABE（用α，β表示）；
（2）已知直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x﹣y＝﹣1的解（同学们可以用点A、B的坐标进行检验），直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y＝4的解，求点C、F的坐标；
（3）解方程组，比较该方程组的解与两条直线的交点B的坐标，你得出什么结论？
【分析】（1）利用平行线的性质得∠DBE＝∠OFE＝α，∠ABD＝∠ACE＝β，所以∠ABE＝α+β；
（2）利用C点的横坐标和直线AB上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程x﹣y＝﹣1的解和确定C点的纵坐标；利用点F的横坐标为0和直线BE上的点的横坐标x与纵坐标y都是二元一次方程2x+y＝4的解可确定F点的纵坐标；
（3）可得到结论：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【答案】解：（1）∵BD⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BD∥CE，
∴∠DBE＝∠OFE＝α，∠ABD＝∠ACE＝β，
∴∠ABE＝∠ABD+∠DBE＝α+β；
（2）∵点C的横坐标为2，把x＝2代入方程x﹣y＝﹣1，
解得y＝3，
∴点C的坐标为（2，3）；
∵点F在y轴上，
∴点F的横坐标为0，
把x＝0代入2x+y＝4，解得y＝4，
∴点F的坐标是（0，4）；
（3）方程组的解是，
∵点B的坐标是（1，2），
∴直线AB与直线BE的交点坐标就是方程组的解．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【变式10-3】（2019春•集美区校级期中）已知二元一次方程x+y＝3，通过列举将方程的解写成下列表格的形式，
如果将二元一次方程的解所包含的未知数x的值对应直角坐标系中一个点的横坐标，未知数y的值对应这个点的纵坐标，这样每一个二元一次方程的解，就可以对应直角坐标系中的一个点，例如：解的对应点是（2，1）．
（1）①表格中的m＝ ，n＝ ；
②根据以上确定对应点坐标的方法，将表格中给出的三个解依次转化为对应点A、B、C的坐标，并在所给的直角坐标系中画出这三个点．
（2）试着再多列举几组不同的x+y＝3的解，并在直角坐标系中画出对应点，根据结果猜想x+y＝3的解对应的点所组成的图形，写出它的两个特征．
（3）若点P（b，a﹣3），G（﹣a，b+3）恰好都落在x+y＝3的解对应的点组成的图象上，求a，b的值．
【分析】（1）①将x＝﹣1，y＝m代入x+y＝3得m的值；将x＝n，y＝代入x+y＝3得n的值；
②由①及原题表格可得A、B、C的坐标，在坐标系中标出即可；
（2）易得x＝﹣2，y＝5；x＝0，y＝3；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝3，y＝0都是方程x+y＝0的解，
在直角坐标系中画出对应点D、E、F、G、H，由图象易得x+y＝3的解对应的
点所组成的图形及其特征；
（3）将点P（b，a﹣3），G（﹣a，b+3）代入x+y＝3解方程组即可得a与b的值．
【答案】解：（1）①将x＝﹣1，y＝m代入x+y＝3得
﹣1+m＝3
∴m＝4
将x＝n，y＝代入x+y＝3得
n﹣＝3
∴n＝
故答案为：4，；
②由①及原题表格可知A、B、C的坐标分别为：
A（﹣3，6）、B（﹣1，4）、C（，）
画图如下：
（2）易得x＝﹣2，y＝5；x＝0，y＝3；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝3，y＝0都是
方程x+y＝0的解，在直角坐标系中画出对应点D、E、F、G、H
猜想x+y＝3的解对应的点所组成的图形为直线
它有这样两个特征：①图象经过一、二、四象限；
②图象从左向右呈下降趋势．
（3）由题意得：
解得：
∴a的值为3，b的值为3．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系及解二元一次方程组，数形结合是解答本题的关键．自来水销售价格
每户每月用水量
单位：元/吨
15吨及以下
a
超过15吨但不超过25吨的部分
b
超过25吨的部分
5
计费项目
里程费
时长费
运途费
单价
2元/千米
0.4元/分钟
1元/千米
注：
1．车费＝里程费+时长费+运途费
2．里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取标准为：行车7千米以内（含7千米）不收费，若超过7千米，则超出部分每千米加收1元．
x
﹣3
﹣1
n
备用
备用
备用
y
6
m
﹣
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